专题 26.2.2二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质 讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 题型2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 题型3 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 题型4 抛物线的平移 题型5 待定系数法计算 题型6 数形结合法解决问题 · 能画出y=a(x-h)²+k的图象，明确其为抛物线。 · 掌握 y=a(x-h)²+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。 · 理解 y=a(x-h)²+k 与y=ax2的平移关系，会进行图象平移变换。 · 经历 “画图 — 观察 — 对比 — 归纳” 过程，培养数形结合与归纳能力。 知识点讲解 1. 二次函数的图像和性质 二次函数 的图像可通过将二次函数 的图像向上（k0）或向下（k）平移 个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 y轴（直线x=0）; (3)顶点坐标是 （0，k）; 2. 二次函数的图像和性质 二次函数的图像可通过将二次函数的图像向左（）或向右（）平移个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=h; (3)顶点坐标是 （h，0） 3. 二次函数+k的图像和性质 二次函数+k的图像可通过将二次函数的图像向左（）或向右（）平移个单位，再向上（k>0）或向下（k<0）平移 |k|个单位得到。 (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=h; (3)顶点坐标是 （h，k） 4. 平移规律（口诀：左加右减，上加下减） +k 【易错提醒】 平移方向：左加右减是对（）而言，上加下减是对k而言。 5. 增减性 从二次函数y=a(x—h)²+k的图象可以看出： （1）如果a>0,那么 当x<h时，y随x的增大而减小， 当x>h时，y随x的增大而增大， 当x=h时，y取最小值，最小值为k; （2）如果a<0,那么 当x<h时，y随x的增大而增大， 当x>h时，y随x的增大而减小， 当x=h时，y取最大值，最大值为k. 【易错提醒】 增减性区间：必须以对称轴为分界，开口方向决定增减趋势。 题型归纳 题型1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 【例1】已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2)由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【例2】抛物线与抛物线的开口方向和开口大小相同，则__． 【例3】抛物线经过，两点，若，写出一个符合条件的m的值______． 【变式练习】 1．在直角坐标系中，已知抛物线，则顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（） A． B． C． D． 3．二次函数的顶点坐标是________，当时，y随x的增大而________． 4．抛物线的顶点坐标是_____． 5．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 6．已知二次函数的图像经过点． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出此函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况； (2)当时，y的取值范围是多少？ 题型2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 【例1】在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … 【例2】如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【变式练习】 1．已知抛物线，下列说法不正确的是（      ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________ 5．抛物线的开口_________，对称轴是_________，顶点坐标是_________，对称轴左侧，随的增大而_________． 6．课堂归纳 图像 开口 开口 开口 越大，开口越小 对称轴 直线 顶点 顶点是最低点 顶点是最高点 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，随的增大而减小 ，随的增大而增大 7．已知一条抛物线开口方向和大小与抛物线的都相同，顶点与抛物线的相同． (1)求这条抛物线的解析式； (2)求出将上面的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式． 8．把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线的顶点为M，求 (1)a，h的值； (2)的值． 题型3 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 【例1】已知二次函数．    (1)该函数图象的开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为直线__________，函数图象与轴的交点坐标为__________，与轴的交点坐标为__________． (2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象． (3)根据图象判断，当时，的取值范围是__________． (4)若点与是此二次函数图象上两点，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【例2】把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图像． (1)试确定、、的值； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【例3】已知，是抛物线．上的两点，则，的大小关系是________（用“<”、“>”或“=”填空）． 【变式练习】 1．对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，的最大值为2 D．当时，随的增大而减小 2．对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．若点，在抛物线上，则 D．抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线 3．已知函数，那么的最大值为__________． 4．在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 5．画出下列抛物线的大致图象： (1)； (2)． 6．已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)开口方向： ； (2)对称轴： ； (3)顶点坐标： ． 7．已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 8．已知二次函数的图象如图所示．    (1)该抛物线与y轴的交点坐标是________； (2)当x________时，y的值随x的值增大而减小； (3)当时，求y的取值范围． 题型4 抛物线的平移 【例1】将抛物线向右平移3个单位，再向上移动1个单位，所得抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【例2】将抛物线向右平移3个单位，再向上移动1个单位，所得抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式练习】 1．将抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位，所得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 2．把抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 3．将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线为（   ） A． B． C． D． 4．把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 5．将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线的解析式为________． 题型5 待定系数法 【例1】若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【例2】根据以下素材，探索完成任务：如何设计隧道的限高方案． 【素材一】如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，图②是其示意图．经测量，其最高点离地面的高度为8m，宽度为16m． 【素材二】此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线（）右侧且距离路边缘2m（）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道竖直方向上的最小空隙不少于0.5m．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在图中以点O为原点，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材二的要求安全通过，该隧道应限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线（）两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6m，求两排灯的水平距离的最小值． 【变式练习】 1. 掷实心球是中招体育考试的抽选考项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 100 8 95 7.2 90 6.4 85 6.25 80 6.1 75 5.95 70 5.8 65 5.65 60 5.5 55 5.35 (1)求抛物线的表达式； (2)根据中招体育考试评分标准（女生）如表1，投掷过程中，测量实心球从起点到落地点的水平距离与表1的分值对应，求该女生在此项考试中的得分； (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分100． 2．学习抛物线内容后，数学兴趣小组的同学到户外进行实践探究活动．图1是一座三孔桥的横截面示意图，三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的．如图2所示，研究小组以线段所在的直线表示水平的水面，以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．小组通过查阅资料，了解到正常水位时，中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度．请你帮助解决以下问题： (1)求中间大孔抛物线的函数表达式； (2)若雨季来临水位上涨，大孔水面宽度小于等于10米时桥面警戒，禁止通行，请通过计算判断当小孔刚好被淹没时，此桥面可否通行？ 3.如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标． 题型6 数形结合法 【例1】如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点A，B，与y轴交于点C．若为直角，求a的值． 【例2】如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 【例3】如图，以A为顶点的抛物线交y轴于点B，已知A，B两点的坐标分别为，连接． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若将y轴向右平移6个单位长度，请直接写出此时抛物线对应的函数解析式． (3)抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式练习】 1. 如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 2．如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 3．如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 4．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)求点，，的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 一、单选题过关练习 1．二次函数图象的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 4．小明同学在将抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 5．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数 点 在函数图象上，则大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（     ） A． B． C． D． 8．若将抛物线向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（     ） A． B． C． D． 9．抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（     ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．若点和点都在抛物线上，则 D．当时，随的增大而减小 10．一位足球运动员将足球沿与地面成一定角度踢出，足球飞行的路线可以近似看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：m）与足球被踢出后经过的时间（单位：s）之间的关系式为．有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出和时，足球距离地面的高度是一样的； ③足球被踢出时落地．其中正确的有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题 11．将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的顶点坐标是_____． 12．将抛物线向下平移个单位长度，所得新抛物线的表达式为____． 13．二次函数的顶点坐标是______，当x ______时，y随x的增大而增大． 14．篮球运动员在罚球线投篮球的运动轨迹是一条抛物线．设篮球的高度（米）与水平距离米的函数关系式为：，当________米时，篮球达到运动轨迹的最高点． 15．若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 16．如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 三、解答题 17．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 18．探究二次函数及其图象的性质，请填空： (1)图象的开口方向是________； (2)图象的对称轴为直线________； (3)图象与y轴的交点坐标为________； (4)当x为何值时，函数y有最小值，并出求最小值． 19．已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 20．如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． 21．试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和抛物线？如果要得到抛物线，那么应该将抛物线作怎样的平移？ 22．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 23．已知抛物线． (1)当时，y随着x的增大而减小，求h的最小值； (2)已知A、B两点在x轴上，A点坐标为，B点坐标为，若抛物线与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 24. 如图，某悬索桥的主跨长（即），两座桥塔高（即），，，主缆可视为抛物线，其最低处P距离桥面，在主缆上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，起到承接桥面重量的作用．现以的中点为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该主缆所在抛物线的函数表达式； (2)现在点P两侧各有一吊索需要更换，且这两根吊索的长度相等，若这两根吊索的总长度为，求需要更换的这两根吊索之间的水平距离． 25．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 题型2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 题型3 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 题型4 抛物线的平移 题型5 待定系数法计算 题型6 数形结合法解决问题 · 能画出y=a(x-h)²+k的图象，明确其为抛物线。 · 掌握 y=a(x-h)²+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。 · 理解 y=a(x-h)²+k 与y=ax2的平移关系，会进行图象平移变换。 · 经历 “画图 — 观察 — 对比 — 归纳” 过程，培养数形结合与归纳能力。 知识点讲解 1. 二次函数的图像和性质 二次函数 的图像可通过将二次函数 的图像向上（k0）或向下（k）平移 个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 y轴（直线x=0）; (3)顶点坐标是 （0，k）; 2. 二次函数的图像和性质 二次函数的图像可通过将二次函数的图像向左（）或向右（）平移个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=h; (3)顶点坐标是 （h，0） 3. 二次函数+k的图像和性质 二次函数+k的图像可通过将二次函数的图像向左（）或向右（）平移个单位，再向上（k>0）或向下（k<0）平移 |k|个单位得到。 (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=h; (3)顶点坐标是 （h，k） 4. 平移规律（口诀：左加右减，上加下减） +k 【易错提醒】 平移方向：左加右减是对（）而言，上加下减是对k而言。 5. 增减性 从二次函数y=a(x—h)²+k的图象可以看出： （1）如果a>0,那么 当x<h时，y随x的增大而减小， 当x>h时，y随x的增大而增大， 当x=h时，y取最小值，最小值为k; （2）如果a<0,那么 当x<h时，y随x的增大而增大， 当x>h时，y随x的增大而减小， 当x=h时，y取最大值，最大值为k. 【易错提醒】 增减性区间：必须以对称轴为分界，开口方向决定增减趋势。 题型归纳 题型1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 【例1】已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2)由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【详解】（1）解：如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：向下；y轴；；减小； （3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【例2】抛物线与抛物线的开口方向和开口大小相同，则__． 【详解】解：∵抛物线 与抛物线 的开口方向和开口大小相同， ∴． 故答案为 ：2． 【例3】抛物线经过，两点，若，写出一个符合条件的m的值______． 【详解】解：由抛物线解析式得， 点的纵坐标，点的纵坐标． ∵， ∴， ∴ 或 ， ∴符合条件的可以是2． 故答案为：2（答案不唯一） 【变式练习】 1．在直角坐标系中，已知抛物线，则顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵ 抛物线顶点式为 ，对应顶点坐标为 . ∴ 抛物线的顶点坐标为. 2．已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（） A． B． C． D． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴抛物线开口向上， ∴， 解得． 故选：C． 3．二次函数的顶点坐标是________，当时，y随x的增大而________． 【详解】解：二次函数可化为， 因此顶点坐标为，对称轴为直线， 由于， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线， 当时，函数在对称轴左侧，y随x的增大而减小． 故答案为：，减小． 4．抛物线的顶点坐标是_____． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴此函数的顶点坐标为． 故答案为：． 5．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴， 则抛物线为， ∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上 ∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且 ∴； （2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上， 解析式为 把代入，得 即顶点坐标． 6．已知二次函数的图像经过点． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出此函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况； (2)当时，y的取值范围是多少？ 【详解】（1）解： 将代入得即解得：． 列表： … 0 1 2 … … 2 2 … 描点画出函数的图像，如图所示． 此函数图像的开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴．当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （2）根据图像分析可得，若，则当时，y取得最小值，且最小值为-2， 当时，y取得最大值，且最大值为2． 所以当时，y的取值范围是． 题型2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 【例1】在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 0 … … 0 … … 0 … 画图如下： ；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为．当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （2）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【例2】如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 【变式练习】 1．已知抛物线，下列说法不正确的是（      ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【详解】解：由题意，根据抛物线顶点式， ∴， ∴抛物线开口向上，选项A正确； 对称轴是直线，选项B错误； 顶点为，选项C正确； ∵，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，选项D正确； 故A、C、D均不符合题意，B符合题意． 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 3．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：B． 4．若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________ 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，用代入法求解是关键．通过直接计算二次函数在各点处的函数值，比较大小关系即可． 【详解】解：对于二次函数， 当时，； 当时，； 当时，； ． 故答案为：． 5．抛物线的开口_________，对称轴是_________，顶点坐标是_________，对称轴左侧，随的增大而_________． 【详解】解：， ， 开口方向向下； 对称轴是直线， 顶点坐标为， 当时，抛物线开口向下， 在对称轴左侧（即时），函数值随的增大而增大． 故答案为：①向下；②直线；③；④增大． 6．课堂归纳 图像 开口 开口 开口 越大，开口越小 对称轴 直线 顶点 顶点是最低点 顶点是最高点 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，随的增大而减小 ，随的增大而增大 【详解】解：根据二次函数图像性质，可知当时开口向上；当时开口向下； 对称轴为直线． 故答案为：向上；向下；． 7．已知一条抛物线开口方向和大小与抛物线的都相同，顶点与抛物线的相同． (1)求这条抛物线的解析式； (2)求出将上面的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式． 【详解】（1）解：根据题意，满足题意的抛物线解析式为； （2）解：将抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式为． 8．把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线的顶点为M，求 (1)a，h的值； (2)的值． 【详解】（1）解：∵把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线， ∴平移后的解析式为， ∴； （2）解：由（1）得：平移前的解析式为，平移后的解析式为 ∴点A的坐标为，点M的坐标为， 对于， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 题型3 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 【例1】已知二次函数．    (1)该函数图象的开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为直线__________，函数图象与轴的交点坐标为__________，与轴的交点坐标为__________． (2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象． (3)根据图象判断，当时，的取值范围是__________． (4)若点与是此二次函数图象上两点，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 令，即， 解得或， 故函数图象与轴的交点坐标为，， 令，则， 故与轴的交点坐标为； 故答案为：向下，，，，，； （2）解：根据抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，描点作出函数图象：    （3）解：根据图象，当时，的取值范围是， 故答案为：． （4）解：∵点在轴下方，而在轴上方， ∴． 故答案为：<． 【例2】把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图像． (1)试确定、、的值； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图像的顶点坐标为， 把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为， 所以原二次函数的解析式为， 所以，，； （2）二次函数，即的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 【例3】已知，是抛物线．上的两点，则，的大小关系是________（用“<”、“>”或“=”填空）． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式练习】 1．对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，的最大值为2 D．当时，随的增大而减小 【详解】解：已知抛物线的解析式为， 对于选项A：根据顶点式性质，抛物线的对称轴为直线，该说法正确； 对于选项B：顶点式对应的顶点坐标为，该说法正确； 对于选项C：， 抛物线开口向下，在时取得最大值．该说法错误； 对于选项D：抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，该说法正确． 综上，说法错误的是选项C． 2．对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．若点，在抛物线上，则 D．抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线 【详解】解：对于选项A，∵二次函数， ∴顶点坐标为，A选项正确； ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，B选项正确； 将代入抛物线解析式得，；将代入得，，∵， ∴，故C选项错误； 抛物线向右平移1个单位，得平移后的解析式为，D选项正确； 故选：C． 3．已知函数，那么的最大值为__________． 【详解】解：函数是二次函数的顶点式，其中，故抛物线开口向下，顶点坐标为，因此当时，取得最大值3． 故答案为：3． 4．在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 【详解】（1）解：代入计算得， 描点，连线如图所示， （2）解：根据图示可得， 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 5．画出下列抛物线的大致图象： (1)； (2)． 【详解】（1）解：函数的顶点坐标为，对称轴为，令得，即该抛物线与轴的交点为， 则图象开口向上，对称轴在轴右侧，顶点在第四象限，故函数图象如图所示： （2）解：函数的顶点坐标为，对称轴为，令得，即该抛物线与轴的交点为， 则图象开口向下，对称轴在轴右侧，顶点在第一象限，故函数图象如图所示： ． 6．已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)开口方向： ； (2)对称轴： ； (3)顶点坐标： ． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线开口向上﹒ 故答案为：向上； （2）解：由抛物线解析式可得到抛物线对称轴为直线﹒ 故答案为：； （3）解：由抛物线解析式可得到抛物线顶点坐标为﹒ 故答案为： 7．已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴函数图象的对称轴为直线，顶点坐标是； （2）解：， 当时，y随x的增大而增大． 8．已知二次函数的图象如图所示．    (1)该抛物线与y轴的交点坐标是________； (2)当x________时，y的值随x的值增大而减小； (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键． （1）求出当时，y的值，即可得到答案； （2）根据函数的开口方向和对称轴进行作答即可； （3）根据函数的开口方向和顶点坐标进行作答即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴该抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． （2）解：∵二次函数中的， ∴二次函数的开口方向向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x的值增大而减小， 故答案为：． （3）解：∵二次函数中的，顶点坐标为， ∴二次函数的开口方向向下，最大值为5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 题型4 抛物线的平移 【例1】将抛物线向右平移3个单位，再向上移动1个单位，所得抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵抛物线平移规律为“左加右减，上加下减”， ∴将抛物线向右平移3个单位，得， 再向上移动1个单位，得． 故选：A． 【例2】将抛物线向右平移3个单位，再向上移动1个单位，所得抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，左右平移遵循“左加右减”（改变自变量x），上下平移遵循“上加下减”（改变函数整体值），据此推导平移后的解析式即可． 【详解】解：∵抛物线平移规律为“左加右减，上加下减”， ∴将抛物线向右平移3个单位，得， 再向上移动1个单位，得． 故选：A． 【变式练习】 1．将抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位，所得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵ 将抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位， 平移后解析式为：， 故选：A． 2．把抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，得， 再向下平移2个单位，得； 故所得抛物线解析式为. 3．将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为， 故选：C． 4．把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【详解】解：原抛物线解析式为，将抛物线向左平移1个单位，根据平移规律，得到解析式， 再向下平移3个单位，根据平移规律，得到平移后抛物线的解析式为． 5．将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线的解析式为________． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 向左平移个单位后顶点的横坐标变为，纵坐标不变， 即平移后的顶点坐标为， ∴新抛物线的解析式为（或）． 题型5 待定系数法 【例1】若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线 ∴抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为 把代入得 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下． 【例2】根据以下素材，探索完成任务：如何设计隧道的限高方案． 【素材一】如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，图②是其示意图．经测量，其最高点离地面的高度为8m，宽度为16m． 【素材二】此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线（）右侧且距离路边缘2m（）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道竖直方向上的最小空隙不少于0.5m．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在图中以点O为原点，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材二的要求安全通过，该隧道应限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线（）两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6m，求两排灯的水平距离的最小值． 【详解】（1）解：如图，以点O为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点P的坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 又∵图象经过原点， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：设该隧道限高h米， ∵，， ∴， 当车高一定， 时，车辆顶部与隧道的空隙最小， 此时，， 此时，车辆顶部与隧道的最小空隙， ∴， ∴． ∴该隧道限高3米； （3）由题意，当时，， 解得，， ∴， ∴两排灯的水平距离的最小值是8米． 【变式练习】 1. 掷实心球是中招体育考试的抽选考项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 100 8 95 7.2 90 6.4 85 6.25 80 6.1 75 5.95 70 5.8 65 5.65 60 5.5 55 5.35 (1)求抛物线的表达式； (2)根据中招体育考试评分标准（女生）如表1，投掷过程中，测量实心球从起点到落地点的水平距离与表1的分值对应，求该女生在此项考试中的得分； (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分100． 【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点坐标为， 设关于的函数表达式为： 把代入得：， 解得： ∴关于的函数表达式为：； （2）解：由题意得，当时， ， 解得，（舍去） ∴该女生在此项考试中的得分在分和分之间． （3）解：由题可设， 把代入得， ∴， ∴， 将代入得， ， 则当掷出点的高度至少达到时，可得满分100． 2．学习抛物线内容后，数学兴趣小组的同学到户外进行实践探究活动．图1是一座三孔桥的横截面示意图，三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的．如图2所示，研究小组以线段所在的直线表示水平的水面，以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．小组通过查阅资料，了解到正常水位时，中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度．请你帮助解决以下问题： (1)求中间大孔抛物线的函数表达式； (2)若雨季来临水位上涨，大孔水面宽度小于等于10米时桥面警戒，禁止通行，请通过计算判断当小孔刚好被淹没时，此桥面可否通行？ 【详解】（1）解：设中间大孔抛物线的函数表达式为， 由题意可知大孔的顶点为（0，5） ∴y=ax2+5 ∵AB=20 ∴A(-10,0) ∴0=100a+5 ∴a=-0.05 ∴中间大孔抛物线的函数表达式为； （2）解：∵小孔顶点距离水面的高度．雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没， ∴把代入， 得， 解得， ∴， ∴， 答：此桥面可通行． 3.如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， ． 抛物线经过点， ， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接、． 设点的坐标为． ， ． ， ． 整理，得， 解得（舍去）． 当时，， 点的坐标为． 题型6 数形结合法 【例1】如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点A，B，与y轴交于点C．若为直角，求a的值． 【详解】解：由题意，得点的坐标为， ． 点都在抛物线上，且平行于x轴， 为等腰三角形，且轴． 为直角， 为等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为． 把代入，得，解得． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质和等腰直角三角形的性质，二次函数图像上的点的坐标满足其解析式是解题的关键． 【例2】如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，顶点B、C在轴的正半轴上， ∴， ，点在抛物线上， ， 又正方形中，， ； （2）解：设平移后抛物线的解析式为：，把代入得 ， 解得． 【例3】如图，以A为顶点的抛物线交y轴于点B，已知A，B两点的坐标分别为，连接． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若将y轴向右平移6个单位长度，请直接写出此时抛物线对应的函数解析式． (3)抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，. 把点B的坐标代入，得，解得． 所以该抛物线的解析式为：； （2）解：将y轴向右平移6个单位长度后该抛物线的顶点坐标为， 则平移后抛物线的解析式为：. （3）解：存在，理由如下： 设，，、. ，即. ， . ，即， 解得或（舍去）. 则， 解得或． 综上所述，点P的坐标是或． 【变式练习】 1. 如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为A， ∴，则， ∵， ∴，代入中， 得：， 解得：， ∴； （2）将代入中， 得：， 解得：； （3）∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 2．如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，解得 ∴． （2）解：四边形ABCD是平行四边形，， ． 设平移后的抛物线为，则，解得， 平移后抛物线的解析式为． 3．如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 【详解】（1）解：∵抛物线①；③的形状与抛物线相同， ∴抛物线和与的“完美三角形”的斜边长相等； 故答案为：①③； （2）解：设交轴于， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设点坐标为，代入抛物线， 得， ∴，（舍去）， ∴， ∴， ∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等， ∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴，∴； （3）解：由（2）知抛物线的“完美三角形”的斜边长为， 抛物线的“完美三角形”的斜边长为， ∵， ∴， 整理得． 4．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)求点，，的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：令，得， 则， 令，得， 解得：，， ∴，； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作所在直线于点， 设，则， 则， 则， 同理当点在抛物线上段时，， 当点在抛物线上点右侧时，， 综上，， 则， ∴， 即， 当时，解得，， 分别代入， 得，， 即点的坐标为或； 当时，由，无解； 综上所述，点的坐标为或． 一、单选题过关练习 1．二次函数图象的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据顶点式的对称轴为直线，即可直接得出结果． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线． 2．二次函数的图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为，求出该二次函数的顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，可变形为，符合顶点式的形式， ∴该二次函数图象的顶点坐标为， ∵顶点横坐标，纵坐标，符合第二象限内点的坐标特点， ∴顶点在第二象限． 3．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小； 综上，只有选项C错误. 4．小明同学在将抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴ 抛物线顶点坐标为． 5．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵函数 中，二次项系数 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 对于开口向下的二次函数，在对称轴右侧，函数值随的增大而减小 ∴当函数值随的增大而减小时，的取值范围是． 6．已知二次函数 点 在函数图象上，则大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据二次函数顶点式确定开口方向和对称轴，利用开口向上的二次函数性质，得点到对称轴的距离越大，函数值越大，通过比较各点到对称轴的距离即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为：直线， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵抛物线开口向上时，点到对称轴的距离相等则函数值相等，距离越大，函数值越大 ， ∴． 7．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为． 8．若将抛物线向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移规律上加下减，进行平移即可． 【详解】解：向下平移3个单位长度可得：． 9．抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（     ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．若点和点都在抛物线上，则 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】先根据抛物线平移规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”，得到平移后的抛物线解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的抛物线解析式为 ． ∵， ∴抛物线开口向上，A说法正确； 抛物线的顶点坐标为，不是，B说法错误； 抛物线对称轴为直线，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，两点到对称轴距离相等，因此，C说法正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵满足， ∴当时，随的增大而减小，D说法正确． 10．一位足球运动员将足球沿与地面成一定角度踢出，足球飞行的路线可以近似看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：m）与足球被踢出后经过的时间（单位：s）之间的关系式为．有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出和时，足球距离地面的高度是一样的； ③足球被踢出时落地．其中正确的有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】利用配方法和二次函数的性质，计算对应时间的高度，逐一判断结论即可． 【详解】解：， 当时，取得最大值，即足球距离地面的最大高度为，故①错误； 当时，， 当时，， 足球被踢出和时高度相等，故②正确； 当时，， 即足球被踢出时高度为，落地，故③正确； 综上，正确的结论共个． 二、填空题 11．将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标是． 12．将抛物线向下平移个单位长度，所得新抛物线的表达式为____． 【答案】 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度，新抛物线的表达式为． 13．二次函数的顶点坐标是______，当x ______时，y随x的增大而增大． 【答案】 【详解】解：二次函数解析式为， ∴图象开口向下，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大， 故答案为：①；②． 14．篮球运动员在罚球线投篮球的运动轨迹是一条抛物线．设篮球的高度（米）与水平距离米的函数关系式为：，当________米时，篮球达到运动轨迹的最高点． 【答案】 【分析】由二次项系数小于0可知抛物线开口向下，顶点为轨迹最高点，求出顶点横坐标即可得到结果． 【详解】解：∵篮球的高度（米）与水平距离米的函数关系式为：， ∴当米时，篮球达到运动轨迹的最高点． 15．若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先求出二次函数抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵， ∴． 16．如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【答案】/0.5 【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解． 【详解】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得． 三、解答题 17．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 描点，连线 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 18．探究二次函数及其图象的性质，请填空： (1)图象的开口方向是________； (2)图象的对称轴为直线________； (3)图象与y轴的交点坐标为________； (4)当x为何值时，函数y有最小值，并出求最小值． 【答案】(1)开口向上 (2)直线 (3) (4)当时，有最小值 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据解析式可得，即可求解； （2）根据顶点式，即可求解； （3）令，得出，即可求解； （4）根据解析式求得顶点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴抛物线开口向上； （2）解：， ∴对称轴为直线； （3）解：， 当时， ∴图象与y轴的交点坐标为； （4）解：， 顶点坐标为， 当时，有最小值． 19．已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 20．如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)5 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能根据函数表达式得出抛物线的对称轴和最值以及熟知平移的相关性质是解题的关键． （1）根据所给的函数表达式可得出抛物线的对称轴，再将代入解方程即可求出a的值． （2）根据顶点坐标的变化，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 把代入，得， 解得或． ∵点在抛物线的对称轴右侧， ∴． （2）解：∵抛物线是由抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位(或先向下平移4个单位，再向左平移3个单位)得到的， ∴根据勾股定理，得顶点移动的最短路程为． 21．试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和抛物线？如果要得到抛物线，那么应该将抛物线作怎样的平移？ 【答案】由抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到抛物线；向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度可得到抛物线；要得到抛物线，应将向左平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度． 【分析】本题利用二次函数图象的平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，通过对比平移前后抛物线的顶点坐标，确定平移的方向和单位长度． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 抛物线的顶点坐标为．顶点从变为， 因此将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到． 抛物线的顶点坐标为．顶点从变为， 因此将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度可得到． 抛物线的顶点坐标为．顶点从变为， 因此应将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度． 22．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】(1)； (2)开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； (3)当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 23．已知抛物线． (1)当时，y随着x的增大而减小，求h的最小值； (2)已知A、B两点在x轴上，A点坐标为，B点坐标为，若抛物线与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的增减性求解即可； （2）分别求得抛物线经过、两点时的h值，结合二次函数的对称性求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵当时，y随着x的增大而减小， ∴，则h的最小值为1； （2）解：由题意得， 当抛物线经过点时， 解得或， 当抛物线经过点时， 解得或． 当时，抛物线同时经过点A和点B，不合题意， ， 则h的取值范围是，且． 24. 如图，某悬索桥的主跨长（即），两座桥塔高（即），，，主缆可视为抛物线，其最低处P距离桥面，在主缆上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，起到承接桥面重量的作用．现以的中点为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该主缆所在抛物线的函数表达式； (2)现在点P两侧各有一吊索需要更换，且这两根吊索的长度相等，若这两根吊索的总长度为，求需要更换的这两根吊索之间的水平距离． 【答案】(1)； (2)需要更换的这两根吊索之间的水平距离为 【分析】（1）根据已知条件确定抛物线顶点坐标，设出顶点式，再代入抛物线上一点的坐标求出解析式； （2）根据吊索总长度求出单根吊索长度，进而得到吊索顶端纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，最后计算两根吊索之间的水平距离． 【详解】（1）解：∵点O是的中点， ∴， ∴点C的坐标为， ∵最低处P距离桥面，， ∴， ∴点P的坐标为， ∴设该主缆所在抛物线的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， ∴； （2）解：∵这两根吊索的总长度为，这两根吊索的长度相等， ∴每根吊索的长度为， 把代入中得：， 解得：，， ∴， ∴需要更换的这两根吊索之间的水平距离为． 25．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或或． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解： 直线过点， ， ， ， ， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； （2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形． 顶点坐标为， 对称轴为直线， 过点作于点， 在中，． ①当时，设， 在中， 解之得 ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得：， ， ； ③当时，， ，． 综上所述：点的坐标为或或或． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $