4.6.1 线段垂直平分线的性质和判定 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“线段垂直平分线的性质和判定”，系统梳理定义、性质定理、判定定理及重要结论，通过折叠观察、测量探究等活动导入，结合轴对称知识形成学习支架，帮助学生构建从直观感知到逻辑推理的知识脉络。 其亮点在于以探究发现为核心，通过测量点到线段两端距离培养几何直观（数学眼光），借助性质与判定的互逆证明发展推理能力（数学思维），结合购物中心选址等生活问题体现模型意识（数学语言）。题型分层且含中考题，学生能深化理解，教师可高效开展分层教学。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第4章 三角形 4.6.1线段垂直平分线的性质和判定 2026年8月8日 4.6.1 线段垂直平分线的性质和判定 同步练习题（八年级数学·湘教版） 本套习题适配湘教版八年级上册4.6.1线段垂直平分线的性质与判定，精准围绕垂直平分线定义、核心性质、判定定理、几何计算与证明展开，覆盖考试高频考点与易错点，题型由基础辨析、计算到综合证明层层递进，适配课堂训练、课后巩固与单元检测。 一、核心知识梳理 1. 线段垂直平分线的定义 垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。线段的垂直平分线是这条线段的对称轴。 2. 线段垂直平分线的性质定理（必考） 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：若直线l垂直平分AB，点P在直线l上，则PA=PB。 用途：快速证线段相等，无需再证全等，简化解题步骤。 3. 线段垂直平分线的判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若PA=PB，则点P在AB的垂直平分线上。 用途：证明点在垂直平分线上、证明直线是线段的垂直平分线。 4. 重要结论 ① 线段的垂直平分线上有无数个点，所有点到线段两端距离都相等； ② 若两点到线段两端距离分别相等，则过这两点的直线就是该线段的垂直平分线； ③ 三角形任意两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等。 5. 易错区分 性质：点在垂直平分线上 → 距离相等 判定：距离相等 → 点在垂直平分线上 二、选择题（每题4分，共20分） 1. 线段垂直平分线上的点到线段两端的（）相等 A. 长度 B. 距离 C. 角度 D. 周长 2. 已知直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，若PA=5，则PB的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 3. 若点P满足PA=PB，则可以判定（） A. 点P在线段AB上 B. 点P在AB的垂直平分线上 C. P是AB的中点 D. PA⊥PB 4. 下列说法正确的是（） A. 到线段两端距离相等的线段是垂直平分线 B. 垂直于线段的直线就是垂直平分线 C. 平分线段的直线就是垂直平分线 D. 垂直且平分线段的直线是线段的垂直平分线 5. 三角形两边垂直平分线的交点到三角形（）的距离相等 A. 三边 B. 三顶点 C. 三条高 D. 三条中线 三、填空题（每题4分，共20分） 6. 线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的________相等。 7. 判定定理：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的________上。 8. 若直线MN垂直平分AB，则________=________。（点M、N在直线上任意一点） 9. 线段的垂直平分线既________线段，又________线段。 10. 性质与判定互为________定理。 四、解答题（共60分） 11. 基础计算题（每题10分，共30分） （1）已知直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，PB=8cm，求PA的长。 （2）已知点P在AB的垂直平分线上，PA=2x+1，PB=5，求x的值。 （3）如图，△ABC中，DE垂直平分AB，若AC=8，BC=5，求△BCE的周长。 12. 基础证明题（15分） 已知：直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上。求证：PA=PB。 13. 综合证明题（15分） 已知：AC=BC，AD=BD。求证：直线CD垂直平分线段AB。 参考答案及详细解析 一、选择题 1. B 解析：线段垂直平分线核心性质：点到线段两端距离相等。 2. C 解析：由性质定理，PA=PB=5。 3. B 解析：距离相等可判定点在垂直平分线上，不一定在线段上、不一定是中点。 4. D 解析：垂直平分线必须同时满足垂直、平分两个条件，缺一不可。 5. B 解析：两边垂直平分线交点到三个顶点距离相等。 二、填空题 6. 距离 7. 垂直平分线 8. MA；MB（或NA；NB） 9. 垂直；平分 10. 逆 三、解答题 11.（1）解：∵直线l垂直平分AB，点P在l上，∴PA=PB=8cm。 （2）解：∵点P在AB垂直平分线上，∴PA=PB，即2x+1=5，解得x=2。 （3）解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE。△BCE周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=8+5=13。 12. 证明：设直线l交AB于点O。∵l垂直平分AB，∴AO=BO，PO⊥AB，∴∠POA=∠POB=90°。在△POA和△POB中，AO=BO，∠POA=∠POB，PO=PO，∴△POA≌△POB（SAS），∴PA=PB。 13. 证明：∵AC=BC，∴点C在AB的垂直平分线上。∵AD=BD，∴点D在AB的垂直平分线上。两点确定一条直线，∴直线CD是线段AB的垂直平分线，即CD垂直平分AB。 核心知识点总结：本节两大核心：①性质（线上点→距离相等）用于快速求边长、证线段相等；②判定（距离相等→点在线上）用于证垂直平分线。解题口诀：线上点，距相等；距相等，在线上。常考模型：垂直平分线求周长、两点定垂直平分线，是几何简化证明的必备工具。 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 观察：已知点 P 与点 P′ 关于直线 l 对称，如果将线段 PP′ 沿直线 l 折叠，那么点 P 与点 P′ 重合，PD = P′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线 l 既平分线段 PP′，又垂直于线段 PP′. l D 2 1 (P′) 线段垂直平分线的性质 1 P P′ 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.(或中垂线) 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 知识要点 l P P′ 直线 l 就是线段 PP' 的垂直平分线. 知识点1 线段垂直平分线的性质定理 1.如图，已知是线段的垂直平分线，是 上的一点，若 ，则 的长为______. （第1题） 返回 举一反三 5 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 探究发现 P A B D l 于是∠ADP =∠BDP = 90°. 在△PAD 和△PBD 中， 设 D 是线段 AB 的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点 D 在直线 l 上，并且 PD⊥AB， 所以△PAD≌△PBD (边角边). 因此 PA＝PB. AD＝BD， ∠ADP＝∠BDP， PD＝PD， 当点 P 在线段 AB 上时， 结论还成立吗? 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 知识要点 （第2题） 2.［2024镇江中考］如图，的边 的垂 直平分线交于点，连接.若 ， ，则 ___. 3 返回 举一反三 9 （第3题） 3.如图，垂直平分线段于点， 垂直平分 线段于点，若，则 ___. 8 返回 举一反三 10 例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm C A B C D E 典例精析 解析：∵ DE 垂直平分 AB，∴ AD＝BD. 又∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋DC ＝ 35 cm， ∴ BC＋AD＋DC＝ 35 cm. ∵ AC＝AD＋DC＝20 cm， ∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的转化，从而求出未知线段的长． A B C D E 说一说：线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么? 线段垂直平分线的判定 2 条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论是：这个点到这条线段两端的距离相等. 它的逆命题是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 这个逆命题是真命题吗? 下面来证明上述逆命题是真命题， 如图，当点 M 不在线段 AB 上时，连接 MA， MB，由于 MA = MB，则△MAB 是等腰三角形. 取 AB 的中点 D，连接 MD，则 MD 是△MAB 的底边 AB 上的中线，也是 AB 上的高线. M A B D 因此，直线 MD 是线段 AB 的垂直平分线，从而点 M 在线段 AB 的垂直平分线上. 当点 M 在线段 AB 上时，则 M 就是 AB 的中点，因而点 M 在 AB 的垂直平分线上. 推理论证 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： 因为 PA = PB， 所以点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 知识要点 （第4题） 4.［2025淮北期末］如图，线段与线段 互相 垂直平分，相交于点，若 ， _____. 返回 举一反三 16 5.［2025洛阳期末］如图，在中， 的垂 直平分线交于点，垂足为点，平分 ， 若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 17 例2 如图，在△ABC 中，AB，BC 的垂直平分线相交于点 O，连接 OA，OB，OC. 求证：点 O 在 AC 的垂直平分线上. 证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上， 所以OA = OB(线段垂直平分线的性质定理). 同理 OB = OC. 于是OA = OC. 所以点 O 在 AC 的垂直平分线上 (线段垂直平分线的性质定理的逆定理). 结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 现在你能想到方法确定导入里购物中心的位置，使它到三个小区的距离相等吗？ 6.如图，在中，边的垂直平分线 交于点，边的垂直平分线交 于点 ，已知的周长为，求 的长. 解：因为是的垂直平分线，是 的垂直平分线，所以 ， . 因为的周长为 ， 所以 ， 所以，即 . 返回 举一反三 19 知识点2 线段垂直平分线性质定理的逆定理 7.［教材P练习T变式］如图，四边形 中， ， ，我们把这种两组邻边分别相等的 四边形叫作“筝形”，根据所学知识，下列选项中正确的 一项是( ) C A.与互相垂直平分 B.垂直平分 C.垂直平分 D. 平分一组对角 返回 举一反三 20 8.［教材例1变式］如图，在中， ， 的垂直平分线，相交于点.求证：点在 的垂直平分线上. 证明：连接，， . 因为是的垂直平分线，所以 . 因为是 的垂直平分线， 所以，所以 . 所以点在 的垂直平分线上. 返回 举一反三 21 9. 如图，在足球场内，，， 表示三个足球运动员， 为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员 的距离相等，则足球应放置在( ) C A.， 两边高线的交点处 B.， 两边中线的交点处 C.， 两边垂直平分线的交点处 D.， 两内角平分线的交点处 返回 举一反三 22 （第10题） 10.［2025武汉江汉区期末］如图，为 内一点，过点的线段分别交， 于点 ，，且，分别在， 的中垂线上. 若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 23 11.如图，在中，边，的垂直平分线交于点 ，若 ，则 _____. （第11题） 返回 举一反三 24 12.如图，已知， ，垂足分别为 ，，与交于点，， 是 的中点，连接 .求证： （1） ； 证明：因为，,所以 . 在与中， 所以.所以 . 举一反三 25 （2）线段所在的直线是线段 的垂直平分线. [答案] 在与中， 所以.所以 . 所以点在线段的垂直平分线上，因为是的中点，所以点 在线 段的垂直平分线上.所以线段所在的直线是线段 的垂直平分线. 返回 举一反三 26 13. 如图，已知锐角三角形 中， 边，的垂直平分线和交于点，点 ， 分别在,上， . （1）求证：点在 的垂直平分线上. 证明：连接，因为是 的垂直平分线， 所以.同理可得 . 所以.所以点在 的垂直平分线上. 举一反三 27 （2）求 的度数. 解：由（1）得 ， 所以， . 所以 ，所以 . 举一反三 28 （3）若 ，求 的度数. 解：由（1）得，所以 . 由（2）知 , 所以 . 所以 . （4）试判断 是否为定值？若是，请直接写出该定值；若 不是，请说明理由. 解：是定值，定值为 . 返回 举一反三 29 线段的垂直平分线的性质和判定 性质 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 课堂小结 谢谢观看 THANKS $