第十七章因式分解单元检测卷2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦八年级《因式分解》，以数形结合与现实情境为特色，覆盖基础概念到综合应用，适配单元复习，培养抽象能力、几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解定义、公因式、公式法|第4题通过图形拼接验证因式分解等式，体现几何直观| |填空题|5/15|代数式求值、密码编译应用|第13题结合密码规则设计因式分解情境，渗透应用意识| |解答题|7/55|综合因式分解、整体思想、实际问题|第21题以快递取件码生成设计探究，融合运算能力与模型意识|

2026-2027学年第一学期八年级《第十七章 因式分解》单元试卷 （考试时间：60分钟；满分100分） 一、选择题: (本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．将多项式进行分解因式时，应提取的公因式为（     ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（     ） A．6 B．7 C．12 D．14 4．如图，将两张边长为的正方形纸片和两张长、宽分别为，的矩形纸片拼成一个大的矩形．该过程所揭示的关于因式分解的等式是（     ） A． B． C． D． 5．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 6．下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（     ） A．4 B．4或 C．8 D．8或 8．如图，大长方形的面积为，它可以被分割成2个正方形和4个小长方形，则多项式可因式分解为（    ） A． B． C． D． 9．如图，长宽分别为，的长方形周长为16，面积为12，则的值为（     ） A．96 B．120 C．160 D．192 10．利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为： 如图③，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用表示四个矩形的两边长，观察图案，指出以下关系式：①；② ③ ④ ，其中正确的有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为_______ ． 12．若，则的值为______． 13．一位密码编译者，设置以下规则：，，，，，分别对应下列六个字：数，爱，我，浙，江，学．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是___________（只需写出一种）． 14．已知多项式能被整除，求的值________． 15．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 三．解答题(本大题有7小题，共55分) 16．（8分）：因式分解： (1) (2) (3) (4) 17.（6分）某串联电路中电流（单位：）、电阻、、（单位：）、时间（单位：）与热量（单位：）有下列关系：，如图，当，，，，时，求电流流经电阻所产生的热量． 18.（6分）【阅读材料】乘法公式是代数运算的基石，其中完全平方公式和平方差公式最为常用．它们不仅可以进行整式乘法，还能逆向使用进行因式分解． (1)因式分解：__________，__________； (2)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：__________； (3)参考上面方法，分解因式：． 19.（8分）先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解． 解：把看作一个整体，令，则 原式， ， ． 上述解题用到的是“整体思想”．“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求的值； (3)请尝试证明：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 20.（6分）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形（如图2所示）． (1)通过观察比较图1与图2中的阴影部分面积，可以得到乘法公式________； (2)已知：，，求的值； (3)计算： 21．（9分）在快递物流行业，取件码是验证取件人身份的关键．为了让取件码既好记又有一定安全性，可利用“因式分解法”生成：将一个多项式因式分解，代入个人常用数字（如手机号后两位）作为字母的值，得到的因式结果组合成不同的取件码．例如：多项式因式分解为，若取，则，，取件码可为1317或1713． (1)若多项式为，当时，写出所有的取件码______． (2)某快递员使用多项式生成了其中一个6位取件码为“172320”，他选取x的值是______． (3)若多项式为，当，求出所有的取件码 22．（10分）在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为，的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为__________，小正方形的面积可表示为__________________； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：__________________________； （用含，的代数式表示出来） (2)若满足，求的值； (3)【拓展提升】 如图4，在正方形中，，分别是边，上的点，已知，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形，正方形，求阴影部分的面积． 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期八年级第十七章 因式分解单元试卷 （考试时间：60分钟；满分100分） 一、选择题: (本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以因式分解的定义为判断依据，即多项式化为几个整式的积的恒等变形，进行解答，即可． 【详解】解：A、左边是多项式，右边是两个整式的积，变形正确，是因式分解，符合题意； B、左到右是整式乘法，将积化为多项式，不是因式分解，不符合题意； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、左右两边不相等，变形错误，不是因式分解，不符合题意； 2．将多项式进行分解因式时，应提取的公因式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找各项系数的最大公约数，再找各项相同字母的最低次幂，二者乘积即为所求公因式． 【详解】解：∵ 多项式中，两项系数和的最大公约数是；两项共有的相同字母为，且的最低次数为，第二项不含，没有公共的因式； ∴ 应提取的公因式为． 3．已知，，则的值为（     ） A．6 B．7 C．12 D．14 【答案】C 【分析】把所求代数式因式分解得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 4．如图，将两张边长为的正方形纸片和两张长、宽分别为，的矩形纸片拼成一个大的矩形．该过程所揭示的关于因式分解的等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】长方形的面积为，正方形的面积为，面积和为，整个长方形的面积表示为，根据同一个图形的面积相等，建立等式求解即可； 【详解】解：根据题意，得； 5．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 【答案】C 【分析】通过展开等式右侧乘积，对比左右两边即可求出被盖住的数字． 【详解】设，，则， ， ， 解得， 所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2． 6．下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式因式分解的条件，平方差公式因式分解要求多项式能写成两个平方项的差的形式，即的形式，逐个判断四个式子即可得到结果． 【详解】解：① 是两个平方项的和，不符合要求，不能用平方差公式因式分解； ② 符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ③ ，符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ④ ，本质是两个平方项的和的相反数，不符合要求，不能用平方差公式因式分解． 7．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（     ） A．4 B．4或 C．8 D．8或 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，对应系数即可求出的值． 【详解】解：能用完全平方公式进行因式分解，且， ， ， ， 即或． 8．如图，大长方形的面积为，它可以被分割成2个正方形和4个小长方形，则多项式可因式分解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，大长方形的宽为，长为， ∴大长方形的面积， 由图可知，大长方形的面积， ∴． 9．如图，长宽分别为，的长方形周长为16，面积为12，则的值为（     ） A．96 B．120 C．160 D．192 【答案】A 【分析】根据题意得出，，然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可． 【详解】解：长、宽分别为、的长方形周长为，面积为， ，， ． 10．利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为： 如图③，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用表示四个矩形的两边长，观察图案，指出以下关系式：①；② ③ ④ ，其中正确的有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】观察图形，分析对应的边长，即可求解． 【详解】①：由图③可知，，故①是正确的，符合题意； ②：因为，由图③可知，，所以，故②是正确的，符合题意； ③：由题意可知图③是由个长为，宽为的小矩形和个边长为的小正方形构成的个边长为的大正方形，所以，即， 故③是正确的，符合题意； ④：∵由③得，即， 若成立， 那么，即， ∴， ∵与矛盾， ∴④是错误的，不符合题意； ∴符合题意的共有个． 二、填空题 11．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为_______ ． 【答案】70 【分析】首先根据长方形周长和面积的条件，推导得到与的值，对待求式进行因式分解，再将和的值代入分解后的式子，即可求出结果． 【详解】解：∵长方形的周长为， ∴； 长方形面积为． 则． 12．若，则的值为______． 【答案】10 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 13．一位密码编译者，设置以下规则：，，，，，分别对应下列六个字：数，爱，我，浙，江，学．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是___________（只需写出一种）． 【答案】我爱数学 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息． 【详解】解：∵ ， ， ∵对应密码字：我， 爱，学，数， ∴密码信息为“我爱数学”． 14．已知多项式能被整除，求的值________． 【答案】 【分析】由于，而多项式能被整除，则能被整除．运用待定系数法，可设商是A，则，则和时，，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到的值. 【详解】解：∵， ∴能被整除， 设商是A． 则， 则和时，右边都等于0，所以左边也等于0． 当时， ① 当时， ② ，得， ∴， ∴． ∴， 15．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 【答案】 【分析】利用加减消元法得到和关于的表达式，再利用平方差公式分解得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】， ，得 ， 等式两边同除以，得 ， ，得 ， ， ， 整理得 ， 即， 解得 三、解答题 16．因式分解： (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．某串联电路中电流（单位：）、电阻、、（单位：）、时间（单位：）与热量（单位：）有下列关系：，如图，当，，，，时，求电流流经电阻所产生的热量． 【答案】108J 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，先将公式因式分解，然后将已知数据代入求值，即可求解． 【详解】解：由题意得， 答：电流流经电阻所产生的热量为 18．【阅读材料】乘法公式是代数运算的基石，其中完全平方公式和平方差公式最为常用．它们不仅可以进行整式乘法，还能逆向使用进行因式分解． (1)因式分解：__________，__________； (2)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：__________； (3)参考上面方法，分解因式：． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：根据完全平方公式可知：是一个完全平方式； （3）解：原式 ． 19．先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解． 解：把看作一个整体，令，则 原式， ， ． 上述解题用到的是“整体思想”．“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求的值； (3)请尝试证明：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)证明：设四个连续整数为，，，（为整数）， 则四个连续整数的积与1的和为， ， ， 令，则 原式， ， ， ， 为整数， 是整数， 四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 【分析】（1）将多项式整体代换简化二次式，用完全平方公式逐层因式分解即可； （2）对四个一次因式分组相乘构造整体，结合已知方程整体代入求值即可； （3）设四个连续整数为，，，（为整数），分组相乘构造相同二次整体，换元后配成完全平方即可完成证明． 【详解】（1）解：， 令，则 原式， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ； （3）略 20．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形（如图2所示）． (1)通过观察比较图1与图2中的阴影部分面积，可以得到乘法公式________； (2)已知：，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2)4 (3)394 【分析】（1）根据题意可得图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，即可求解； （2）由（1）得：，即可求解； （3）利用（1）中的公式解答即可． 【详解】（1）解：图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为， ∴可以得到乘法公式为； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴ ∵， ∴， 即； （3）解： ． 21．在快递物流行业，取件码是验证取件人身份的关键．为了让取件码既好记又有一定安全性，可利用“因式分解法”生成：将一个多项式因式分解，代入个人常用数字（如手机号后两位）作为字母的值，得到的因式结果组合成不同的取件码．例如：多项式因式分解为，若取，则，，取件码可为1317或1713． (1)若多项式为，当时，写出所有的取件码______． (2)某快递员使用多项式生成了其中一个6位取件码为“172320”，他选取x的值是______． (3)若多项式为，当，求出所有的取件码． 【答案】(1)1119和1911 (2)20 (3)262323、232623、232326 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）直接因式分解后将代入求值即可； （2）将因式分解后通过取件码数字反推x值即可； （3）将因式分解，将代入求出三个取件码数字，进而排列即可． 【详解】（1）解：， 代入，得 ，， 取件码为11和19的排列，即1119和1911； 故答案为：1119和1911； （2）解： ， 取件码172320对应数字17、23、20， ∵时，，， ∴他选取x的值是20； 故答案为：20； （3）解：， 代入，得 ，， 即三个取件码数字分别为26、23、23， 所有取件码为262323、232623、232326． 22．在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为，的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为__________，小正方形的面积可表示为__________________； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：__________________________； （用含，的代数式表示出来） (2)若满足，求的值； (3)【拓展提升】 如图4，在正方形中，，分别是边，上的点，已知，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形，正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)①；；② (2) (3) 【分析】（1）①结合图形直接写出答案即可；②用两种不同的方法表示大正方形面积即可； （2）利用完全平方公式计算即可；设，，则，，再利用完全平方公式计算即可； （3）设，，求得，，利用完全平方公式求得，再利用计算即可． 【详解】（1）解：①观察图3，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积可表示为，小正方形的面积可表示为； ②大正方形是由个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成， 则与之间的关系：； （2）解：设，，则，， ， ． （3）解：设，， 由题意得，，， 正方形， ， ，即， ，， ， 正方形，正方形， ． 第15页 学科网（北京）股份有限公司 $