第三章圆锥曲线的方程 单元试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线单元卷，覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，题型多样，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|渐近线、椭圆焦点三角形、抛物线定义等|基础概念辨析，考查数学抽象能力| |多选题|3|椭圆性质比较、抛物线焦点弦、双曲线几何性质|多角度辨析，培养推理意识| |填空题|3|椭圆方程、直线与双曲线位置关系、抛物线焦点弦|情境简洁，检测运算能力| |解答题|5|直线与抛物线位置关系、椭圆标准方程、双曲线面积等|综合应用，发展模型观念与创新意识|

高中数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D C C A B C BD BCD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据渐近线的求法可直接求解. 【详解】令双曲线方程等号右侧的1变为0，可得双曲线的渐近线方程为， 又直线是双曲线的一条渐近线，所以，解得． 故选：D. 2．A 【分析】由椭圆的定义得，结合余弦定理即可求解． 【详解】不妨令分别为椭圆的左、右焦点，如图． 由题意． 在中，由余弦定理得， ， 即，所以． 故选：A. 3．D 【分析】由题意得直线为，由点线距离、椭圆焦点三角形周长列方程，结合椭圆参数关系求参数值，即可得. 【详解】由题意，，，则直线的方程为，即，    所以点到直线的距离①． 由的周长为16，得，即②． 联立①②，解得③． 因为，所以④． 联立②④，解得，，所以． 故选：D 4．C 【分析】利用为等腰直角三角形求出，再由求出可得答案. 【详解】由题设知，，结合， 可知为等腰直角三角形， 所以，故， 所以，解得，所以的长轴长为． 故选：C. 5．C 【分析】由抛物线定义及得，进而将点代入抛物线方程即可得. 【详解】由抛物线的定义，知，又，， 所以，即， 由点在上，得， 结合，解得. 故选：C 6．A 【分析】由题可得动点的轨迹是椭圆，即可求出动点的轨迹方程. 【详解】由题设知，所以动点的轨迹是椭圆，且焦点在轴上， 设椭圆方程为，则，， 所以，，故所求轨迹方程为. 故选：A 7．B 【分析】先求出抛物线方程为：，再与直线联立，由根与系数的关系进行求解． 【详解】直线与轴的交点为， 又经过的焦点，故焦点，可得， 即抛物线：，准线为． 由， 可得，则， 所以，线段中点的横坐标为3， 则线段的中点到准线的距离为． 故选：B 8．C 【分析】分焦点在轴上或轴上，两种情况，结合椭圆性质讨论求解即可. 【详解】因为焦距为8，所以，即． 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，椭圆不存在，舍去； 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，，所以，椭圆存在， 故椭圆的焦点在轴上，标准方程为． 故选：C 9．BD 【分析】写出椭圆的标准形式，逐项分析即得. 【详解】设椭圆，，，则； 设椭圆，，，则. A（×）椭圆的焦点分别在轴上. B（√）的离心率，的离心率. C（×）椭圆的顶点为，，椭圆的顶点为，. D（√）两椭圆都关于轴对称，关于原点中心对称，即它们有相同的对称轴和对称中心. 故选：BD 10．BCD 【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的焦点弦公式可判断B，由抛物线的定义计算圆心到直线的距离等于半径可判断C和D. 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误． 对于B，设点，由抛物线的定义可得， 可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B正确． 对于C，因的中点为  该点到轴的距离为， 故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确． 对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，即D正确． 故选：BCD. 11．ABD 【分析】根据双曲线标准方程，结合题给双曲线方程得出的值，代入各 选项逐一进行判断. 【详解】由双曲线可知： ， 由双曲线的方程可知其虚轴长为，故A对. 离心率，故B对. 令，即双曲线的渐近线方程为，故C错. 因为，所以双曲线的焦点坐标为，故D对. 故选：ABD. 12． 【分析】根据已知及椭圆性质有，结合椭圆参数关系求参数，即可得方程. 【详解】椭圆上的点到左焦点距离的最大值为，最小值为， 联立，解得，，根据，得， 则椭圆方程是. 故答案为： 13．2 【分析】结合双曲线的顶点和渐近线及点位置，画出对应图形即可得. 【详解】由双曲线方程知：右顶点为，渐近线为，点在双曲线的外部， 如下图所示，    所以，过点的直线与渐近线平行与双曲线有且只有一个交点. 故共有两条直线满足要求. 故答案为：2 14． 【分析】延长与准线相交，利用抛物线的定义以及相似比即可求出. 【详解】如图，设直线与准线交于点，分别过点作准线的垂线，垂足为，且准线与轴的交点为， 则由抛物线的定义可知，，， 则，即，得， 又，则，得. 故答案为： 15．(1) 由题可设直线l的方程为（）， 与抛物线方程联立得 消去y可得， 其中， 由根与系数的关系得，即为定值． (2) 因为，，所以． 又因为，所以． 设，的斜率分别为，， 则，，有，则． 【分析】（1）设直线：，代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得为定值. （2）根据（1）的结论，通过求证得. 【详解】（1）略 （2）略 16． 【分析】由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程. 【详解】 设椭圆的焦距， 所以的周长为， 即.又椭圆的离心率为，所以， 所以，所以，所以， 所以的标准方程为. 17．(1) (2)． 【分析】（1）根据椭圆经过的点的坐标求出椭圆方程即可. （2）根据已知条件确定是直角三角形，然后求得外接圆半径和圆心坐标，即可求出圆的方程. 【详解】（1）因为直线过点和， 所以且，则， 所以所求椭圆的方程为． （2）如图，若点在椭圆上，根据椭圆的定义，可得． 因为，所以， 又因为，所以，则，即是直角三角形．    所以的外接圆圆心为，半径， 所以外接圆方程为． 18．(1)； (2). 【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. （2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 19． 【分析】设，联立直线方程与椭圆方程，可求得的中点的坐标，利用弦长可求得，利用斜率可得，求解即可. 【详解】由方程组，得． 设，则． 所以 ． 所以．① 又的中点为，即，， 所以．② 由①，②解得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 一、单选题 1．直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．18 2．已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为，延长交椭圆于点．若点到直线的距离为，的周长为16，则椭圆的焦距为（    ） A．3 B．2 C．5 D．4 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的长轴长为（    ） A． B． C．8 D．4 5．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 二、多选题 9．已知两椭圆和，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有完全相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 10．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 11．已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的虚轴长为6 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．的焦点坐标为 三、填空题 12．已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是______． 13．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有______条． 14．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则__________. 四、解答题 15．如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点． (1)求证：为定值； (2)求证：． 16． 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上的动点，的周长为6.求的标准方程. 17．已知直线同时过椭圆的右焦点和上顶点． (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且，求外接圆的方程． 18．已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 19．椭圆与直线相交于两点，若，且的中点与椭圆中心连线的斜率为，求的值． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $