21.5.4 反比例函数的实际应用（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的实际应用，核心知识点包括变量乘积为定值的本质模型、工程等四大必考实际模型及标准解题四步法。通过商品定价等生活实例导入，衔接反比例函数概念，以核心知识点总结和解题模板为学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融合跨学科实例如物理杠杆原理、健康药熏消毒，结合数学眼光观察生活问题，数学思维推导函数关系，数学语言表达模型。采用四步法解题模板与总结口诀，助力学生掌握应用能力，教师可借助系统资料提升教学效率，培养学生模型意识与创新思维。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 二次函数与反比例函数 21.5.4反比例函数的实际应用 2026年8月6日 反比例函数的实际应用 核心知识点总结 一、核心本质 反比例函数实际应用的核心模型：两个变量的乘积为固定不变的定值。 通用公式：$$xy=k(k\gt0)$$，变形为函数解析式：$$y=\dfrac{k}{x}(x\gt0)$$。 实际问题中，变量均为长度、时间、速度、效率等正数，因此图象只取第一象限双曲线。 二、四大必考实际模型（考试高频） 1. 工程工作模型 工作总量固定：$$\text{工作效率} \times \text{工作时间} = \text{定值}$$ 效率越高，用时越短；效率越低，用时越长。 2. 行程运动模型 路程固定：$$\text{速度} \times \text{时间} = \text{定值}$$ 速度越快，行驶时间越短；速度越慢，行驶时间越长。 3. 几何面积、体积模型 矩形面积固定：$$\text{长} \times \text{宽} = \text{定值}$$ 长方体体积固定：$$\text{底面积} \times \text{高} = \text{定值}$$ 一边越长，另一边越短，此消彼长。 4. 物理实际模型 压力固定：压强与受力面积成反比，面积越大，压强越小； 电压固定：电流与电阻成反比，电阻越大，电流越小； 气体质量固定：压强与体积成反比。 三、标准解题四步法（通用答题模板） 第一步：找定值 找出题目中固定不变的总量（路程、总量、面积、压力等）。 第二步：列关系式 根据“两变量乘积=定值”，列出 $$xy=k$$。 第三步：求解析式 代入已知一组对应数值，求出 $$k$$，写出完整反比例函数。 第四步：求解作答 代入求值、判断变化趋势、求解最值、取值范围。 四、函数变化规律 在实际反比例问题中：$$k\gt0$$，$$x\gt0$$ 1. 自变量 $$x$$ 增大，函数值 $$y$$ 减小； 2. 自变量 $$x$$ 减小，函数值 $$y$$ 增大； 整体呈现反向变化趋势。 五、高频易错点 1. 实际问题中自变量不能取负数和0，取值范围恒为 $$x\gt0$$； 2. 只能在同一变化模型下判断增减性，无跨象限比较； 3. 区分正比例与反比例：比值定值为正比例，乘积定值为反比例； 4. 求最值时，需结合实际取值范围，不可直接套用顶点公式。 六、总结口诀 总量一定积不变，正反比例要分辨。 一增一减成反比，图象只在第一限。 找准定值求系数，代入数值解难题。 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题，商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本. 固定成本 设计产品 建造厂房 购置设备 培训工人 …… 可变成本 劳动力 材料 包装 运输 …… 与产品件数相关 可看作常数 3 例如，生产某种收音机的成本(单位：元)可以近似地表示为 C=120t+1000，① 其中C表示生产t台收音机的总成本，当t=0时， C =120×0+1000=1000. 1000元是固定成本，由此可知①式中120t表示可变成本. 制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年销售量t和产品的销售单价x的乘积，设R表示年总收入，则 R=tx 制造商的年利润是出售产品的年总收入和生产这些产品的总成本之间的差额，设为P表示年利润，则 P=R – C=tx–(120t+1000) 4 问题① 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降. 假设某市场分析专家提供了下列数据： 销售单价 x/元 50 100 150 300 年销售量 t/件 5000 4000 3000 0 设生产t件产品的成本是：C=50t+1000. x/元 t/件 4000 3000 2000 1000 350 250 150 50 O 6000 5000 在右图中，描出上述表中各组数据对应的点. 这些点在同一条直线上吗？ 那t和x之间的函数表达式呢？ 5 那t和x之间的函数表达式呢？ 问题① 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降. 设t和x之间的函数表达式为：t=kx+b.则有 解这个方程组，得 所以t和x之间的函数表达式为：t= –20x+6000. 当销售单价x 和年销售量t各为多少时， 年利润P最大？ 假设某市场分析专家提供了下列数据： 销售单价 x/元 50 100 150 300 年销售量 t/件 5000 4000 3000 0 设生产t件产品的成本是：C=50t+1000. 6 问题① 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降. t和x之间的函数表达式为：t= –20x+6000. 年利润=单价×销售量–成本 P=x·(–20x+6000)–[50(–20x+ 6000)+1000] = –20x2+7000x–301000. 因此，当x= – 时， 即x=175，t=2500时， P最大= =311500(元). 当销售单价x 和年销售量t各为多少时， 年利润P最大？ 假设某市场分析专家提供了下列数据： 销售单价 x/元 50 100 150 300 年销售量 t/件 5000 4000 3000 0 设生产t件产品的成本是：C=50t+1000. 7 问题②设生产t件某种电子产品的成本(单位：元)可以近似地表示为 C=1000t+2000000. 制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据： 销售量 t/件 750 3000 5096 8500 9417 销售单价 x/元年 3850 3400 3000 2300 2100 在右图中，描出上述表中各组数据对应的点. t/件 x/元 3500 3000 2500 2000 7000 5000 3000 1000 O 4500 4000 9000 这些点在同一条直线上吗？ 那t和x之间的函数表达式呢？ 8 问题②设生产t件某种电子产品的成本(单位：元)可以近似地表示为 C=1000t+2000000. 制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据； 销售量 t/件 750 3000 5096 8500 9417 销售单价 x/元年 3850 3400 3000 2300 2100 设x和t之间的函数表达式为：x=kt+b.则有 解这个方程组，得 所以t和x之间的函数表达式为：x= –0.2t+4000. 那t和x之间的函数表达式呢？ 当年销售量t和 销售单价x各为多少时， 年利润P最大？ 9 问题②设生产t件某种电子产品的成本(单位：元)可以近似地表示为 C=1000t+2000000. 制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据； 销售量 t/件 750 3000 5096 8500 9417 销售单价 x/元年 3850 3400 3000 2300 2100 t和x之间的函数表达式为： x= –0.2t+4000. 当年销售量t和 销售单价x各为多少时， 年利润P最大？ 年利润=单价×销售量–成本 P=(–0.2t+4000)·t–(1000t+ 2000000) = –0.2t2+3000t–2000000. 因此，当t= – 时， 即t=7500，x=2500时， 年利润P最大. 你还有其它做法吗？和同学 们说一说！ 10 知识点反比例函数的实际应用 1. 视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度f度与车速v km/h成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为100 km/h时，视野角度f为(　　) A．40度 B．50度 C．80度 D．4 000度 1星题 基础练 A 举一反三 2．六安期中 验光师通过检测发现近视眼镜的度数y度与镜片焦距x米成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.125米调整到0.4米，则近视眼镜的度数减少了________度． 550 举一反三 归纳 (1)建立函数关系式：总利润=单件利润×销售量 最大利润问题 (2)确定自变量取值范围：涨价，要保证销售量≥0； 或总利润=总售价–总成本 降价，要保证单件利润≥0. (3)确定最大利润：求最大利润利用配方法或代入公式直接计算. 13 3．(跨学科·物理)杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩(力与力臂的乘积)大小必须相等，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，已知石头的重力(阻力)为3 200 N，阻力臂为0.25 m. (1)求动力F与动力臂l的函数表达式； 举一反三 (2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出500 N的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？ 举一反三 4. 如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y(班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率)与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数 最多的是________班． 2 2星题 中档练 举一反三 5．(立德树人·健康意识)为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y mg与燃烧时间x min成正比例；燃烧后，y与x成反比例(如图)．现测得药物10 min燃完，此时教室内每立方米空气中的含药量为12 mg.根据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧后y与x的函数关系式； 举一反三 举一反三 (2)当每立方米空气中含药量不低于5 mg时，对病毒有作用，此时对病毒有作用的时间有_________min. 举一反三 综合与实践 | 获取最大利润 最大利润问题： (1)建立函数关系式：总利润=单件利润×销售量 (2)确定自变量取值范围：涨价，要保证销售量≥0； 或总利润=总售价-总成本 降价，要保证单件利润≥0. (3)确定最大利润：求最大利润利用配方法或代入公式直接计算. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS 解：依题意，得3 200×0.25＝F·l.所以F＝. 答：动力F与动力臂l的函数表达式为F＝. 解：当F＝500时，500＝，解得l＝1.6. 因为小华最多能使出500 N的力，所以l≥1.6. 答：小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为1.6 m. 解：设燃烧后的函数表达式为y＝(k≠0)， 由题意得12＝，解得k＝120， 所以燃烧后的函数表达式为y＝(x≥10)． $