第13章 勾股定理 习题课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦第13章勾股定理，涵盖定理及逆定理、证明与应用，通过基础题（求直角三角形未知边、判断边关系）到综合题（结合几何图形、实际问题）的学习支架，帮助学生逐步构建知识脉络。 其亮点在于分层设计（夯实四基、提升四能、发展素养），以赵爽弦图证明培养推理意识，结合铁丝弯折、四边形面积等实际问题发展应用意识，例题与中考题提升运算能力和几何直观，助力学生理解知识，为教师提供分层教学资源。

第13章 勾股定理 专项突破11 利用勾股定理解决最短路 径问题 1 （第1题） 1.如图，在中，点在直线 上移动.若 ，，则 的最小值为( ) A.4 B.5 C.4.8 D.6 C 2. 如图，牧童在处放牛，其家在处，， 到河岸的 距离分别为，，，牧童从 处把 牛牵到河边饮水后再回家，则所走的最短路程为_____ . 500 （第2题） 3 类型2 几何体上的最短路径问题 方法指导 常见几何体的侧面展开图及最短路径 圆柱 ___________________________________________________________________________________________________ 4 常见几何体的侧面展开图及最短路径 长方体 ___________________________________________________________________________________________________ 阶梯 ___________________________________________________________________________________________________ 续表 5 常见几何体的侧面展开图及最短路径 解题思路 将立体图形展开成平面图形 利用 “两点之间，线段最短”确定最短路线 构造直角三角形 利用勾股定理求解 续表 6 （第3题） 3.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高 分别是，和，则一只蚂蚁从 点沿 着台阶面爬到点的最短路程是____ . 13 7 （第4题） 4.如图是一个底面为正方形（边长为）、高为 且封 闭的长方体纸盒，一只蚂蚁从顶点爬到与 点相对的顶点 ，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为____ . 10 8 （第5题） 5.如图，一圆柱形玻璃杯的高为 ，底面周长 为，在杯内壁离杯底的点 处有一滴蜂 蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁 处 的最短距离为____ （杯壁厚度忽略不计）. 20 9 6.【数学文化】我国古代数学中有这样一道数学题：如图，有一棵枯树 （看成圆柱）直立在地上，树高8尺，粗（底面圆的周长）5尺，有一根 藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是____尺. 17 （第6题） 10 $第13章 勾股定理 综合与实践 1 任务一 实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图②），并测量出 了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图③）， 其中主干道与交于点， .小组成员又借助电子角度仪测 得 ， . 2 道路 长度 40 30 30 18 32 25 任务二 数学计算 根据图③及表格中的相关数据，请完成下列计算： （1）求道路 的长； 解：， ， ， ， . 3 （2）求道路 的长； 解：由题意可知 ， ， ，在 中， ，，又， ， ， ， . 4 任务三 方案设计 （3）根据以上探究，请你在主干道 上画出“爱心衣物回收箱”的具体 位置（用点表示），并画出需要增设的小路， ； 解：点，， 即为所求，如图. 5 （4）请求出“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为多少 米.（保留根号） 解：，，，即 ， 易知，，， 共线， . 6 $第13章 勾股定理 13.2 勾股定理的应用 第2专题 勾股定理及其逆定理的综合 应用 1 知识点1 在网格中作长为无理数的线段 （第1题） 1.如图，每个小正方形的边长为1，点，，， 都在格点上，则图中长度为 的线段是( ) D A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 2 （第2题） 2.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1， 的顶点在格点上，则 中，边长是无理 数的边有___条. 2 返回 1 夯实四基 3 3.（1）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，则图中线段 _____； （2）画一个以线段 为腰的等腰三角形. 解：如图所示.（答案不唯一） 返回 1 夯实四基 4 4.［2025信阳期中］如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1， 小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： 1 夯实四基 5 （1）长为的线段，其中、 都在格点上； 解：如图所示. 1 夯实四基 6 （2）面积为13的正方形，其中、、、 都在格点上. 解：如图所示. 返回 1 夯实四基 7 知识点2 勾股定理及其逆定理的综合应用 5.如图，三角形中，，，，是 边上的 中线，则 的长为__. 返回 1 夯实四基 8 6.［教材 例4变式］如图，学校操场上的一块空地（阴影部分）需要 绿化，测出，，， ，且 ，求需要绿化部分的面积. 1 夯实四基 9 解：连结 . , . , , 在 中， , 是直角三角形，且 ， . 答：需要绿化部分的面积是 . 返回 1 夯实四基 10 7.如图,在四边形中, ,,, .求 的度数. 1 夯实四基 11 解:连结 . ,,,. ,,, ， ， ， ， ， 即的度数为 . 返回 1 夯实四基 12 （第8题） 8.如图，在中， ， 平分 交于点，于点 ，若 ，，则 的长为( ) C A.2 B.4 C. D. 返回 2 提升四能 13 9.［教材习题变式］如图， ， ， ，，则 是______三角形. 直角 （第9题） 返回 2 提升四能 14 10.如图，每个小方格的边长是1，若线段能与线段、 组成一个 直角三角形，则线段 的长度是__________. 或 （第10题） 返回 2 提升四能 15 11.如图，中， ， ，三角形的顶点在相互 平行的三条直线、、 上，且相邻两平行线之间的距离都是1，则 __. （第11题） 返回 2 提升四能 16 12.［2024广元中考改编］如图，将绕点 顺时 针旋转 得到，点， 的对应点分别为点 ，，连接，点恰好落在线段 上，若 ，，则 的长为____. 2 提升四能 17 [解析] 点拨：由旋转得， ， ， ， 是等腰直角三角形，.过点 作 于点， ， ，易得 ， . 返回 2 提升四能 18 13.［2025郑州月考］如图，在一条东西走向的河 的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、 ， 其中，由于某种原因，村庄到取水点 的路现在不通了，村庄 为方便村民取水，决定 在河边新建一个取水点、、在一条直线上，并新修一条路 ， 测得，， . 2 提升四能 19 （1）是否为村庄 到河边的最近路？请通过计算加以说明; 解：是村庄到河边的最近路. 在 中， ， 是直角三角形， 且 ， ， 是村庄 到河边的最近路. 2 提升四能 20 （2）求原来的路 的长. 解：设，则，在 中， 由勾股定理,得 ， ， 解得，即 . 答：原来的路的长为 . 返回 2 提升四能 21 14.如图，正方形中，为的中点，为 上一点，且 ，猜想与 的位置关系，并说明理由. 3 发展素养 22 解： . 理由：连结 ， 四边形 是正方形， ， . 为 的中点， ， 设，， ， 3 发展素养 23 ， ， 在中， ， 在中， ， 在中， ， ， 是以为直角的直角三角形， . 返回 3 发展素养 $第13章 勾股定理 阶段练习（六）（13.1~13.2） 1 建议用时：45分钟 一、选择题（每题4分，共28分） 1.下列各组数中，是勾股数的是( ) C A.4、6、8 B.0.3、0.4、0.5 C.11、60、61 D.3、6、9 返回 2 2.将直角三角形的三边长同时扩大到原来的5倍后，得到的三角形是 ( ) A A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上结论都不对 返回 3 3.用反证法证明“在中，如果，那么 ”时，应假 设( ) A A. B. C. D. 返回 4 4.［2025重庆期末］如图，数轴上点所表示的数为，则 的值为 ( ) C （第4题） A. B. C. D. 返回 5 （第5题） 5.如图，在高为，坡面长为 的楼梯表面铺 地毯，地毯的长度至少需要( ) C A. B. C. D. 返回 6 （第6题） 6.如图，以 三边为直径，向外作半圆，其面 积分别为，，，已知，则 的值为( ) B A. B. C. D. 返回 7 （第7题） 7. 如图是一个供滑板爱好者使用的 形池，该 形池可以看作是一个长方体去掉一个“半 圆柱”，中间可供滑行部分的截面是弧长为 的半 圆，其边缘 （边缘的宽度忽略不 计），点在上，.一滑板爱好者从 点 滑到 点，则他滑行的最短距离为( ) D A. B. C. D. 返回 8 二、填空题（每题4分，共20分） 8.若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为____. 13 返回 9 9.如图，在中， ，，，以点 为 圆心，长为半径画弧，交于点，则 ___. 9 （第9题） 返回 10 10.某工程队要挖掘一处通山隧道使， 两处出口能够直通，如图为工 程平面图及一些测量数据，图中测量线拐点处均为直角，则该隧道预计 全长_______ . 1 000 （第10题） 返回 11 11.如图，在操场上竖直立着一根长为的测影竿 ，早晨测得它的 影长为，中午测得它的影长为，，， 三点在同一直 线上，则，， 三点____构成直角三角形（填“能”或“不能”）. 能 （第11题） 返回 12 12.［2025郑州期中］如图，在直角三角形纸片中， ， ，，是的中点，是 上的一个动点，将三角形 纸片沿折叠，使落在处，连结，当 是直角三角形 时， 的长为______. 或5 （第12题） 13 [解析] 点拨：如图①， ， ， ，，， 共线.是的中点， ， .设，则 .在 中，，解得， ； 如图②， ， .根据折叠可知 ， . ， ，.综上所述，的长为 或5. 返回 14 三、解答题（共52分） 13.（10分） 如图， 中， ，， ，交 于点，，，求 的长. 解：， ， ， . ， . 返回 15 14.（12分）如图，每个小方格的边长都为1. （1）求图中格点四边形 的面积; 解： . 16 （2）请探究与 的位置关系，并说明理由. 解： .理由：由勾股定理，得 ， ， . 为直角三角形，且 . . 返回 17 15.（14分）综合实践小组为测量学校旗杆 的 高度，进行了两次试验，如图①，第一次绳子沿 旗杆下垂到点，测量多出的绳子长度为 ， 如图②，第二次绳子斜拉直后末端至点 位置， 测量点到地面的距离为，以及点到旗杆的距离为 ， 请你根据测量数据计算旗杆的高度. 18 解：设旗杆的高度为，则绳子的长为 ， 由题意可知， ， 在 中，由勾股定理得 ， 即 ， 解得 . 答：旗杆的高度为 . 返回 19 16.（16分） 如图，为线段 上一动点，分别过点 、作，，连结、.已知， ， ，设 . （1）的长为________________________；（用含 的代数式表示） 20 （2）点满足什么条件时， 最小？最小为多少？ 解： 两点之间，线段最短， 当，， 三点在一条直线上时， 最小. 连结，过点作交的延长线于点 ， 则， ， . 最小为10. 21 （3）根据（2）中的规律和结论，构图求出代数式 的最小值. 22 解：如图，在线段上，分别过点、 作 ，，连结交 于点 ，，， ，设 ，则 的长即为代数式 的最小值. 由（2）同理可得 的最小值为 . 返回 $第13章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 2.直角三角形的判定 1 知识点1 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形 1.中，，，的对边分别是，，，且 ，则 下列说法正确的是( ) C A.是直角 B.是直角 C.是直角 D. 是锐角 返回 1 夯实四基 2 2.［2025南阳期末］下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( ) C A.2，4，5 B.4，6，7 C.6，8，10 D.5，11，12 返回 1 夯实四基 3 3.如图，小明散步从到走了，从到走了，从到 走了 ，若 ，则________.（用含 的式子表示） 返回 1 夯实四基 4 4.一个三角形三边长的比为，且其周长为 ，则其面积为____ . 96 返回 1 夯实四基 5 5. 在中，，，的对边分别为，， ， 已知，，， 是直角三角形吗？请说明理由. 小亮的解答如下： 解： 不是直角三角形.理由如下： ， ， ， 不是直角三角形. 请问小亮的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程. 1 夯实四基 6 解：小亮的解答不正确.正确的解答过程如下： 是直角三角形.理由如下： ，， ， 是直角三角形. 返回 1 夯实四基 7 6.如图，在中，是高， ， ，，求证： . 证明：是 的高， ， ， ， ，， 是直角三角形，且 . 返回 1 夯实四基 8 7. 已知，，是 的三边长，且满足 ，试判断 的形状，并说明理由. 解： 是直角三角形，理由如下： ，且， ， ， ，， ， 解得，， ， ， 是直角三角形. 返回 1 夯实四基 9 知识点2 勾股数 8.满足的三个正整数、、 称为勾股数，下列各组数为勾 股数的是( ) D A.2、3、4 B.、2、 C.6、7、8 D.5、12、13 返回 1 夯实四基 10 9.［2025洛阳月考］勾股数为一组连续偶数的是__________. 6，8，10 返回 1 夯实四基 11 10.［教材P练习T变式］已知中，，，分别是， ， 的对边，下列条件不能判断 是直角三角形的是( ) A A. B. C. D. 返回 2 提升四能 12 11.［2025运城期中］已知，是线段上的两点， ， ，先以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心， 长 为半径画弧，两弧交于点，连结，，则 一定是( ) B A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 返回 2 提升四能 13 （第12题） 12.［2025西安期末］如图是用三张正方形纸片以顶点相 连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片， 面积分别是1，3，4，5，8，选取其中三种（可重复选 取）按如图的方式组成图案，要使所围成的三角形是面 积最大的直角三角形，则所选取的三种纸片的面积分别 是( ) D A.1，4，5 B.3，4，8 C.3，4，5 D.4，4，8 返回 2 提升四能 14 13.若的三边长，，满足 ，则 是____________三角形. 等腰或直角 返回 2 提升四能 15 14.如图所示的网格是正方形网格，，， 均在格点上，则 _____. （第14题） 返回 2 提升四能 16 15.为加速城市更新步伐，绿地广场有一块三角形空地 将进行绿化. 如图，在中，，是上的一点， ， ， . 2 提升四能 17 （1）判断 的形状，并说明理由； 解： 是直角三角形. 理由：，，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形. 2 提升四能 18 （2）求线段 的长. 解：设 ， 则 ， 由（1）可知 ， ， ，解得 ， 线段的长为 . 返回 2 提升四能 19 16.如图，在中，， ，点 为内一点，将绕点顺时针旋转 得到 ，连结.若，， 时，求 的度数. 3 发展素养 20 解：连结，由旋转得， ， ， . ， ， ， . ， ， 是等边三角形， ， . ， ， 3 发展素养 21 是直角三角形，且 ， ，的度数为 . 返回 3 发展素养 $第13章 勾股定理 专项突破12 利用勾股定理解决折叠问题 1 任务一 操作实践 1.老师让每个小组剪了一些如图①所示的直角三角形纸片 ，并将 中的各内角进行折 叠操作： 操作1 把一边折叠到另一边上 （1）如图②，“善思”小组将中的进行折叠，使直角边 落 在斜边上，点落在点处，折痕为，则的长为___ . 3 2 操作2 把一顶点折叠到另一顶点上 （2）如图③，“敏学”小组将中的进行折叠，使点 落在点 处，折痕为，则的长为___ . 3 操作3 把一顶点折叠到另一边的中点上 （3）如图④，“勤奋”小组将中的进行折叠，使点 落在直 角边的中点处，折痕为，求 的长. 解：设，则 . 由折叠得 ， 是 的中点， ， 在 中，利用勾股定理得 ，即，解得， 的长为 . 4 操作4 把一顶点折叠到另一边的延长线上 （4）如图⑤，“雄鹰”小组将中的进行折叠，使点 落在直 角边延长线上的点处，折痕为，则的长为___ . 5 任务二 综合探究 （第2题） 2.如图，三角形纸片中， ， ，.沿过点 的直线将纸片折叠，使 点落在边上的点处；再折叠纸片，使点 与 点重合，若第二次的折痕与的交点为 ，则 的长是( ) A A. B. C. D. 6 3.如图，在中， ，，，是边 上一动点，将沿折叠，使点落在处，交于点 ，则 的最大值为___. （第3题） 7 任务三 迁移运用 （第4题） 4.如图，在长方形纸片中，， ， 将长方形纸片沿折叠，点落在对角线上的点 处，则 的长为___. 6 8 （第5题） 5.如图，将长方形纸片沿着对角线 折叠， 使点落在处，交于，若 ， ，则重叠部分的面积是____. 10 9 $第13章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 1.直角三角形三边的关系 第2专题 勾股定理的简单应用 1 知识点1 勾股定理的简单应用 （第1题） 1. 如图，患者体内某器官 后有一肿瘤在 处，为防止伤害器官，放 疗射线必须从侧面照射肿瘤.已知射线从皮 肤上的处进入身体，且穿透皮肤 后恰好到达肿瘤处，则肿瘤在皮肤下的深 度 为( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 2 （第2题） 2.如图，公园内一块长方形草坪 ，已知 ， ，公园管理处为方便群 众，沿修了一条近道.一个人从到 走 比直接走 多走( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 3 （第3题） 3.［2025周口期末］如图，在水塔 的东北方向 处有一抽水站，在水塔的东南方向 处 有一建筑工地，在，间建一条直水管 ，则 水管的长为____ . 40 返回 1 夯实四基 4 4.［教材P124练习T2变式］如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面 示意图，根据图中的尺寸，计算两圆孔圆心和间的距离为_____ . 150 （第4题） 返回 1 夯实四基 5 5.如图，将一根长度为且自然伸直的弹性皮筋 的两端固定在水 平的桌面上，然后把皮筋中点竖直向上拉升到点 ，则此时该弹 性皮筋被拉长了___ . 2 返回 1 夯实四基 6 6.如图，一辆小汽车在一条公路 上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对 面车速检测点处的正前方的处，过了后到达 处，此时测得 小汽车与车速检测点间的距离为 ，若规定小汽车在该公路上的行 驶速度不得超过 ，那么这辆小汽车超速了吗？ 1 夯实四基 7 解：由题意，得，，， 在 中，， 小汽车的速度为 . ， 这辆小汽车超速了. 返回 1 夯实四基 8 知识点2 勾股定理与网格、数轴结合 7.如图，数轴上点，对应的实数分别为1，3，线段于点 ， 且的长为1个单位.若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于点 ， 则点 表示的实数为________. （第7题） 返回 1 夯实四基 9 8.如图，，， 均在网格格点上，每个小正方形的边长均为1，则 的三边长，，的大小关系是__________.（用“ ”连接） （第8题） 返回 1 夯实四基 10 9.如图，当笔记本电脑屏幕张角为时，顶部边缘 处离桌面的高度 为，此时底部边缘处与处间的距离为 ，当张角为 时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为 ， 则底部边缘处与之间的距离 为( ) A A. B. C. D. 返回 2 提升四能 11 10.［2024巴中中考改编］“今有方池一丈，葭生其中央， 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我 国数学史上的“ 葭生池中”问题.即如图，若 尺， 尺，，则 ____尺. 12 返回 2 提升四能 12 （第11题） 11.［2025太原期末］如图，网格的每个小正方形的边 长均为1，点，，都在格点上，于点 ， 则 的长为__. 返回 2 提升四能 12.［2025郑州开学考］如图，有一张长方形纸片， ， ，点为上一点，将纸片沿折叠，的对应边 恰好 经过点，则线段 的长为___. （第12题） 2 提升四能 14 [解析] 点拨： 四边形是长方形， ， ， ，根据折叠的性质得 ， ，， .在 中，，.在 中， ，，解得 . 返回 2 提升四能 15 13.［教材复习题 变式］数学与生 活：一架长为的梯子 斜靠在墙上. （1）如图①，若梯子的顶端 与地面的 距离为，求梯子的底端与墙脚 的距离 ; 解：在 中， . 梯子的底端与墙脚的距离为 . 2 提升四能 16 （2）如图②,在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑到 ,那么它 的底端到滑动的距离是否也为 ? 解：由题意，得, ， ， . ， 它的底端到滑动的距离不是 . 返回 2 提升四能 17 14.小王与小林玩遥控赛车，终点为点，小王的赛车以 的速度从 点出发向东行驶，同时小林的赛车以的速度从点 出发向北行驶 （如图）.已知赛车之间的距离小于或等于 时，遥控信号会相互干 扰，已知， . 3 发展素养 18 （1）出发 时，遥控信号是否会相互干扰？ 解：设出发时，两赛车分别行驶至，处，连结 ，则 ， ， ， .由题意，得 ， . ， 出发 时，遥控信号不会相互干扰. 3 发展素养 19 （2）当两赛车距点的距离之和为 时，通过计算说明遥控信号是 否会相互干扰. 解：设出发时，两赛车距点的距离之和为 ， 由题意，得，解得，则 ， ， 两赛车间的距离是， 遥控信号会 相互干扰. 返回 3 发展素养 20 $第13章 勾股定理 13.2 勾股定理的应用 第1专题 勾股定理的实际应用 1 知识点1 立体图形中两点之间的最短距离 （第1题） 1.小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近 似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的 数学知识准确地判断出从点攀爬到点 的最短路程为 ____米. 10 返回 1 夯实四基 2 （第2题） 2.某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜 （如图）.在此三棱镜的侧面上，从顶点到顶点 镶有一圈 金属丝.已知此三棱镜的高为，底面边长为 ，则这 圈金属丝的长度至少为____ . 15 返回 1 夯实四基 3 3.［2025咸阳期中］如图，圆柱的底面周长为，高为 ，在 圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点爬到点，再从点爬回到点 ， 则这只蚂蚁爬行的最短距离为____ . 30 （第3题） 返回 1 夯实四基 4 知识点2 利用勾股定理解决实际问题 4.［教材复习题变式］如图,一棵大树在一次强台风中距地面 处折断,倒下后树顶端着地点距树底端的距离为 ,则这棵大树在折 断前的高度为( ) C （第4题） A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 5 （第5题） 5.［教材例2变式］一辆装满货物，宽为 的 卡车，欲通过如图所示的隧道（上方为半圆），则卡 车的外形高必须低于( ) A A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 6 （第6题） 6.［2025鹤壁期末］如图，某自动感应门的正上方 处 装着一个感应器，离地2.6米（即 米），当 人进入感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高 1.7米的学生（ ）正对门，缓慢走到离门1.2米的地 方时，感应门自动打开，则 ____米. 1.5 返回 1 夯实四基 7 7. ［2025西安期中］如图， 有一个摆钟，摆锤看作一个点，当它摆 动到离底座最近时，摆锤离底座的垂直 距离 ，当它来回摆动到离底 座的距离最高与最低时的水平距离为 时，摆锤离底座的垂直距离 ，求钟摆 的长度. 1 夯实四基 8 解：设，依题意得， ， . ， . 由题意知 ， ， 即，解得 . 答：钟摆的长度为 . 返回 1 夯实四基 9 （第8题） 8.如图，将一根长为20厘米的筷子置于底面直径为6厘 米，高为8厘米的圆柱形水杯中.设筷子露在杯子外面的 长度为厘米，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 返回 2 提升四能 10 9.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端 到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.若保持梯子底端位置不动， 将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为____米. 2.2 （第9题） 返回 2 提升四能 11 10.如图，已知树（垂直于地面）上的点处 有两只松鼠， 为抢到点处（点，在同一水平地面上， ）的坚果，一只 松鼠沿到达点处，另一只松鼠沿到达点 处.若它 们经过的路程相等，则树的高度为____ . 7.5 返回 2 提升四能 12 11.如图，现有一艘快艇即将靠岸，当 快艇到达点 的位置时，关闭发动机， 在离水面高度为 的岸上，工作 人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子 （1）若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点 的位置， 问此时快艇距离岸边还有多少米？ 解：根据题意得， 在中， ， 此时快艇距离岸边还有 . 的长为 .（假设绳子一直是直的，结果保留根号） 2 提升四能 13 （2）若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸， 后快艇由 点移动到点 的位置，则工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 解：在 中， ， ， 在中， ， 工作人员手中的绳子被收上来 . 返回 2 提升四能 14 12.如图，长方体中，，，一只蚂蚁从 点出发， 沿长方体表面爬到 点. 3 发展素养 15 （1）请你在所给的网格中，画出蚂蚁爬行的所有不同的直线路径 （每个小正方形的边长为1个单位长度）； 解：如图所示. 3 发展素养 16 （2）求蚂蚁爬行的最短路程是多少. 解：从正面和上面爬： . 从左面和上面爬： . 从正面和右面爬： . ， 最短路程为5. 返回 3 发展素养 17 $第13章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 1.直角三角形三边的关系 第1专题 勾股定理及其证明 1 知识点1 勾股定理 1. 求出下图直角三角形中未知边的长度. 10 返回 1 夯实四基 2 2.在中，，，的对边分别是，，，若 ，则 下列等式中成立的是( ) C A. B. C. D.以上均不正确 返回 1 夯实四基 3 3.［2025周口月考］在中， ， ，则 的值为( ) C A.4 B.6 C.8 D.12 返回 1 夯实四基 4 4.如图，数字代表所在正方形的面积，则A代表的正方形面积为( ) D （第4题） A.25 B.49 C.85 D.100 返回 1 夯实四基 5 （第5题） 5.如图，在中，，平分 交 于点.已知，，则 的长为____. 16 （第6题） 6.［教材P练习T变式］如图，用 长的铁丝 刚好弯折成直角三角形，若 ， ，则___ . 5 返回 1 夯实四基 6 7.如图，在中，于点 ，若 ，，，求， 的长. 解： ， . 在中，， ， ， 在中，， ， . 返回 1 夯实四基 7 知识点2 勾股定理的证明 8.［2025临汾月考］取两个完全相同的直角三角 尺，按如图所示摆放（，， 三点在一条直线 上）. （1）连结，则 是__________三角形， 四边形 是________形； 等腰直角 直角梯 （2）设，， ，试用两种不同的 方式表示出四边形 的面积； 解：四边形的面积为或 . 1 夯实四基 8 （3）由（2）你能得到什么结论？ 解：由（2）得，化简，得 . 结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 返回 1 夯实四基 9 （第9题） 9.［2025焦作期中］如图，在 中， ，，，点是 上的 动点，则 的最小值为( ) C A.5 B. C. D.6 返回 2 提升四能 10 （第10题） 10.［2024眉山中考改编］如图①是我国古代数 学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角 形拼成.若图①中大正方形的面积为24，小正方 形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②， 则图②中大正方形的面积为( ) D A.24 B.36 C.40 D.44 返回 2 提升四能 11 11. 在中，，，则 的长为__________. 17或 返回 2 提升四能 12 （第12题） 12.如图，若 ， ，，，则 ____. 13 （变式题） 【变式题】 如图，在四边形草坪 中， ，， ， ，则该四边形草坪的面积是_____ . 234 返回 2 提升四能 13 13.［2025长春期末］如图，在 中，按以下步骤 作图：①分别以点，为圆心，以大于 的长为 半径作弧，两弧相交于点，；②作直线 交边 于点.若，， ，则 的 长为___. 7 返回 2 提升四能 14 14.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美” 四边形，对角线，交于点.若， ，则 ____. 20 返回 2 提升四能 15 15.如图，在中，，，，求 的面积. 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路： 请你按照他们的解题思路，完成解答过程. 2 提升四能 16 解：设，则 .由勾股定理,得 ， ， ， 解得， . . 返回 2 提升四能 17 16. 如图， ， ，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形， 则图中阴影部分的面积为____. 16 [解析] 点拨： ， ， 图中阴影部分的面积为 . 返回 3 发展素养 18 $第13章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 3.反证法 1 知识点 反证法 1. 在中，若，则 .下面是运用反证法 证明这个命题的四个步骤： ①所以 ，这与三角形的内角和为 矛盾； ②因此假设不成立，所以 ； ③假设在中， ； ④由，得 ，即 . 这四个步骤正确的顺序应是( ) D A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①② 返回 1 夯实四基 2 2.［2025长春月考］用反证法证明“若，则 ”时，应假设 ( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 3 3.牛顿曾说:“反证法是数学家最精良的武器之一”.用反证法证明“在 中,若,则 ”时,应先假设( ) D A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 4 4.用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平 行”. 已知：如图，直线、被直线所截， ___ .求证：直线与 ________. 不平行 证明：假设___，则___ // 两直线平行，同旁内角互补 不成立 直线与不平行 （___________________________）（填依据）. 这与________________矛盾，所以假设________. 所以_________________. 返回 1 夯实四基 5 5.［2025开封月考］用反证法证明“ 是无理数”时，应先假设( ) C A.是分数 B.是整数 C.是有理数 D. 是实数 返回 2 提升四能 6 6.用反证法证明“三角形中最多有一个直角或钝角”,第一步应假设( ) B A.三角形中至少有一个直角或钝角 B.三角形中至少有两个直角或钝角 C.三角形中没有直角或钝角 D.三角形中三个角都是直角或钝角 返回 2 提升四能 7 7.［2025西安月考］已知:如图,是 内一 点. 求证:，， 不可能都是锐 角三角形（用反证法证明）. 证明:假设，，都是锐角三角形,则 ， ，都是锐角， ，这与 矛盾， 假设不成立， ， ， 不可能都是锐角三角形. 返回 2 提升四能 8 $第13章 勾股定理 章末整合练 1 温馨提示：点击 进入讲评 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 D 30 8 B 135 D 75 答 案 呈 现 13 14 15 习题链接 2 核心知识巩固 一、基础考点演练 考点1 勾股定理及其证明 1.勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一,也是用代数思想解决 几何问题最重要的工具之一.下列图形中可以证明勾股定理的有( ) D A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 返回 3 2.如图，阴影部分是两个正方形，面积和为 ，图中还有两个直角 三角形和一个空白正方形，直角三角形①中较长直角边长为 ，则 直角三角形①的面积是____ . 30 （第2题） 返回 4 3.若直角三角形的直角边、满足 ，则第 三边的长是____. 返回 5 4.如图，在和中，， ， ，则 的长为___. 8 （第4题） 返回 6 （第5题） 5.如图，在四边形中，， ， ，和都是直角，则四边形 的面积为__. 返回 7 （第6题） 6.［2024常州中考］如图，在 中， ，，，是边 的 中点，是边上一点，连结、.将 沿翻折，点落在上的点处，则 __. 返回 8 考点2 勾股定理的逆定理 7.下列各组数中，是勾股数的是( ) B A.0.6、0.8、1 B.8、15、17 C.、、 D.1、2、 返回 9 8.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形 的顶点都在 格点上，则_____ . 135 返回 10 9.如图，中，，平分 交 于点，，， . （1）求证： ； 证明：， ， ， . ， ， . 11 （2）求点到 边的距离. 解：过点作于点 ， ，平分 ， . ， ， 解得 ， 即点到边的距离为 . 返回 12 考点3 反证法 10.用反证法证明“等腰三角形的底角小于 ”时，第一步应假设( ) D A.底角大于 B.底角等于 C.底角小于 D.底角大于或等于 返回 13 考点4 勾股定理及其逆定理的应用 （第11题） 11.［2025太原期末］如图，一艘轮船位于灯塔 的 南偏东 方向，距离灯塔的 处，它 沿北偏东 方向航行到达 处，此时 与灯塔的距离为____ . 75 返回 14 12.如图，长方体中，，，，一只蚂蚁从点 出发， 在长方体表面沿如图所示的路径到的中点 处吃食物，则它爬行的最 短路程是__. （第12题） 返回 15 13.［2025郑州期末］如图，一台拖拉机沿直线公路由点向点 行驶， 点为学校，且点与，两点的距离分别为和 ， ，拖拉机周围 以内为受拖拉机发出的噪声影响区域. （1）学校 会受噪声影响吗？为什么？ 16 解：学校 会受噪声影响. 理由：如图，过点作于点 ， ，，， ， 17 是直角三角形. ，即 ， ， 拖拉机周围以内为受噪声影响区域， 学校 会受噪声影响. （2）拖拉机的行驶速度为 ，拖拉机噪声影响该学校持续的时 间为多少分钟？ 19 解：如图，在上两侧各取点、，连结， ， 使，，拖拉机在线段 上行驶 时正好影响学校 ， ， ， 拖拉机的行驶速度为 ， 拖拉机噪声影响该学校持续的时间为 . 返回 二、思想方法演练 思想1 方程思想 14.如图，在中，，，是 边上的高，则 线段 的长度为__. 返回 21 思想2 分类讨论思想 15.［2025平顶山期末］在中，已知，， 是 上的高，且，则 的周长为________. 42或32 22 [解析] 点拨：分两种情况讨论： ①当 为锐角时，如图①，在 中， ， 在 中， ， ，的周长 .②当 为钝角时，如图②，在中， ，在 中，， ， 的周长 . 返回 23 $