26.3 二次函数与一元二次方程 课前预习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数与一元二次方程，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，覆盖从单一知识点到实际应用的进阶路径，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|抛物线与坐标轴交点、方程根的情况|单选题1-5题，直接应用概念，强化抽象能力| |提升层|函数性质综合判断、不等式解集|单选6-10题及填空11-13题，结合图象推理，培养几何直观| |拓展层|函数与方程应用、探究性问题|填空14-15题及解答题16-20题，如面积计算与性质探究，发展模型意识|

26.3 二次函数与一元二次方程 课前预习2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 3．抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 4．已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．抛物线与y轴的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 7．抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 8．关于抛物线，下列说法中正确的是（    ） A．函数的最大值是3 B．开口向上 C．与轴无交点 D．对称轴是直线 9．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0或2 D．1或2 10．已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 二、填空题 11．已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是______．（请用含字母m的代数式表示） 12．已知二次函数y＝x2﹣3x+m的图象与坐标轴有且只有两个交点，这两个交点坐标是____． 13．已知二次函数 (t为常数)，点、是其图象上两点，若，则的取值范围为_______． 14．已知二次函数的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 三、解答题 16．如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于A，B两点，求的面积． 17．已知抛物线经过点． (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)若是抛物线上不同的两点，且，求的值． 18．已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式． (2)写出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在直角坐标系中画出它的示意图． (3)当x取何值时，，，？ 19．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中，___________ … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 ．… (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①关于的方程实数根为___________； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是___________． 20．在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)将该二次函数化为的形式： (2)求二次函数的图象与轴的交点的坐标： (3)在给出的平面直角坐标系中画出此函数的图象． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D B D D A A B 1．【答案】A 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，理解掌握两者的实质关系是解本题的关键．求出一元二次方程的两个根，，即可得出抛物线与x轴的两个交点，． 【详解】解：令， 即， 解得一元二次方程的根为：，； 则抛物线与x轴的两个交点分别为和； 故答案选：A． 2．【答案】C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程根的关系，熟练掌握“二次函数图像与轴的交点个数对应一元二次方程实数根的个数”是解题的关键． 根据二次函数图像与轴的交点个数，判断对应的一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵ 二次函数的图像与轴没有交点， ∴ 关于的一元二次方程没有实数根， 故选：C． 3．【答案】A 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可． 【详解】由解得，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线在轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键． 4．【答案】D 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查的知识点是图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是正确理解二次函数图象和一元二次方程关系． 仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得解． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，， 即这个数是的一个根， 的一个解的取值范围为． 故选：． 5．【答案】B 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 代入到，求出的值，即可求解． 【详解】解：令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 故选：B． 6．【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．根据抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴、与x轴的交点逐一判断可得答案． 【详解】解：A、由抛物线开口向上知，此选项错误； B、由抛物线与y轴交于负半轴知，则，此选项错误； C、由抛物线的对称轴位置得，此选项错误； D、由抛物线与x轴有两个交点，即关于的方程有两个不相等的实数根，则，此选项正确． 故选：D． 7．【答案】D 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解，解题的关键是利用图象解决问题． 【详解】解：等价于， 由图象可知，不等式的解集为或， 故选：． 8．【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了的图象性质，根据抛物线，得顶点坐标为，则对称轴是直线，函数的开口方向向下，再列式，解得函数与轴有两个交点，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标为， ∴对称轴是直线， 故D选项不符合题意； ∵， ∴函数的开口方向向下， 故B选项不符合题意； 则函数的最大值是3， 故A选项符合题意； 令， ∴， 则， 解得 ∴函数与轴有两个交点 故C选项不符合题意； 故选：A 9．【答案】A 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题中已知了二次函数经过原点，即，由此可求出m的值，结合二次项系数m不能为0，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象经过原点， ， 或， 二次项系数不能为0， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数二次项系数不能为0是解题关键． 10．【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线对称轴和过点，利用对称性确定另一交点，结合开口向下判断时的取值范围． 【详解】∵抛物线的对称轴为，且过点， 由对称性，抛物线过点， ， 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 故选：B． 11．【答案】 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】因为二次函数的图象的顶点的横坐标是1， 所以抛物线对称轴所在直线为，交x轴于点C， 所以B，C两点关于对称轴对称， 因为点，且点B在点C的左侧， 所以， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的两点间距离的求法，解题的关键是掌握二次函数的对称性． 12．【答案】，或， 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】根据根据二次函数解析式得与y轴的交点，根据m存在的两种情况分类计算即可； 【详解】∵二次函数y＝x2﹣3x+m的图象与y轴的交点， 根据题意可知存在两种情况： 当时，则二次函数为与坐标轴交于点，，符合题意； 当时，则，即，此时抛物线于x轴的交点坐标是，抛物线与y轴的交点坐标为； 故答案是：，或，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征，准确分析判断是解题的关键． 13．【答案】 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较，将点的坐标代入解析式求差是最直接有效的一种方法．将点坐标代入解析式后求差，然后分解因式，由积判断每一个因式的正负性即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键． 根据抛物线的对称性，可知的图象与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为， ∵二次函数的对称轴是直线，关于的一元二次方程的一个根为 ∴， 解得， ∴另一根为， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，关于直线的对称点为，根据的解为抛物线与轴交点的横坐标，作答即可． 【详解】解：由题意知，关于直线的对称点为， ∵的解为抛物线与轴交点的横坐标， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 16．【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、求抛物线与x轴的交点坐标、坐标与图形 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，坐标与图形的性质，先求出A，B两点的坐标，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴． 当时，， 解得， ∴， ∴． ∴的面积． 17．【答案】(1) ，顶点坐标为 (2) 或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，包括待定系数法求解析式、顶点坐标的求解，以及函数值的运算，解决本题的关键在于利用抛物线所过的已知点求出参数，再根据抛物线上点的坐标关系建立方程并求解． （1）将点代入抛物线方程，即可解得的值；再将解析式化为顶点式或直接利用顶点坐标公式，即可求出抛物线的顶点坐标． （2）将两点坐标分别代入抛物线解析式，得到 ​和​关于的表达式，根据已知条件 列出关于的方程，解方程即可得到的值． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点， 将点代入抛物线方程可得：， 解得， 将代入抛物线方程，得到． ∵， ∴此抛物线的顶点坐标为． （2）解：已知点在抛物线上， ∴， ∵，， ∴． 因为点在抛物线上，且， 所以将代入抛物线方程可得：， 即整理得，则有， 则或， 解得或． 18．【答案】(1) (2)对称轴是，顶点坐标是，图象如图所示 (3)当或 当或 当 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据交点确定不等式的解集、图象法确定一元二次方程的近似根、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】对于（1），关系式右边先提出2，再配方形成完全平方公式的形式即可； 对于（2），根据（1）中的顶点式得出顶点坐标和对称轴，并画出抛物线； 对于（3），观察图象判断即可． 【详解】（1）； （2）由（1）可知二次函数的顶点式为， ∴二次函数关系式的对称轴是，顶点坐标是． 抛物线与y轴的交点是，画出抛物线，如图所示． （3）观察图像可知当，或时，； 当或时，； 当时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，画二次函数图像，观察图像求值等，理解图像与x轴的上下关系就是函数值与0的大小关系是解题的关键． 19．【答案】(1)0 (2) 如图所示，即为所求； (3) 观察函数图象，可得出：①函数图象关于轴对称， ②当时，随的增大而增大； (4)①；② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． （1）将代入函数解析式中求出值，即可得出结论； （2）根据表格数据，描点补充完图形； （3）根据函数图象，寻找出对称轴以及函数的增减性，此题得解； （4）①观察函数图象即可得出答案；②根据函数的图象即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：把代入函数，得， ∴； （2）略 （3）略 （4）解：①由函数图象可得：函数图象与x轴有3个交点， ∴对应的方程有3个实数根， 运用数形结合思想，得关于x的方程实数根为． ②由函数图象知： 关于的方程有4个实数根，即函数与直线有四个交点， 运用数形结合思想，得满足题意的的取值范围是． 20．【答案】(1) (2)，； (3) 函数图象如图所示 【知识点】用描点法画函数图象、求抛物线与x轴的交点坐标、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）利用配方法即可化成顶点式； （2）根据解方程即可； （3）由五点法进行作图即可． 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及五点法作图是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，， 解得：，， ∴二次函数的图象与轴的交点的坐标，； （3）解：∵二次函数的开口向下，顶点坐标为，与轴的交点为，对称轴为直线，与轴的交点坐标为，则关于对称轴对称的点坐标为，然后在平面直角坐标系里描出这五个点，进而用平滑的曲线连接即可，如图： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $