第四章 数列 单元试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版选择性必修二第四章数列单元卷，涵盖单选、多选、填空、解答题型，聚焦等差等比数列概念、性质及求和，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|等差数列基本量计算、等比数列项判断、前n项和公式应用|基础概念与运算结合，如第3题考查等差数列前n项和性质| |多选题|3|等比数列公比与前n项和关系、数列前n项和与通项关系|多选项设置考查逻辑推理，如第9题分析等比数列前n项和公式| |填空题|3|等差数列插入项、递推数列求项、等差数列性质|情境创新，如第12题通过插入项构建新等差数列| |解答题|5|通项公式推导、数列证明、求和计算|综合应用，如第19题需证明等比数列并求通项与前n项和，体现数学思维与语言表达|

高中数学人教A版选择性必修二第四章数列 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B D C C C BD AC 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】利用等差数列的通项公式求出即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为， 则，解得. 故选：B. 2．C 【分析】由等差数列性质列方程组即可求解. 【详解】因为四个正数成等差数列，所以，解得． 故选：C. 3．B 【分析】只需根据已知求得，再结合等差数列性质以及求和公式即可求解. 【详解】等差数列中，由，得，解得， 所以． 故选：B. 4．B 【分析】应用等比数列的通项公式列方程求公比，即可得. 【详解】根据题意，等比数列的首项为3，公比为，若243是该数列中的一项， 设243是该数列的第项，则，可得， 又，所以当时，；当时，；当时，． 故选：B 5．D 【分析】设等差数列的公差为，结合等差数列通项公式可得，由，，成等比数列，结合等比数列定义列方程可求，由此可得结论. 【详解】设等差数列的公差为，又， 所以， 因为，，成等比数列， 所以， 所以， 所以或， 当时，，，，满足条件， 当时，，满足条件， 所以或， 故选：D. 6．C 【分析】由题意求出，进而求出并判断数列是等差数列，再由等差数列的前项和公式计算即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，则，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则. 故选：C 7．C 【分析】整理可得，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 8．C 【分析】利用等比数列前项和公式和通项公式分析计算即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为. 当时， ，不满足，舍去； 当时，， 所以， 所以，解得. 所以. 故选：C. 9．BD 【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断. 【详解】依题，，解得故A错误，B正确； 则，，故C错误，D正确. 故选：BD. 10．AC 【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可得到数列是以为周期3的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】由，，可得 ，故A正确；B错误； 对于C，由上可知，数列是以3为周期的周期数列， 则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 11．AB 【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的求和公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列通项公式和求和公式逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 对于A选项，数列的公差为，A对； 对于B选项，，，则，B对； 对于C选项，， ，，故，C错； 对于D选项，，所以，D错. 故选：AB. 12．16 【分析】先计算出原等差数列的公差，进而得到新的等差数列的公差，从而求出的通项公式，得到新数列的第项. 【详解】在相邻两项之间插入一个数，形成新的等差数列， 则新的等差数列的公差为原等差数列公差的． 设已知的等差数列为，公差为，易知，则， 则． 令，得． 故答案为： 13．1 【分析】根据对数的运算得到，从而得到，则是公比的等比数列，即可求出，从而得解. 【详解】因为正项数列满足，所以， 则，所以是公比的等比数列. 又，所以， 所以，则. 故答案为：1. 14． 【分析】由题意建立等式，求得等差数列的首项和公差后计算即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得， 所以. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项的基本量运算列方程组，求出，即得数列通项公式； （2）利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，即，① 由，②，联立①②，解得， 则的通项公式为； （2）设， 则 . 16．（1）；（2） 【分析】（1）利用等差数列通项公式列出方程组，计算即可； （2）利用等差数列的性质求得，由此能求出． 【详解】（1）在等差数列中，， ∴，解得； （2）数列为等差数列，，， ∴，则． 17．(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，即可得到关于、的方程组，解得即可； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，，所以，解得 ， 有，故数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 所以， 则， 两式作差得， 所以. 18．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由得到即可由等差数列定义求证； （2）由（1）结合等差数列的前项和公式求出，再由二次函数性质即可求解. 【详解】（1）证明：由得， 所以，又. 所以是首项为，公差为的等差数列； （2）由（1）得， 因为，所以当时前项和取得最小值为. 19．(1)∵，∴，即， ∴数列是以为首项， 为公比的等比数列 (2) (3) 【分析】（1）根据等式构造数列相邻两项，并求得其比值，即可证明； （2）由（1）求得数列的通项公式，即可求得的通项公式； （3）由（2）中的通项公式，通过等比数列的前项和公式求得结果. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知， ∴ （3） . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修二第四章数列 一、单选题 1．在等差数列中，则等于（   ） A． B．15 C．25 D． 2．已知四个正数成等差数列，则（    ） A． B． C． D．3 3．已知等差数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．40 B．50 C．60 D．100 4．已知等比数列的首项为3，公比为，若243是该数列中的一项，则公比的值不可能是（    ） A．81 B．81 C．9 D．3 5．在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为（   ） A． B． C．或 D．或 6．设数列的前n项和为，若，则（   ） A．110 B．130 C．290 D．190 7．若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 8．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．4 B．2 C． D． 二、多选题 9．已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 11．等差数列前项和为，，，则（   ） A．数列的公差为 B． C． D． 三、填空题 12．已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则数列的第13项为______． 13．已知正项数列满足，且，则的值是______． 14．在等差数列中，，，则______ 四、解答题 15．设等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 16．（1）在等差数列中，已知，求首项与公差d； （2）已知数列为等差数列，，，求的值． 17．已知是等差数列的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和为． 18．已知数列满足，，，若. (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； 19．已知数列满足，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式； (3)求的前项和. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $