第十七章 因式分解 单元测试 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦因式分解核心知识，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，适配初中数学单元复习，有效检测学生抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|因式分解概念、提公因式法、公式法|结合概念辨析（第3题）、公式适用条件判断（第4题）| |填空题|4|因式分解应用、参数求解|融入等腰三角形边长关系（第15题）、因式与系数关系（第16题）| |解答题|9|提公因式法、公式法、十字相乘法、整体思想|设计整体思想（第22题）、新定义共因多项式（第23题）、十字相乘法教学（第24题）等综合探究，体现创新意识与推理能力|

第17章 因式分解单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若多项式可因式分解为，则b的值为（    ） A． B．3 C． D．54 2．下列算式不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．将因式分解，应提的公因式是（  ） A． B． C． D． 7．已知多项式因式分解后是，则的值为（     ） A． B． C．4 D．5 8．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．无法确定 9．已知，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 10．下列分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（     ） A．4 B．4或 C．8 D．8或 12．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．因式分解：________． 14．分解因式：_____． 15．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是________． 16．已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 三、解答题 17．因式分解： (1)； (2)． 18．因式分解： (1)； (2)； (3)． 19．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．因式分解： (1)； (2)． 21．在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 22．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 23．定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是__________； (2)请写出多项式的一个共因多项式（除外），要求为二次三项式，并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．①选取甲卡片张，乙卡片张，丙卡片张，拼成如图2所示的图形，根据此图，写出一个多项式的因式分解； ②选取甲、乙，丙三种卡片，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），要求为正方形，请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解． 24．阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道： 反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式：___________． 理解与应用 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）___________； （3）___________． 探究与拓展 对于形如的关于的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： （4）分解因式___________． （5）若关于的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 25．初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）： ②（拆项法）： (2)因式分解的综合运用 ①已知：a、b、c为的三条边，，则的周长为____； ②已知：a、b、c为的三条边，满足，试确定的形状，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 因式分解单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若多项式可因式分解为，则b的值为（    ） A． B．3 C． D．54 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的恒等性质，熟练掌握性质是解题的关键，将展开，根据对应系数相等即可求出答案． 【详解】解：由题意可得： ∴， 故答案为：C． 2．下列算式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题额关键． 【详解】解：A、，选项正确，不符合题意； B、，选项正确，不符合题意； C、，选项正确，不符合题意； D、，选项错误，符合题意． 故选：D． 3．下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式是因式分解，符合题意； B、等式中，等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、等式中，等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、等式中，等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：A． 4．下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式的结构特征，即两个平方项的差（符号一正一负），逐项判断即可． 【详解】解：A．是两个平方项的和，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； B．，符合平方差公式结构，能直接用平方差公式分解因式； C．是两个平方项和的相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； D．是三项式，是完全平方公式的形式，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 5．下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式，熟知平方差公式分解因式是解题的关键：． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； B、不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； D、能用平方差公式进行因式分解，符合题意； 故选：D． 6．将因式分解，应提的公因式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．通过观察多项式的各项，找出公因式，即各项都含有的因子． 【详解】解：∵的两项和都含有因子，且系数1和3的最大公因数为1， ∴公因式为． 故选：C． 7．已知多项式因式分解后是，则的值为（     ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用多项式乘法展开右侧因式乘积，再根据多项式相等对应项系数相等的性质求解m，也可直接对左侧多项式因式分解得到结果． 【详解】解：， 根据题意可得， 可得， 解得． 8．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．无法确定 【答案】B 【分析】先整理等式为两个完全平方的和，求出，的值，再分情况讨论边长，结合三边关系排除不合理解，计算周长． 【详解】解：∵ ∴ 即 ∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0 ∴， 解得，． 分两种情况讨论： ①若腰长为，底边为，则三边长为，，．∵，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立． ②若腰长为，底边为，则三边长为，，．∵，，满足三角形三边关系． ∴的周长为． 9．已知，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先利用分组分解法对多项式进行因式分解，再把已知条件代入计算即可求值，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：． 10．下列分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积形式，且每一个整式不能再分解．根据提公因式法、公式法分解因式，即可获得答案． 【详解】解：A. ，正确，符合题意； B. ，故该选项因式分解错误，不符合题意； C. ，不能再分解，故该选项错误，不符合题意； D. ，故该选项因式分解错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键． 11．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（     ） A．4 B．4或 C．8 D．8或 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，对应系数即可求出的值． 【详解】解：能用完全平方公式进行因式分解，且， ， ， ， 即或． 12．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、左右两边都已是整式乘积的形式，仅为恒等变形，不符合因式分解定义； B、等式左右两边变形错误，等式不成立，且右边为，不是几个整式乘积的形式，不符合定义； C、，将多项式化为两个整式乘积的形式，符合因式分解定义； D、该变形是整式乘法，将乘积化为多项式，不符合因式分解定义． 二、填空题 13．因式分解：________． 【答案】 【分析】先找出多项式各项的公因式，再利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 14．分解因式：_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键．先提公因式m，再运用公式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 15．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是________． 【答案】10 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，因式分解，将变形得，求得，的值，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：将变形，得，可得，． ①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形； ②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形； 所以的周长． 故答案为：． 16．已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 【答案】 【分析】设另一个因式为，可得，根据整式的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：设另一个因式为，可得， 则， ∴，解得， ∴另一个因式为，m的值为． 三、解答题 17．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 18．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式解答即可； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式解答即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 19．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提取公因式法因式分解即可； （2）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用提取公因式法因式分解即可； （4）利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 20．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先凑成公因式，然后提取公因式即可解答； （2）先展开，然后再加括号，最后再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 21．在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答； 直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 22．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 【答案】(1) (2)证明：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式， ， 无论取何值时，的值一定是非负数． 【分析】（1）令，代入原式，利用完全平方式因式分解，再将“”还原即可； （2）令，代入原式，化简后再利用完全平方式因式分解，再将“”还原，得原式，任何情况下，都是非负数，题目得证． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式； （2）略 23．定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是__________； (2)请写出多项式的一个共因多项式（除外），要求为二次三项式，并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．①选取甲卡片张，乙卡片张，丙卡片张，拼成如图2所示的图形，根据此图，写出一个多项式的因式分解； ②选取甲、乙，丙三种卡片，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），要求为正方形，请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， ， 则和的同因子是， 故是的共因多项式． (3)①； ②如图为所求拼图， 【分析】（1）通过因式分解，找出两个多项式的共同因式； （2）先分解原多项式，再构造一个含有相同因式的二次三项式； （3）①根据拼图的面积表示多项式，写出因式分解；②画出图形再进行因式分解即可． 【详解】（1）解：，， 故共因多项式和的同因子是． （2）解：略； （3）①解：由图可知，图2的面积可表示为， 也可表示为， 故． ②解：拼图的面积可表示为， 也可表示为， 则， 与的同因子是， 故是的共因多项式． 24．阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道： 反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式：___________． 理解与应用 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）___________； （3）___________． 探究与拓展 对于形如的关于的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： （4）分解因式___________． （5）若关于的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）54或 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （4）利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解； （5）利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解． 【详解】 解：（1）， ∴ ∴ 故答案为：． （2）∵ ∴； （3）∵ ∴ ∴ 故答案为： （4）∵ ∴，， ∴ 故答案为： （5）当时， ∴，，， ∴ 当时， ∴，，， ∴ ∴关于的二元二次式可以分解成两个一次因式的积， 的值为54或． 25．初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）： ②（拆项法）： (2)因式分解的综合运用 ①已知：a、b、c为的三条边，，则的周长为____； ②已知：a、b、c为的三条边，满足，试确定的形状，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①7；②是等边三角形，理由见详解 【分析】（1）①读懂题意，利用分组法分解因式； ②读懂题意，利用拆项法分解因式； （2）①把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出a、b、c的值，再求和即可． ②把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质得出，即可解答． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解：①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∵，∴三边能构成三角形， 因此三角形周长为． ②是等边三角形，理由如下： ∵， 将等式两边同乘2得：， 分组配方得：， 根据平方的非负性，得， 即， 因此是等边三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $