第28章 相似三角形（8考点+6易错+易错训练）（知识清单）数学新教材沪教版九年级上册

第28章 相似三角形 知识点一 相似形的定义及性质： ①定义：形状 的两个图形称为 . ②性质：如果两个图形是相似图形，则这两个多边形对应角 ，对应边 ；. 知识点二 比例线段的定义及性质： ①两条线段的比：两条线段 的比； ②比例线段：若a：b=c：d，则线段a，b，c，d叫做 ； ③基本性质： ； ④合比性质： ； ⑤等比性质： . 知识点三 黄金分割： ①定义：线段AB被点P分为AP和PB（AP>PB），满足AP2=AB·PB，则称线段AB被点P黄金分割；点P叫做线段AP的 ； ②黄金分割比： ; 知识点四 三角形一边的平行线： ①性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段 ； 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形的三边 ； ②判定定理：若一直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，则这条直线 ； 推论：若一直线截三角形的两边的延长线所得的 ，则这条直线平行于三角形的第三边. 知识点五 平行线分线段成比例： ①平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段 ； ②平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的 ，那么在另一条直线上截得的线段 . 知识点六 相似三角形的判定： 判定定理： ①两角（AA） 的两个三角形相似； ②两边 且 （SAS）相等的两个三角形相似； ③三边 的两个三角形相似； ④ 和 对应成比例的两个直角三角形相似； 推论；平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形 . 知识点七 相似三角形的性质： ①相似三角形的 ； ②相似三角形的周长之比等于 ； ③相似三角形的面积的比等于 ； ④相似三角形对应高的比、 和对应角 都等于相似比. 知识点八 位似图形的性质 ① 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. ②位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. ③位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. ④位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. ⑤一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 ⑥位似变换的坐标特征：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为 . 易错点1 对相似形的定义理解不透彻 易错提醒：分不清相似多边形的对应边、对应角。做题时应理解相似多边形的定义，明确“对应”关系，多边形的相似，要求边数相同，形状相同（对应角相等，对应边的长度成比例）. 【对点训练】1．下列和如图相似的图形是（    ） A． B． C． D． 易错点2 比例线段 易错提醒 不注意线段的单位和顺序，直接套用概念。 注意：比例线段的顺序性与单位要统一，比例中项的应用一定要注意题目中的表述，例如题目中出现“线”或“单位”时，最终结果为正值；否则，正负两个值皆可取． 【对点训练】2．已知线段，，线段是线段、的比例中项，那么线段的长是 ． 易错点3 比例与比例线段的性质 易错提醒 在根据比例的性质解决问题时不能用合适的推论进行推导。 注意：一般的，计算时常用这个基本性质，而推论常用于证明。在使用时只要注意“对应”，等式就可以成立。 【对点训练】3．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 易错点4 比例与比例线段的性质 易错提醒 注意：利用黄金分割时一定是： ，容易把长边短边弄错。一般来说，一条线段的黄金分割点有两个。 【对点训练】4 黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 易错点5 相似三角形的判定 易与三角形全等的判定定理混淆。 注意：相似三角形的判定条件可简述为：AA（两角分别相等的两个三角形相似）；SAS（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）；SSS（三边对应成比例的两个三角形相似）；全等是相似的特殊情况，写三角形相似时对应点必须对应。 【对点训练】5 如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 易错点6 三角形中的多对相似三角形 在三角形中，只关注比较明显的一对相似三角形。 注意：相似三角形比全等三角形容易构成，只要满足两个三角形中两组对应角相等即可。尤其在特殊三角形中，简单的结构就能构成多对相似三角形. 【对点训练】6 （1）如图①△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因此有_______________; （2）如图②△ABC中，BD和CE分别是边AC与AB上的高（也可不是高线，只要满足∠ABD=∠ACE，或满足AE:AC=AD:AB即可），相交于点P，因此：______________________; （3）如图③△ABC中△ADE∽△ABC,连结BD和CE，可得到____________________. ① C B A D ② A B C D E P ③ A B C D E 说明：选取本单元易错题进行训练，典型题和新题可显示题源，总题量15~20左右。 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）下列各组中的四条线段是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·北京海淀·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·山东烟台·期末）黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（2023·上海奉贤·一模）如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，，点在边上，与相交于点，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 8．（2022·江苏泰州·模拟预测）地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 9．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 11．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 12．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，把一个等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别是和，点在轴负半轴上．的平分线交轴于点，则点的坐标是________． 13．（25-26八年级下·山东淄博·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 14．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 15．（2022·四川内江·三模）如图，正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点在上，点在上，且．若，则______． 16．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿，折叠，点落在点处，点落在点处，点，，恰好在同一直线上，若，，，则线段的长是____________． 三、解答题 17．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．（22-23九年级上·山东枣庄·期中）如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示点M的坐标为_____，点N的坐标为____． (2)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (3)试求t为何值时，与相似? 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，，． (1)求证：四边形与四边形位似． (2)若，，求． 20．（2026·湖北襄阳·二模）在矩形中，将绕点A逆时针旋转到位置，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点E恰好落在对角线上时，若，，求的长； (3)如图3，直线分别交于点G，交于点M，且，． ①求证：； ②设的面积为，的面积为，直接写出的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28章 相似三角形 1.相似形的定义及性质： ①定义：形状相同的两个图形称为相似图形。 ②性质：如果两个图形是相似图形，则这两个多边形对应角相等、对应边成比例。 2.比例线段的定义及性质： ①两条线段的比：两条线段长度的比； ②比例线段：若a：b=c：d，则线段a，b，c，d叫作成比例线段； ③基本性质：； ④合比性质：； ⑤等比性质：. 3.黄金分割： ①定义：线段AB被点P分为AP和PB（AP>PB），满足AP2=AB·PB，则称线段AB被点P黄金分割，点P叫作线段AP的黄金分割点； ②黄金分割比：; 4.三角形一边的平行线： ①性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例； 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形的三边对应成比例； ②判定定理：若一直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边； 推论：若一直线截三角形的两边的延长线所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边。 5.平行线分线段成比例： ①平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例； ②平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 6.相似三角形的判定： 判定定理： ①两角（AA）对应相等的两个三角形相似； ②两边对应成比例且夹角（SAS）相等的两个三角形相似； ③三边对应成比例的两个三角形相似； ④斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似； 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 7.相似三角形的性质： ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例； ②相似三角形的周长之比等于相似比； ③相似三角形的面积的比等于相似比的平方； ④相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 8.位似图形的性质 ① 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点。 ②位似图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且比相等。 ③位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 ④位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质。 ⑤一对对应边与位似中心（不在同一直线上）形成的两个三角形相似。 ⑥位似变换的坐标特征：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为 （kx，ky)或(-kx，-ky)。 易错点1 对相似形的定义理解不透彻 易错提醒：分不清相似多边形的对应边、对应角。做题时应理解相似多边形的定义，明确“对应”关系，多边形的相似，要求边数相同，形状相同（对应角相等，对应边的长度成比例）。 【对点训练】1．下列和如图相似的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确； B.只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误； C.只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误； D.只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误。 故选A． 易错点2 比例线段 易错提醒 不注意线段的单位和顺序，直接套用概念。 注意：比例线段的顺序性与单位要统一，比例中项的应用一定要注意题目中的表述，例如题目中出现“线”或“单位”时，最终结果为正值；否则，正负两个值皆可取。 【对点训练】2．已知线段，，线段是线段、的比例中项，那么线段的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵线段，，线段是线段、的比例中项， ∴， ∴，（舍）， ∴线段的值为． 故答案为：． 易错点3 比例与比例线段的性质 易错提醒 在根据比例的性质解决问题时不能用合适的推论进行推导。 注意：一般的，计算时常用这个基本性质，而推论常用于证明。在使用时只要注意“对应”，等式就可以成立。 【对点训练】3．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ． 故选：A． 易错点4 比例与比例线段的性质 易错提醒：注意，利用黄金分割时，容易把长边、短边弄错。一般来说，一条线段的黄金分割点有两个。 【对点训练】4 黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点。已知线段AB，点C是线段AB的黄金分割点，且的长是（   ） A． B. C. D. 【答案】A 【详解】，， 设，则， ， ，即， 解得或， ， ，即． 故选A。 易错点5 相似三角形的判定 易与三角形全等的判定定理混淆。 注意：相似三角形的判定条件可简述为：AA（两角分别相等的两个三角形相似）；SAS（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）；SSS（三边对应成比例的两个三角形相似）；全等是相似的特殊情况，写三角形相似时对应点必须对应。 【对点训练】5 如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 易错点6 三角形中的多对相似三角形 在三角形中，只关注比较明显的一对相似三角形。 注意：相似三角形比全等三角形容易构成，只要满足两个三角形中两组对应角相等即可。尤其在特殊三角形中，简单的结构就能构成多对相似三角形。 【对点训练】6 （1）如图①△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因此有△ABC∽△CBD∽△ACD; （2）如图②△ABC中，BD和CE分别是边AC与AB上的高（也可不是高线，只要满足∠ABD=∠ACE，或满足AE:AC=AD:AB即可），相交于点P，因此：△ABD∽△ACE；△EPB∽△DPC；△ADE∽△ABC，△PDE∽△PCB。 （3）如图③△ABC中△ADE∽△ABC，连结BD和CE，可得到△ABD∽△ACE. ① C B A D ② A B C D E P ③ A B C D E 1.（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）下列各组中的四条线段是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段。根据成比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案。 【详解】解：A、，四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B.，四条线段成比例，故本选项符合题意； C.，四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D.，四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选：B． 2.（25-26九年级上·河南郑州·期中）已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可利用比例的性质，通过将a、c用b、d表示，再代入所求式子化简计算。 【详解】解：∵，， ∴，， 将，代入得：， ∵， ∴， 故选：B． 3.（2026·北京海淀·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变。已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形。若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长。 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为． 4.（25-26九年级下·山东烟台·期末）黄金分割是汉字结构最基本的审美规律。如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观。横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由黄金分割的定义求出，再由计算即可得出结果。 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴． 5.（2023·上海奉贤·一模）如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知是等腰直角三角形，设，可用含的式子表示的长，再根据以为圆心，长为半径作弧，可知的长，由此即可求解。 【详解】解：根据题意得，是等腰直角三角形，设， ∴， ∵以为圆心，长为半径作弧，交线段于点， ∴， ∴， 故选：A．． 【点睛】本题主要考查作图求线段的比值，理解题意，找出线段之间的大小关系是解题的关键。 6.（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，，点在边上，与相交于点，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段以及相似三角形的判定和性质，利用三角形面积公式求出的面积，最后用矩形面积减去两个三角形的面积，即得阴影部分的面积。 【详解】过点作于，延长交于 ，如图 四边形ABCD是矩形 ， ，， 故选：B． 7.（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，D，E分别是上的点，连接DE交AC于点F，已知是的中点且，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】过点作交于点，根据平行线分线段成比例求解。 【详解】解：如图，过点作交于点， 是的中点， ，则， ， ， ， ． 二、填空题 8.（2022·江苏泰州·模拟预测）地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 【答案】 【分析】根据黄金分割率，用，可得结论。 【详解】解：由题意得，，， 黄金地带纬度的范围是：． 9.（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________。 【答案】 【详解】解：∵和是位似三角形，位似中心为点O，， ∴和的位似比为． 10.（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”。如图，现在小明门前的小河清澈透明。为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解。 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 11.（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【分析】证明，得出对应边成比例，求出相关线段即可。 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 解得． 12.（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别是和，点在轴负半轴上。的平分线交轴于点，则点的坐标是________。 【答案】 / 【分析】当两个点纵坐标相等时，这两个点连成的线段平行x轴。利用平行线的性质和角平分线的定义得出相关结论，用勾股定理求出相关线段的长进行求解。 【详解】解：∵点A、点B的坐标为和， 轴 ∴， ， ， ， 在中，， 平分， ， ， ， ， ， ， ∴点D的坐标为． 13.（25-26八年级下·山东淄博·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法。如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【答案】 【分析】因为相似三角形的对应高的比等于相似比。 【详解】解：设小孔到的距离为， ， ， ， ，即小孔到的距离为． 14.（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似。 【答案】4或 【分析】首先在运动过程中，与的公共角始终保持相等， 但另外两组角的对应关系不确定，因此需分情况讨论。然后就每种情况利用相似三角形的对应边成比例求解即可。 【详解】解：设运动时间为t，由题意可知，，， ①当时， 则，即， 解得． ∴经过，． ②当时， 则，即， 解得． ∴经过，． 综上，经过或，与相似。 15.（2022·四川内江·三模）如图，正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点在上，点在上，且．若，则______。 【答案】 【分析】连接，首先求出、的长，证明，可得，求出即可。 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 16.（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿，折叠，点落在点处，点落在点处，点，，恰好在同一直线上，若，，，则线段的长是____________。 【答案】 【分析】设与交于点，由矩形的性质得，，，由折叠的性质得，，，，，设，则，根据勾股定理将表示出来，证明，列比例式，将、表示出来，再根据勾股定理列方程求解即可。 【详解】解：如图，设与交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：，，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 三、解答题 17.（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，． （1）求证：； （2）若，，求的长。 【答案】（1) 证明：，， ， ， 点、分别在边、上， ，， ， 又， (2) 【分析】（1）先证明，再根据等角的补角相等，得到，即可证明相似； （2）利用相似三角形对应边成比例求解即可。 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是． 18.（22-23九年级上·山东枣庄·期中）如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒。 （1）用含t的代数式表示点M的坐标为_____，点N的坐标为____。 （2）当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； （3）试求t为何值时，与相似？ 【答案】(1)，； （2）秒或6秒 （3）秒或2秒 【分析】（1）根据路程=速度×时间可求解； （2）根据，可得，解方程即可； （3）分两种情形列出方程即可解决问题。 【详解】（1）∵，， ∴，， 故答案为：，； (2)∵, ∴， ∴或6， ∴当秒或6秒时，四边形AMNB的面积为． （3）∵与相似，， ∴或 ∴或， 解得：或2， ∴当秒或2秒时，与相似。 【点睛】本题考查相似三角形的判定、坐标与图形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。 19.（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，，． （1）求证：四边形与四边形位似。 （2）若，，求． 【答案】（1) 证明见解析 (2) 【分析】本题考查位似图形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，同时运用相似图形面积比等于相似比的平方的性质及线段比例的转化计算，关键是位似图形判定与性质的综合应用。 （1）借助已知的各组对应边分别平行的条件，结合平行线分线段成比例定理推导出两个四边形所有对应边的比相等，再结合两四边形对应顶点的连线相交于同一点，依据位似图形的判定定理即可完成证明； （2）先由转化得到，确定四边形与四边形的相似比为4:3，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方，结合已知的，通过比例计算即可求出四边形的面积。 【详解】（1）证明：∵，，， ∴． 又∵四边形与四边形的对应顶点的连线相交于点， ∴四边形与四边形位似。 （2）解：∵， ∴， ∴四边形与四边形的相似比为． ∵， ∴． 20.（2026·湖北襄阳·二模）在矩形中，将绕点A逆时针旋转到位置，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点E恰好落在对角线上时，若，，求的长； （3）如图3，直线分别交于点G，交于点M，且，． ①求证：； ②设的面积为，的面积为，直接写出的值。 【答案】（1）证明：由旋转的性质可知：，，， ∴． 在和中， ∵，且， ∴． (2) （3）①证明：连接，由旋转的性质得，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． ② 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，即可证明相似。 （2）过点C作于点G，由折叠知和矩形性质证，得，得，，由，得，所以。 （3）①连接，由旋转性质得，可得，又，得，所以。 ②以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设，则 。 ∴ 。∴ 。∴ 。求出直线的解析式为；直线的解析式为。联立解得，设与交于点N。则，得，，可得，得，所以，得，∴。由，得​，所以​。 【详解】（1）略 （2）解：过点C作于点G。 由折叠知， ∵矩形中， ∴ 。 ∵， ∴ 。 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴。 （3）①略。 ②解：∵矩形中，， ∴以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图。 设，则，。 ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴； 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴． 联立， 解得， 设与交于点N， 则， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， , ， ∴， ∴． 由（1）知， ∵​， ∴​。 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $