专题05二次根式暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题05二次根式暑假预习讲义 · 概念识记：熟记二次根式定义，掌握二次根式有意义的条件，能准确判断一个式子是否为二次根式，区分被开方数的取值范围。 · 性质掌握：理解并熟记二次根式四条核心性质，能灵活对简单二次根式进行化简、变形计算，分清与()2的区别，规避取值易错点。 · 运算基础：会识别最简二次根式，能判断同类二次根式，初步掌握二次根式简单乘除化简步骤。 · 应用能力：结合实数、平方根、算术平方根旧知，解决含字母的取值范围题型，能利用二次根式非负性求值。 · 学习习惯：自主梳理定义、性质中的疑点，标注易混淆公式，带着问题听课，建立代数化简规范书写意识。 预习必备 知识梳理 1.二次根式概念与有意义的条件 2.核心性质 3.二次根式的性质与化简 4.二次根式的运算 5.分母有理化 6.化简二次根式一般方法 常考题型 精讲精练 1.二次根式的识别 2.求二次根式的值 3.求二次根式中的参数 4.二次根式有意义的条件 5.利用二次根式的性质化简 6.复合二次根式的化简 7.二次根式的乘法 8.二次根式的除法 9.二次根式的乘除混合运算 10.最简二次根式的判断 11.化为最简二次根式 12.由最简二次根式求参数 13.同类二次根式 14.二次根式的加减运算 15.二次根式的混合运算 16.分母有理化 17.由字母的值,化简求值 18.已知条件式.化简求值 19.二次根式的大小比较 20.二次根式的应用 21.实数的混合运算 22.新定义下的实数运算 23.实数运算的实际应用 24.与实数运算相关的规律题 强化题型 解答题10题 知识点01:二次根式概念与有意义条件 1. 定义 形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 必备条件：带二次根号、被开方数非负。 2. 根式取值情况（必考表格） 根式形式 成立条件 核心考点说明 有意义 a 0 基础选择题高频 无意义 a 0 负数不能开算术平方根 有意义 a 0 既要非负，又要分母不为 0 有意义 a+10 整体被开方数≥0 知识点02:核心性质｜必背清单 性质1解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质2解读：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，符号问题是高频易错点。 性质3:逆用可用于根式化简。 性质4:逆用常用于分母有理 易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 重点区分（学生必考混淆点） 1.()2：先开方、再平方，结果直接等于a 2.：先平方、再开方，结果必须带绝对值 分类化简（大题必考） 字母取值 化简结果 a 0 }=a a 0 =-a 知识点03:二次根式的性质与化简 —— 给根式 “整容变标准” 1. 最简二次根式（两大硬性标准，双检法） 必须同时满足两个条件，才算标准根式： (1)被开方数不含分数、小数； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 答题铁律：所有根式计算题，最终结果一律化为最简二次根式。 2. 同类二次根式（“同门兄弟” 判别法） (1)判断步骤：先化简 → 再比对 (2)判定规则：化成最简根式后，被开方数完全相同，即为同类二次根式（和根号外系数无关）。 (3)运算规则：可仿照整式合并同类项的方法合并。 记忆口诀：先化简，看根号，根内相同就合并。 知识点04:二次根式的运算 —— 玩转根式四则运算 运算类型 运算法则 标准步骤 踩分提醒 乘法 =（a≥0，b≥0） 相乘合并→整体开方→化为最简 被开方数不能为负 除法 （a≥0,b>0） 根式相除→分母有理化→化简 结果分母严禁带根号 加减法 无固定公式 一化（全最简）二找（同类根式）三并（合并同类） 非同类根式，不能强行合并 混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 知识点05:分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 知识点06:化简二次根式一般方法 题型1.二次根式的识别 【典例】请写出一个系数为正整数的二次根式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一个系数为正整数的二次根式形如，其中系数k为正整数，被开方数a为非负数，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题意得一个系数为正整数的二次根式为（答案不唯一）． 【跟踪专练1】下列式子中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解： A、∵， ∴ ，根指数为2，满足二次根式的定义，一定是二次根式，故选项符合题意； B、被开方数，无意义，不是二次根式，故选项不符合题意； C、当时，无意义，不一定是二次根式，故选项不符合题意； D、根指数为3，是三次根式，不是二次根式，故选项不符合题意． 【跟踪专练2】给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如且的式子为二次根式． 根据二次根式的定义，逐一判断每个式子是否满足根指数为2且被开方数非负的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：①：被开方数，是二次根式； ②：被开方数，式子无意义，不是二次根式； ③：∵，∴，被开方数恒为非负数，是二次根式； ④：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑤：∵，，∴，被开方数为非负数，是二次根式； ⑥：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑦：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑧：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； ∴一定是二次根式的有①③⑤，共3个． 故选：A． 题型2.求二次根式的值 【典例】当时，二次根式的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查求二次根式的值，解题思路为将已知代入二次根式的被开方数，计算后得到结果． 【详解】解：将代入可得：， 故答案为 【跟踪专练1】下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如（）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； B、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； C、是三次根式，该选项不符合题意； D、 ， 是二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】代数式的最小值为__________． 【答案】2 【分析】根据二次根式成立的条件即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ∴ ， ∴的最小值为2， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键． 【跟踪专练3】估计的值应该在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】直接利用二次根式加减运算法则化简，进而估算无理数的大小即可． 【详解】解：， ∵，且＜＜， 又∵=7，=8 ∴7＜＜8， ∴7＜3＜8， ∴5＜3﹣2＜6， ∴估计的值应该在5和6之间． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键． 题型3.求二次根式中的参数 【典例】若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知是整数，则正整数n的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】若最简二次根式的结果为整数，则被开方数是完全平方数，先化简原式，再据此求最小正整数n． 【详解】解：∵，是整数，是正整数， ∴为整数，即是完全平方数， 当时，，是完全平方数，满足条件， ∴正整数的最小值为． 【跟踪专练2】已知是整数，则满足条件的最小正整数为__________． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次根式的性质，灵活运用二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键． 先将进行化简得到，再根据是整数即可解答． 【详解】解：根据题意，化简得：， 又∵是整数， ∴满足条件的最小正整数x为3． 故答案为3． 【跟踪专练3】若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 题型4.二次根式有意义的条件 【典例】二次根式中，x的取值范围是_________________． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得 ， 移项得 ， 系数化为得． 【跟踪专练1】二次根式中字母的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“二次根式被开方数为非负数”列不等式即可求解的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数 ， ∴对于二次根式，可得不等式 ， 解不等式得． 【跟踪专练2】若，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得到关于的不等式组，求解得到的值，再代入原式求出的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ， ． 【跟踪专练3】式子在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，先根据二次根式被开方数为非负数求出的取值范围，再判断选项中符合条件的值即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，被开方数需为非负数， ， ， 选项中只有满足， 因此选D． 题型5.利用二次根式的性质化简 【典例】计算：______． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质，即可计算出结果． 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的加减、乘除运算法则逐一判断选项即可． 【详解】对于选项A，∵与不是同类二次根式，无法直接合并， ∴，A错误； 对于选项B，∵，算术平方根结果为非负数， ∴，B错误； 对于选项C，∵， ∴运算正确，C正确； 对于选项D，∵， ∴D错误． 【跟踪专练2】已知，则的值为__________． 【答案】 【分析】将，变形后得出，再利用完全平方公式得出，再通过整体代入简化计算即可； 【详解】解：∵， ∴， 两边同时平方得， 展开得， 整理得， 将代入得原式． 【跟踪专练3】有下列各式：①；②；③；④．如果，，那么等式成立的是（     ） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘除运算与性质，先根据已知条件判断的符号，再利用二次根式的运算法则逐一化简判断即可； 【详解】解： ∵ ，，∴ ，. ，①成立； ，与在实数范围内无意义，②不成立； ， ∵， ∴ ，③不成立； 由③的推导可得，④成立； 题型6.复合二次根式的化简 【典例】化简：____________________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的运算，根据完全平方公式将化成，再由二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握同类二次根式，二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质，同类二次根式定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．与是同类二次根式，故选项A不符合题意； B．，是同类二次根式，故选项B不符合题意； C．，是同类二次根式，故选项C不符合题意； D．与不是同类二次根式，故选项D符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】计算：_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 【跟踪专练3】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 题型7.二次根式的乘法 【典例】无理数的有理化因式是________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵，乘积不含有二次根式， ∴的有理化因式是（答案不唯一） ． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算法则，根据同类二次根式合并规则、二次根式乘除法则逐一计算即可． 【详解】选项A： 和 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 选项B： ，计算正确，正确； 选项C：，不符合题意； 选项D：，不符合题意． 【跟踪专练2】已知n为整数，且，则______． 【答案】 【分析】先计算出的结果，再估算所得无理数的大小，即可得到整数的值. 【详解】解：， ，即， n为整数，且， ． 【跟踪专练3】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 题型8.二次根式的除法 【典例】计算的结果等于______． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘除、加减运算法则，分别计算各选项后判断正误． 【详解】解：A、，A正确； B、，B错误； C、和不是同类二次根式，不能合并，C错误； D、，D错误． 【跟踪专练2】计算的结果是______． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简，然后利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能合并，，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确. 题型9.二次根式的乘除混合运算 【典例】计算：______． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式乘除法则，按照同级运算从左到右的顺序计算，最后化简即可得到结果． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】计算：___________（其中）． 【答案】 【分析】本题可根据二次根式的乘除运算法则，先将系数部分和根式部分分别进行运算，再结合幂的运算化简结果． 【详解】解：按照二次根式乘除法则，先处理系数部分，再处理根式部分： 系数部分运算：； 根式部分运算：； 化简被开方数：； 因此根式部分结果为：； 将系数与根式部分结合：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练运用二次根式乘除法则，并结合幂的运算化简被开方数． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及分母有理化． 根据二次根式运算法则，分别计算各个选项即可得出答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D 题型10.最简二次根式的判断 【典例】写出一个被开方数小于20的最简二次根式：_______________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的性质，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开尽方的因数或因式，且被开方数小于20，即可写出符合条件的二次根式． 【详解】∵被开方数2小于20，且2不含能开尽方的因数， ∴是最简二次根式． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】在中，是最简二次根式的是___________ 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 的被开方数15不含平方因子，是最简二次根式； 被开方数含分母，不是最简二次根式； 被开方数含分母，不是最简二次根式， 故答案为：． 【跟踪专练2】若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 【跟踪专练3】下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 题型11.化为最简二次根式 【典例】化简______． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，先利用二次根式的除法法则拆分被开方数，再将含完全平方数的部分开方，最后通过分母有理化得到最简二次根式． 【详解】解：=====． 【跟踪专练1】下列二次根式中，为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意． 【跟踪专练2】化简：_____． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练3】下列二次根式，不能与合并的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式， 最简二次根式， 掌握知识点是解题的关键． 先将化简为，然后检查各选项化简后是否含有，若不含则不能合并，即可解答． 【详解】解：∵， ∴与合并的二次根式必须化简后含有． 对于A∶，含有，可合并． 对于B∶，含有，可合并． 对于C∶，含有，不含有，不可合并． 对于D∶，含有，可合并． 故选：C． 题型12.由最简二次根式求参数 【典例】最简二次根式与可以合并，则________． 【答案】 【分析】两个二次根式可以合并说明二者是同类二次根式，先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到被开方数相等，即可求解． 【详解】解：将化为最简二次根式，得， 最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴． 【跟踪专练1】已知二次根式与化简后可以合并，则符合条件的正整数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的化简，两个二次根式合并的条件是化简后为同类二次根式，先将化简为，由题意可得必须能化简为（为正整数）的形式，即是2乘以一个完全平方数，据此解答即可． 【详解】解：∵，且二次根式与化简后可以合并， ∴可化为（为正整数），即， 又∵a为正整数， ∴当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，(不合题意，舍去)， ∴符合条件的a有21，15，5，共3个． 故选：C． 【跟踪专练2】若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 _____． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式与最简二次根式的定义，掌握定义是解题的关键． 根据两个二次根式是同类二次根式，被开方数就应该相等，由此可得出关于a的方程，进而可求出a的值，再判断是否是最简二次根式即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 当时，，，它们是最简二次根式． 因此,最简二次根式 与 是同类二次根式． 故答案为：． 【跟踪专练3】若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并成一项， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． 题型13.同类二次根式 【典例】如果两个最简二次根式与能合并，那么_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，两个最简二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，列出方程求解即可． 【详解】解：两个最简二次根式 与 能合并， 与 的被开方数相同， ， 解得：． 故答案为：. 【跟踪专练1】二次根式①②③④中，与不是同类二次根式的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】先将所有二次根式化为最简二次根式，再比较最简二次根式的被开方数，被开方数与不同的即为所求． 【详解】解： ①，被开方数为，与是同类二次根式； ②，被开方数为，与不是同类二次根式； ③，被开方数为，与是同类二次根式； ④，被开方数为，与是同类二次根式； 与不是同类二次根式的是②． 【跟踪专练2】下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】将每个选项中的二次根式化为最简二次根式，比较被开方数，找出被开方数不同的一组即可． 【详解】解：A选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； B选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； C选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； D选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数分别为和，不相同，不是同类二次根式． 【跟踪专练3】若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，同类二次根式．同类二次根式需化简后根号内表达式相同，逐项判断即可． 【详解】解：A．，与不是同类二次根式，不合题意； B．与不是同类二次根式，不合题意； C．与不是同类二次根式，不合题意； D．，与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 题型14.二次根式的加减运算 【典例】计算=_____． 【答案】 【分析】先把化为最简二次根式，再合并同类二次根式计算结果． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A：与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不合题意； B：，故该选项符合题意； C：，故该选项不合题意； D：，故该选项不合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】计算：_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，分母有理化，正确分母有理化是解题的关键． 先对代数式的每一项分母有理化，再加减抵消即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，包括合并同类项、化简以及乘法公式的应用，根据二次根式的运算法则判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、， 故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、 ，故选项符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； 故选：C． 题型15.二次根式的混合运算 【典例】计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的四则运算，需掌握同类二次根式的加减法则、二次根式的乘除运算顺序及化简方法．根据二次根式的运算可直接进行排除选项． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B：，故选项计算错误，不符合题意； C：，故选项计算错误，不符合题意； D：，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】计算：__________． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是先化简二次根式，再按运算顺序计算，最后合并同类二次根式． 先将各二次根式化为最简形式，再计算二次根式的乘法，最后合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练3】若，，则代数式的值是（    ） A． B．11 C．13 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先求出、的值，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：D． 题型16.分母有理化 【典例】计算：________． 【答案】/ 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列各选项中，的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理化因式，根据进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则的有理化因式是， 故选：D 【跟踪专练2】分母有理化：_______． 【答案】 【详解】． 【跟踪专练3】下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题根据有理化因式的定义解题，即两个含有根式的代数式相乘，若乘积不含有根式，则两个代数式互为有理化因式，计算各选项中两个代数式的乘积，判断乘积是否含有根式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，乘积仍含有根式，因此A不符合题意； 对选项B， ，乘积是不含根式的整式，因此B符合题意； 对选项C，，乘积仍含有根式，因此C不符合题意； 对选项D，，乘积仍含有根式，因此D不符合题意． 题型17.由字母的值,化简求值 【典例】已知，则代数式的值是______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式，再代入a的值进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，，则代数式的值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先根据已知条件，求出和的值，再把所求代数式分解因式，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【跟踪专练2】若，则代数式的值为______． 【答案】5 【分析】根据完全平方公式得到，利用因式分解法把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ，即， ， 则 ． 【跟踪专练3】设的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先估算的范围，得到的取值范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子化简计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，则， ∴，即， ∴的整数部分，小数部分为， ∴ ． 题型18.已知条件式.化简求值 【典例】若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．先因式分解得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：，， ． 故答案为： 【跟踪专练1】若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】略 【跟踪专练2】已知，，则的值为_____． 【答案】8 【分析】此题考查二次根式的化简求值，化简二次根式是解决此题的关键． 将所求表达式化简，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：8． 【跟踪专练3】已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 题型19.二次根式的大小比较 【典例】比大小：__________． 【答案】> 【分析】本题考查二次根式的大小比较，两个正数比较大小，可通过比较平方的大小判断，平方更大的原数更大． 【详解】解：分别对两个二次根式平方得： ， ， 因为，且，， 所以． 【跟踪专练1】设，，，则a，b，c之间的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式大小的比较，先求出，，，然后根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：，，， ，，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】比较大小：________（填“>”、“”、“<”）． 【答案】 < 【分析】两个数均为负数，先对两个数做分子有理化变形，再比较绝对值的大小，根据两个负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，即可得出结论． 【详解】解：由题意得，， 对两个数变形得：， ， ， ， ， ． 【跟踪专练3】已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是确定各数在哪两个整数之间．由可知，，再将甲、乙、丙进行比较即可． 【详解】解：， ，， ∴丙<乙<甲． 故选：D． 题型20.二次根式的应用 【典例】如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______． 【答案】18 【分析】本题主要考查了二次根式的应用．根据“横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，”求出a，b，c的值，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴，，， ∴3个空格中的实数之积为． 故答案为：18 【跟踪专练1】如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．由正方形的面积为50，解得正方形的边长，即一个小长方形的长与宽的和，减去，得到宽的值，据此解得小长方形的长，再解出小正方形的边长即可解题． 【详解】解：根据题意得， 小正方形的边长为： 这个小正方形的面积为， 故选：B． 【跟踪专练2】我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，，则的值为______． 【答案】或 【分析】根据题中公式，将，，得到，分类求解即可． 【详解】解：将，代入得 ， 将方程两边平方并整理得， 开方得， 即， 当时，，解得或（边长为负值，舍去）； 当时，，解得或（边长为负值，舍去）； 综上所述，的值为或． 【跟踪专练3】如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵图中两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为， ∴阴影部分的面积． 题型21.实数的混合运算 【典例】计算：______． 【答案】2 【分析】先计算算术平方根，再计算减法即可． 【详解】解：． 【跟踪专练1】设 在数轴上对应的点分别是A、B，则A、B两点间的距离是 （     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可． 【详解】解：由题意得，A、B两点间的距离是， 故选：B． 【跟踪专练2】计算：__________ 【答案】10 【分析】先利用零指数幂、负整数指数幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】计算：的结果为（   ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、有理数乘方、负整数次幂、零次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先运用有理数乘方、负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故选A． 题型22.新定义下的实数运算 【典例】对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算※：，如：，则___________． 【答案】 【分析】先依据新运算公式计算出括号内※的结果，再将该结果作为新的值，与一同代入新运算公式，最后得到最终化简结果． 【详解】解：． 【跟踪专练1】对于实数，，规定一种新运算：，例如，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的运算，理解新定义运算和掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据定义将给定的实数代入规定的新运算公式，再利用二次根式的化简法则计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故选：A． 【跟踪专练2】定义新运算：对于任意实数、，都有，比如，数字和在该新运算下的结果为，计算过程如下：，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，根据新运算的定义可得， 由于 ，故 ，再进行计算. 【详解】解： ． 故答案为：. 【跟踪专练3】对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对2026逐步进行操作： ∵ ， ∴ ，可得第一次操作结果； ∵，， ∴ ，可得第二次操作结果； ∵， ∴，可得第三次操作结果； ∵，可得第四次操作结果； 因此对2026只需进行4次操作后变为2． 题型23.实数运算的实际应用 【典例】已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣a＝2b+﹣a，则ab=____． 【答案】 【分析】已知等式整理后，根据a与b为有理数求出a与b的值，即可求出a+b的值. 【详解】解：已知等式整理得:5﹣a＝（2b﹣a）+， 可得， 解得: ， 故， 故答案为： 【点评】此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 【跟踪专练1】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．2，3，4 C．7，14，15 D．1，1， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是分别计算各组数的平方，判断是否满足两条较短边的平方和等于最长边的平方． 【详解】解：A、，，，此选项不符合题意； B、，，，此选项不符合题意； C、，，，此选项不符合题意； D、，，，此选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为_________． 【答案】18 【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为， ∵ ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积． 【跟踪专练3】如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【答案】B 【分析】本题主要考查实数混合运算的应用，解答的关键是求得长方形的长与宽，理解图示，掌握乘法公式，实数的混合运算是解题的关键． 由正方形的面积可求得，的长度，可求得，再由点是的中点，则有，表示出长方形的长与宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， ，，解得：，， ， 点是的中点， ， ， ， ． 故选：． 题型24.与实数运算相关的规律题 【典例】观察并分析下列数据，按规律填空：，，，，，第n个数的值为______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数运算的规律探究．先分别计算前5个数的结果，再总结归纳即可． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第n个数为， 故答案为： 【跟踪专练1】观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数、规律题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律．利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵… ∴用含的等式表示为， ∴第2021个等式为． 故选：C． 【跟踪专练2】则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先把每一项利用平方差公式因式分解，进一步约分化简再计算.此题重点考查学生对数字类规律的探索能力，会化简寻找规律是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴, ∴, 则． 故答案为：． 【跟踪专练3】观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________． 【答案】（为正整数） 【分析】本题考查了数字类规律探究根据前几个式子的规律，写出第个式子即可求解．通过观察给定等式，发现每个等式均符合相同规律，即根式部分的结构和简化形式具有一致性，从而归纳出用正整数表示的一般等式． 【详解】解：根据等式的规律可得：（为正整数） 故答案为：（为正整数）． 解答题 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将二次根式化简，合并同类项，再计算除法即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，乘除运算． （1）根据二次根式的加减运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的乘除运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 3．计算：． 【答案】 【分析】先运用二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可； 【详解】解： 4．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5)1 (6) 【分析】（1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减即可； （2）先计算算术平方根和立方根，再计算加减即可； （3）先计算立方根，去括号，再计算加减即可； （4）先计算算术平方根，再计算括号内的，然后计算括号外的即可； （5）先计算算术平方根和立方根，再计算加减即可； （6）先计算算术平方根和立方根，再计算括号内的，然后计算括号外的即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 5．对于实数a，b，我们定义运算“#”：，例如：，因为，所以；又如，因为，所以． 问：下列各式的结果哪些是有理数？哪些是无理数？请说明理由． ①；②；③；④． 【答案】①②的结果是有理数，③④的结果是无理数；理由见解析 【分析】本题考查新定义，二次根式的乘法运算，实数的分类，解题的关键在于正确理解“#”的运算法则． 根据的运算法则，逐个运算并结合有理数与无理数进行判断，即可解题． 【详解】解：①②的结果是有理数，③④的结果是无理数． 理由如下： ①∵， ∴； ②∵， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴． ∴①②的结果是有理数，③④的结果是无理数． 6．观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了化简复合二次根式，分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答． （2）模仿题干解题过程，得，即可作答． （3）先根据复合二次根式的性质化简，再进行分母有理化，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 7．已知的算术平方根是4，是8的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义求解即可； （2）先对每个二次根式分母有理化，再进行二次根式的加减运算即可． 【详解】（1）解：的算术平方根为4，是8的立方根， ；， ；； （2）解：；， 原式 ． 8．已知，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，判断的取值范围，再化简，最后代入、的值即可． 【详解】解：∵， ∴，或，， ∵， ∴，， ∵ ， 将，代入， 原式． 9．阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． ()根据证明过程补全即可； ()根据已知结论，得出，求出的值即可； ()根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得， 故答案为：； （2）解：由题意可知，， ∴，即， 故答案为：. （3）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得： ∴， ∴， ∴． 10．观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化的运用及找规律． （1）从等式中找出规律，第二个等式：，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第7个等式即可； （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，，仿照所给等式写出第n个等式即可； （3），观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出． 【详解】（1）解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 写出第7个等式： 故答案为：． （2）解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，， 所以第n个等式为， 故答案为：； （3）解： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二次根式暑假预习讲义 · 概念识记：熟记二次根式定义，掌握二次根式有意义的条件，能准确判断一个式子是否为二次根式，区分被开方数的取值范围。 · 性质掌握：理解并熟记二次根式四条核心性质，能灵活对简单二次根式进行化简、变形计算，分清与()2的区别，规避取值易错点。 · 运算基础：会识别最简二次根式，能判断同类二次根式，初步掌握二次根式简单乘除化简步骤。 · 应用能力：结合实数、平方根、算术平方根旧知，解决含字母的取值范围题型，能利用二次根式非负性求值。 · 学习习惯：自主梳理定义、性质中的疑点，标注易混淆公式，带着问题听课，建立代数化简规范书写意识。 预习必备 知识梳理 1.二次根式概念与有意义的条件 2.核心性质 3.二次根式的性质与化简 4.二次根式的运算 5.分母有理化 6.化简二次根式一般方法 常考题型 精讲精练 1.二次根式的识别 2.求二次根式的值 3.求二次根式中的参数 4.二次根式有意义的条件 5.利用二次根式的性质化简 6.复合二次根式的化简 7.二次根式的乘法 8.二次根式的除法 9.二次根式的乘除混合运算 10.最简二次根式的判断 11.化为最简二次根式 12.由最简二次根式求参数 13.同类二次根式 14.二次根式的加减运算 15.二次根式的混合运算 16.分母有理化 17.由字母的值,化简求值 18.已知条件式.化简求值 19.二次根式的大小比较 20.二次根式的应用 21.实数的混合运算 22.新定义下的实数运算 23.实数运算的实际应用 24.与实数运算相关的规律题 强化题型 解答题10题 知识点01:二次根式概念与有意义条件 1. 定义 形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 必备条件：带二次根号、被开方数非负。 2. 根式取值情况（必考表格） 根式形式 成立条件 核心考点说明 有意义 a 0 基础选择题高频 无意义 a 0 负数不能开算术平方根 有意义 a 0 既要非负，又要分母不为 0 有意义 a+10 整体被开方数≥0 知识点02:核心性质｜必背清单 性质1解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质2解读：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，符号问题是高频易错点。 性质3:逆用可用于根式化简。 性质4:逆用常用于分母有理 易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 重点区分（学生必考混淆点） 1.()2：先开方、再平方，结果直接等于a 2.：先平方、再开方，结果必须带绝对值 分类化简（大题必考） 字母取值 化简结果 a 0 }=a a 0 =-a 知识点03:二次根式的性质与化简 —— 给根式 “整容变标准” 1. 最简二次根式（两大硬性标准，双检法） 必须同时满足两个条件，才算标准根式： (1)被开方数不含分数、小数； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 答题铁律：所有根式计算题，最终结果一律化为最简二次根式。 2. 同类二次根式（“同门兄弟” 判别法） (1)判断步骤：先化简 → 再比对 (2)判定规则：化成最简根式后，被开方数完全相同，即为同类二次根式（和根号外系数无关）。 (3)运算规则：可仿照整式合并同类项的方法合并。 记忆口诀：先化简，看根号，根内相同就合并。 知识点04:二次根式的运算 —— 玩转根式四则运算 运算类型 运算法则 标准步骤 踩分提醒 乘法 =（a≥0，b≥0） 相乘合并→整体开方→化为最简 被开方数不能为负 除法 （a≥0,b>0） 根式相除→分母有理化→化简 结果分母严禁带根号 加减法 无固定公式 一化（全最简）二找（同类根式）三并（合并同类） 非同类根式，不能强行合并 混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 知识点05:分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 知识点06:化简二次根式一般方法 题型1.二次根式的识别 【典例】请写出一个系数为正整数的二次根式________． 【跟踪专练1】下列式子中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型2.求二次根式的值 【典例】当时，二次根式的值为_________． 【跟踪专练1】下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】代数式的最小值为__________． 【跟踪专练3】估计的值应该在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 题型3.求二次根式中的参数 【典例】若，则________． 【跟踪专练1】已知是整数，则正整数n的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【跟踪专练2】已知是整数，则满足条件的最小正整数为__________． 【跟踪专练3】若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 题型4.二次根式有意义的条件 【典例】二次根式中，x的取值范围是_________________． 【跟踪专练1】二次根式中字母的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则_____________． 【跟踪专练3】式子在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A．6 B．4 C．2 D．0 题型5.利用二次根式的性质化简 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则的值为__________． 【跟踪专练3】有下列各式：①；②；③；④．如果，，那么等式成立的是（     ） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 题型6.复合二次根式的化简 【典例】化简：____________________． 【跟踪专练1】下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【跟踪专练2】计算：_______． 【跟踪专练3】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 题型7.二次根式的乘法 【典例】无理数的有理化因式是________． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知n为整数，且，则______． 【跟踪专练3】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 题型8.二次根式的除法 【典例】计算的结果等于______． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算的结果是______． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型9.二次根式的乘除混合运算 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】计算：（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：___________（其中）． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 题型10.最简二次根式的判断 【典例】写出一个被开方数小于20的最简二次根式：_______________． 【跟踪专练1】在中，是最简二次根式的是___________ 【跟踪专练2】若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【跟踪专练3】下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 题型11.化为最简二次根式 【典例】化简______． 【跟踪专练1】下列二次根式中，为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简：_____． 【跟踪专练3】下列二次根式，不能与合并的是（） A． B． C． D． 题型12.由最简二次根式求参数 【典例】最简二次根式与可以合并，则________． 【跟踪专练1】已知二次根式与化简后可以合并，则符合条件的正整数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 _____． 【跟踪专练3】若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 题型13.同类二次根式 【典例】如果两个最简二次根式与能合并，那么_____． 【跟踪专练1】二次根式①②③④中，与不是同类二次根式的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练2】下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪专练3】若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型14.二次根式的加减运算 【典例】计算=_____． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：_________． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型15.二次根式的混合运算 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：__________． 【跟踪专练3】若，，则代数式的值是（    ） A． B．11 C．13 D． 题型16.分母有理化 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】下列各选项中，的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】分母有理化：_______． 【跟踪专练3】下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 题型17.由字母的值,化简求值 【典例】已知，则代数式的值是______． 【跟踪专练1】已知，，则代数式的值为（ ） A． B． C．3 D． 【跟踪专练2】若，则代数式的值为______． 【跟踪专练3】设的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 题型18.已知条件式.化简求值 【典例】若，则_______． 【跟踪专练1】若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【跟踪专练2】已知，，则的值为_____． 【跟踪专练3】已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 题型19.二次根式的大小比较 【典例】比大小：__________． 【跟踪专练1】设，，，则a，b，c之间的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】比较大小：________（填“>”、“”、“<”）． 【跟踪专练3】已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 题型20.二次根式的应用 【典例】如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______． 【跟踪专练1】如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，，则的值为______． 【跟踪专练3】如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 题型21.实数的混合运算 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】设 在数轴上对应的点分别是A、B，则A、B两点间的距离是 （     ） A． B． C． D．或 【跟踪专练2】计算：__________ 【跟踪专练3】计算：的结果为（   ） A．2 B．4 C． D．3 题型22.新定义下的实数运算 【典例】对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算※：，如：，则___________． 【跟踪专练1】对于实数，，规定一种新运算：，例如，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义新运算：对于任意实数、，都有，比如，数字和在该新运算下的结果为，计算过程如下：，则的值为______． 【跟踪专练3】对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 题型23.实数运算的实际应用 【典例】已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣a＝2b+﹣a，则ab=____． 【跟踪专练1】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．2，3，4 C．7，14，15 D．1，1， 【跟踪专练2】如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为_________． 【跟踪专练3】如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 题型24.与实数运算相关的规律题 【典例】观察并分析下列数据，按规律填空：，，，，，第n个数的值为______ ． 【跟踪专练1】观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】则_______． 【跟踪专练3】观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________． 解答题 1．计算： (1) (2) 2．计算： (1) (2) 3．计算：． 4．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 5．对于实数a，b，我们定义运算“#”：，例如：，因为，所以；又如，因为，所以． 问：下列各式的结果哪些是有理数？哪些是无理数？请说明理由． ①；②；③；④． 6．观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 7．已知的算术平方根是4，是8的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的值． 8．已知，，求的值． 9．阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 10．观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $