微突破14 “滑块—曲面”模型和“滑块—弹簧”模型（复习讲义）（全国通用）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理高考复习讲义聚焦“滑块—弹簧”和“滑块—斜(曲)面”两大经典模型，围绕动量守恒、机械能守恒核心考点，按命题趋势研判、知识框架构建、考点拆解归纳、真题溯源训练的逻辑展开，通过核心知识解构、易错辨析、热点考向破译等环节，帮助学生系统建立力学综合问题的分析思路和解题范式。 资料突出“模型融合”命题趋势，设计多过程、多对象复杂情境训练，采用建模教学法引导学生构建物理模型，通过关键状态（如共速时能量转化）分析和模型对比（如曲面与碰撞相似性）培养科学思维与物理观念。设置分层变式训练和真题演练，确保学生高效突破难点，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

微突破14 “滑块—曲面”模型和“滑块—弹簧”模型（原卷版） 内容导航 对标素养，研判高考命题趋势 201 命题透视·考情前瞻 搭建知识框架，构建系统思维 302 思维建模·脉络梳理 拆解核心考点，归纳解题范式 403 考点精讲·靶向突破脉络梳理 考点一 “滑块—弹簧”模型 4 核心知识·解构 4 一、模型介绍及特点 4 二、两个关键状态 4 易错辨析·AI原创命题 4 热点考向·破译 5 考向1 “滑块—弹簧”模型 5 考点二 “滑块—斜(曲)面”模型 9 核心知识·解构 9 一、模型介绍及特点 9 二、两种情况 9 易错辨析·AI原创命题 10 热点考向·破译 10 考向1 “滑块—斜(曲)面”模型 10 溯源真题逻辑，感知高考考向 1304 思维建模·脉络梳理 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 “滑块—弹簧”模型 2026•黑吉辽蒙卷 2025•福建、2025•全国卷 2024•江苏、2024•吉林、2024•山东 “滑块—斜(曲)面”模型 —— 2025•浙江、2025•全国卷 2024•山东 考情分析 题型与考向：本讲内容是高考物理中力学综合压轴题的两大经典模型，是动量守恒定律、机械能守恒定律（或能量守恒定律）综合应用的标志性载体。这两大模型的核心特征在于：系统在水平方向动量守恒，同时机械能守恒（或能量守恒），是“双守恒”联立的典型应用。命题趋势已全面转向 “多过程、多对象、多模型融合” 的复杂情境。命题者倾向于设置一个包含多个子过程的复杂情境，例如：① 碰撞+滑块—弹簧模型（小球碰撞后，通过弹簧连接系统）；② 板块模型+滑块—弹簧模型（物块在木板上滑动后，与弹簧碰撞）；③ 滑块—曲面模型+平抛运动（滑块滑上曲面后，再滑下，最后做平抛运动）。这种“模型融合”的趋势对考生的综合能力提出了极高要求。两大模型的核心都是通过系统内部的相互作用（曲面支持力、弹簧弹力）实现动量传递和能量转化。高考反复考查学生能否正确理解：① “滑块—曲面”模型中，滑块上升到最高点时，两者共速，动能最小，重力势能最大；② “滑块—弹簧”模型中，弹簧形变量最大时，两者共速，动能最小，弹性势能最大；③ 过程分析是解题的关键，必须分阶段（进入、共速、分离）处理。 情境与立意： 1. 滑块—弹簧模型（弹簧连接体）：两物体通过弹簧在光滑水平面上相互作用，系统水平方向动量守恒+机械能守恒 2. 滑块—曲面模型（曲面连接体）：滑块在光滑曲面上滑动，系统水平方向动量守恒+机械能守恒 3. 板块模型+弹簧模型：物块在木板上滑动后，与弹簧碰撞，系统动量守恒+能量守恒（摩擦生热） 4. 碰撞+弹簧模型：小球碰撞后，通过弹簧连接系统，系统动量守恒+机械能守恒 5. 曲面+板块+弹簧（多模型融合）：物块从曲面滑下，与木板碰撞，再与弹簧作用，融合多个经典模型 复习目标 1.会分析、计算“滑块—弹簧”模型有关问题。 2.理解“滑块—斜(曲)面”模型与碰撞的相似性，会解决相关问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 “滑块—弹簧”模型 核心知识·解构 一、模型介绍及特点 1．模型图示：水平地面光滑，m1、m2与轻弹簧（开始处于原长）相连，m1以初速度v0运动。 2．模型特点 1）____________:两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。 2）____________:系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 二、两个关键状态 1. ____________________________________时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能) 1）系统动量守恒：m1v0＝（m1＋m2）v共； 2）系统机械能守恒：m1＝（m1＋m2）＋Epm。 2. 弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能无损失(相当于刚完成弹性碰撞) 1）系统动量守恒：m1v0＝m1v1＋m2v2； 2）系统机械能守恒：m1＝m1＋m2。 易错辨析·AI原创命题 1. "滑块—曲面"模型中，若地面光滑，滑块从曲面顶端滑下的过程中，滑块和曲面组成的系统水平方向动量守恒。 ( ) 2. "滑块—曲面"模型中，滑块从曲面顶端滑到最低点的过程中，滑块减少的重力势能全部转化为滑块自身的动能。 ( ) 3. "滑块—曲面"模型中，若地面光滑，滑块上升到曲面最高点时，滑块与曲面的速度一定相同。 ( ) 4. "滑块—曲面"模型中，滑块对曲面的压力对曲面做正功，使曲面的动能增加。 ( ) 5. "滑块—曲面"模型中，滑块从曲面最高点滑下的过程中，系统的机械能守恒。 ( ) 【易错点总结表】 易混易错概念 对应题目 关键辨析点 系统水平方向动量守恒的条件 1 地面光滑，系统水平方向不受外力，故水平方向动量守恒；但竖直方向系统受重力，竖直方向动量不守恒。 滑块重力势能的转化去向 2 滑块减少的重力势能 = 滑块增加的动能 + 曲面增加的动能。滑块减少的重力势能不是全部转化为滑块自身的动能。 滑块上升到曲面最高点的共速特征 3 滑块上升到曲面最高点时，滑块与曲面水平速度相等（相对速度为零），这是滑块能继续上升的最大高度临界点。 曲面动能增加的来源 4 滑块对曲面的压力在水平方向有分力，该分力对曲面做正功，使曲面的动能增加。 系统机械能守恒的条件 5 滑块与曲面之间只有弹力（保守力）做功，无摩擦等非保守力，系统机械能守恒。 热点考向·破译 考向1 “滑块—弹簧”模型 例1（2026·山东潍坊·三模）如图甲所示，质量分别为、的、两物体用轻弹簧连接构成一个系统，用一轻细绳将、拴接，使弹簧处于压缩状态，将该系统靠墙静止在光滑水平面上。当烧断细绳时开始计时，、物体运动的加速度随时间变化的图像如图乙所示，、、分别表示对应时段图线与坐标轴所围面积的大小。下列说法正确的是（    ） A．烧断细绳后，系统的动量和机械能始终守恒 B．时刻、两物体的速度之比为 C．时刻弹簧最长 D． 【变式训练1·多物体】（2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，三小球、、的质量分别为、、，放于光滑的水平面上，小球、中间的轻质弹簧此时为原长（弹簧与小球均没有连接，可以分离），小球右侧有一固定挡板。现让小球以速度向右运动，碰后与小球黏在一起，、两小球碰撞时间极短，当、整体的速度大小为时撤去挡板，则运动全过程中，弹簧的最大弹性势能可能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2·斜面情境】（2026·安徽阜阳·二模）如图所示，质量为2m的物块A与质量为m的物块B用轻质弹簧相连，其组成的整体被一个垂直于斜面的挡板挡住，静止在一倾角θ=30°的光滑斜面上。另一质量为m的物块C从斜面上某点由静止释放，释放时B、C间的距离为L，物块C与B碰后粘在一起组成新物块D，D继续向下压缩弹簧，当弹簧被压缩到最短时开始计时，此后物块D在斜面上做简谐运动，时刻第一次运动到最高点，此时物块A恰要离开挡板。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧弹性势能与形变量的关系为，重力加速度大小为g，求： (1)物块B与C碰前弹簧的形变量； (2)物块D在运动过程中速度的最大值； (3)物块D运动到与其运动过程中的最低点距离为的时刻t。 ▶新情境◀【变式训练3·多情境对比】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图甲所示，两个物体用一根劲度系数为的轻弹簧水平连接, 已知弹簧的形变量为 时的弹性势能为 。 (1)A、B的质量分别为 和 ，静止于光滑水平面上，初始时弹簧处于自然长度， 给一个水平初速度 ，求弹簧最短时的压缩量为多少。 (2)如图乙， A、B的质量分别为 和 ，放在足够长的轻质木板上，木板和两物体的动摩擦因数相同均为 ，初始时弹簧压缩量为 ，物体和木板均静止，释放弹簧, 系统开始运动，当弹簧恢复原长时撤去弹簧， 此时木板和一个竖直挡板发生完全非弹性碰撞，求 A、B 以及木板的最终速度。 (3)如图丙，A、B的质量均为 ，放在足够长的水平传送带上。A、B 与传送带间的滑动摩擦力以及最大静摩擦力均为，传送带以匀速运行。初始时弹簧处于原长状态，分别具有等大反向的初速度。对不同大小的，讨论当开始相对传送带向左滑动时，A的速度大小和方向。已知所有惯性参考系中的物理规律都相同。 考点二 “滑块—斜(曲)面”模型 核心知识·解构 一、模型介绍及特点 1．模型图示：光滑的曲面体开始时静止在水平地面上，滑块以速度v0滑上曲面体 2．模型特点 1）系统____________； 2）系统的机械能____________。 二、两种情况 1. 上升到最大高度：滑块m与斜(曲)面M具有____________，此时滑块m的竖直速度vy=0。 1）系统水平方向动量守恒：mv0＝（M＋m）v共； 2）系统机械能守恒：m＝（M＋m）＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度。 ✨得分速记：相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块m的重力势能 2. 返回最低点：滑块m与斜(曲)面M分离点。 1）系统水平方向动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2； 2）系统机械能守恒：m＝m＋M。 ✨得分速记：相当于弹性碰撞 🤖️AI互动课件： 1. 球半圆槽运动：https://lab.physicalw.com/expt/1/22/5 易错辨析·AI原创命题 1. "滑块—弹簧"模型中，若地面光滑，两滑块与弹簧组成的系统在整个运动过程中动量守恒。 ( ) 2. "滑块—弹簧"模型中，弹簧压缩到最短时，两滑块的速度均为零。 ( ) 3. "滑块—弹簧"模型中，弹簧压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，此时两滑块的速度相同。 ( ) 4. "滑块—弹簧"模型中，弹簧恢复原长时，系统的总动能一定等于初始总动能。 ( ) 5. "滑块—弹簧"模型中，若地面光滑，弹簧对两滑块的弹力大小相等，因此两滑块受到的冲量大小也相等。 ( ) 【易错点总结表】 易混易错概念 对应题目 关键辨析点 系统动量守恒的条件 1 地面光滑，系统水平方向不受外力，弹簧弹力是内力，故系统动量守恒。 弹簧压缩最短时滑块的速度 2 弹簧压缩最短时，两滑块速度相等（相对速度为零），但不一定为零，而是以共同速度运动。 弹簧最短时弹性势能最大的条件 3 弹簧压缩最短时，两滑块共速，此时弹簧形变量最大，弹性势能最大。 弹簧恢复原长时系统的总动能 4 若系统初始有动能且弹簧有弹性势能，弹簧恢复原长时，弹性势能转化为动能，系统总动能与初始动能不一定相等。 弹力冲量的大小关系 5 弹簧对两滑块的弹力是相互作用力，大小相等、方向相反、作用时间相同，根据I = Ft，冲量大小相等。 热点考向·破译 考向1 “滑块—斜(曲)面”模型 例2（2026·安徽亳州·模拟预测）（多选）质量为的物块A以一定速度在光滑的水平面运动，在其右侧有一质量为的物块B其曲面为光滑圆弧，半径为R，最低点与水平面相切。A恰好滑到B的圆弧最高点，重力加速度为g。未知。则下列说法正确的是（　　） A．A和B动量守恒 B．A的初速度 C．B的最大速度为 D．若A的初速度增大为，A从B最高点飞出再落回过程，B的位移为 ▶新情境◀【变式训练4】（2026·山东聊城·三模）水平面点左侧光滑，右侧粗糙。质量为的圆弧槽末端与点重合处于静止状态，其圆弧表面光滑，半径。质量均为可视为质点的相同滑块，如图所示，滑块1从高处由静止释放恰好能沿切线方向进入圆弧槽，滑块2、滑块3……滑块n自距离点处从左向右依次排列，间距均为。已知滑块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为，滑块间的碰撞时间极短，且碰后就粘在一起形成组合体。取，，求： (1)滑块1离开圆弧槽末端时的速度大小； (2)滑块1从离开圆弧槽到撞上滑块2经历的时间（答案保留两位小数）； (3)组合体最终包含滑块的个数，及停止位置到O点的距离。 ▶新情境◀【变式训练5】（2026·浙江金华·二模）如图所示，半径为R的光滑圆弧槽a和b静止在光滑的水平面上，a槽固定，圆弧圆心角为90°，b槽圆弧圆心角为60°，两槽的轴向间距KH与CD平行等宽。可视为质点的A、B两小球锁定在槽a的顶端，A球质量为0.6 m，B球质量为0.4 m。让A、B两小球从弧面端点沿平行于KH方向分别以和水平相向飞出，它们沿曲边下行后在某一位置发生完全非弹性碰撞成为结合体c。结合体c继续运动，可以从槽b的点P处飞出（图中P未标出），P右侧平面CDEF足够大。求： (1)求点P到C、D两点的距离之比； (2)若槽b固定，结合体c从槽b圆弧的P点冲出后，落在槽b上表面Q处（图中Q未标出），求P、Q间的距离； (3)若槽b不固定，结合体c恰能运动到槽b圆弧的P点，求结合体c和槽b的质量之比； (4)接第（3）问，若结合体c在槽b中上升的时间为t，求结合体c上升过程槽b的位移大小。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑水平面上一质量的木板，其右端通过轻弹簧连接质量的物块，此时弹簧伸长量，物块和木板均静止。质量的小球（可视为质点）通过长的轻绳悬于点。小球从绳与竖直方向成处由静止释放，摆至最低点时与木板右端发生弹性碰撞，时间极短。取重力加速度。 (1)求碰撞后瞬间木板的速度大小。 (2)弹簧的压缩量第一次为时，物块速度大小为，方向向左。求木板与物块间的动摩擦因数。 2．（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； (2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 微突破14 “滑块—曲面”模型和“滑块—弹簧”模型（解析版） 内容导航 对标素养，研判高考命题趋势 201 命题透视·考情前瞻 搭建知识框架，构建系统思维 302 思维建模·脉络梳理 拆解核心考点，归纳解题范式 403 考点精讲·靶向突破脉络梳理 考点一 “滑块—弹簧”模型 4 核心知识·解构 4 一、模型介绍及特点 4 二、两个关键状态 4 易错辨析·AI原创命题 4 热点考向·破译 5 考向1 “滑块—弹簧”模型 5 考点二 “滑块—斜(曲)面”模型 10 核心知识·解构 10 一、模型介绍及特点 10 二、两种情况 10 易错辨析·AI原创命题 11 热点考向·破译 12 考向1 “滑块—斜(曲)面”模型 12 溯源真题逻辑，感知高考考向 1704 思维建模·脉络梳理 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 “滑块—弹簧”模型 2026•黑吉辽蒙卷 2025•福建、2025•全国卷 2024•江苏、2024•吉林、2024•山东 “滑块—斜(曲)面”模型 —— 2025•浙江、2025•全国卷 2024•山东 考情分析 题型与考向：本讲内容是高考物理中力学综合压轴题的两大经典模型，是动量守恒定律、机械能守恒定律（或能量守恒定律）综合应用的标志性载体。这两大模型的核心特征在于：系统在水平方向动量守恒，同时机械能守恒（或能量守恒），是“双守恒”联立的典型应用。命题趋势已全面转向 “多过程、多对象、多模型融合” 的复杂情境。命题者倾向于设置一个包含多个子过程的复杂情境，例如：① 碰撞+滑块—弹簧模型（小球碰撞后，通过弹簧连接系统）；② 板块模型+滑块—弹簧模型（物块在木板上滑动后，与弹簧碰撞）；③ 滑块—曲面模型+平抛运动（滑块滑上曲面后，再滑下，最后做平抛运动）。这种“模型融合”的趋势对考生的综合能力提出了极高要求。两大模型的核心都是通过系统内部的相互作用（曲面支持力、弹簧弹力）实现动量传递和能量转化。高考反复考查学生能否正确理解：① “滑块—曲面”模型中，滑块上升到最高点时，两者共速，动能最小，重力势能最大；② “滑块—弹簧”模型中，弹簧形变量最大时，两者共速，动能最小，弹性势能最大；③ 过程分析是解题的关键，必须分阶段（进入、共速、分离）处理。 情境与立意： 1. 滑块—弹簧模型（弹簧连接体）：两物体通过弹簧在光滑水平面上相互作用，系统水平方向动量守恒+机械能守恒 2. 滑块—曲面模型（曲面连接体）：滑块在光滑曲面上滑动，系统水平方向动量守恒+机械能守恒 3. 板块模型+弹簧模型：物块在木板上滑动后，与弹簧碰撞，系统动量守恒+能量守恒（摩擦生热） 4. 碰撞+弹簧模型：小球碰撞后，通过弹簧连接系统，系统动量守恒+机械能守恒 5. 曲面+板块+弹簧（多模型融合）：物块从曲面滑下，与木板碰撞，再与弹簧作用，融合多个经典模型 复习目标 1.会分析、计算“滑块—弹簧”模型有关问题。 2.理解“滑块—斜(曲)面”模型与碰撞的相似性，会解决相关问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 “滑块—弹簧”模型 核心知识·解构 一、模型介绍及特点 1．模型图示：水平地面光滑，m1、m2与轻弹簧（开始处于原长）相连，m1以初速度v0运动。 2．模型特点 1）动量守恒:两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。 2）机械能守恒:系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 二、两个关键状态 1. 弹簧处于最长(或最短)状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能) 1）系统动量守恒：m1v0＝（m1＋m2）v共； 2）系统机械能守恒：m1＝（m1＋m2）＋Epm。 2. 弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能无损失(相当于刚完成弹性碰撞) 1）系统动量守恒：m1v0＝m1v1＋m2v2； 2）系统机械能守恒：m1＝m1＋m2。 易错辨析·AI原创命题 1. "滑块—曲面"模型中，若地面光滑，滑块从曲面顶端滑下的过程中，滑块和曲面组成的系统水平方向动量守恒。 ( √ ) 2. "滑块—曲面"模型中，滑块从曲面顶端滑到最低点的过程中，滑块减少的重力势能全部转化为滑块自身的动能。 ( × ) 3. "滑块—曲面"模型中，若地面光滑，滑块上升到曲面最高点时，滑块与曲面的速度一定相同。 ( √ ) 4. "滑块—曲面"模型中，滑块对曲面的压力对曲面做正功，使曲面的动能增加。 ( √ ) 5. "滑块—曲面"模型中，滑块从曲面最高点滑下的过程中，系统的机械能守恒。 ( √ ) 【易错点总结表】 易混易错概念 对应题目 关键辨析点 系统水平方向动量守恒的条件 1 地面光滑，系统水平方向不受外力，故水平方向动量守恒；但竖直方向系统受重力，竖直方向动量不守恒。 滑块重力势能的转化去向 2 滑块减少的重力势能 = 滑块增加的动能 + 曲面增加的动能。滑块减少的重力势能不是全部转化为滑块自身的动能。 滑块上升到曲面最高点的共速特征 3 滑块上升到曲面最高点时，滑块与曲面水平速度相等（相对速度为零），这是滑块能继续上升的最大高度临界点。 曲面动能增加的来源 4 滑块对曲面的压力在水平方向有分力，该分力对曲面做正功，使曲面的动能增加。 系统机械能守恒的条件 5 滑块与曲面之间只有弹力（保守力）做功，无摩擦等非保守力，系统机械能守恒。 热点考向·破译 考向1 “滑块—弹簧”模型 例1（2026·山东潍坊·三模）如图甲所示，质量分别为、的、两物体用轻弹簧连接构成一个系统，用一轻细绳将、拴接，使弹簧处于压缩状态，将该系统靠墙静止在光滑水平面上。当烧断细绳时开始计时，、物体运动的加速度随时间变化的图像如图乙所示，、、分别表示对应时段图线与坐标轴所围面积的大小。下列说法正确的是（    ） A．烧断细绳后，系统的动量和机械能始终守恒 B．时刻、两物体的速度之比为 C．时刻弹簧最长 D． 【答案】D 【详解】A．烧断细绳后，离开墙之前，墙对系统有外力作用，系统合外力不为零，动量不守恒；只有弹簧弹力做功，系统机械能守恒，故A错误； B．图像的面积表示速度变化量，初速度为零，因此速度的大小等于对应面积的大小。时刻，、加速度最大，说明弹簧弹力最大，形变量最大，此时两者速度相等，故B错误； C．时刻、的加速度都为零，说明弹簧弹力为零，弹簧恢复原长，不是弹簧最长的位置，故C错误； D．阶段，静止，的速度增量为。时刻弹簧恢复原长，开始运动，此时系统总动量 是时段的图线与坐标轴围的总面积，该时段的图像关于对称，因此时段，的速度增量 又时刻、速度相等，由系统的动量守恒可知 解得，故D正确。 故选 D。 【变式训练1·多物体】（2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，三小球、、的质量分别为、、，放于光滑的水平面上，小球、中间的轻质弹簧此时为原长（弹簧与小球均没有连接，可以分离），小球右侧有一固定挡板。现让小球以速度向右运动，碰后与小球黏在一起，、两小球碰撞时间极短，当、整体的速度大小为时撤去挡板，则运动全过程中，弹簧的最大弹性势能可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】、碰撞后黏在一起，即完全非弹性碰撞，动量守恒有 解得 右侧有挡板，初始静止且与挡板接触。、向右压缩弹簧，被挡板顶住不动。则、与弹簧组成的系统机械能守恒，有 由于压缩弹簧，、做简谐运动的一部分，即速度从向右减速至，再反向加速至，方向向左，故速度大小为的时刻有两个。 ①当向右减速至时，弹性势能设为，由机械能守恒解得 此时撤去挡板，总动量，总机械能 、快于，弹簧继续压缩，直至三者共速 则由动量守恒解得 共速动能 则此时弹性势能最大为 ②当向左加速至时，此时在撤去前弹簧已历经最大压缩状态，即、速度为零时。 故、速度为零时，由机械能守恒 解得 综上，弹性势能最大有两处， 故选C。 【变式训练2·斜面情境】（2026·安徽阜阳·二模）如图所示，质量为2m的物块A与质量为m的物块B用轻质弹簧相连，其组成的整体被一个垂直于斜面的挡板挡住，静止在一倾角θ=30°的光滑斜面上。另一质量为m的物块C从斜面上某点由静止释放，释放时B、C间的距离为L，物块C与B碰后粘在一起组成新物块D，D继续向下压缩弹簧，当弹簧被压缩到最短时开始计时，此后物块D在斜面上做简谐运动，时刻第一次运动到最高点，此时物块A恰要离开挡板。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧弹性势能与形变量的关系为，重力加速度大小为g，求： (1)物块B与C碰前弹簧的形变量； (2)物块D在运动过程中速度的最大值； (3)物块D运动到与其运动过程中的最低点距离为的时刻t。 【答案】(1) (2) (3)或其中（） 【详解】（1）刚开始物块B处于静止状态，由受力分析可知 解得 （2）设碰前瞬间物块C速度为，由动能定理可知 物块B、C碰撞后粘在一起结合成物块D，设碰后瞬间D的速度大小为，由动量守恒定律可知 物块D做简谐运动，经过平衡位置时速度最大，设此时弹簧的形变量为，由受力分析可知 由动能定理可知 弹力做的功 解得 （3）物块D运动到最高点时，物块A恰要离开挡板，此时弹簧的形变量 故物块D做简谐运动的振幅 以平衡位置为坐标原点，以沿斜面向下为x轴的正方向，则简谐运动的方程为 当第一次时， 当第二次时， 考虑到简谐运动的周期性，则有或其中（） ▶新情境◀【变式训练3·多情境对比】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图甲所示，两个物体用一根劲度系数为的轻弹簧水平连接, 已知弹簧的形变量为 时的弹性势能为 。 (1)A、B的质量分别为 和 ，静止于光滑水平面上，初始时弹簧处于自然长度， 给一个水平初速度 ，求弹簧最短时的压缩量为多少。 (2)如图乙， A、B的质量分别为 和 ，放在足够长的轻质木板上，木板和两物体的动摩擦因数相同均为 ，初始时弹簧压缩量为 ，物体和木板均静止，释放弹簧, 系统开始运动，当弹簧恢复原长时撤去弹簧， 此时木板和一个竖直挡板发生完全非弹性碰撞，求 A、B 以及木板的最终速度。 (3)如图丙，A、B的质量均为 ，放在足够长的水平传送带上。A、B 与传送带间的滑动摩擦力以及最大静摩擦力均为，传送带以匀速运行。初始时弹簧处于原长状态，分别具有等大反向的初速度。对不同大小的，讨论当开始相对传送带向左滑动时，A的速度大小和方向。已知所有惯性参考系中的物理规律都相同。 【答案】(1) (2)都为0 (3)速度大小为v0​，方向水平向左 【详解】（1）弹簧最短时A、B速度相等，水平面光滑，系统动量守恒 解得共速 动能损失转化为弹簧弹性势能，由能量守恒 代入整理得压缩量 （2）初始系统总动量为0，轻质木板质量为0。A对木板的滑动摩擦力向左，大小，B对木板的滑动摩擦力向右，大小，木板合力向左，因此木板随A一起向左运动，碰撞前向左运动。 木板与挡板完全非弹性碰撞后立即静止。撤去弹簧后，A、B在静止木板上滑动，摩擦力持续消耗动能，木板足够长，最终动能全部耗尽，故A、B 以及木板的最终速度都为0。 （3）以向右为正方向，初始总动量 A受向右滑动摩擦力，B受向左滑动摩擦力，AB系统合外力为0，动量守恒，因此任意时刻恒满足 B初始速度，相对传送带向右滑动，向左减速；当时，B开始相对传送带向左滑动，代入得 故A的速度大小为v0​，方向水平向左。 考点二 “滑块—斜(曲)面”模型 核心知识·解构 一、模型介绍及特点 1．模型图示：光滑的曲面体开始时静止在水平地面上，滑块以速度v0滑上曲面体 2．模型特点 1）系统水平方向动量守恒； 2）系统的机械能守恒。 二、两种情况 1. 上升到最大高度：滑块m与斜(曲)面M具有共同水平速度v共，此时滑块m的竖直速度vy=0。 1）系统水平方向动量守恒：mv0＝（M＋m）v共； 2）系统机械能守恒：m＝（M＋m）＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度。 ✨得分速记：相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块m的重力势能 2. 返回最低点：滑块m与斜(曲)面M分离点。 1）系统水平方向动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2； 2）系统机械能守恒：m＝m＋M。 ✨得分速记：相当于弹性碰撞 🤖️AI互动课件： 1. 球半圆槽运动：https://lab.physicalw.com/expt/1/22/5 易错辨析·AI原创命题 1. "滑块—弹簧"模型中，若地面光滑，两滑块与弹簧组成的系统在整个运动过程中动量守恒。 ( √ ) 2. "滑块—弹簧"模型中，弹簧压缩到最短时，两滑块的速度均为零。 ( × ) 3. "滑块—弹簧"模型中，弹簧压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，此时两滑块的速度相同。 ( √ ) 4. "滑块—弹簧"模型中，弹簧恢复原长时，系统的总动能一定等于初始总动能。 ( × ) 5. "滑块—弹簧"模型中，若地面光滑，弹簧对两滑块的弹力大小相等，因此两滑块受到的冲量大小也相等。 ( √ ) 【易错点总结表】 易混易错概念 对应题目 关键辨析点 系统动量守恒的条件 1 地面光滑，系统水平方向不受外力，弹簧弹力是内力，故系统动量守恒。 弹簧压缩最短时滑块的速度 2 弹簧压缩最短时，两滑块速度相等（相对速度为零），但不一定为零，而是以共同速度运动。 弹簧最短时弹性势能最大的条件 3 弹簧压缩最短时，两滑块共速，此时弹簧形变量最大，弹性势能最大。 弹簧恢复原长时系统的总动能 4 若系统初始有动能且弹簧有弹性势能，弹簧恢复原长时，弹性势能转化为动能，系统总动能与初始动能不一定相等。 弹力冲量的大小关系 5 弹簧对两滑块的弹力是相互作用力，大小相等、方向相反、作用时间相同，根据I = Ft，冲量大小相等。 热点考向·破译 考向1 “滑块—斜(曲)面”模型 例2（2026·安徽亳州·模拟预测）（多选）质量为的物块A以一定速度在光滑的水平面运动，在其右侧有一质量为的物块B其曲面为光滑圆弧，半径为R，最低点与水平面相切。A恰好滑到B的圆弧最高点，重力加速度为g。未知。则下列说法正确的是（　　） A．A和B动量守恒 B．A的初速度 C．B的最大速度为 D．若A的初速度增大为，A从B最高点飞出再落回过程，B的位移为 【答案】BCD 【详解】A．A、B组成的系统，竖直方向上A运动时，合外力不为零，总动量不守恒，只有水平方向动量守恒，故A错误； B．A恰好滑到圆弧最高点时，A、B水平方向共速，设共速速度为，水平方向动量守恒有 解得 由机械能守恒定律有 解得，故B正确； C．A从最高点滑回水平面后，B达到最大速度，该过程相当于弹性碰撞，水平动量守恒和机械能守恒， 设滑回后A速度，B速度，则， 联立解得 代入 解得，故C正确； D．初速度变为，A到达最高点飞出时，水平方向A、B共速，由动量守恒定律有 解得 设竖直方向的相对初速度为，由机械能守恒定律有 解得 竖直上抛总运动时间 B做匀速运动，位移，故D正确。 故选BCD。 ▶新情境◀【变式训练4】（2026·山东聊城·三模）水平面点左侧光滑，右侧粗糙。质量为的圆弧槽末端与点重合处于静止状态，其圆弧表面光滑，半径。质量均为可视为质点的相同滑块，如图所示，滑块1从高处由静止释放恰好能沿切线方向进入圆弧槽，滑块2、滑块3……滑块n自距离点处从左向右依次排列，间距均为。已知滑块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为，滑块间的碰撞时间极短，且碰后就粘在一起形成组合体。取，，求： (1)滑块1离开圆弧槽末端时的速度大小； (2)滑块1从离开圆弧槽到撞上滑块2经历的时间（答案保留两位小数）； (3)组合体最终包含滑块的个数，及停止位置到O点的距离。 【答案】(1) (2) (3)4个， 【详解】（1）滑块1和圆弧槽组成的系统水平方向动量守恒，机械能守恒。设滑块1离开圆弧时速度大小为，圆弧槽速度大小为，初始总动量为0，因此有 由系统机械能守恒 代入，， 解得， 因此滑块1离开圆弧槽末端时的速度为 （2）水平面点左侧光滑，滑块 1在圆弧槽下滑时，水平方向动量守恒，水平方向上位移关系为 且 联立解得圆弧槽向左运动的距离 故滑块 1滑至圆弧槽末端时，处于点左侧处，滑块 1做匀速运动至点，匀速运动的时间 之后滑块1在点右侧做匀减速运动，由牛顿第二定律可知，滑块1的加速度大小满足 解得 滑块1从滑至点到撞上滑块2经历的时间满足 代入数据解得 滑块减速到0的时间是 所以滑块1从滑至点到撞上滑块2的时间小于，故取 因此滑块1从离开圆弧槽到撞上滑块2经历的时间 （3）滑块碰撞过程动量守恒，且任意质量组合体在粗糙面的加速度均满足 设第个滑块碰后的速度为，运动距离后，速度满足 与第的滑块碰撞后，整体的速度满足 故当时，与第2个滑块碰后可得两滑块组成的系统的速度满足 当时，与第3个滑块碰后可得三滑块组成的系统的速度满足 当时，与第4个滑块碰后可得四滑块组成的系统的速度满足 当时，与第5个滑块碰后可得五滑块组成的系统的速度满足 故组合体无法撞上滑块5，组合体最终包含4个滑块，停止位置到O点的距离满足 ▶新情境◀【变式训练5】（2026·浙江金华·二模）如图所示，半径为R的光滑圆弧槽a和b静止在光滑的水平面上，a槽固定，圆弧圆心角为90°，b槽圆弧圆心角为60°，两槽的轴向间距KH与CD平行等宽。可视为质点的A、B两小球锁定在槽a的顶端，A球质量为0.6 m，B球质量为0.4 m。让A、B两小球从弧面端点沿平行于KH方向分别以和水平相向飞出，它们沿曲边下行后在某一位置发生完全非弹性碰撞成为结合体c。结合体c继续运动，可以从槽b的点P处飞出（图中P未标出），P右侧平面CDEF足够大。求： (1)求点P到C、D两点的距离之比； (2)若槽b固定，结合体c从槽b圆弧的P点冲出后，落在槽b上表面Q处（图中Q未标出），求P、Q间的距离； (3)若槽b不固定，结合体c恰能运动到槽b圆弧的P点，求结合体c和槽b的质量之比； (4)接第（3）问，若结合体c在槽b中上升的时间为t，求结合体c上升过程槽b的位移大小。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）两球碰前水平速度之比为 ，则相碰时水平位移之比为 两球相碰后水平方向动量可知 ， 可知从P点抛出时，点P到C、D两点的距离之比 （2）对结合体沿竖直方向由机械能守恒定律 可得结合体从P点斜向上抛出时的速度 由斜抛运动可知 解得 P、Q间的距离 （3）结合体到达斜槽a底端时有机械能守恒定律， 进入斜槽b过程由水平方向动量守恒以及能量关系 解得 （4）由水平方向动量守恒可知 而 解得 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑水平面上一质量的木板，其右端通过轻弹簧连接质量的物块，此时弹簧伸长量，物块和木板均静止。质量的小球（可视为质点）通过长的轻绳悬于点。小球从绳与竖直方向成处由静止释放，摆至最低点时与木板右端发生弹性碰撞，时间极短。取重力加速度。 (1)求碰撞后瞬间木板的速度大小。 (2)弹簧的压缩量第一次为时，物块速度大小为，方向向左。求木板与物块间的动摩擦因数。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）C下摆过程，由机械能守恒定律有 解得 C与A碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 联立解得碰撞后瞬间木板的速度大小 （2）A、C碰后，当弹簧的压缩量第一次为时，以向左为正方向，由动量守恒定律有 解得 由题意可知弹簧的弹性势能不变，由能量守恒定律有 解得 2．（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； (2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【详解】（1）小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为 （2）设小球与弹簧刚接触时速度的大小为v0，由机械能守恒定律可知，其中 同时有 联立解得， （3）弹簧达到最大弹性势能时，小球与Q共速，设Q的质量为M，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有，，其中 联立解得 （4）对Q和小球整体根据机械能守恒可知要使Q的最终动能最大，需满足小球的速度刚好为零时，此时弹簧刚好恢复原长；设此时Q的质量为M′，Q的最大速度为vm，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 微突破14 “滑块—曲面”模型和“滑块—弹簧”模型（答案版） 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 “滑块—弹簧”模型 易错辨析·AI原创命题 1. √ 2. × 3. √ 4. √ 5. √ 热点考向·破译 考向1 “滑块—弹簧”模型 例1【答案】D 【变式训练1·多物体】【答案】C 【变式训练2·斜面情境】【答案】(1)(2)(3)或其中（） 【详解】（1）刚开始物块B处于静止状态，由受力分析可知 解得 （2）设碰前瞬间物块C速度为，由动能定理可知 物块B、C碰撞后粘在一起结合成物块D，设碰后瞬间D的速度大小为，由动量守恒定律可知 物块D做简谐运动，经过平衡位置时速度最大，设此时弹簧的形变量为，由受力分析可知 由动能定理可知 弹力做的功 解得 （3）物块D运动到最高点时，物块A恰要离开挡板，此时弹簧的形变量 故物块D做简谐运动的振幅 以平衡位置为坐标原点，以沿斜面向下为x轴的正方向，则简谐运动的方程为 当第一次时， 当第二次时， 考虑到简谐运动的周期性，则有或其中（） ▶新情境◀【变式训练3·多情境对比】【答案】(1)(2)都为0(3)速度大小为v0​，方向水平向左 【详解】（1）弹簧最短时A、B速度相等，水平面光滑，系统动量守恒 解得共速 动能损失转化为弹簧弹性势能，由能量守恒 代入整理得压缩量 （2）初始系统总动量为0，轻质木板质量为0。A对木板的滑动摩擦力向左，大小，B对木板的滑动摩擦力向右，大小，木板合力向左，因此木板随A一起向左运动，碰撞前向左运动。 木板与挡板完全非弹性碰撞后立即静止。撤去弹簧后，A、B在静止木板上滑动，摩擦力持续消耗动能，木板足够长，最终动能全部耗尽，故A、B 以及木板的最终速度都为0。 （3）以向右为正方向，初始总动量 A受向右滑动摩擦力，B受向左滑动摩擦力，AB系统合外力为0，动量守恒，因此任意时刻恒满足 B初始速度，相对传送带向右滑动，向左减速；当时，B开始相对传送带向左滑动，代入得 故A的速度大小为v0​，方向水平向左。 考点二 “滑块—斜(曲)面”模型 易错辨析·AI原创命题 1. √ 2. × 3. √ 4. × 5. √ 热点考向·破译 考向1 “滑块—斜(曲)面”模型 例2【答案】BCD ▶新情境◀【变式训练4】【答案】(1)(2)(3)4个， 【详解】（1）滑块1和圆弧槽组成的系统水平方向动量守恒，机械能守恒。设滑块1离开圆弧时速度大小为，圆弧槽速度大小为，初始总动量为0，因此有 由系统机械能守恒 代入，， 解得， 因此滑块1离开圆弧槽末端时的速度为 （2）水平面点左侧光滑，滑块 1在圆弧槽下滑时，水平方向动量守恒，水平方向上位移关系为 且 联立解得圆弧槽向左运动的距离 故滑块 1滑至圆弧槽末端时，处于点左侧处，滑块 1做匀速运动至点，匀速运动的时间 之后滑块1在点右侧做匀减速运动，由牛顿第二定律可知，滑块1的加速度大小满足 解得 滑块1从滑至点到撞上滑块2经历的时间满足 代入数据解得 滑块减速到0的时间是 所以滑块1从滑至点到撞上滑块2的时间小于，故取 因此滑块1从离开圆弧槽到撞上滑块2经历的时间 （3）滑块碰撞过程动量守恒，且任意质量组合体在粗糙面的加速度均满足 设第个滑块碰后的速度为，运动距离后，速度满足 与第的滑块碰撞后，整体的速度满足 故当时，与第2个滑块碰后可得两滑块组成的系统的速度满足 当时，与第3个滑块碰后可得三滑块组成的系统的速度满足 当时，与第4个滑块碰后可得四滑块组成的系统的速度满足 当时，与第5个滑块碰后可得五滑块组成的系统的速度满足 故组合体无法撞上滑块5，组合体最终包含4个滑块，停止位置到O点的距离满足 ▶新情境◀【变式训练5】【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）两球碰前水平速度之比为 ，则相碰时水平位移之比为 两球相碰后水平方向动量可知 ， 可知从P点抛出时，点P到C、D两点的距离之比 （2）对结合体沿竖直方向由机械能守恒定律 可得结合体从P点斜向上抛出时的速度 由斜抛运动可知 解得 P、Q间的距离 （3）结合体到达斜槽a底端时有机械能守恒定律， 进入斜槽b过程由水平方向动量守恒以及能量关系 解得 （4）由水平方向动量守恒可知 而 解得 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．【答案】(1)(2) 【详解】（1）C下摆过程，由机械能守恒定律有 解得 C与A碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 联立解得碰撞后瞬间木板的速度大小 （2）A、C碰后，当弹簧的压缩量第一次为时，以向左为正方向，由动量守恒定律有 解得 由题意可知弹簧的弹性势能不变，由能量守恒定律有 解得 2．【答案】(1)(2)，(3)(4) 【详解】（1）小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为 （2）设小球与弹簧刚接触时速度的大小为v0，由机械能守恒定律可知，其中 同时有 联立解得， （3）弹簧达到最大弹性势能时，小球与Q共速，设Q的质量为M，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有，，其中 联立解得 （4）对Q和小球整体根据机械能守恒可知要使Q的最终动能最大，需满足小球的速度刚好为零时，此时弹簧刚好恢复原长；设此时Q的质量为M′，Q的最大速度为vm，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull