26.3 二次函数与一元二次方程 同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习聚焦二次函数与一元二次方程关联，通过基础巩固、能力提升、拓展探究三层设计，实现从单一知识点到综合应用的进阶，适配新授课知识内化与思维发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|求交点坐标、判断根的情况等基础考点|单选1-5、填空11-12直接应用概念，强化基础认知，培养几何直观| |提升层|函数与方程综合、对称性应用|单选6-8、填空13-14结合图表分析，培养推理意识与运算能力| |拓展层|探究性问题、综合解答|单选9-10、填空15、解答16-20通过情境化问题解决，发展创新意识与模型观念|

26.3 二次函数与一元二次方程 同步练习2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A． 有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 B． C．没有实数根 D．无法准确判断 2．抛物线与y轴的交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 3．抛物线与轴的左侧交点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 6．已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 8．对抛物线而言，下列结论正确的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．与轴的交点坐标是 D．与轴有两个交点 9．二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为（    ） A． B．， C．， D．， 10．若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 二、填空题 11．已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是______．（请用含字母m的代数式表示） 12．若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则抛物线的“弦长”为___________． 13．已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是______． 14．已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是_______． x … 0 3 8 … y … 2 2 … 15．如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______．    三、解答题 16．抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求的长． 17．已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式，并判断点是否在该抛物线上． (2)若点在该抛物线上，求m的值． 18．在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴，轴的交点分别为和． (1)求此二次函数的表达式； (2)用配方法将其化为的形式； (3)直接写出当时，的取值范围． 20．九年级“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中，______； (2)根据表中数据，在如图的平面直角坐标系中描点．并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)进一步观察探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②方程有______个实数根； ③关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B B C B B D A 1．【答案】C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程根的关系，熟练掌握“二次函数图像与轴的交点个数对应一元二次方程实数根的个数”是解题的关键． 根据二次函数图像与轴的交点个数，判断对应的一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵ 二次函数的图像与轴没有交点， ∴ 关于的一元二次方程没有实数根， 故选：C． 2．【答案】A 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】此题考查了二次函数与坐标轴的交点，解题的关键掌握与与y轴交点，横坐标为0． 将代入抛物线，求得即可． 【详解】解：将代入抛物线得，， 即与y轴交点的坐标是， 故选：A． 3．【答案】D 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，在中，令，则，解得：，，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，令，则， 解得：，， 抛物线与轴的左侧交点坐标是， 故选：D． 4．【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数的图象、韦达定理，熟练掌握二次函数图象是解题的关键． 根据二次函数的图象得到，结合一元二次方程根与系数的关系，进行逐项判断即可． 【详解】解： 根据图象可得，该二次函数图象开口向下，交轴于正半轴， 则、 由于对称轴在轴右侧， 则，即 因此①错误， 当时，，即， 则， 因此②说法错误； 根据题意得，二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是， 则令得，， 此时该一元二次方程的解，， 由韦达定理得，， 则 因此选项③④说法正确； 综上所述，正确的有个， 故选：B． 5．【答案】B 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 6．【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， 则， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 7．【答案】B 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．本题考查二次函数与不等式（组，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知， 当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， 即， ∴不等式的解集为：． 故选：B． 8．【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴开口向下，顶点坐标是， 当时，，则与y轴的交点坐标是， ∵， ∴抛物线与轴没有交点， 综上，只有B选项正确，符合题意． 故选：B． 9．【答案】D 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】根据二次函数图象的对称性结合题意，可知该二次函数的图象必经过点(3，-1)，即可直接得出的解为，． 【详解】∵二次函数的图象经过点(1，-1)，且图象对称轴为直线x=2， ∴该二次函数的图象必经过点(3，-1)． ∴的解为，． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象的对称性，一元二次方程和二次函数的关系．根据二次函数图象的对称性求出该二次函数必经过的另一个点的坐标是解答本题的关键． 10．【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，先由点在抛物线上得，再将其代入不等式，再根据，得出解集即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴或， 故选：A． 11．【答案】 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】因为二次函数的图象的顶点的横坐标是1， 所以抛物线对称轴所在直线为，交x轴于点C， 所以B，C两点关于对称轴对称， 因为点，且点B在点C的左侧， 所以， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的两点间距离的求法，解题的关键是掌握二次函数的对称性． 12．【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了求抛物线与x轴的交点坐标 通过求解一元二次方程得到抛物线与x轴的交点坐标，再计算两点之间的距离． 【详解】解：令，得方程， 因式分解得， 解得，， 即抛物线与x轴的交点为和， ∴弦长为：． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意得到二次函数的对称轴为直线，再由当时，函数值；当时，，可得，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，然后分两种情况：若点，均在对称轴的右侧，若点，均在对称轴的两侧，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线， ∴横坐标为5关于对称轴的对称点的横坐标为1， ∵当时，函数值；当时，， ∴，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 若点，均在对称轴的右侧， 此时， ∵抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1， ∴当时，， ∴，即， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 即， 此时； 若点，均在对称轴的两侧，则 ， 即； 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 14．【答案】或5 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、函数的三种表示方法、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题主要考查求二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等知识点，从列表中获取信息是解题的关键． 根据列表可知抛物线经过和对称轴，进而求得c，则，即，当时对应的x值，然后根据列表即可解答． 【详解】解：根据列表可知：当时，；当时，；当时，， ∴二次函数的解析式为，对称轴为， ∵， ∴， 由列表可得：当时，． ∵抛物线的对称轴为， ∴当时，． ∴关于x的方程的解是或5． 故答案为：或5． 15．【答案】或 【知识点】二次函数图象的平移、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度，平移后抛物线的解析式为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【详解】解：， 将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度， 平移后抛物线的解析式为，     当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 16．【答案】(1) (2) 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和平面直角坐标系中两点间距离的计算，代入已知点求函数系数、利用勾股定理计算线段长度是解题的关键． （1）将已知点其代入抛物线解析式，解方程求出未知系数，即可确定解析式； （2）先通过求出点坐标，再通过解一元二次方程求出点坐标，最后利用勾股定理（是直角三角形）即可计算的长度． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）将代入，得， ∴点， ∴， 令，得，解得，， ∴点， ∴， ∴． 17．【答案】(1)，在 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值，注意计算的准确性即可． （1）将点代入抛物线即可求得解析式，将点 代入抛物线即可判断点是否在抛物线上； （2）求解方程即可； 【详解】（1）解：将点代入抛物线中得：， 所以抛物线的函数表达式为：， 将点 代入抛物线中得：， ∴点在该抛物线上； （2）解：将点代入抛物线中得： ， 解得：. 18．【答案】 图象如图所示： 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的性质，先列表，然后描点，再连线，画出函数图象，由 得 ，画出直线即可． 【详解】解: 抛物线 的顶点坐标是(1,-4), 对称轴是直线x = 1. 列表： x ··· 0 1 2 3 y 0 0 由 得 所以直线 与抛物线 的两个交点A，B即为所求，如图． 19．【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把二次函数化为顶点式即可； （3）利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴，轴的交点分别为和， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：； （3）解： 当时，即， 解得或， ∵， ∴当时，或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，把二次函数化为顶点式，根据交点求不等式的解集等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 20．【答案】(1)0 (2)见解析 (3)①3，3；②2；③ 【知识点】用描点法画函数图象、求自变量的值或函数值、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，关键是对函数图象的认识和函数性质的掌握． （1）把代入，即可解得答案； （2）由列表，描点，连线，即可得出函数图象； （3）①观察图象即可解答； ②方程的根为函数与的交点的个数，观察图象，即可得出答案； ③方程的根为函数与的交点的个数，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入函数解析式可得：， 所以． 故答案为：0； （2）解：如图所示： （3）解：①由函数图象知，函数图象与轴有3个交点， 所以方程有3个实数根； ②如图： 函数图象与直线有2个交点， 所以有2个实数根； ③由函数图象可知，关于的方程有4个实数根， 则直线在直线和轴之间， 所以． 故答案为：①3，3；②2；③． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $