第28章 相似三角形（复习讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

该初中数学《相似三角形》单元复习讲义通过表格梳理复习要点与重难点，以知识框架图呈现成比例线段、相似三角形判定与性质、位似等核心内容，清晰展示概念、定理及经典模型（A字型、8字型）的内在联系，突出相似判定定理辨析、面积比计算等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，基础达标题巩固比例性质应用，能力进阶题结合动点、折叠等综合情境，如黄金矩形计算、白银分割探究，培养抽象能力与模型意识。通过经典模型识别、辅助线构造等方法指导，帮助学生突破复杂图形相似问题，支持教师实施精准分层教学。

第28章 相似三角形 复习要点 1. 理解线段的比、成比例线段、比例中项概念，熟练运用比例基本性质、合比性质、等比性质完成变形与计算，掌握黄金分割定义与近似数值. 2. 掌握平行线分线段成比例定理及三角形平行线推论，能借助平行条件推导线段比例关系，完成求值与简单证明. 3. 理解相似三角形定义、相似比含义，明确全等是相似比为 1 的特殊相似，熟记相似三角形四大判定定理，能识别 A 字型、8 字型、母子直角相似等经典几何模型. 4. 掌握相似三角形核心性质：对应角相等，对应边、对应高、中线、角平分线、周长的比等于相似比；面积比等于相似比的平方，熟练运用射影定理解决直角三角形线段计算，理解相似多边形的判定与性质. 5. 掌握位似图形定义、位似中心、位似比，能在平面直角坐标系中完成位似坐标变换、简单位似作图；会构建相似三角形模型完成标杆测高、影子测距、内接图形等实际应用，能借助相似证明比例式、等积式. 复习重难点 重点：比例线段性质变形；平行线分线段成比例定理；相似三角形判定定理辨析与模型识别；相似三角形线段、周长、面积的比例规律；射影定理基础应用；利用相似解决测量、内接图形实际问题. 难点：复杂图形中多组相似三角形分层识别；两边成比例且夹角相等判定定理的条件辨析；面积比遗忘相似比平方的易错点；作辅助线构造相似三角形证明线段等积式；位似中心内外、正负位似的坐标分类讨论；相似与函数、四边形结合的综合压轴计算． 知识点 成比例线段 1.比:一般地，两个数或两个量与相除,叫作与的比,记作(或表示为). 2.比值:与的商叫作比值.若,则. 3.线段成比例的定义:对于四条线段a、b、c、d,如果(或表示为),就说a、b、c、d成比例. 、是比例外项，、是比例内项.如上述四条线段、、、是比例线段，:(或表示为)，那么是第一比例项、是第二比例项、是第三比例项、是第四比例项. 4.比例的基本性质如果,那么.如果，那么. 5.合比性质:如果,那么. 6.分比性质:如果,那么. 7.等比性质:如果,那么. 8.黄金分割如图,点将线段分割成两段,其中较长一段为较短一段和线段的比例中项,这样的分割叫作黄金分割,点叫作线段的黄金分割点.根据线段的对称性,可以找到线段的另外一个黄金分割点. 9.黄金数 黄金分割得到的较长线段与整条线段的比值叫作黄金数,它是一个无理数,近似值通常取为0.618. 10. 平行线分线段成比例定理 1 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线, 截得的对应线段成比例. 11.平行线分线段成比例定理 2 ：两条直线被三条平行线所截, 截得的对应线段成比例. 12.两条直线被三条平行的直线所截, 如果在一条直线上截得的线段相等, 那么在另一条直线上截得的线段也相等. 要点速测 1．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长． 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为． 2．若，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，把选项中的比例式化成等积式，即可判断． 【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意； B．因为，所以，故B不符合题意； C．因为，所以，故C符合题意； D．因为，所以，故D不符合题意； 故选：C． 3．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 5．等腰中，，、分别是、上的点，且，连接、交于点，若，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，熟悉定理内容并应用是解题的关键．过点E作，交于点D，则由平行线分线段成比例得；设，则，易得；设，利用得，即可求得，然后计算即可． 【详解】解：如图，过点E作，交于点D， 则； 设，则， ∵， ∴； 设； ∵， ∴， 即， 解得或（舍去）， ∴． 故答案为：． 6．如图所示，已知，且．求的长． 【答案】的长为 【分析】本题主要考查了比例线段的计算，熟练掌握线段的加减计算是解题的关键． 先利用可得，由可得，再根据即可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 7．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以为直径的圆与竖直网格线相交于点和，点为圆上的点． （1）∠ACB=______（度）； （2）点P在圆上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使平分，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明，完成任务的画线不超过3条）______． 【答案】 ． 取点，是与竖直网格线的交点，连接，取的中点，取的中点，作射线，交圆于，连接，即平分， 【分析】本题考查了圆周角，中位线，格点作图等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键． （1）由直径所对圆周角等于即可得出结论； （2）通过构造平行线和等腰三角形得到相等的角即可解答． 【详解】解：（1）∵是直径， ∴， （2）如图，取点，是与竖直网格线的交点，连接，取的中点，取的中点，作射线，交圆于，连接，即平分， 证明：由网格的特点，根据平行线分线段成比例可知：，， ∴， ∴， 又∵点是的中点，为直径，即点是圆心， ∴， ∴， ∴，即平分． 8．在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段被点C、D白银分割，点C、D叫做线段的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． (1)以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设，．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． (2)如图3，点C为线段靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1) 解：，， ， ， 解得：，（舍去）； (2) 如图所示：点P即为所求． 【分析】本题考查了白银分割的概念及应用、一元二次方程的求解以及尺规作图，解题关键是理解白银分割的比例关系并据此列出方程求解，同时利用尺规作图的基本原理作出符合要求的图形． （1）根据线段设定及白银分割定义，用含x的式子表示各线段长度，依据白银分割比例关系列出方程，将方程化为一元二次方程标准形式，利用求根公式求解，根据线段长度非负性舍去不合理的值． （2）连接，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、 ；以点为圆心，同样的半径画弧，交于点，用圆规量取的长度，以点为圆心，长为半径画弧，交之前所画弧于点，用直尺连接并延长，与相交于点，此时，根据同位角相等，两直线平行，可得，点就是线段靠近点的白银分割点． 【详解】（1）略 （2）略 9．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．          (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2) 解：四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠可知：，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； (3)或 【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可； （2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论； （3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：∵， ∴由（1）可知，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵点M是线段的黄金分割点， ∴或， 即或， ∴或， ∴或， ∴或； 即的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键． 10．【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 【解决问题】 (1)根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； (2)根据小普同学与的对话，设，，用含a、b的代数式表示k； (3)在图中，画出符合要求的菱形，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹． 【答案】(1) (2) (3)如图 【分析】本题考查平行线分线段成比例，平行四边形的判定； （1）根据是平行四边形，添加条件即可； （2）由题意得，，计算即可解答； （3）延长，利用圆规在延长线上截取，连接；作，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可知是平行四边形，则需添加； （2）解：∵，，， ∴， ∴，； ∵，，， ∴，； ∴ ∴， （3）解：如图所示即为所求： 延长，利用圆规在延长线上截取，连接； 作，交边于点E即可． 知识点相似三角形的判定与性质 1. 相似三角形的概念 如果两个三角形的三个角对应相等, 三条对应边成比例, 那么称这两个三角形相似. 对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点, 以对应顶点为端点的边是它们的对应边. 2.两个三角形相似也可以表述为 “两个三角形是相似三角形” 或 “一个三角形与另一个三角形相似”. 3. 相似比两个相似三角形的对应边的比值叫作它们的相似比,通常用 表示. 4.相似传递性定理:如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 5.相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线, 截得的三角形与原三角形相似. 6.相似三角形判定定理 (1)两角对应相等的两个三角形相似(A.A). 7.相似三角形判定定理 (2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似(S.A.S). 8.相似三角形判定定理 (3)三边对应成比例的两个三角形相似(S.S.S). 9.直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 (H.L). 10.相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等, 对应边成比例. 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 相似三角形的周长的比等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 要点速测 1．下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，即对应角相等、对应边成比例的图形相似，结合各类图形的性质，逐个判断选项即可． 【详解】解：选项A：∵两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，∴两个矩形不一定相似，A不符合题意． 选项B：∵等腰直角三角形的三个内角固定为，，，对应角一定相等，且对应边一定成比例，∴两个等腰直角三角形一定相似，B符合题意． 选项C：∵的角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，会导致两个三角形对应角不一定相等，∴两个三角形不一定相似，C不符合题意． 选项D：∵两个菱形的对应角不一定相等，∴两个菱形不一定相似，D不符合题意． 2．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 3．如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 二、填空题 4．如图，，，，则_______． 【答案】 【分析】由得到，再由证明，得到，所以，即可求出的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，且四边形的面积为， ∴， ∴． 5．如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 【答案】4或 【分析】首先在运动过程中，与的公共角始终保持相等， 但另外两组角的对应关系不确定，因此需分情况讨论．然后就每种情况利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：设运动时间为t,由题意可知，，， ①当时， 则，即， 解得． ∴经过，． ②当时， 则，即， 解得． ∴经过，． 综上，经过或，与相似． 6．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比． 【详解】解：设小孔到的距离为， ， ， ， ，即小孔到的距离为． 三、解答题 7．一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ， ∴； (2) (3)40，1200 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（2）类似，利用求得与的关系，用的长x表示出矩形的面积，根据二次函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形零件的边长为， 由（1）知， ， 同理，由得， ∴， 即， 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：设长方形的长为，宽为， 当长方形的长在时， 同（2）得，即，， 矩形面积， ∵， ∴当时，长方形的面积最大为． 即当时，这个矩形的面积最大，最大值是． 8．如图，在中，，，点D是边上一动点（不与B，C重合），，交于点E．    (1)求证：； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形判定及性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质， （1）根据等腰三角形性质的得到，根据三角形内角和定理和平角的定义证明，据此即可判定出； （2）利用相似三角形性质得到，由三线合一定理即可得到本题答案． 【详解】（1）略 （2）解：当时，， 由（1），得， ∴， ∴， 又∵， ∴． 9．图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． (1)图①中，画出的中线； (2)图②中，在的边上找一点F，连接，使； (3)图③中，在的边上找一点G，连接，使的面积为2． 【答案】(1) 如图①中，线段即为所求； (2) 如图②中，线段即为所求； (3) 如图③中，线段即为所求． 【分析】本题主要考查了网格作图，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接，交于点D，利用矩形的性质得到点D是的中点，连接即可； （2）取格点P、Q，连接交于点F，连接，，得，根据相似三角形的性质，即可得； （3）取格点J，K，连接交于点G，连接即可（的面积的面积）． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 10．如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】(1) 证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； (2) 证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 11．综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． (1)【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； (2)【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； (3)【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 【答案】(1) 如图，即为所求， 90 (2) 证明：过P作于C， 由（1）知：四边形是矩形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ； (3)或 【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解； （2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证； （3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：90； （2）略 （3）解：①当M在线段上时，如图，延长、相交于点G， 由（2）知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G 由（2）知：四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 知识点相似多边形、位似多边形 1.两个多边形相似的定义：对两个边数相同的多边形, 如果将一个多边形的顶点同另一个多边形的顶点依次对应, 使得对应角相等, 对应边成比例, 那么称这两个多边形相似. 2.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例. 3.相似比:两个相似多边形的对应边的比值叫作这两个多边形的相似比. 4.位似图形的概念:如图，每幅图的两个多边形不仅相似，而且它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例, 像这样的两个图形是位似图形, 这点叫作位似中心, 这时我们说这两个图形关于这点位似. 5.位似图形的性质 1. 位似图形是特殊的相似图形,具有相似图形的一切性质. 2. 位似图形的对应点的连线相交于一点, 这个点就是位似中心. 3. 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上. 4. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 要点速测 1．下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； B、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意； C、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； D、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（   ） A．18 B．15 C．12 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似的性质可得，，则，再根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴的面积为， 故选：A． 3．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、由位似图形可知， ， ，故选项A正确，不符合题目要求； B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求； C、由位似图形可知，相似比为， ， 、、三点共线， ，故选项C错误，符合题目要求； D、由位似图形可知，相似比为， ，故选项D正确，不符合题目要求． 4．下列命题中，正确命题的个数为________． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 【答案】1 【分析】根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断． 【详解】解：所有的正方形都相似，所以①正确； 所有的菱形不一定相似，所以②错误； 边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误； 对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误； 故答案是：1． 【点睛】本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题的关键． 5．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为________． 【答案】195 【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 6．我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为____． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，理解题意，掌握相似多边形的各边的比是解题的关键． 分别表示出原矩形的长和宽，折叠后的长与宽，结合题意“白银比”进行计算即可求解． 【详解】解：设矩形纸片长为，宽为， ∴折叠后矩形的长为，宽为， 根据题意可得，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 7．学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 【答案】探究：证明：连接，如图所示： ∵四边形 与四边形相似， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 运用： 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质是解题的关键． 【探究】连接，证明，得出，，则可得出答案；【运用】由矩形的性质得出，证出，由结论“四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似”证明四边形四边形，则可得出答案． 【详解】【探究】略 【运用】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形四边形， ∴． 8．如图，三个顶点坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内，将放大为原来的2倍得到，请作出； (2)求的面积． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)8 【分析】本题主要考查了画位似图形： （1）利用位似图形的性质，得出各对应点位置进而得出答案； （2）直接求三角形面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 9．如图，已知点，将点向右平移4个单位长度，得到点，连接．将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到线段，连接，． (1)请直接写出点的坐标； (2)连接，求三角形的面积； (3)点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向上平移运动，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)在（3）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴向左平移运动，设射线交轴于点．问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)存在， (4)不变；2 【分析】（1）根据平移的性质求解即可； （2）连接，根据三角形面积公式求解即可； （3）根据四边形的面积三角形的面积三角形的面积求解即可； （4）分两种情况讨论，当N在线段上时，根据求解即可；当N在延长线上时，根据可得，再求即可得解． 【详解】（1）解：由平移可知； （2）解：连接，如图， ， ， 三角形的面积； （3）解：存在， 连接， 由题意知， 四边形的面积三角形的面积三角形的面积， ， 解得， 时，四边形的面积等于6． （4）解：的值不会发生变化． 当N在线段上时，连接， 由题意知，， ， ， ， ， 当N在延长线上时，连接， 设， 由题意知，， ，， ， ， ， ， ， 综上所述，的值不会发生变化，的值为2． 10．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．    (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【答案】(1)如图，为所作． (2) 如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 题型1黄金分割 ▌例1宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 解题要点 本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． ▌迁移练1-1综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．          (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2) 解：四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠可知：，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； (3)或 【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可； （2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论； （3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：∵， ∴由（1）可知，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵点M是线段的黄金分割点， ∴或， 即或， ∴或， ∴或， ∴或； 即的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键． 题型2平行线分线段成比例 ▌例2如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 解题要点：本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵， ， ，，， ， 解得：； （2）∵， ，即， 解得：． ▌迁移练2-1如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出是解决问题的关键． 【答案】(1)4，14 (2)15 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵点G是的中点，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 题型3相似判定综合 ▌例3如图，已知在中，，点、分别在边、的延长线上，且，的延长线交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 解题要点（1）先根据三角形外角的定义得到，即可证明； （2）先证明得到，再根据证明，即可证明． 【答案】(1) 证明：， ． 、分别是和的外角， ，， ， ． 又， ． (2) 证明：，， ． ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ． ▌迁移练3-1如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 解题要点：（1）利用平行四边形的性质可得，从而得，然后根据两角相等的两个三角形相似证明即可解答； （2）利用相似三角形的性质可求出，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)6 【分析】 【详解】（1）略 （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴的长为6． 难点一相似三角形 难点1：比例线段、黄金分割、平行线分线段成比例定理的灵活运用 分不清定理使用条件，不会找准对应线段，容易出现线段比例写反；复杂图形中找不到平行线，不会拆分基本图形。 牢记定理前提条件：平行线是核心，无平行线不能直接套用比例，先看截线，再写上下对应线段，养成先标线段再列式的习惯； 难点2：相似三角形常见几何模型识别与综合运用（A 型、X 型、母子相似、一线三等角） 图形经过旋转、翻折、变形之后，识别不出经典模型；遮住多余线条，剥离干扰线段，还原基础模型；遇到动点、旋转图形，优先观察是否存在一线三等角、母子相似。 难点2：分类讨论 相似三角形中由于图形的不确定, 或对应边、对应角的不确定, 或动点问题, 常会出现分类讨论的情形. 在相似三角形中可以按边分类讨论, 也可以按角分类讨论, 综合几种情况，最后得出结论. 难点精练 1．如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 【答案】/4.8 【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案． 【详解】∵四边形EFGH是矩形， ∴， ∴， ∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高， ∴， ∴， ∵， 代入可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键． 3．如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】(1) 证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； (2) 证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 4．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 5．问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．      【答案】 问题背景：证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：证明：如图所示，取的中点，连接，    ∵是的中点，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展： 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】问题背景：略 问题探究：略 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接，    ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵，由（2） ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 基础达标 一、单选题 1．如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解． 【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ADC与△ACB的周长比1:2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键． 2．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】解：如图所示，    由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 3．如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 4．如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得，设，则，则，在中勾股定理建列方程，求得，进而求得，根据，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处， ,， ，， 设，则，， 在中， 即， 解得， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，正切的定义，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 二、填空题 5．如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．    【答案】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】，   ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 6．如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________．    【答案】 【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． 7．如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是________．    【答案】 【分析】先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得． 【详解】解：是等边三角形， ， ∵折叠得到， ， ，， 平分等边的面积， ， ， 又， ， ，， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 8．如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____． 【答案】 【分析】先证明，得到，进而即可求解． 【详解】∵在正方形ABCD中，AF⊥EG， ∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°， ∴∠FAB =∠AGE， 又∵∠ABF=∠GAE=90°， ∴， ∴，即：， ∴BF=． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明，是解题的关键． 三、解答题 9．如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 【答案】 解：若选①， 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵， ∴，∴， 又∵， ∴． 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 10．如图，矩形中，点E在上，，与相交于点O．与相交于点F． (1)若平分，求证：； (2)找出图中与相似的三角形，并说明理由; (3)若，，求的长度． 【答案】(1) 证明：如图所示： 四边形为矩形， ， ， ， ， 又平分， ， ， 又与互余， 与互余， ； (2) 解：，与相似． 理由如下： ，， ， 又，   ， ，， ； (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论； （2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出； （3）根据得出，根据得出，联立方程组求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ， ， ， 在矩形中对角线相互平分，图中， ①， ， ， ， 在矩形中， ②， 由①②，得（负值舍去）， ． 【点睛】本题考查矩形综合问题，涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 能力进阶 一、单选题 1．如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（    ）    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】如图所示，连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，结合题意得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵，， ∴，，，． ∴，． ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，等面积转换． 二、填空题 2．如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为__________．    【答案】/0.8 【分析】首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，进而得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵在中，，，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理． 3．如图，在四边形中，，若，则的值为_______． 【答案】/0.5 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是添加辅助线，构造相似三角形，过点D作于点M，于点N，证明，结合三角形的面积公式即可求解 【详解】解：过点D作于点M，于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题 4．如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长． 【答案】(1) 证明：∵等腰和等腰， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）证明，推出，利用证明即可证明结论成立； （2）取的中点H，连接，证明是的中位线，设，则，证明，得到，即，解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：取的中点H，连接，    ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得（负值已舍）， 经检验是所列方程的解，且符合题意， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 5．在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值． （1）①__________； ②__________； ③小明为了证明①②，连接交于O，连接，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②． （2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，，（）求： ①__________（用k的代数式表示） ②__________（用k、的代数式表示） 【答案】（1）①；②45°； ③证明：如图所示： 由正方形性质得：，O为的中点 又∵H为的中点，则， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵ ∴， 又∵ ∴ 又 ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ （2）①；② 【分析】（1）①通过中位线得出，再通过等腰直角三角形斜边与直角边的关系得出,则，在等腰Rt△OBA中得出，再结合中位线OH和正方形的性质证明∠BOH=∠BAF，即可证明出，即可得出比值；②利用相似三角形的性质，对应角相等，代换角即可求出； （2）①用与（1）相似的方法可以证明出，即可得出比值；②通过添加辅助线，构造两个直角三角形，用锐角三角函数和勾股定理表示出两边，即可求出比值． 【详解】（1）；②45° ③略 （2）① ② 理由如下： ①如图，连接，与交于O点，连接 由题可知四边形ABCD为平行四边形， ∴O为AC和BD的中点， 又∵H为CE中点， ∴， , 又∵, ∴ ,即， ,即， ∵OH是△ACE的中位线， ∴OH∥AE， ∴, 又∵是△AOD的外角， ∴, 又∵ , ∴ , ∴ , 又∵， ∴ ∴ ②： 由得： ，则 在中，， 不妨令，，如图作 则：， 则 由勾股定理解得： ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数，涉及知识点较多，难度较大，能够通过已知条件找出判定相似三角形的条件是解题关键． 6．如图，在菱形ABCD中，，，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使，且CF、DE相交于点G （1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形； （2）当时，求AE的长； （3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度． 【答案】 （1）证明：∵E为AB中点， ∴． ∴． ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD∥AB，． ∴． ∴四边形DFEC是平行四边形； （2）； （3）． 【分析】（1）根据E为AB中点可得，再由菱形的性质推出CD∥AB，，则，即可证明结论； （2）过点C作CH⊥AB交FB的延长线于点H，利用菱形及直角三角形的性质可求出，并由勾股定理求得，再根据相似三角形的判定及性质可证得，设，则，可表示出，，即可由建立关于x的方程，求解后可得出AE的长； （3）连接AG并延长交CD于点M，连接BD交AM于点N，并连接BM，首先由菱形的性质得出△ABD为等边三角形，则，再由CD∥AB，得，，由此可证得，再结合得出，则由等腰三角形性质推出，并分别求出，，最后根据题意可得点G运动路径的长度为线段AN的长，由平行线分线段成比例性质可得出，此题得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点C作CH⊥AB交FB的延长线于点H， ∵四边形ABCD是菱形，， ∴AD∥BC，． ∴． ∴． ∴． 则由勾股定理得． ∵CD∥AB， ∴△CDG∽△FEG． ∴． ∵， ∴． 设，则． ∴，． 在Rt△CFH中，由勾股定理得：， ∴． 解得，（不合题意，舍去）． ∴AE的长为； （3）如图，连接AG并延长交CD于点M，连接BD交AM于点N，并连接BM， ∵四边形ABCD是菱形，， ∴，． ∴△ABD为等边三角形． 同理可证：△BCD为等边三角形． ∴． ∵CD∥AB， ∴，． ∴，． ∴ ∵， ∴． ∴． 则由勾股定理得：， ． 当点E从A出发运动到点B时，点G始终在直线AM上运动，运动轨迹为线段， 当点E与A重合时，点G与点A重合， 当点E与B重合时，点G为BD与AM 的交点N， ∴点G运动路径的长度为线段AN的长， ∵CD∥AB， ∴． ∴． ∴点G运动路径的长度为． 【点睛】此题属于四边形的综合问题，考查了菱形的性质、平行四边形及相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握所学知识并灵活运用所学知识是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28章 相似三角形 复习要点 1. 理解线段的比、成比例线段、比例中项概念，熟练运用比例基本性质、合比性质、等比性质完成变形与计算，掌握黄金分割定义与近似数值. 2. 掌握平行线分线段成比例定理及三角形平行线推论，能借助平行条件推导线段比例关系，完成求值与简单证明. 3. 理解相似三角形定义、相似比含义，明确全等是相似比为 1 的特殊相似，熟记相似三角形四大判定定理，能识别 A 字型、8 字型、母子直角相似等经典几何模型. 4. 掌握相似三角形核心性质：对应角相等，对应边、对应高、中线、角平分线、周长的比等于相似比；面积比等于相似比的平方，熟练运用射影定理解决直角三角形线段计算，理解相似多边形的判定与性质. 5. 掌握位似图形定义、位似中心、位似比，能在平面直角坐标系中完成位似坐标变换、简单位似作图；会构建相似三角形模型完成标杆测高、影子测距、内接图形等实际应用，能借助相似证明比例式、等积式. 复习重难点 重点：比例线段性质变形；平行线分线段成比例定理；相似三角形判定定理辨析与模型识别；相似三角形线段、周长、面积的比例规律；射影定理基础应用；利用相似解决测量、内接图形实际问题. 难点：复杂图形中多组相似三角形分层识别；两边成比例且夹角相等判定定理的条件辨析；面积比遗忘相似比平方的易错点；作辅助线构造相似三角形证明线段等积式；位似中心内外、正负位似的坐标分类讨论；相似与函数、四边形结合的综合压轴计算． 知识点 成比例线段 1.比:一般地，两个数或两个量与相除,叫作 ,记作 (或表示为 ). 2.比值:与的商叫作 .若,则. 3.线段成比例的定义:对于四条线段a、b、c、d,如果(或表示为),就说a、b、c、d . 、是比例外项，、是比例内项.如上述四条线段、、、是比例线段，:(或表示为)，那么是 、是 、是 、是 . 4.比例的基本性质如果,那么 .如果，那么 . 5.合比性质:如果,那么 . 6.分比性质:如果,那么 . 7.等比性质:如果,那么 . 8.黄金分割如图,点将线段分割成两段,其中较长一段为较短一段和线段的比例中项,这样的分割叫作 ,点叫作线段的 .根据线段的对称性,可以找到线段的另外一个黄金分割点. 9.黄金数 黄金分割得到的较长线段与整条线段的比值叫作 ,它是一个 ,近似值通常取为 . 10. 平行线分线段成比例定理 1 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线, 截得的 . 11.平行线分线段成比例定理 2 ：两条直线被三条平行线所截, 截得的 . 12.两条直线被三条平行的直线所截, 如果在一条直线上截得的线段 , 那么在另一条直线上截得的线段也 . 要点速测 1．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 2．若，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 4．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 5．等腰中，，、分别是、上的点，且，连接、交于点，若，则的值为________． 6．如图所示，已知，且．求的长． 7．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以为直径的圆与竖直网格线相交于点和，点为圆上的点． （1）∠ACB=______（度）； （2）点P在圆上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使平分，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明，完成任务的画线不超过3条）______． 8．在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段被点C、D白银分割，点C、D叫做线段的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． (1)以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设，．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． (2)如图3，点C为线段靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 9．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．          (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 10．【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 【解决问题】 (1)根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； (2)根据小普同学与的对话，设，，用含a、b的代数式表示k； (3)在图中，画出符合要求的菱形，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹． 知识点相似三角形的判定与性质 1. 相似三角形的概念 如果两个三角形的三个角 , 三条对应边 , 那么称这两个三角形 . 对应相等的角及其顶点分别是它们的 和 , 以对应顶点为端点的边是它们的 . 2.两个三角形相似也可以表述为 “两个三角形是 ” 或 “一个三角形与另一个三角形 ”. 3. 相似比两个相似三角形的对应边的 叫作它们的 ,通常用 表示. 4.相似传递性定理:如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也 . 5.相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线, 截得的三角形与原三角形 6.相似三角形判定定理 (1) 的两个三角形相似(A.A) 7.相似三角形判定定理 (2) 且 的两个三角形相似(S.A.S) 8.相似三角形判定定理 (3) 的两个三角形相似(S.S.S) 9.直角三角形相似的判定定理： 的两个 三角形相似 (H.L) 10.相似三角形的性质 相似三角形的对应角 , 对应边 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 相似三角形的周长的比等于 相似三角形面积的比等于 要点速测 1．下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 2．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 3．如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，，，，则_______． 5．如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 6．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 三、解答题 7．一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 8．如图，在中，，，点D是边上一动点（不与B，C重合），，交于点E．    (1)求证：； (2)当时，求的长度． 9．图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． (1)图①中，画出的中线； (2)图②中，在的边上找一点F，连接，使； (3)图③中，在的边上找一点G，连接，使的面积为2． 10．如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 11．综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． (1)【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； (2)【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； (3)【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 由（1）知：四边形是矩形， 知识点相似多边形、位似多边形 1.两个多边形相似的定义：对两个 的多边形, 如果将一个多边形的顶点同另一个多边形的顶点依次对应, 使得对应角相等, 对应边成比例, 那么称这两个多边形相似. 2.相似多边形的性质：相似多边形的对应角 、对应边 . 3.相似比:两个相似多边形的对应边的 叫作这两个多边形的 . 4.位似图形的概念:如图，每幅图的两个多边形不仅相似，而且它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例, 像这样的两个图形是 这点叫作 , 这时我们说这两个图形关于这点位似. 5.位似图形的性质 1. 位似图形是特殊的相似图形,具有相似图形的一切性质. 2. 位似图形的对应点的连线相交于一点, 这个点就是 . 3. 位似图形的对应边 . 4. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 . 要点速测 1．下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个菱形 2．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（   ） A．18 B．15 C．12 D．8 3．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 4．下列命题中，正确命题的个数为________． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 5．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为________． 6．我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为____． 7．学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． ∵四边形 与四边形相似， 8．如图，三个顶点坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内，将放大为原来的2倍得到，请作出； (2)求的面积． 9．如图，已知点，将点向右平移4个单位长度，得到点，连接．将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到线段，连接，． (1)请直接写出点的坐标； (2)连接，求三角形的面积； (3)点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向上平移运动，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)在（3）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴向左平移运动，设射线交轴于点．问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 10．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．    (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 题型1黄金分割 ▌例1宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 解题要点 本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． ▌迁移练1-1综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．          (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 题型2平行线分线段成比例 ▌例2abcABCDEF(1)若，求的长； (2)若，求的长． 解题要点：本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． ▌迁移练2-1ABCDEFQHPG(1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出是解决问题的关键． 题型3相似判定综合 ▌例3(1)求证：； (2)如果，求证：． 解题要点（1）先根据三角形外角的定义得到，即可证明； （2）先证明得到，再根据证明，即可证明． ▌迁移练3-1AEF (1)求证：； (2)若，求的长． 解题要点：（1）利用平行四边形的性质可得，从而得，然后根据两角相等的两个三角形相似证明即可解答； （2）利用相似三角形的性质可求出，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 难点一相似三角形 难点1：比例线段、黄金分割、平行线分线段成比例定理的灵活运用 分不清定理使用条件，不会找准对应线段，容易出现线段比例写反；复杂图形中找不到平行线，不会拆分基本图形。 牢记定理前提条件：平行线是核心，无平行线不能直接套用比例，先看截线，再写上下对应线段，养成先标线段再列式的习惯； 难点2：相似三角形常见几何模型识别与综合运用（A 型、X 型、母子相似、一线三等角） 图形经过旋转、翻折、变形之后，识别不出经典模型；遮住多余线条，剥离干扰线段，还原基础模型；遇到动点、旋转图形，优先观察是否存在一线三等角、母子相似。 难点2：分类讨论相似三角形中由于图形的不确定, 或对应边、对应角的不确定, 或动点问题, 常会出现分类讨论的情形. 在相似三角形中可以按边分类讨论, 也可以按角分类讨论, 综合几种情况，最后得出结论. 1．如图，在中，对角线，相交于点OEF    A． B．1 C． D．2 FGEH____________【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此AEH与ABC两个三角形相似，将AM视为AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案． 3．如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 4．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．     ， 基础达标 1．如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（    ） A． B． C． D． 2．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 4．如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 5．如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．    6．如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________．    7．如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是________．    8．如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____． 9．如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 10．如图，矩形中，点E在上，，与相交于点O．与相交于点F． (1)若平分，求证：； (2)找出图中与相似的三角形，并说明理由; (3)若，，求的长度． 能力进阶 一、单选题 1．如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（    ）    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 二、填空题 2．如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为__________．    3．如图，在四边形中，，若，则的值为_______． 三、解答题 4．如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长． 5．在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值． （1）①__________； ②__________； ③小明为了证明①②，连接交于O，连接，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②． （2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，，（）求： ①__________（用k的代数式表示） ②__________（用k、的代数式表示） 6．如图，在菱形ABCD中，，，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使，且CF、DE相交于点G （1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形； （2）当时，求AE的长； （3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $