重庆市两江中学校2025-2026学年高一下学期过程评估数学试题

重庆市两江中学校2025-2026学年高2028届高一（下)过程评估 数学试题 命题说明： 1,考试时间：120分钟，试卷满分：150分； 2、作答时，请将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无放。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的.（注意第4题分为云校班和非云校班） 1.已知向量a,满足a=（xl),b=(1,2),若a16,则a+2b=（) A(3 B.(0,5) c(层 D(层 2.已知复数2=10 则z的虚部为（) A.2 B.2i C.4 D.41 3.在平行四边形ABCD中，点E为AB的中点，DE与AC的交点为F.设AB=a,AD=b 则向量DF等于() A+号5 Ba-26 1 D.a+26 1 3 3 c-五 3 3 4.(非云校班做)设为直线，a,B为两个不同的平面，则下列结论中错误的是( A.m∥a,a∥B,且mtB→m∥B B.m∥a,m∥B→a∥B C.ax∥B,且mca→m∥B D.a∥B,且m与a相交→m与B相交 4.(云校班做)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点 的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是() ① ② ④ A.①② B.①⑤ C.②③ D.①④ 5,位于某海域的甲船获悉，在其北偏西45°方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东15° 方向行驶√6mile,发现该灯塔位于甲船的正西方，那么此时甲船距离该灯塔() -nmile B.√3 nmile C.3nmile D.2v3nmile 6,设△ABC的面积为S,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinC=√2sinB,若 AC·AB=2S,则此三角形的形状为（) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形 7.在四边形ABCD中，ABI/CD,∠BAD=120°，AB=4,AD=2,CD=3,E,F分别为BC, CD的中点，则FE.AC=( A号 B.-3 c. D.7 8球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被 截得的线段长叫做球缺的高（如图）·若球缺的底面半径为 7,高为，则球缺的体积v=名(32+h).已知棱长为2 的正方体ABCD-ABCD的各个顶点都在球O上，平面ABCD 第8题图 将球O截成两部分，那么较小部分的体积为() A. 65-8元 c.25-1π D. 43-4 3 .8 3π 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分 9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是() A.=V2 B.复数z的共轭复数为z=1-i C.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根 10.设向量ā=(3，k),b=(2,-1),则下列说法正确的是（) A.若a与i的夹角为钝角，则k>6 B.园的最小值为9 C.与方共线的单位向量是(25，-5) 5，-5 D.若同=35，则k=6 11.如图，直三棱柱ABC-AB,C中，AA=2,AB=BC=1,∠ABC=90° 侧面A4,CC中心为O,点E是侧棱BB上的一个动点，有下列判断， 正确的是( ) A.直三棱柱侧面积是4+22 B,直三棱柱体积是写 第11题图 C.三棱锥E-AA,O的体积为定值 D.AE+EC的最小值为2√2 共2页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.将一个底面半径为2，高为√5的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的 表面积为 13.某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没 有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直 接测得，有同学选取了与塔底O同一水平面内共线的三个点A,B,C, 且在点A,B,C处测得塔顶端P的仰角分别为45°，60°，45°，同时 测得AB=40m,BC=60m(如下图)，则塔的高度为m 第13题图 14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b+c)cosA+acosC=0,则角 A大小为 :若△ABC的外接圆半径为43，点D在边BC上，BD=2DC,AD=4, 则△ABC的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(体小题13分)已知a,,c是同一平面内的三个向量，其中a=1,-3) (1)若日=4，且c∥a,求c的坐标； (2)若同=1，且a+26与2a-6垂直，求a与的夹角6. 16.(本小题15分，非云校班做)如图，正三棱柱ABC-AB,C的所有棱长均为2，E为线 段B,C的中点，F为正方形ACCA对角线的交点， (1)求证：EF∥面B,AC; (2)求三棱锥C-B,AC的体积， 非云校班第16题图 16.(本小题15分，云校班做)已知函数f(x)=4sin ax+写引4>0，@>0)的部分图象如下图。 (1)求o的值； (2)求f(x)的单调增区间； 3)求/在区间[ 上的最大值和最小值. 云校班第16题图 17.(本小题15分)如图所示，OAB'C为四边形OABC的斜二测直观图，其中O'A'=3, O'C=1,B'C=2 （1)求平面四边形OABC的面积： (2)若四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. y浅 第17题图 18.(本小题17分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 V -sin Csin B+cosCsin B=sin A,b=3 3 (1)求角B: (2)若a+c=2V3,求边AC上的角平分线BD长： (3)若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围. 19.(本小题17分)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2√5，BC=2, AM=xAB(0<x<1),AN=yAC(0<y<1),设CM与BN交于点P,且CP=2PM. (1)求2y-3y的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“⊕”：ā⊕6=回sim9 (其中8是两非零向量ā 和万的夹角). (i)若M为AB的中点，求PB⊕PC的值； i)若办⊕BC=5,求x+y的值」 第19题图 (命题人：聂勇 审题人：陈华江) 重庆市两江中学校2025-2026学年高2028届高一（下）过程评估 根据正孩定理”心28a代入已知值：BC= 6. sin45° 2=3nmile, 数学详解及评分细则 √ 2 一、单选愿：本题共8小题，每小题5分，共40分. 6.【详解1因为元店=2S,所以bcos4=2 xbcsin4,则an4=1,因为4e(0,),所以4-牙， 1 2 2 3 B B C D D A 又sinC=2sinB,所以c=√2b,由a2=b2+c2-2bcco34,所以a=b,a2+b=c2, 之【详解】2=号=8品=0=2+4.所以：的患部为4 所以△BC为等腰直角三角形故选：D. 7.【详解】以A为原点、AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，设 3.【详解】因为AB∥CD,所以AEF∽CDF,则有 CD与y轴交于点M,因为∠BMD=120,AB=4,AD=2,CD=3,E,F 分别为BC,CD的中点，可得∠DAM=30,DM=I,M=√3，MC=2, 又因为DE=DA+A正，且DM=-6,正=。ā，所以DE=-b+a 所以4Q.c收同.8o,1同9位所以历-怎9，元-同 从断丽-5+时-多， 压元=2-5x5=子故选：D 2 4.(非云枚班)选B【详解】：对于选项若m∥a,a∥B,则mcB或m∥B, 8.【详解】设外接球圆心为O,平面ABCD截外接球所得圆圆心为Q.由题意正方休外接球的半径R=√5， 又因为m中B,所以m∥B,故A正确： 平面ABCD截外接球所得圆的半径为r=√互.0到Q的距离d=√3-2=1，则球缺的高h=万-1所以 对于选项B:若m∥a,m∥B,则a∥B或a与p相交， =6--6-小6， 例如在正方体ABCD-4RGD中，AB/1平面AB,GD·AB1I平面CCD,D, 二、多选题：每小题6分，全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分 9 10 11 显然平面4BGD与平面CCD,D相交，故B错误： ACD AD ACD 对于选项C若a∥B,且mca,由面面平行的性质可得m∥B, 2i2i(1i） 9.【详解】因为22i,所以2号阿4，所以4-《可+状=五，故A正确： 故C正确：对于选项D:若a∥B,且m与a相交，可得m与B相交，故D正确. 4.(云校班)选B. z=-1-i,故B错误：复平面内表示复数z的点的坐标为(1)，位于第二象限，故C正确： 5.【详解】设甲船初始位置为A,航行后位置为B,灯塔为C, 因为(-1+i+2(-1+i)+2=-2i-2+2i+2=0,所以复数z是方程2+2x+2-0的一个根，故D正确. 由题意∠CAB=45°+15°=60°， 3×(-1)*2k 航行后灯塔在B正西方，结合方位关系可得∠ACB=45°， 10.【详解】对于A,由向量a与6的夹角为纯角，得 解得k>6,A正确： a6=6-k<0 对于B,同=V3+k≥3，当且仅当k=0取到等号，B错误： 第1页，共4页 6 而∠AB0+∠CB0=180°，故cos∠AB0+cos∠CB0=0, 对于C,与B共钱的单位向量有两个，为± 所以3n2+2n2=4800+R+7200+2R,枚3h+2N=4800+2+720+22,故h=60(m). 对于D,同=3场，得、32+=322+(-订.解得k=6,D正确. 14.【详解】①因为(2b+c)cosA+acosC=0, 11.【详解】：在直三棱柱ABC-ABG中，A4=2,AB=BC=1,∠ABC=90, 由正弦定理，得(2sinB+sinC)cosA+sin AcosC=0即2 sin Bcos A+sin(A+C)=0 底面ABC和ABG是等腰直角三角形，侧面全是矩形， 因为A+B+C=π，所以sim(A+C)=si血B所以2 sin BcosA+sinB=0 所以其侧面积为1×2×2+VP+1×2=4+2N5,故4正确： 因为∈(0，)，所以cosA=-号所以A=2 2 3 直三棱柱的体积为P=Sc·4=亏×1×1×2=1，故B不正确： a ②因为△MBC的外接圆半径为45，A=2红. 3 由正弦定理，得2红-85，所以a=12 3 由BBI/平面4CC,且点E是侧棱BB上的一个动点，：三棱锥E-AMO的高 在△MBC中，由余弦定理，得b2+c2-2 bccos A=a2,所以b2+c2+bc=144 5w-x反x2=5 为定值巨， 1 1521 4 3226 故C正确： 因为D在边BC上，且BD=2DC,所以BD=8,DC=4. 将四边形BCC8沿BA翻折，使四边形ABAA与四边形BCCB位于同一平面内， 如图，过D作AB的平行线，交AC于点E. 88 连接4G与B8相交于点E,此时AE+EC最小，即AE+EC=AG=√A4(+A4C=2N反， 在ADE中，MD=4DE-,E-号6，∠MD=号由余放定里每 即AE+EC的最小值为2√反，故D正确.故选ACD, AD2=DE2+AE2-2DE·AE cos.∠AED,即42= 三、填空题：本题共3小题，每小愿5分，共15分.14题第一空2分，第二空3分 所以4b2+c2-2bc=144,又b2+c2+bc=144所以c=b=45 12 13 14 2 1 12π 60 0.5@125 数△MBC的面积为Sx=之bcs血A=×4W同x5-125. 2 2 2 12【详解】设实心铁球的半径为7，由题意可知2产×R×V5=子×心，得r= 四、解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) 故实心铁球的麦面积为S=4π2=12π，故答案为：12π 解：【详解】解：(1)设c=(3,y小，~月=4， 13.【详解】由题设∠PA0=45°，∠PB0=60°，∠PC0=45°，设P0=h,则 √F2+y=4.即xX2+y2=16.①…1分 OA=0C-么OB=5,在B0中，由余弦定理有0f=AB+08-2MB×0Bc0s∠AB0, 3 由c∥a,得y+√3x=0.②………3分 故P=160+-05cs0,用腰R-360+5_2054eas2C30. x=2 [x=-2, 或 3 3 解0②得{ y=-25"y=25. ……5分 第2页，共4页 c=么-25)成c=(-2,25 6分 17.(体小题15分).解：【小问1详解】把直观图还原为原平面图形，则四边形OABC是直角梯形， (2)(a+2)μ(2a-): 其中0A=0=3,OC=20C=2,BC=B'C=2,如图所示：…3分 ∴(a+2)2a-)=0,即282+306-262=08分 所以平面四边形0ABC的面积为2+)2.5…6分 2 又问=2-1，÷2×4+30-不-2x1=0.整理得a-b=-2……10分 【小问2详解】四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，旋转形成 的几何体是圆柱与圆锥的组合体，8分 ∴.cos0 丽 -1又8e[0,π0=π m13分 其中圆柱的底面半径方=2，高片=2，圆锥的底面半径为方=2，高么=1,9分 16.啡云校本小题15分)【详解】(1)F为正方形4CG人对角线的交点，即F为4G的中点，E为线 母线长1=0A-BC+0C2=5,…1分 段G的中点，在BMG中F为中位线， .2分 则旋转体的体银为7=时%+写%×2X2+与×x2-受，一一B分 可得FIA8,EFa面84C,8C面R4C,…5分 表面积为S=2+2m4+m,l=π×2+2×2×2+25m=(12+2V5)元 15分 由线面平行的判定定理可得F∥面岛4C:………7分 （2)△4G为等边三角形，且边长为2.可得S6-5x2=5…9分 1体小题17分)解：【小同1详解1由5 -sin Bsin C+sin Bcos C=sin A, 4 因为棱柱为正棱柱，则CG1面48G,…………11分 因为sinA=sim(B+C=sin BcosC+co5 BsinC,l分 a-w CCx ,15分 所以sin BsinC=5 cos Bsin C, 3分 3 16(云校本小题15分)【详解】(1)由图象可知，函数()的最大值为2，最小值为-2，所以4=2， 由s血C40.得mB=5,又0<B<,则B=号5分 因为号登音受所以。亭24分 【小同2详解】如图： 由余弦定理=a2+c2-2 accosB,因为b=5,B= …6分 2由可知/闭-2m2x+写引】 3 45分 令受2652x+学经2次e2,搬得-音+5xs径ke2,7分 所以(a+c小2-3ac=3,又a+c=25所以ac=3（或a=5,b=)7分 12 12 [合小e2:0分 由5rc=SMm+Sco,相acm背-2 ax BDxsin-cx8Dx 2 所以函数()的单调递增区间 62 6 m9分 整理得： 5 ac J5*33a…n…nna10分 )因为所以2+ 6 12分 a+e)*2 当2x+号-受即x-合时，函数/代因有最大值为2.…1B分 【小问3详解】因为E是边4C上的中线，则正=)(+8C, 当2x+号-0，即=-名时，函数/代问有最小值为015分 两动痕平，方配-+C-e2++2 accos到a+q-a] 第3页，共4页 由(2)已得(a+c2=3+3ac,代入可得8E_3+2ac n11分 4 由D知2g-3y=-1,则y-空甲P为6BC的氟6.6分 由正弦定理，n7产in Csin月“万2 2 建立如图所示的平面直角坐标系，则8Q,0,c,0,42),所以P作 则=2c-2c=2sn(号-小l2分 所烈m(子-2)元自2 8分 所以ac=4 sin Asin 4 =52*1-cos2=2am24-8}1,一 所以cos∠BPC 13分 P同同42万血Pc.a 4 33 因为△MBC为锐角三角形，则有 6 所以P丽©PC= P sinZBpC=33 PC 2万14710分 则<24-< .14分 ()建立与()相同的平面直角坐标系， 66 由正注函数的图象性质， 则8(0，)，C(2,0),40,25),所以c=(2,-25),西=(0，-25)8c=久0)， 15分 烈西=西--2，所烈亚-c+号-卡-2y5+2 ，-12分 做期2<c53,从霸正.0仔引 16分 则.c=d-2, 装地4C上的中线5的取值高卧为停引 …17分 所以P⊕BC= 园 AP.BC 19.体小题17分)解：【小同1详解】 示 2 四时而网 4 因为C乎=2PM,M=xB,N=yAC, …13分 所似不=+师=丽+证c=+c-）)…l分 网西兽 =c+号w-丽+号恋， 41 一4m5分 m3分 3y 3 因为0<x<1,所以x=子又因为20-3y-1 2 13 又8PN三盒类线所烈+号-1，厚2四--山5分 所以y-亏则x+y20 17分 【小同2详解】G①因为M为MB的中点，所以x=2 第4页，共4页