5.2　5.2.1　三角函数的概念(一)-2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦“三角函数的概念”，从初中直角三角形边角关系出发，通过问题1（三角形大小改变时函数值不变）和问题2（单位圆交点坐标表示三角函数）搭建学习支架，衔接旧知与新知，引导学生理解任意角三角函数的定义。 其亮点是以数学抽象为核心，通过问题链驱动概念建构，如探究终边在y轴上时正切函数是否存在，培养严谨的数学思维。结合思维导图梳理知识结构，典例与定向训练强化应用，帮助学生形成结构化认知，教师可直接用于课堂教学，提升效率。

5.2　三角函数的概念 5.2.1　三角函数的概念(一) 素养目标 思维导图 借助单位圆,理解三角函数的定义(数学抽象). 课前自主学习 问题1.在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数,如图所示. 定义sin α=,cos α=,tan α=. 定义的三个三角函数,对于同样大的一个角来说,如果三角形的大小改变,其三角函数值是否改变? 提示:不变. 问题2.如图,如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(x,y), 根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义,你 能否用点P的坐标表示sin α,cos α,tan α? 提示:能.sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0). 继续探究:如果角α的终边落在y轴上,这时其终边与单位圆的交点坐标是什么? sin α,cos α,tan α的值是否还存在? 提示:终边与单位圆的交点坐标是(0,1)或(0,-1),这时tan α的值不存在,因为分母不能 为零,但sin α, cos α的值仍然存在. 【核心概念】 1.任意角的三角函数定义 在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与________交于点P(x,y),那么: (1)正弦函数:把点P的________叫做α的正弦函数,记作______,即y=sin α;  (2)余弦函数:把点P的_________叫做α的余弦函数,记作______,即x=cos α;  (3)正切函数:把点P的纵坐标与横坐标的______叫做α的正切函数,记作______, 即=tan α(x≠0).  单位圆 纵坐标y sin α 横坐标x cos α 比值 tan α 2.三角函数的概念 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为__________.通常将它们记为: 正弦函数:____________;  余弦函数:_____________;  正切函数:_____________________.  三角函数 y=sin x,x∈R y=cos x,x∈R y=tan x,x≠+kπ(k∈Z) 3.用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图,若α是一个任意角,它的终边上任意一点P(不与原点重合)的坐标为(x,y),点P与原点的距离为r(r=),则sin α=,cos α=,tan α=.   注意:三角函数值的大小只与角的大小有关,与终边上点P的位置无关. 课堂合作探究 探究点　利用三角函数的定义求三角函数值 【典例】(1)已知角α的始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆的交点为P(-,-),则 cos α=(　　) A.- B. C.- D. (2)在平面直角坐标系xOy中,若点P从点(3,0)出发,沿圆心在原点,半径为3的圆按逆时针方 向运动 rad到达点Q,则点Q的坐标为(　　) A.(-,) B.(-,) C.(,-) D.(,-) (3)若α=,则sin α=　　　　　,cos α=　　　　　　,tan α=　　　　　.  【思维导引】(1)利用任意角的三角函数的定义求值. (2)根据题意作出示意图,并利用三角函数定义即可求得点Q的坐标. (3)在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解. 【解析】(1)选A.角α的终边与单位圆的交点为P(-,-),则cos α=-. (2)选C.根据题意作出图示如下:  根据题意可得OP=3,∠POQ=,作QQ1⊥x轴且垂足为Q1. 利用三角函数定义可得OQ1=3×cos∠POQ=, QQ1=3×sin∠POQ=.又点Q在第四象限, 所以点Q的坐标为(,-). (3)在直角坐标系中,作∠AOB=(如图). 易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(-,), 所以sin =,cos =-,tan =-.  答案:　-　- 【类题通法】由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的解题方法 已知角α的终边在射线上时,常用的解题方法有以下两种: ①单位圆法:先利用射线与单位圆相交,求出交点坐标,再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值; ②终边点法:在α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0),则sin α=,cos α=.已知α的终边求α的三角函数值时,用这几个公式更方便. 【题后反思】当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定要注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论. 【定向训练】 1.已知角α终边经过点P(-3,y),且tan α=,则cos α=(　　) A.- B.± C.- D.± 【解析】选A.根据三角函数定义可得:tan α==,解得y=-4, 则cos α==-=-. 2.已知角α的终边落在射线y=2x(x>0)上,求sin α,cos α的值. 【解析】设射线y=2x(x>0)与单位圆x2+y2=1的交点为P(x,y),则, 解得x=,y=,即P(,),由三角函数的定义,可得sin α=y=,cos α=x=. 课堂练习 1.如果角α的终边过点(1,-),则sin α的值等于(　　) A. B.- C.- D.- 【解析】选C.点(1,-)到原点的距离r==2,由定义知sin α==-. √ 2.(2024·西安高一检测)已知sin α=,cos α=-,则角α的终边与单位圆的交点坐标 是(　　) A.(,-)　 B.(-,) C.(,-)　 D.(-,) 【解析】选D.设交点坐标为P(x,y),则y=sin α=,x=cos α=-, 故点P的坐标为(-,). √ 3.在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,如果角α,β的终边分别与单位圆交于点(,)和(-,),那么sin αcos β=(　　) A.-　 B.-　 C.　 D. 【解析】选B.因为角α,β的终边与单位圆分别交于点(,)和(-,), 故由定义知sin α=,cos β=-,所以sin αcos β=×(-)=-. √ 4.如果角α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),则cos α的值等于 (　　) A. B.- C.- D. 【解析】选A.2sin 30°=1,-2cos 30°=-,所以r=2,所以cos α=. √ 5.若角α的终边与射线y=-2x(x≤0)重合,则sin α=　　　　.  【解析】因为角α的终边与射线y=-2x(x≤0)重合,所以不妨在终边上取一点P(-1,2), 则r==,所以sin α=. 答案: 谢 谢 $