26.3 二次函数与一元二次方程 同步练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 九年级上学期人教版数学“二次函数与一元二次方程”同步练，通过基础巩固、中档应用、综合提升三层设计，实现从概念理解到问题解决的知识进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数与x轴交点、方程解判断|单选1-3结合图像直观分析，填空11-12直接考查概念，夯实抽象能力| |中档|判别式应用、交点距离计算|单选6-8涉及符号推理，填空13-14结合函数与不等式，提升推理意识| |提升|综合应用与分类讨论|解答题20-23融入几何情境与参数问题，培养模型意识与创新思维|

26.3 二次函数与一元二次方程 同步练 2026-2027学年 上学期初中数学人教版（新教材）九年级上学期 一、单选题 1．如图是二次函数的部分图象,由图象可知不等式的解集是（  ） A． B． C． D．或 2．已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（    ） A．-3，-1 B．-3，0 C．-1，0 D．3 3．如图，给出了抛物线图象的一部分，是抛物线与轴的一个交点，那么抛物线与轴的另一个交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 4．二次函数（，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x 0 1 2 3 y 1 2 1 则一元二次方程（，a，b，c是常数）的两个根，的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．根据下列表格对应值： x 3 4 5 判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）． A． B． C． D． 6．若二次函数的图像与x轴有两个交点，则k的取值范围是（    ） A．k＜﹣1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＞1 7．抛物线与坐标轴交点个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．抛物线与x轴两交点间的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c－m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④m＞－2，其中，正确的个数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．抛物线的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；其中正确的判断是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 二、填空题 11．若抛物线 与x轴没有交点，则 m的值可以是_______．（写出一个即可） 12．填空：抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________． 13．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 14．已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 15．如图为二次函数的图象，该图象与x轴的两个交点分别为，B．下列说法正确的是_________（写出所有正确结果的序号）． ①对称轴为直线；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 16．如图是二次函数的图象的一部分；图象过点，对称轴为，给出四个结论： ①；②；③；④；⑤在此二次函数图象上．其中正确的是______．（填序号） 17．已知抛物线 与直线相交于点和点，则关于x的方程的解为_______． 三、解答题 18．已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 19．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该图象与x轴的另一个交点坐标； (3)观察图象，当时，直接写出y的取值范围． 20．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 的顶点、分别在轴的正半轴和轴的负半轴上，二次函数的图象经过、两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）结合函数的图象探索：当时，的取值范围． 21．如图，二次函数的图象经过点且与轴交于点，点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称，一次函数的图象经过点及点．    (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 22．已知二次函数． (1)若二次函数的图象经过点，求t的值； (2)当时，求y的最小值（用含t的代数式表示）； (3)若x可取全体实数，当时，y的最小值为．设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为，求线段的长度． 23．已知二次函数（为常数，），顶点坐标为． (1)当时， ； (2)当时， ①求证：二次函数的图像与轴总有两个公共点； ②若二次函数图像与轴的交点都在轴的右侧，则的取值范围为 ． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D D B B A C A 1．C 根据二次函数图像性质，可知的解集位于x轴的上方，分别求出与x轴交点坐标即可解决问题. 根据二次函数图像性质，可知的解集位于x轴的上方，有图像可知，对称轴为x=2，抛物线与x轴的交点为（5,0），由此可知抛物线与x轴另一个交点为（-1,0），所以的解集是. 故答案是C. 2．A 根据抛物线与x轴交点的横坐标，即可得方程的解． ∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为与， ∴的两根为：，． 故选：A． 本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，找出抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键． 3．B 抛物线y=ax2+2ax+a2+2的对称轴为x= - = -1，可求得抛物线和x轴的另一个交点坐标． 解：∵抛物线y=ax2+2ax+a2+2的对称轴为x= -=-1， ∴该抛物线与x轴的另一个交点到x=-1的距离为2， ∴抛物线y=ax2+2ax+a2+2与x轴的另一个交点坐标为（1，0）． 故选B． 本题考查抛物线和x轴的交点问题，注：抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等． 4．D 根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程两个根的范围． 解：函数的图象与x轴的交点就是方程的根，函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0． 由表中数据可知：当时，对应的值在与之间或与之间， ∴，时，y的值最接近0， ∴，的取值范围是：，． 故选D． 本题主要考查了二次函数的性质，掌握函数的图象与x轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 5．D 先根据图表数据确定出代数式的值为0的x的取值范围即可． 解：由图表可知，时，． 故选D． 本题主要考查了根据图表法求一元二次方程的近似根，正确理解图表是解答本题的关键． 6．B 根据二次函数与x轴交点个数由所决定，然后问题可求解． 解：由题意得：， 解得：； 故选B． 本题主要考查二次函数与x轴交点个数，熟练掌握二次函数与x轴交点个数是由决定的是解题的关键． 7．B 本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点：对于二次函数，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．先计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，于是可判断抛物线的图象与坐标轴的交点个数． 解：令，则， ∵， ∴抛物线与x轴有两个点， ∵时，， ∴抛物线与y轴的交点为， ∴抛物线的图象与坐标轴的交点个数是3个， 故选：B． 8．A 用十字相乘法将抛物线解析式进行因式分解，令，即可求出两个交点的横坐标，从而求出交点间的距离. 解：， 当时 则， 解得：，． 与x轴的交点坐标为，． 则抛物线与x轴两交点间的距离为． 故选：A． 本题考查抛物线与x轴的交点坐标求法，令，解一元二次方程即可得到交点的横坐标． 9．C 解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误； ∵图象开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴a，b异号， ∴b＜0， ∵图象与y轴交于x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，故②正确； 当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，故③正确； ∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点纵坐标为﹣2， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，则m＞﹣2，故④正确． 故选C． 10．A 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用数形结合思想．根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可． 解：图象开口向上， ， 对称轴为直线， ， ， ，①正确； 由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的两个根是，；故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y的值随x增大而增大； ∴当时，y的值随x增大而增大； 故③正确， 综上可知，正确的有①②③． 故选:A． 11． （答案不唯一） 由抛物线与轴没有交点，可知对应一元二次方程无实数根，即根的判别式小于，求出的取值范围，任写一个范围内的值即可． 解：抛物线与轴没有交点， 方程没有实数根， ， 解得：， 实数的值可以是（答案不唯一）． 12． 对于抛物线 ， 令， ， 因此抛物线与轴交点坐标为； 令，得方程 ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因此抛物线与轴交点坐标为. 13．或 利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 由图象可知，抛物线在直线上方时的的取值范围为或， 即不等式的解是或． 14． 设二次函数对应一元二次方程的两根为，由抛物线与轴两交点距离为可得，利用恒等式结合韦达定理推导出，再代入顶点纵坐标公式，整体代换求值得到顶点纵坐标． 解：令，得， 设方程的两个根为， 由根与系数的关系可得 ，， 由题意得二次函数图象与轴两个交点的距离为， 因此， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， 代入得， 整理得，即， 二次函数顶点纵坐标公式为， 将代入得， 将代入得． 故答案为：． 15．①③④ 本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数之间的关系． 根据二次函数对称轴公式以及二次函数增减性可以判断说法①、②；根据二次函数与x轴交点个数，结合二次函数与一元二次方程的关系可以判断说法③；根据点A，点B关于对称轴对称，结合点A坐标，求出点B坐标，最后将点B坐标代入二次函数解析式中，即可判断说法④． 解：对于说法①：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∴①正确，符合题意； 对于说法②：∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∴②错误，不符合题意； 对于说法③：∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴， ∵二次函数， ∴， ∴即， ∴③正确，符合题意； 对于说法④：∵该二次函数图象与x轴的两个交点分别为，B， ∴点与点B关于对称轴对称， ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴点， 将点代入二次函数中，得：， 即， ∴④正确，符合题意． 综上，说法正确的是：①③④． 16．①④⑤ ①由图象与轴有交点，对称轴为，与轴的交点在轴的正半轴上，可以推出，可对①进行判断；②由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上得到，由对称轴为，可对②进行分析判断；③由时有最大值，由图象可知，可对③进行分析判断；④把，代入解析式得，，两边相加整理得，即，即可对④进行判断．⑤根据一元二次方程根与系数的关系，即可判断⑤． ①图象与轴有交点，对称轴为，与轴的交点在轴的正半轴上， 又二次函数的图象是抛物线， 与轴有两个交点， ，即，故①正确； ②抛物线的开口向下， ， 与轴的交点在轴的正半轴上， ， 对称轴为， ， ，，故②错误； ③时有最大值， 由图象可知，故③错误； ④把，代入解析式得，， 两边相加整理得，即，故④正确； ⑤抛物线对称轴为直线，点在抛物线上，则抛物线与轴的另一个交点坐标为， 是方程的一个解，设为方程的另一个解， ，即在此二次函数图象上，故⑤正确； 故答案为：①④⑤． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，要注意数形结合思想的运用． 17． 本题考查了抛物线与直线交点问题，方程的解即为交点的横坐标． ∵抛物线 与直线相交于点和点， ∴关于x的方程的解为， 故答案为：． 18．(1)证明：令，则有， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴不论为何实数，二次函数的图象与轴都有两个不同的交点． (2)， （1）由题意可令，则有，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入二次函数解析式进行求解即可． （1）略 （2）解：当时，则有， ∴令，则有， 解得， ∴二次函数与轴的交点坐标为，． 19．(1) (2) (3) （1）根据题意，设该二次函数的表达式为，把，分别代入解析式，转化为方程组解答即可． （2）设该图象与x轴的另一个交点坐标为，根据，解答即可． （３）根据抛物线的对称轴，开口方向，确定时，二次函数的最大值与最小值，再确定范围即可． （1）解：根据题意，设该二次函数的表达式为． 把，分别代入解析式，得 ， 解得， 该二次函数的表达式为． （2）解：设该图象与x轴的另一个交点坐标为， 根据题意，得， 解得． （3）解：∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值， 且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴在这个范围内， ∴二次函数的最大值为４, ∵， ∴当时，取得最小值，且最小值为， 故的取值范围为． 熟练掌握增减性和最值确定方法，是解题的关键． 20．（1）；（2）当或时， 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数与不等式，解题的关键是正确的求出二次函数的解析式． （1）把，代入得方程组，解出，的值，即可求出二次函数的解析式， （2）令，解得的值，结合图象可知即可求出答案． 解：（1）由题意得，代入得 ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）令， 得， 解得，， 结合图象可知： 当或时，． 21．(1)， (2)或 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质． （1）先将点代入，再将对称轴直线代入公式即可得出和的值，根据点的对称性确定点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象和、的交点坐标可直接求出的解集． （1）解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数图象的对称轴直线， ， ，， 二次函数的解析式为； ， 点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称， ， 设一次函数代解析式为， ， ， 一次函数的解析式为； （2）解：由图象可得，不等式的解集或． 22．(1) (2)若，y的最小值为3；若，y的最小值为；若，y的最小值为 (3) 本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握二次函数对称性和增减性，一元二次方程的根与系数的关系，用分类讨论的数学思想，是解答本题的关键． （1）把代入二次函数解析式，解方程即得； （2）根据图象开口向上，对称轴是直线和，分，，三种情况解答； （3）根据，结合（2）的后两种情况，运用一元二次方程根与系数的关系解答并验证即得． （1）∵经过点， ∴， 解得，； （2）∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ①若， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值，为3； ②若， ∴当时，y取得最小值，为;    ③若， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，即． 综上可知，若，y的最小值为3；若，y的最小值为；若，y的最小值为． （3）由（2）知，当时，y取最小值，解得，． ， ． 由题意，可知为一元二次方程的两个根． 由韦达定理，得， ． 当时，y取得最小值，即，解得，，不合． 综上，． 23．(1) (2)①证明：由（1）可得， 令，即，， ∵， ∴，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴二次函数的图像与轴总有两个公共点． ②． （1）先将函数解析式化成顶点式可知，然后解关于a的方程即可； （2）①先把函数解析式化成一般式，令，得到关于x的方程，再证明方程根的判别式大于零即可证明结论；②当，即，由题意可知该方程的都是大于零的实数，解（1）的解答过程可得，再根据等式的性质、直接开平方法解关于x的方程，然后让解的最小值大于零，据此列不等式求得a的取值范围；由（1）可知，再根据二次函数的性质确定n的取值范围即可． （1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵抛物线顶点坐标为，， ∴，解得：或， ∵， ∴． （2）①证明：略； ②解：当，即，由题意可知该方程的根都是大于零的实数， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴方程的最小解为， ∴，解得：， ∴； 由（1）可得：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为， ∴当时，n随a的增大而减小， ∴当，n随a的增大而减小， ∵当时，n有最大值；当时，n有最小值； ∴的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $