第13章 勾股定理小结与复习 (课件) 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了勾股定理、逆定理、反证法及其应用，通过知识结构框架将直角三角形三边关系、判定方法、实际应用等核心内容分模块串联，结合归纳总结（如逆定理判定步骤、立体图形最短路径方法）构建完整知识网络。 其亮点在于融入古代数学问题与生活场景（如葛藤缠绕、蚂蚁爬行），运用“展曲为平”转化立体图形培养几何直观和空间观念，设计分层练习（基础选择、综合证明、跨学科物理题）提升推理能力和模型意识，助力学生巩固知识，教师精准把握复习重点。

第13章 勾股定理 华东师大版八年级上册 小结与复习 知识结构 知识梳理 直角三角形的三边关系 1 勾股定理：直角三角形两直角边的________等于斜边的________. 平方和 平方 直角三角形的判定 2 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系__________ ，那么这个三角形是______ ______ ，且_____所对的角为直角． a2＋b2＝c2 直角三角形 边c 反证法 3 步骤：(1)先假设结论的反面是正确的； (2)然后通过演绎推理，推出与_________、 _______ _____ 、 _____或_________________ ； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确． 基本事实 已证的定理 定义 已知条件等相矛盾 知识模块一　直角三角形的三边关系 例1 在高5 m、长13 m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，则地毯的长度至少需要　 　m. 17 知识模块二　直角三角形的判定 例2 有4组木棒，长度分别为：①2，3，4；②12，16，20；③12，15，36；④15，36，39（单位：cm），小颖分别用各组中的三根木棒首尾相接搭成三角形，其中恰好能搭成直角三角形的是 (　 　) A．①③　 B．②④　 C．①② D．③④ B 例3 已知在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC 是否为直角三角形． 解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1， c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1，从而 a2＋b2＝c2， 故可以判定△ABC 是直角三角形． 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤： ①先判断哪条边最大； ②分别用代数方法计算出 a2＋b2 和 c2 的值( c 边最大)；③判断 a2＋b2 和 c2 是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形． 归纳总结 2.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形网格的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________． (2)(4) 知识模块三　勾股定理的实际应用 例4 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少？ 解：如答图，一条直角边（即枯木的高）长20尺， 另一条直角边长为5×3＝15（尺）， 因此葛藤长＝＝25（尺）. 例4 如图，正方体的梭长为 3 cm，已知点 B 与点 C 间的距离为 1 cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点 A 爬到点 C，需要爬行的最短距离为 . 5 cm 解析：如图①，AC² = (3 + 1)² + 3² = 5²(cm). 如图②，AC² = (3 + 3)² + 1² = 37 (cm). A B C 图① A B C 图② ∴需要爬行的最短距离为 5 cm. ∵ 5²＜37²， 常以长方体、正方体、圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平”，把立体图形转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，再运用“平面上的两点之间，线段最短”求解． 要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，对于有多种情况的需要注意分类讨论． 勾股定理解决立体图形的最短路径类问题： 归纳总结 A．4 米 B．6 米 C．8 米 D．10 米 C 例5 如图，一架云梯 25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，如果梯子的顶端下滑 4 米，那么梯子的底部在水平方向上滑动 （　 ） 【解析】由题意知 AB = DE = 25，BC = 7，AD = 4， ∴在 Rt△ABC 中，AD= 已知 AD = 4，则 CD = 24 - 4 = 20(米). ∴在 Rt△CDE 中，CE= ∴BE = 15 - 7 = 8(米)．故选 C． 知识模块四　反证法 例7 用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有三个”的第一步应该是______________ _____________________________________　． 假设多边形的内角中锐角的个数超过3个 课堂小结 勾股定理及逆定理 勾股定理的应用 勾股定理 利用勾股定理和逆定理 解决实际问题 勾股数 确定几何体上的最短距离 a2＋b2＝c2 勾股定理的验证 1．下列不能用来证明勾股定理的是(　　) D 随堂练习 2. Rt△ABC中，斜边AB＝1，则AB2＋BC2＋AC2的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B 3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是(　　) A．13 B．26 C．34 D．47 D 4. 【新题型】通过学习我们发现可以用“面积法”采用不同的方案去证明勾股定理，现有若干个如图所示的直角三角形可选用，请你拼出一个图形，并用你所拼的图形证明勾股定理． 解：(答案不唯一)拼出的图形如图所示． 由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝ (a＋b)(a＋b)，从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积和，即 ，两者列成等式为 (a＋b)(a＋b)＝ ，化简即可得a2＋b2＝c2. 5．已知a，b，c为△ABC的三边长，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是(　　) A．a∶b∶c＝5∶12∶13 B．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5 C．a＝9k，b＝40k，c＝41k(k＞0) D．a＝7，b＝8，c＝9 D 6．下列各组数：①6，8，10；②1.5，2，2.5；③32，42，52；④70，240，250；⑤ ，1，其中是勾股数的是_______．(填序号) ①④ 7．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点都在格点上，则∠ABC＝________°. 135 8．[浙江绍兴模拟]如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15 n mile的速度前进，2 h后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，则乙船沿____________方向航行． 南偏东30° 9．如图，有一只小鸟从大树顶飞到小树顶上，它飞行的最短路程是________． 13 m 10．如图，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝3，BC＝3，BF＝2，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到棱CG的中点P处吃食物，则它爬行的最短路程是__________． 11.(跨学科·物理)物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图①所示(AC⊥BC)，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6 dm，绳长(AB＋AC)为18 dm.(实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮A、滑块B和物体C的大小忽略不计，都看作一点) (1)求AB的长； 解：设AB＝x dm，则AC＝(18－x)dm. 在Rt△ABC中， 由勾股定理，得BC2＋AC2＝AB2， 即62＋(18－x)2＝x2，解得x＝10. 答：AB的长为10 dm. (2)如图②，若滑块B水平向左滑动9 dm，求物体C上升的高度． 解：如图． 由题意，得BE＝9 dm， AD＝18－10＝8(dm)，所以BD＝BE＋ED＝9＋6＝15(dm)． 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得AB＝ 17－10＝7(dm)． 答：物体C上升的高度为7 dm. 12．用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”时，第一步应假设(　　) A．底角大于90° B．底角等于90° C．底角小于90° D．底角大于或等于90° D 13.(方程思想)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝30，BC＝40，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上的点B′处，AE为折痕，则EB′＝______． 15 14. (分类讨论思想)在△ABC中，已知AB＝15，AC＝13，AD是BC上的高，且AD＝12，则△ABC的周长为_________． 42或32 ab＋ab＋c2 ab＋ab＋c2 ， ＝＝17(dm)， $