第三章圆锥曲线单元检测培优卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高二数学选择性必修一圆锥曲线单元能力培优卷，全面覆盖椭圆、双曲线、抛物线定义、离心率、焦点三角形等核心知识，通过几何直观与代数运算结合，培养数学思维与创新意识，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8|椭圆离心率、双曲线焦点三角形、抛物线弦长|如第1题用对称性构建平行四边形，结合椭圆定义求离心率，体现数学眼光| |多选|3|椭圆焦点三角形周长、双曲线渐近线|如第9题综合考查椭圆定义与圆切线性质，培养推理意识| |填空|3|椭圆第三定义、双曲线斜率最值、抛物线最短弦|第14题结合抛物线通径与圆弦长计算，体现应用意识| |解答|5|轨迹方程、面积最值、定值证明|第19题引入阿基米德椭圆面积公式，融合文化传承与创新应用，符合真题命题趋势|

2026-2027高二数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程单元检测 能力培优卷 一、单选题 1．已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于两点，若，点M到直线l的距离为，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，．若，则直线斜率（    ） A． B． C． D． 8．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 二、多选题 9．（多选题）已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（    ） A．的周长为4a B．当直线垂直于轴时， C．若，，则椭圆的离心率为 D．当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 10．如图，双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为3 C． D．的面积为 11．双曲线的左、右焦点分别为，．且在抛物线的准线上，离心率是．则下列结论成立的是（    ） A．双曲线与抛物线的两个交点间的距离是 B．双曲线的渐近线为 C．双曲线的标准方程为 D．若P为渐近线上一点，满足，则的面积是 三、填空题 12．已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 13．已知双曲线的左、右顶点分别为，点在上且在第一象限内，设直线与的斜率分别为，，则的最小值为______. 14．抛物线（），过焦点的所有弦中，最短弦长为2，过作倾斜角的直线交圆：于、两点，则弦长____________________． 四、解答题 15．已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 16．已知双曲线，过点的直线l与交于不同两点A、B. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)若点A坐标为，点B在双曲线右支上，且B为线段AM的中点，求直线l的斜率； (3)若，点、分别是双曲线的左、右焦点，点是点A关于y轴的对称点，若存在直线l，使得，求m的取值范围. 17．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，直线过点且与相交于，两点，若最小值为3． (1)求的方程； (2)若的面积为，求； (3)若，求． 18．已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 19．著名的古希腊数学家阿基米德首次利用“逼近法”得到了椭圆的面积公式为：（其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长）.已知椭圆C：的面积为，左、右焦点分别为，，A是椭圆C上的动点，且点A到点，的距离之和为. (1)求椭圆C的标准方程. (2)设椭圆C的右焦点为，过点作斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两点，设直线和的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027高二数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程单元检测 能力培优卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D C D B A A ABD ACD 题号 11 答案 AD 1．D 【分析】首先利用对称性构建平行四边形并结合椭圆的定义求出，接着利用点到直线的距离公式求出，最后代入离心率公式得出最终结果. 【详解】设椭圆E的左焦点为，连接， 因为直线过原点，所以其与椭圆的交点关于原点对称， 且焦点也关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 所以， ，所以，解得， 因为点M到直线l的距离为，不妨设， 则点M到直线l的距离为，解得， 所以， 故椭圆E的离心率为. 2．D 【分析】由题意可得，设，进而得到，，，再根据余弦定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，，即， 由于，，则， 设，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 解得，即.    3．D 【分析】将代入椭圆，两式相减，得到，结合斜率公式和中点公式，化简得到，即可求解. 【详解】设 将代入椭圆，可得， 两式相减，可得，即， 因为，所以， 则直线的斜率为． 4．C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 5．D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 6．B 【分析】由条件结合对称性可得，，解直角三角形可得，，结合双曲线的定义求结论. 【详解】∵为等边三角形，∴，即， 由对称性可得，所以，又， 所以，结合，， 可得，，又， 所以，化简可得， 所以双曲线的离心率为. 7．A 【分析】设直线的方程为，，，作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，利用几何关系得，从而得，进而求出点坐标，即可求解. 【详解】根据题意可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，，, 因为，由抛物线的定义知，① 作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，则， 从而，得到，所以②，由①②解得， 因为在抛物线上，所以，解得， 则． 8．A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 9．ABD 【分析】A选项，利用焦点三角形边长关系可得的周长；B选项，当直线垂直于轴时，可以将横坐标代入椭圆方程，得到纵坐标，从而得到；C选项，利用，，可得，，分别在和中，计算，可得，从而得到离心率；D选项假设存在满足条件的点，可求得即可. 【详解】对于选项A，的周长，故A正确； 对于选项B，当直线垂直于轴时，将代入，得，，故B正确； 对于选项C，，，， ，，，，. 在中， 在中，，得， ，，故C错误； 对于选项D，假设存在满足条件的点，过点向圆引两条切线，设切点为和， 因为，，，， 所以四边形为正方形，所以. 所以当时，椭圆上存在点满足题意，故D正确． 10．ACD 【分析】A.结合等角条件证明三角形相似；B.由三角形相似得到线段比例，求解离心率；C.借助余弦定理求解；D.由三角形的面积公式求解. 【详解】对于 A，因为，且 （公共角）， 所以，A 正确； 对于B，双曲线 ，， 因为 ，联立得：，， 由，得， 则，，所以， 又，即，得，故 ，B 错误； 对于 C，在中， ，，， 由余弦定理得，C 正确； 对于 D， ， 因为，所以, 又因为，， 所以 的面积 ，D 正确. 11．AD 【分析】先根据抛物线准线确定双曲线的半焦距c，再结合离心率求出a，b，得到双曲线的标准方程和渐近线方程，最后逐一判断各个选项. 【详解】抛物线的准线为，因此双曲线的左焦点，可得， 由离心率，解得，则， 故双曲线标准方程为，其渐近线方程为. 对于A，联立双曲线和抛物线方程，整理得， 解得或，结合抛物线，双曲线的范围，取正根， 代入中可得，则两交点坐标为， 所以双曲线与抛物线的两个交点间的距离是，选项A正确. 对于B，双曲线的渐近线方程为，而不是，选项B错误. 对于C，双曲线标准方程为，而不是，选项C错误. 对于D，因为，所以，设在渐近线上，则， 结合，即，可得 则的面积是，选项D正确. 12． 【分析】利用椭圆的第三定义得到即可求解. 【详解】根据题目条件可知点M，N是椭圆（）上关于原点对称的两点， 又由于A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为， 根据椭圆的第三定义可知． 因为椭圆离心率，所以，因此椭圆C的离心率为. 13．2 【详解】∵双曲线的左、右顶点分别为， ∴， 设， 则直线的斜率， 直线的斜率，∴， 又点在上，∴，即， ∴， 又，∴， ∴，当且仅当， 即时，等号成立， ∴的最小值为2. 14． 【分析】先根据通径最短的已知条件求出，再求出直线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后根据弦长公式求出弦长. 【详解】解：由通径是抛物线中最短的弦，则，所以，焦点为， 因此，圆的方程为，圆心，半径.    因为倾斜角为，则斜率， 所以过焦点的直线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以弦长. 15．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据抛物线焦点为，由抛物线的性质可直接求出，再求得抛物线C的方程； （2）（ⅰ）联立抛物线与直线方程，使用韦达定理得到，再根据，再求实数的值；（ii）根据三角形重心的坐标公式设点，再由韦达定理表示为的表达式，通过转化求得重心的轨迹方程. 【详解】（1）由抛物线的焦点为可得 ， 所以抛物线C的方程为. （2）（ⅰ）联立抛物线与直线的方程可得 ，整理得，故； ，，解得，． （ⅱ）由（i）得，， 设重心坐标为，则即 所以即. 16．(1)焦距为4，离心率 (2) (3)且 【分析】（1）根据双曲线方程求出，即可求得焦距和离心率； （2）根据中点公式用表示出点的坐标，根据点在双曲线右支上，列方程求出，再由斜率公式即可解出； （3）设，，联立直线和双曲线方程可得，再根据，代入并化简，可得到的关系，然后由，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题可知，，，所以焦距. 离心率. （2）因为B是线段AM的中点，所以， 同时B又在双曲线右支上，所以有，且， 解得， 所以l斜率. （3），设，， 则， 双曲线和直线l联立得， 化简得到， 因此有， . 由得， 代入并化简得， 再代入并化简得， 方程有解，代入t的范围，得到且. 由于，所以的取值范围为且. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用椭圆离心率公式推出关系，结合椭圆参数恒等式得到关系，再依据椭圆通径最小值公式求出参数，进而确定椭圆标准方程； （2）根据椭圆焦点三角形面积公式求出点的纵坐标，代入椭圆方程得到横坐标平方，再利用向量点积公式结合椭圆坐标性质化简计算得出结果； （3）借助椭圆定义表示出三角形三边长度，联立直线与椭圆方程结合线段比例关系求出参数，通过弦长公式确定边长数值，最后利用余弦定理求出对应角的余弦值. 【详解】（1）已知离心率，故，由椭圆关系得， 过焦点的弦中，通径最短，通径长为，代入得：，即， 解得，因此，，椭圆的方程为：. （2）由（1）得，，，设， 则的面积，故， 代入椭圆方程得， 又，， 所以. （3）设，，由椭圆定义，，， 设直线，代入椭圆得， 设，则 由得，所以， 解得， 所以 ， 即，解得，所以，， 由余弦定理.    18．(1) (2) (3)由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 【分析】（1）直接由待定系数可求得双曲线方程； （2）直接用点差法求中点弦的方程并检验可得； （3）分直线的斜率存在或不存在两种情况讨论：当直线的斜率存在时，设直线，，中点，结合根与系数关系得，，再圆的方程中令，设，所以由根与系数关系得，进而可将，再将代入可得；当直线的斜率不存在时，得，进而可得所求值，综上可得所证结果. 【详解】（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. （3）略 19．(1) (2)（i）由（1）可知，所以，所以右焦点为， 设过点的直线方程为， 将直线代入椭圆方程得， 整理得，设， 由韦达定理得， 因为直线与椭圆有两个交点，所以，解得. ； （ⅱ） 【分析】（1）利用已知求得的关系式，进而求解即可； （2）（i）求得右焦点为，设过点的直线方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得，进而计算可证得结论.（ⅱ）利用，结合根与系数的关系可得，进而利用换元法与基本不等式可求得面积的最大值. 【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆C的标准方程为. （2）（ⅱ） ， 令，所以， 所以， 当且仅当，即（此时）取等号. 所以面积的最大值为.    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $