4.3.5 全等三角形的应用 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦全等三角形的应用，通过测量池塘距离、河宽等实际问题导入，衔接全等三角形判定与性质，以核心知识梳理和通用解题步骤为支架，帮助学生构建从理论到应用的知识脉络。 其亮点在于结合生活情境（如测量河宽、零件质检）和方案辨析，培养学生用数学眼光观察现实世界、用数学语言表达问题的能力。通过举一反三和综合应用题，强化推理意识，学生能提升实际问题解决能力，教师可借助丰富案例优化教学效果。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第4章 三角形 4.3.5 全等三角形的应用 2026年8月8日 4.3.5 全等三角形的应用 同步练习题（八年级数学·湘教版） 本套习题适配湘教版八年级上册4.3.5全等三角形的应用知识点，立足全等三角形四大判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），聚焦初中核心考点：不可测量距离测量、生活实际应用、几何边角求解、证明线段相等、角相等。习题由基础到综合层层递进，贴合课本例题思路，适配课堂训练、课后作业与单元检测，帮助学生掌握“利用全等转化边角关系”的核心解题思想。 一、核心知识梳理 1. 解题核心思想：利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，将无法直接测量、无法直接求解的线段或角度，转化为可测量、可计算的边角。 2. 常见应用场景 （1）测距问题：测量池塘两端、河宽、障碍物两端距离（无法直接测量）； （2）证明问题：证明线段相等、线段平行、角相等、两角互余互补； （3）生活实际：工人师傅质检、仪器校准、图形修复等。 3. 通用解题步骤 ① 构造全等三角形；② 找出已知相等条件（公共边、公共角、对顶角、平行得角等）；③ 选择合适判定定理证明全等；④ 利用全等性质推导所求边角。 4. 关键结论：全等三角形是几何转化的核心工具，证全等的最终目的是转化边角关系。 二、选择题（每题4分，共20分） 1. 利用全等三角形可以解决的问题是（） A. 测量无法直接到达的两点距离 B. 直接测量三角形面积 C. 直接判断线段平行 D. 计算三角形内角和 2. 测量池塘两端A、B的距离时，构造全等三角形的主要目的是（） A. 简化图形 B. 把不可测量距离转化为可测量距离 C. 美观规范 D. 提高计算速度 3. 已知两个三角形全等，则下列结论一定正确的是（） A. 所有线段互相平行 B. 对应边、对应角分别相等 C. 面积不一定相等 D. 周长不相等 4. 工人师傅检查零件两边是否相等，常构造全等三角形，其依据是（） A. 全等三角形对应边相等 B. 三角形稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 对顶角相等 5. 下列不能通过全等三角形证明的是（） A. 两条线段相等 B. 两个角相等 C. 任意两直线垂直 D. 线段平行所需等角条件 三、填空题（每题4分，共20分） 6. 全等三角形的核心应用原理是：________相等，________相等。 7. 生活中测量不可到达的两点距离，通常通过构造________来转化线段长度。 8. 证明线段相等、角相等，最常用的几何方法是先证________，再利用性质推导。 9. 全等三角形的周长________，面积________。（填“相等”或“不相等”） 10. 测距问题中，常用的全等判定定理多为________、________。 四、解答题（共60分） 11. 基础应用题（每题12分，共24分） （1）如图，已知AB⊥AC，DC⊥AC，AD=BC，求证：AB=CD。 （2）已知：AB、CD相交于点O，OA=OB，OC=OD，求证：∠A=∠B。 12. 池塘测距经典题（18分） 为测量池塘两端A、B的距离，在岸边取一点O，连接AO并延长到C，使OC=OA；连接BO并延长到D，使OD=OB，测量得CD=12m，求池塘宽AB的长度，并说明理由。 13. 综合几何应用题（18分） 已知：点B、C、E在同一直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，AC=DF，BC=EF。求证：∠A=∠D。 参考答案及详细解析 一、选择题 1. A 解析：全等三角形核心应用是转化边角，测量不可直接到达的距离，其余选项无需全等即可求解。 2. B 解析：测距问题的核心思想：利用全等将不可测量线段转化为岸边可测量线段。 3. B 解析：全等三角形性质：对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等。 4. A 解析：通过构造全等，利用对应边相等判断零件边长是否相等。 5. C 解析：全等无法直接证明垂直，只能提供边角条件辅助证明。 二、填空题 6. 对应边；对应角 7. 全等三角形 8. 三角形全等 9. 相等；相等 10. SAS；SSS（答案合理即可） 三、解答题 11.（1）证明：∵ AB⊥AC，DC⊥AC，∴ ∠BAC=∠DCA=90°。在Rt△ABC和Rt△CDA中，AD=BC，AC=CA（公共边），∴ Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），∴ AB=CD。 （2）证明：在△AOD和△BOC中，OA=OB，∠AOD=∠BOC（对顶角相等），OC=OD，∴ △AOD≌△BOC（SAS），∴ ∠A=∠B。 12. 解：AB=12m。理由：在△AOB和△COD中，OA=OC，∠AOB=∠COD（对顶角相等），OB=OD，∴ △AOB≌△COD（SAS），∴ AB=CD=12m。 13. 证明：∵ AB⊥BE，DE⊥BE，∴ ∠B=∠E=90°。在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DF，BC=EF，∴ Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴ ∠A=∠D。 核心知识点总结：全等三角形的所有应用归根结底是性质的逆向使用。遇到求边长、求角度、证相等、测距离问题，优先构造或寻找全等三角形，通过四大判定定理证全等，再利用对应边角相等完成解题。测距模型、垂直直角模型、对顶角模型是考试高频题型，需熟练掌握固定解题思路。 思考：如图，为测量河宽 AB，小楠从河岸的 A 点沿着与 AB 垂直的方向走到 C 点，并在 AC 的中点 E 处立一根标杆，然后从 C 点沿着与 AC 垂直的方向走到 D 点，使点D，E，B 恰好在一条 直线上. 于是小楠说： “CD 的长就是河的宽度.” 你认为小楠说得对吗？ 为什么? A B E C D 1 全等三角形的实际应用 解： 如图，在△AEB 和△CED 中， ∠A =∠C = 90°， AE = CE， ∠AEB =∠CED (对顶角相等)， 所以△AEB≌△CED (角边角). 从而 AB = CD. 即 CD 的长就是河的宽度. 因此，小楠说得对. 知识点 全等三角形的应用 （第1题） 1.如图，为测量桃李湖两端 的距离，某地理课外实 践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点 ，测得 的度数，在的另一侧测得 ， ，再测得的长，就是 的长，那么判定 的理由是( ) A A.边角边 B.边边边 C.角边角 D.角角边 返回 举一反三 4 例1 小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动(如图所示)，使 CD 与瓶底平行，这样只要量出 AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道其中的理由是什么吗 （木条的粗细忽略不计)？ 分析：只需要说明 AB 和 CD 相等即可. 解：如图，连接 AB，CD， 所以△AOB≌△COD (边角边)， 从而 AB = CD， 即 AB 的长等于玻璃瓶的内径. 由题意可知，OA = OB = OC = OD. 在△AOB 和△COD 中， OA = OC， ∠AOB =∠COD (对顶角相等)， OB = OD， （第2题） 2.［教材P练习T 变式］如图，把两根钢条 ， 的中点连在一起，可以做成一个测量工 件内槽宽的卡钳，若求 的长，只需测量下列线 段中的( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 7 （第3题） 3.［教材习题 变式］［2025湖州期末］ 如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成 三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形 玻璃，那么应带的碎玻璃为( ) C A.① B.② C.③ D.无法确定 返回 举一反三 8 例2 在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯. 其中 A 灯恰好照到 B 灯，B 灯恰好照到甲楼的顶部 C 处，如图所示. 已知 AE 为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的 2 倍？为什么? 解：如图，过点 B 作 BF⊥AC，交 AC 于点 F，则∠CFB =∠AFB = 90°. 又∠CFB =∠CAE = 90°， 所以 FB∥AE， 从而∠ABF =∠BAE. 因为两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等， 所以∠CBF =∠BAE，从而∠CBF =∠ABF. 所以△CBF≌△ABF（角边角），从而 CF = AF. 又 FA⊥AE，BE⊥AE，且 AE∥FB， 所以 AF，EB 是平行线 AE 与 FB 的公垂线段， 故 AF = EB，从而AC = 2AF = 2EB. 因此，可以说甲楼高度是乙楼高楼的 2 倍. 在△CBF 和△ABF 中， ∠CBF =∠ABF， BF = BF， ∠CFB =∠AFB， 例3 已知：如图，AB = CD，BC = DA，E，F 是 AC上的两点，且 AE = CF. 求证：BF = DE. 证明：在△ABC 和△CDA 中， ∴△ABC≌△CDA (SSS). ∴∠BCF =∠DAE. AB = CD， BC = DA， AC = CA (公共边)， 在△BCF 和△DAE 中， ∴△BCF≌△DAE (SAS). ∴ BF = DE. BC = DA， ∠BCF = ∠DAE， CF = AE， 全等三角形的判定与性质的综合运用 2 11 例4 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，E 为 AC 上的一动点(不与 A 重合)，在点 E 移动的过程中 BE 和 DE 是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由． 解：相等．理由如下： 在△ABC 和△ADC 中， AB＝AD， AC＝AC， BC＝DC， ∴△ABC≌△ADC (SSS)， ∴∠DAE＝∠BAE. 在△ADE 和△ABE 中， AB＝AD， ∠DAE＝∠BAE， AE＝AE， ∴△ADE≌△ABE (SAS). ∴ BE＝DE. 12 本题考查了全等三角形的判定和性质，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题要特别注意“SSA”不能作为三角形全等的证明依据使用． 方法总结 4.如图是嘉淇为测量池塘 宽度设计的方案，下列说法不正确的是 ( ) D ①先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和 ； ②连接并延长到点，使 ★； ③连接并延长到点，使 ； ④连接，量出的长即为 的距离. （第4题） A.★代表 B.♠代表 C.代表 D.该方案的依据是边边边 返回 举一反三 14 5.如图是小明制作的风筝，他根据， ，不用度量就通 过证全等三角形知道 ，则小明判定这两个全等三角形的 方法是________. 边边边 （第5题） 返回 举一反三 15 例5 如图，已知 CA = CB，AD = BD，M，N 分别是 CA，CB 的中点，求证：DM = DN. 在△ACD 与△BCD 中， 证明： CA = CB (已知)， AD = BD (已知)， CD = CD (公共边)， ∴△ACD≌△BCD (SSS). 连接 CD，如图所示. ∴∠A =∠B. 又∵M，N 分别是 CA，CB 的中点， ∴ AM = BN. N A B D C M 在△AMD 与△BND 中， AM = BN (已证)， ∠A =∠B (已证)， AD = BD (已知)， ∴△AMD≌△BND (SAS). ∴ DM = DN. N A B D C M 6.［教材思考变式］如图，要测量河两岸相对两点， 间的距离， 在河岸上截取，作交的延长线于点 ，垂足为 点，测得，，则，两点间的距离等于___ . 3 （第6题） 返回 举一反三 18 7. 崧厦素有“中国伞城”之誉称.伞 业公司所制作的纸伞，其工艺十分巧妙.如图是纸 伞的示意图，伞不论张开还是缩拢，如果伞柄 始终平分同一平面内两条伞骨所成的 ，就 能保证伞圈能沿着伞柄滑动.已知 ， .求证：点在 上. 举一反三 19 证明：在和中， 所以（边边边），所以 ， 所以平分 . 因为伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，所以点在 上. 返回 举一反三 20 8.［2025长沙期末］如图，书架两 侧摆放了若干本相同的书籍，左右 两摞书中竖直放入一个等腰直角三 角板，其直角顶点在书架底部 A A. B. C. D. 上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 恰好落在左侧书籍的 上方边沿.已知每本书长,厚度为，则两摞书之间的距离 为 ( ) 返回 举一反三 21 （第9题） 9. 要测量， 间的距离 （无法直接测出），两名同学提供了测量方 案. 方案Ⅰ：①如图①，选定点；②连接 ， 并延长到点，使，连接 ，并延 长到点，使；③连接，测量 的长度即可. 举一反三 22 方案Ⅱ：①如图②，选定点；②连接，，并分别延长到点， ， 使，；③连接，测量 的长度即可. 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是( ) B A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ、Ⅱ都可行 C.Ⅰ不可行、Ⅱ可行 D.Ⅰ、Ⅱ都不可行 返回 举一反三 23 10.如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子 到 ，的位置，，在同一平面内，测得 ，且 、两点到的水平距离、分别为和,则、 两点 的高度差即的长为____ . 0.4 （第10题） 返回 举一反三 24 11.如图，海岛上有，两个观测点，点在点的正东方，海岛 在观 测点的正北方，海岛在观测点的正北方，从观测点看海岛， 的 视角与从观测点看海岛，的视角相等，那么海岛， 到观测点， 所在海岸的距离相等吗？为什么？ 举一反三 25 解：相等.理由：设与交于点 ， 因为，，所以 . 由题意知 . 在和中， 所以（角角边），所以 ， 即海岛，到观测点， 所在海岸的距离相等. 返回 举一反三 26 12.如图，在中，， ，在 的顶点， 处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速 度由向和由向爬行，经过后，它们分别爬行到了， 处，设 与的交点为 . 举一反三 27 （1）求证： . 证明：因为小蚂蚁同时从， 出发，速度相同， 所以后两只小蚂蚁爬行的路程 ， 在和中， 所以 （边角边）. 举一反三 28 （2）小蚂蚁在爬行过程中，与所成的 的大小有无变化？请 说明理由. 解： 的大小没有变化，理由： 因为，所以 . 因为 ， 所以 . 因为，所以 ， 所以 ， 所以 的大小没有变化. 返回 举一反三 29 判定三角形全等的思路 已知两边 已知一边一角 已知两角 找夹角(SAS) 找第三边(SSS) 找任一角(AAS) 边为角的对边 边为角的一边 找角的另一边(SAS) 找边的对角(AAS) 找夹边的另一角(ASA) 找夹边(ASA) 找其中一角的对边(AAS) 课堂小结 谢谢观看 THANKS $