4.5.3等边三角形的性质和判定 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等边三角形的定义、性质（三边相等、三角60°、三线合一、轴对称）及判定（三边等、三角等、等腰+60°），通过类比等腰三角形设置问题导入，衔接旧知构建从一般到特殊的知识支架。 其亮点是类比探究培养几何直观（数学眼光），推理证明发展推理意识（数学思维），口诀与规范几何语言提升表达（数学语言）。如例2用平行线证等边，例3结合全等，助力学生夯实基础，教师可高效教学。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 4.5.3等边三角形的性质和判定 第4章 三角形 湘教版数学八年级下册4.5.3 等边三角形的性质和判定同步讲义与练习 本节核心考点：掌握等边三角形的定义、专属性质与三种判定方法，理清等腰三角形与等边三角形的从属关系，熟练进行角度计算与几何证明，掌握含60°等腰三角形必为等边的核心结论，是几何基础题型与综合大题高频考点。 一、核心知识点精讲 1. 等边三角形的定义 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。 从属关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，拥有等腰三角形的一切性质，同时具备自身独有的特殊性质。 2. 等边三角形的性质（必考） 性质1：三边相等 若△ABC是等边三角形，则AB=BC=AC。 性质2：三角相等且均为60°（核心） 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 几何语言：∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A=∠B=∠C=60°。 性质3：超强三线合一 等边三角形每条边上的中线、高线、对角平分线都互相重合，三条线全部重合统一，比等腰三角形三线合一更全面。 性质4：轴对称性 等边三角形是轴对称图形，共有3条对称轴（每条边上的高/中线/角平分线所在直线）。 3. 等边三角形三大判定定理（全覆盖） 判定一：定义法（边判定） 三条边都相等的三角形是等边三角形。 判定二：角判定 三个角都相等的三角形是等边三角形（三角均为60°）。 判定三：边角混合判定（最高频、秒杀结论） 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 核心解读：只要三角形满足「等腰+一个60°角」，直接判定等边，无需推导其余角度。 4. 等腰与等边三角形性质、判定对比 1. 等腰：两边等、两角等，对称轴1条，角度不一定60°； 2. 等边：三边等、三角均60°，对称轴3条，是特殊等腰； 3. 判定区别：等腰看两边/两角相等；等边看三边、三角、等腰+60°。 5. 解题万能突破口 1. 题干出现60°+等腰 → 直接秒判等边三角形； 2. 等边三角形所有边角均相等，可随意转化边、角条件； 3. 等边三角形内角固定60°，是角度计算、全等证明的隐藏条件。 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 等边三角形的每个内角的度数是（） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 2. 下列关于等边三角形说法正确的是（） A. 只有两条边相等 B. 只有一个角是60° C. 有3条对称轴 D. 不是等腰三角形 3. 能判定一个三角形为等边三角形的是（） A. 两个角相等 B. 有一个角为60°的等腰三角形 C. 一条边相等 D. 一个角为60°的直角三角形 4. 等边三角形的对称轴数量是（） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 5. 下列说法错误的是（） A. 等边三角形一定是等腰三角形 B. 等腰三角形一定是等边三角形 C. 三角相等的三角形是等边三角形 D. 三边相等的三角形是等边三角形 6. 等腰三角形中，顶角为60°，则该三角形是（） A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 普通等腰三角形 D. 无法判断 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 等边三角形的三个内角都等于________°。 8. ________是特殊的等腰三角形。 9. 有一个角是________°的等腰三角形是等边三角形。 10. 等边三角形有________条对称轴，每条对称轴都满足________合一。 11. 三个角都________的三角形是等边三角形。 12. 等边三角形三边________，三角________。 四、解答题（共52分） 13.（16分）基础证明： 已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形。 14.（18分）性质应用计算： 已知△ABC是等边三角形，D为BC边上一点，求∠A、∠B、∠C的度数，并说明理由。 15.（18分）综合判定证明： 已知：△ABC中，AB=BC，∠B=60°，求证：△ABC为等边三角形。 五、参考答案与详细解析 一、选择题 1.B（等边三角形三内角均为60°）； 2.C（等边三角形3条对称轴，属于特殊等腰三角形，三边三角均相等）； 3.B（60°的等腰三角形必为等边三角形，核心判定定理）； 4.C（三条对称轴，对应三条边上的三线合一线）； 5.B（等腰三角形不一定是等边三角形，等边一定是等腰）； 6.B（等腰+60°顶角，直接判定等边三角形）。 二、填空题 7. 60 8. 等边三角形 9. 60 10. 3；三线 11. 相等 12. 相等；相等 三、解答题 13. 证明： ∵ AB=AC（已知），∴ △ABC是等腰三角形。 又∵ ∠A=60°（已知） ∴ △ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。 14. 解： ∵ △ABC是等边三角形（已知） ∴ ∠A=∠B=∠C=60°（等边三角形的三个内角都等于60°）。 答：三个内角均为60°。 15. 证明： ∵ AB=BC（已知），∴ △ABC是等腰三角形。 ∵ ∠B=60°（已知） ∴ △ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。 本节易错必记（高频扣分点） 1. 核心从属关系：等边⊂等腰，等边一定等腰，等腰不一定等边； 2. 判定等边最快结论：等腰+60°=等边，无需多余计算； 3. 等腰1条对称轴，等边3条对称轴，做题极易混淆； 4. 等边三角形三线合一适用于三条边、三个角，区别于普通等腰； 5. 三个角相等必然都是60°，可直接判定等边三角形。 本节核心背诵口诀 三边相等等边形，三角六十要记清； 等腰若带六十度，直接判定等边形； 三线合一三边占，三条对称轴分明； 等边属于等腰类，等腰未必是等边。 等腰、等边三角形终极汇总 等腰三角形：两边等、两角等，1条对称轴，局部三线合一； 等边三角形：三边等、三角60°，3条对称轴，全面三线合一； 秒杀判定：两边等→等腰；等腰+60°→等边；三边等/三角等→等边。 学习目标 1.探索等边三角形的性质和判定； 2.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明. 3. 学习目标 类比探究 A B C A B C 问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 等腰三角形 AB = AC ∠B =∠C 等边三角形 AB = AC = BC AB = AC ∠B =∠C AC = BC ∠A =∠B 1 等边三角形的性质 等边三角形的性质定理：等边三角形的各角等于 60°. A B C 推理证明 如图，△ABC 是等边三角形，则 AB = AC = BC. 由于 AB＝AC，则根据等腰三角形的性质定理得， ∠B＝∠C. 同理，由于AC＝BC，因此∠A＝∠B， 从而∠A＝∠B＝∠C. 根据三角形内角和定理得， ∠A+∠B+∠C＝180°， 因此∠A＝∠B＝∠C＝60°. A B C A B C 问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？ 结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”. 顶角的平分线、底边上的高、 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 图形 等腰三角形 性 质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 3 条对称轴 等边三角形 1 条对称轴 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 且都是 60° 两条边相等 三条边都相等 知识要点 三个角都相等， 例1 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接 BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED 的度数． 解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵ BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°. ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. A B C D E 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质等知识求解. 方法总结 2 等边三角形的判定 说一说 由上可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？ 逆命题成立. 如图，在△ABC 中，由于∠A =∠B，则 AC = BC. 同理可由∠B =∠C 得 AB = AC. 于是AB = AC = BC. 因此△ABC 是等边三角形. A B C 等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 知识要点 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形吗? 思考 如图，在△ABC 中，AB＝AC. 情形1 设∠A＝60°. 根据三角形内角和定理得 ∠B+∠C＝180°－∠A=180°－60°＝120°. 由于AB＝AC，因此∠B＝∠C＝60° 于是△ABC 是等边三角形. 情形2 设∠B＝60°. 由于AB＝AC，因此∠C＝∠B＝60°， 从而∠A＝180°－∠B－∠C=180°－60°－60°＝60° 因此△ABC 是等边三角形. A B C 情形3 设∠C＝60°. 与情形2 类似， 同理可证△ABC 是等边三角形. A B C 等边三角形的判定定理2： 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 例2 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 例3 等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论． 解：△APQ 为等边三角形．证明如下： ∵△ABC 为等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°. ∵ BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ (SAS). ∴ AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ. ∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°. ∴△APQ 是等边三角形. B C Q A P 方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等 (或两个内角等于 60°)；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于 60°. 方法总结 1. 如图，直线 ，等边 三角形的两个顶点， 分别落在直 线，上，若 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 16 105° 考试考法 返回 考试考法 3．如图，已知等边三角形ABC的高为7 cm，P为△ABC内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则PD＋PE＋PF＝________. 考试考法 19 返回 考试考法 4．如图，在等边三角形ABC的边AC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BD，AE.求证： (1)△BCD≌△ACE； 【解】因为△ABC和△CDE都是等边三角形，所以BC＝AC，DC＝EC，∠BCD＝∠DCE＝60°.所以△BCD≌△ACE(SAS)． 考试考法 21 返回 (2)∠ABD＝∠AED. 【证明】因为△BCD≌△ACE，所以∠BDC＝∠AEC. 因为∠BDC＝∠BAC＋∠ABD，∠AEC＝∠DEC＋∠AED， 所以∠BAC＋∠ABD＝∠DEC＋∠AED. 因为△ABC和△CDE都是等边三角形， 所以∠BAC＝∠DEC＝60°，所以∠ABD＝∠AED. 考试考法 22 5.将含 角的直角三角板和直尺按如图 所示的方式放置，已知 ，点 ，表示的刻度分别为， ，则 线段的长为(　　) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm A 考试考法 23 6.如图，已知等边三角形的高为,为 内一 点，于点,于点,于点 ,则 ______. 2.5 考试考法 24 7. 如图，在等边三角形中， ,点 在上，且,点是 上一动点， 连接,将线段绕点逆时针旋转 得 到线段,若使点恰好落在 上，则线段 的长是________． 6 【点拨】如图，点D恰好落在BC上．因为△ABC是等边三角形，所以∠A＝∠C＝60°，所以∠COD＋∠ODC＝180°－∠C＝120°.因为将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD， 考试考法 25 等边 三角形 定义 底 = 腰 特殊性 性质 特殊性 边 三边相等 角 三个角都等于 60° 轴对称性 轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质 判定 特殊性 三边法 三角法 等腰三角形+60°角 课堂小结 2．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，连接CE并延长，交AB于点F，则∠AFE的度数为________． 【点拨】因为△ABC是等边三角形，所以∠B＝60°.因为AD是BC边上的中线，所以AD⊥BC，BD＝CD＝BC，所以∠CDE＝90°.因为DE＝BC，所以DE＝DC，所以∠DEC＝∠DCE＝45°，所以∠AFE＝∠B＋∠DCE＝105°. 【点拨】连接PA，PB，PC，作AB边上的高CG，如图所示，则CG＝7 cm.因为S△ABP＋S△BCP＋S△ACP＝S△ABC，所以AB·PD＋BC·PF＋AC·PE＝AB·CG.因为△ABC是等边三角形， 所以AB＝BC＝AC，所以AB(PE＋PF＋PD)＝AB·CG，所以PD＋PE＋PF＝CG＝7 cm. $