专题03认识实数（暑假预习讲义）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册.

专题03认识实数 暑假预习讲义 （北师大版◆新教材） ✺知识框架 1.数的分类体系：实数分为有理数（有限小数、无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）；按正负性可划分为正实数、0、负实数，明确数的归属判定依据。 2.实数基础性质：延续有理数核心性质，包含相反数、倒数、绝对值三大基础概念，性质规则完全通用，适用范围拓展至全体实数。 3.实数与数轴（数形结合）：实数与数轴上的点一一对应，依托数轴可判断实数位置、比较实数大小，是本章数形结合的核心考点。 4.实数运算与大小比较：有理数所有运算律、运算性质均适用于实数；掌握实数基础运算、无理数估算、多种实数大小比较方法，是本章计算核心。 ✅本节是数系从有理数扩充到实数的核心章节，在原有有理数知识基础上引入无理数，完善初中完整数系体系。全章内容围绕四大核心模块展开：实数的分类、实数的基本性质、实数与数轴的关系、实数的运算与大小比较，知识点层层递进、逻辑完整。 ✺学习目标 知识理解：1.掌握无理数与实数的定义，熟练运用两种实数分类方法，能够准确区分有理数与无理数。 2.掌握实数范围内相反数、倒数、绝对值的定义与核心性质，明确其与有理数范围内概念的一致性，可熟练完成相关计算与化简。 3.理解实数与数轴上点的一一对应关系，掌握利用数轴比较实数大小的方法，了解数轴上无理数的基本表示方法。 4.掌握实数的基本运算法则，知晓有理数运算律在实数范围内完全适用，熟练掌握实数大小比较方法，能够简单估算无理数的取值范围。 能力应用1.完整建立实数数系认知，清晰区分有理数与无理数的概念、从属关系，夯实初中数感基础。 2.熟练运用数形结合思想，借助数轴分析实数的位置与大小关系，突破本章核心难点。 3.具备精准辨析实数类型、规范化简实数式子、准确进行实数运算与大小比较的基础解题能力。 ✺题型归纳 题型1.无理数的识别 题型2.无理数的大小估算 题型3.实数概念理解 题型4.实数的分类 题型5.实数的性质 题型6.实数与数轴 题型7.实数的大小比较 题型8.勾股定理与无理数 题型9.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、无理数的概念与识别 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。如，，，0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0)都是无理数. 2.常见的无理数 （1）所有开方开不尽的数的方根：如、. （2）化简后含有π的数：如-，2π,。 （3）无限不循环小数：如0.1010010001...（相邻两个1之间依次多一个0）。 知识点二、实数的概念与分类 1.实数定义：有理数和无理数统称为实数。 2.两种分类方法 分类一：按定义（数的形式）分类 分类二：按正负性分类 3. 核心结论 核心结论：0是有理数，不属于无理数；无理数只有正无理数和负无理数两类，不存在0值的无理数。 知识点三：实数的相关性质 1.相反数 （1）定义：只有符号不同的两个数互为相反数，实数a的相反数是-a。 （2）性质：①a与b互为相反数则a+b=0；②0的相反数是0；③互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。 2.倒数 （1）定义：乘积为1的两个实数互为倒数，非零实数a的倒数是。 （2）性质：①a与b互为倒数,则ab=1；②0没有倒数；③倒数等于本身的数是1和-1。 3.绝对值 （1）定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 （2）性质：①一个正数的绝对值是它本身；②0的绝对值是0；③负数的绝对值是它的相反数。 设a表示一个实数，则｜a｜= 知识点四：实数与数轴的关系 1.实数与数轴上的点的一 一对应关系 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。 2.实数的大小比较 （1）数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数始终大于左边的点表示的实数。 （2）正实数＞0＞负实数；两个负实数，绝对值大的数反而小。 知识点五：实数的运算 1.运算范围 当数的范围从有理数扩充到实数后，实数可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算；而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数都可以进行开立方运算有理数的运算法则与运算性质在实数运算中同样适用。 2. 实数的运算顺序 先计算乘方、开方，再计算乘除，最后计算加减；同级运算按照从左到右的顺序依次计算；存在括号时，优先计算括号内部的算式。 3.运算注意事项 （1）化简要求：含无理数的运算结果必须化为最简形式，无法开方的无理数直接保留原式，不强行估算。 （2）近似计算：题目明确要求小数结果时，可代入常用无理数近似值计算。 知识点六、实数大小比较常用方法 1. 数轴法：右大左小，最直观。 2. 绝对值法：正数绝对值越大数越大；负数绝对值越大数越小。 3. 作差法：若 a-b>0，则 a>b；若 a-b<0，则 a<b。 4.对于符号相同的两个实数，还可利用取倒数法来比较大小，即若＞＞0，则a＜b；若＜0，则a＞b. ✺题型◆精讲 题型1.无理数的识别 1．从无理数的角度观察下列各数，符合无理数特征的数是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：∵ 0是整数，是无限循环小数，可化为分数，是分数，都属于有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数 ∴ 符合无理数特征的数是D选项． 2．实数中无理数的个数为___________． 【答案】 【详解】解：实数中，无理数有、，共个． 3．小红：如图是课本第71页的部分内容，你理解这部分内容吗？能用类比的方法说明是无理数吗？ 小明：好的． 求证：是无理数． 证明是无理数我们可以用反证法证明是无理数： 假设不是无理数，那么是有理数．有理数都可以写成分数形式（m，n是整数，），所以可以写成（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），即． 根据平方根的意义，，即，． 由于上式左边是偶数，所以右边也是偶数，从而可知m是偶数． 设（p是正整数）， 把代入，得，即． 因此n也是偶数． 于是，m，n都是2的倍数，这与m，n没有大于1的公约数相矛盾． 因此假设不成立，不是有理数，它是无理数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了用反证法说明是无理数，假设不是无理数，那么是有理数，设（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），证明m，n都是3的倍数，与m，n没有大于1的公约数矛盾，故不可能写成的形式（m，n是正整数，且最大公约数是1），即可得证． 【详解】证明：假设不是无理数，那么是有理数． 设（m，n是正整数，且没有大于1的公约数）， 根据平方根的意义：，即． ∴． 由上式右边是3的倍数， ∴是3的倍数，分解质因数时必有质因数3， ∴m一定有质因数3（或m是3的倍数）． 设（p为正整数）， ∴． ∴． ∴． ∴是3的倍数． ∴n是3的倍数． 这样m，n都是3的倍数，与m，n没有大于1的公约数矛盾． ∴不可能写成的形式（m，n是正整数，且最大公约数是1）． ∴是无理数． 题型2.无理数的大小估算 1．《九章算术》中指出，“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，用“面”来表示开方开不尽的数，如：“面之”表示．请估算的值在（     ）之间． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】用夹逼法估算无理数的范围即可． 【详解】， ， ， 即的值在与之间． 2．已知（为整数），则的值是__________． 【答案】 【分析】先估算的大小，确定介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式即可求出整数的值． 【详解】解：，，且， ，即， 又，为整数， ． 3．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【答案】(1)5；6 (2)方法一：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计， ∴，， ∴． 方法二：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【分析】（1）根据即可得出； （2）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2） 略 题型3.实数概念理解 1．下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 2．_____和_____统称为实数． 【答案】 有理数 无理数 【分析】根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数，进行作答即可． 【详解】解：根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数， 故答案为：有理数，无理数． 【点睛】本题考查实数的定义．熟练掌握有理数和无理数，统称为实数是解题的关键． 3．一组实数按如下规律排列：，___，_____． (1)两条横线上的实数分别____； (2)第11、12个实数分别是_____． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解； （2）按照（1）中的方法即可求解． 【详解】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和， ∴横线上的实数，的系数为5+8=13，8+13=21， 所以横线上的实数分别为， （2）由（1）可知第8个数为， ∴第9个数为， 第10个数为， 第11个数为， 第12个数为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了实数的规律问题，观察数字中的系数，找到规律是解题的关键． 题型4.实数的分类 1．在实数，，，，0中，无理数共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：开立方无法得到整数或分数，是无限不循环小数，是无理数； 是分数，属于有理数； 是无理数，因此仍是无限不循环小数，是无理数； 开平方无法得到整数或分数，是无限不循环小数，是无理数； 是整数，属于有理数； ∴无理数共有个． 2．把下列各数填入对应的括号内：，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． 有理数：{         }； 无理数：{         }． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的定义解答即可求解，掌握有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：有理数：； 无理数：{，（相邻两个之间的个数逐次加）}． 3．把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 【答案】；； 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握实数的分类，实数是有理数和无理数的统称，有理数是整数和分数的统称，无限不循环小数叫做无理数．根据整数、有理数、无理数的定义逐个数进行判断即可． 【详解】解：是无限循环小数，故不是整数，是有理数； ，是整数，也是有理数； 是有限小数，是有理数， 是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，故是无理数； ，是整数，也是有理数； 是整数，也是有理数； （每两个之间多一个）是无限不循环小数，故是无理数； 是分数，故是有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，故是无理数． 综上，属于整数的有：； 属于有理数的有：； 属于无理数的有：． 故答案为：；；． 题型5.实数的性质 1．实数的相反数是（ ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数为． 2．的相反数是__________. 【答案】 / 【详解】解：的相反数为. 3．求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的绝对值是，相反数是 (2)的绝对值是，相反数是 (3)的绝对值是，相反数是 (4)的绝对值是，相反数是 【分析】本题考查了相反数和绝对值，只有符号不同的两个数是互为相反数；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． （1）（2）（3）（4）根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】（1）解：的绝对值是，相反数是 （2）解：的绝对值是，相反数是 （3）解：的绝对值是，相反数是 （4）解：的绝对值是，相反数是 题型6.实数与数轴 1．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据数轴有：，则有：． 2．实数x在数轴上对应点的位置如图所示，则________x．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】＞ 【详解】解：由数轴可知：， ∴． 3．甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)甲同学所做的点表示的数是_______； (2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、用数轴上的点表示无理数． (1)根据勾股定理可得，可知，所以点表示的数是； (2)构造，使，，，根据勾股定理可得，所以点表示的数是． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如下图所示，在中，，，， ， ， 点表示的数是． 题型7.实数的大小比较 1．在实数，，，中，最小的数是（     ） A． B． C．-2 D． 【答案】D 【分析】利用“正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的数更小”的规则求解即可． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ 正数都大于负数，只需比较两个负数的大小， ∵，，且， ∴ 两个负数比较大小，绝对值大的数更小， ∴，即四个数中最小的数是． 2．比较大小：________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【详解】解：， ． 3．比较大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键． （1）直接利用作差法比较大小即可； （2）将两数相减得到，接着比较与的大小，将、分别平方即可比较大小，由此可比较原数的大小． 【详解】（1）解： ， ， ，即， ． （2）解： ． ，， ， ， ， ． 题型8.勾股定理与无理数 1．如图所示，数轴上点A所表示的数为,则的值是(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出斜边长，即可得出答案． 【详解】解：由题可知，图中直角三角形的两直角边为和， ∴斜边长为， ∴点A所表示的数为． 2．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点，则点表示的数为________． 【答案】 【分析】由题意可知，根据勾股定理得到，根据作图可知，即可求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点， ∴， ∴点表示的数为． 3．如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： (1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． (2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）利用勾股定理求出，即可得出答案． （2）过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点． 【详解】（1）解：∵点表示的数是， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点， ∴， ∴点表示的数为． （2）解：∵，，， ∴， ∴点即为所求． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列是无理数的是（     ） A． B． C．3.14 D．5 【答案】A 【分析】根据定义判断各选项即可得到结果，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称． 【详解】解：∵是开方开不尽的数，是无限不循环小数，∴是无理数. ∵是分数，属于有理数，3.14是有限小数，属于有理数，5是整数，属于有理数， ∴只有A选项符合要求． 2．下列整数中与最接近的是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】通过比较平方数确定的取值范围即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 因此下列整数中与最接近的是． 3．已知实数，则实数的倒数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将绝对值化简，再求倒数即可． 【详解】解：，2024的倒数为， 故选：B． 【点睛】本题考查求有理数的绝对值，倒数，解题关键是掌握乘积等于1的两个数互为倒数． 4．如图，若边长为1的等腰直角三角形的一条直角边在数轴上，数轴上点所表示的数为，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过图形可知，利用勾股定理求出，可以求出，即可解答． 【详解】解：由图可知， 由图形可知， 根据勾股定理得：， ∴， ∴A表示的数为，则． 二、填空题 5．比较大小：2________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题可利用无理数的大小估算，根据，从而比较实数的大小． 【详解】解：∵，， ∴． 6．的绝对值是_________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是求一个数的绝对值，解题关键是熟练掌握如何求一个数的绝对值． 根据绝对值的定义即可得解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 7．的相反数是______，的倒数是______，______． 【答案】 / 【分析】本题考查了实数的性质，无理数的估算；根据相反数的定义“正负号相反的两个数互为相反数”确定的相反数；两个乘积是1的数互为倒数，据此计算的倒数；首先比较与的大小，然后化简绝对值即可． 【详解】解：的相反数是， ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴． 故答案为：，，． 8．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 9．若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 【答案】 【分析】首先利用算术平方根的性质估算出分别在哪两个连续整数之间，然后观察数轴确定墨迹覆盖的数值范围，最后找出位于该范围内的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由图可知，墨迹覆盖的范围是2到3之间， 能被墨迹覆盖的数是． 三、解答题 10．把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 【答案】(1)，，，（两个1之间依次增加一个7） (2)， (3)，， (4)，，（两个1之间依次增加一个7） 【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数； （2）根据负实数的定义确定，负实数包括负有理数和负无理数； （3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数； （4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数． 【详解】（1）正实数：{，，，（两个1之间依次增加一个7）}； （2）负实数：{，}； （3） 有理数：{，，}； （4）无理数：{，，（两个1之间依次增加一个7）}． 11．比较下列各组中两个数的大小： (1)和3； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数大小比较的法则． 利用平方法逐项比较实数的大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵，，且， ∴． 12．一只蚂蚁在数轴上的A处，点A 对应的实数是 ，它向右爬行了3个单位到达点 B 处，设点 B 对应的实数是x． (1)在已知的数轴上画出A 点和B点的位置(保留作图痕迹)； (2)计算的值． 【答案】(1) 如图所示． (2)2 【分析】本题考查了勾股定理与无理数． （1）根据作出长为的线段，进而以O为圆心，为半径交负半轴于A，以A为圆心，3为半径，向右交数轴于B即可； （2）求出B对应的数，进而计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：因为点对应的数是，点对应的数比点对应的数大3， 所以点对应的数的值是， 所以． 13． 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质： （1）根据数轴可得，据此可得答案； （2）根据（1）所求先计算算术平方根，立方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03认识实数 暑假预习讲义 （北师大版◆新教材） ✺知识框架 1.数的分类体系：实数分为有理数（有限小数、无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）；按正负性可划分为正实数、0、负实数，明确数的归属判定依据。 2.实数基础性质：延续有理数核心性质，包含相反数、倒数、绝对值三大基础概念，性质规则完全通用，适用范围拓展至全体实数。 3.实数与数轴（数形结合）：实数与数轴上的点一一对应，依托数轴可判断实数位置、比较实数大小，是本章数形结合的核心考点。 4.实数运算与大小比较：有理数所有运算律、运算性质均适用于实数；掌握实数基础运算、无理数估算、多种实数大小比较方法，是本章计算核心。 ✅本节是数系从有理数扩充到实数的核心章节，在原有有理数知识基础上引入无理数，完善初中完整数系体系。全章内容围绕四大核心模块展开：实数的分类、实数的基本性质、实数与数轴的关系、实数的运算与大小比较，知识点层层递进、逻辑完整。 ✺学习目标 知识理解：1.掌握无理数与实数的定义，熟练运用两种实数分类方法，能够准确区分有理数与无理数。 2.掌握实数范围内相反数、倒数、绝对值的定义与核心性质，明确其与有理数范围内概念的一致性，可熟练完成相关计算与化简。 3.理解实数与数轴上点的一一对应关系，掌握利用数轴比较实数大小的方法，了解数轴上无理数的基本表示方法。 4.掌握实数的基本运算法则，知晓有理数运算律在实数范围内完全适用，熟练掌握实数大小比较方法，能够简单估算无理数的取值范围。 能力应用1.完整建立实数数系认知，清晰区分有理数与无理数的概念、从属关系，夯实初中数感基础。 2.熟练运用数形结合思想，借助数轴分析实数的位置与大小关系，突破本章核心难点。 3.具备精准辨析实数类型、规范化简实数式子、准确进行实数运算与大小比较的基础解题能力。 ✺题型归纳 题型1.无理数的识别 题型2.无理数的大小估算 题型3.实数概念理解 题型4.实数的分类 题型5.实数的性质 题型6.实数与数轴 题型7.实数的大小比较 题型8.勾股定理与无理数 题型9.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、无理数的概念与识别 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。如，，，0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0)都是无理数. 2.常见的无理数 （1）所有开方开不尽的数的方根：如、. （2）化简后含有π的数：如-，2π,。 （3）无限不循环小数：如0.1010010001...（相邻两个1之间依次多一个0）。 知识点二、实数的概念与分类 1.实数定义：有理数和无理数统称为实数。 2.两种分类方法 分类一：按定义（数的形式）分类 分类二：按正负性分类 3. 核心结论 核心结论：0是有理数，不属于无理数；无理数只有正无理数和负无理数两类，不存在0值的无理数。 知识点三：实数的相关性质 1.相反数 （1）定义：只有符号不同的两个数互为相反数，实数a的相反数是-a。 （2）性质：①a与b互为相反数则a+b=0；②0的相反数是0；③互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。 2.倒数 （1）定义：乘积为1的两个实数互为倒数，非零实数a的倒数是。 （2）性质：①a与b互为倒数,则ab=1；②0没有倒数；③倒数等于本身的数是1和-1。 3.绝对值 （1）定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 （2）性质：①一个正数的绝对值是它本身；②0的绝对值是0；③负数的绝对值是它的相反数。 设a表示一个实数，则｜a｜= 知识点四：实数与数轴的关系 1.实数与数轴上的点的一 一对应关系 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。 2.实数的大小比较 （1）数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数始终大于左边的点表示的实数。 （2）正实数＞0＞负实数；两个负实数，绝对值大的数反而小。 知识点五：实数的运算 1.运算范围 当数的范围从有理数扩充到实数后，实数可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算；而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数都可以进行开立方运算有理数的运算法则与运算性质在实数运算中同样适用。 2. 实数的运算顺序 先计算乘方、开方，再计算乘除，最后计算加减；同级运算按照从左到右的顺序依次计算；存在括号时，优先计算括号内部的算式。 3.运算注意事项 （1）化简要求：含无理数的运算结果必须化为最简形式，无法开方的无理数直接保留原式，不强行估算。 （2）近似计算：题目明确要求小数结果时，可代入常用无理数近似值计算。 知识点六、实数大小比较常用方法 1. 数轴法：右大左小，最直观。 2. 绝对值法：正数绝对值越大数越大；负数绝对值越大数越小。 3. 作差法：若 a-b>0，则 a>b；若 a-b<0，则 a<b。 4.对于符号相同的两个实数，还可利用取倒数法来比较大小，即若＞＞0，则a＜b；若＜0，则a＞b. ✺题型◆精讲 题型1.无理数的识别 1．从无理数的角度观察下列各数，符合无理数特征的数是（     ） A．0 B． C． D． 2．实数中无理数的个数为___________． 3．小红：如图是课本第71页的部分内容，你理解这部分内容吗？能用类比的方法说明是无理数吗？ 小明：好的． 求证：是无理数． 证明是无理数我们可以用反证法证明是无理数： 假设不是无理数，那么是有理数．有理数都可以写成分数形式（m，n是整数，），所以可以写成（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），即． 根据平方根的意义，，即，． 由于上式左边是偶数，所以右边也是偶数，从而可知m是偶数． 设（p是正整数）， 把代入，得，即． 因此n也是偶数． 于是，m，n都是2的倍数，这与m，n没有大于1的公约数相矛盾． 因此假设不成立，不是有理数，它是无理数． 题型2.无理数的大小估算 1．《九章算术》中指出，“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，用“面”来表示开方开不尽的数，如：“面之”表示．请估算的值在（     ）之间． A．与 B．与 C．与 D．与 2．已知（为整数），则的值是__________． 3．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 题型3.实数概念理解 1．下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 2．_____和_____统称为实数． 3．一组实数按如下规律排列：，___，_____． (1)两条横线上的实数分别____； (2)第11、12个实数分别是_____． 题型4.实数的分类 1．在实数，，，，0中，无理数共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．把下列各数填入对应的括号内：，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． 有理数：{         }； 无理数：{         }． 3．把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 题型5.实数的性质 1．实数的相反数是（ ） A．2024 B． C． D． 2．的相反数是__________. 3．求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型6.实数与数轴 1．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则表示的数为（     ） A． B． C． D． 2．实数x在数轴上对应点的位置如图所示，则________x．（填“>”、“=”或“<”） 3．甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)甲同学所做的点表示的数是_______； (2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 题型7.实数的大小比较 1．在实数，，，中，最小的数是（     ） A． B． C．-2 D． 2．比较大小：________（填“”，“”或“”）． 3．比较大小： (1)与； (2)与． 题型8.勾股定理与无理数 1．如图所示，数轴上点A所表示的数为,则的值是(      ) A． B． C． D． 2．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点，则点表示的数为________． 3．如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： (1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． (2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） ✺巩固测试 一、单选题 1．下列是无理数的是（     ） A． B． C．3.14 D．5 2．下列整数中与最接近的是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知实数，则实数的倒数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，若边长为1的等腰直角三角形的一条直角边在数轴上，数轴上点所表示的数为，则为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．比较大小：2________．（填“>”、“<”或“=”） 6．的绝对值是_________． 7．的相反数是______，的倒数是______，______． 8．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序号）． 9．若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 三、解答题 10．把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 11．比较下列各组中两个数的大小： (1)和3； (2)和； (3)和； (4)和． 12．一只蚂蚁在数轴上的A处，点A 对应的实数是 ，它向右爬行了3个单位到达点 B 处，设点 B 对应的实数是x． (1)在已知的数轴上画出A 点和B点的位置(保留作图痕迹)； (2)计算的值． 13． 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $