专题 26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质（18大题型,小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质，构建从基础到进阶的学习支架。先通过一般式与顶点式互化、图像绘制及性质分析打牢基础，再进阶到解析式求解（一般式、顶点式、交点式）、图像变换（平移、对称、折叠），最终攻克最值、取值范围及压轴题（交点问题、新定义），形成完整知识脉络。 该资料以“小模块·微专题·大压轴”分层设计，模块通关通过典例+变式（如“一般式化顶点式”配方法讲解与多题训练）培养运算能力与推理意识，专题攻坚（如“利用对称性求最短路径”）融合几何与函数，发展空间观念与创新意识，压轴突破（如“同弦抛物线”新定义）提升数学语言表达与应用能力。课中助力教师系统授课，课后便于学生查漏补缺，强化知识应用。

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《26.2.3二次函数y=ax2+bx+c(的图像与性质》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 二次函数一般式化为顶点式 模块11 二次函数图象的平移问题 模块2 二次函数y=ax2+bx+c的图象 模块12二次函数的对称性 模块3 二次函数y=ax2+bx+c的性质 模块13二次函数的最值 模块4 二次函数y=ax2+bx+c图象上点的坐标特征 微专题1二次函数的取值范围 模块5 二次函数图象与各项系数符号 微专题2利用二次函数的对称性求最短路径的方法 模块6一次函数与二次函数的图象综合判断 微专题3二次函数图像的折叠 模块7用“一般式"求二次函数解析式的方法 压轴1 直线与抛物线交点个数问题 模块8 用“顶点式”"求二次函数解析式 压轴2 二次函数中的新定义问题 模块9用“交点式"求二次函数解析式 通关检测·实战演练 模块10 二次函数关于点或直线对称的解析式 知识梳理 · 基础溯源 知识点1二次函数的顶点式与一般式的互化 利用配方法，可以将二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)转化成顶点式y=a(x一h)2+k，其中 h= 一，k=，所以二次函数y=ax2+bx十c图象的对称轴是直线x= 一，顶点坐标为 (一 ，) 利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下： 知识点2 的图像与性质： 把二次函数的一般式化成顶点式可知一般式的性质如下： 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （） （） 对称轴 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 ．对称轴左边y随x的增大而 减小 ． 对称轴右边y随x的增大而 减小 ．对称轴左边y随x的增大而 增大 ． 最值 函数轴最 小 值这个值是 ． 函数轴最 大 值这个值是 ． 与y轴交点坐标 （0，c） （0，c） 特别提示：当a与b同号时，，对称轴在y轴的左边． 当a与b异号时，，对称轴在y轴的右边．简称左同右异． 模块通关·举一反 三 【模块一】二次函数一般式化为顶点式 ①配方法：具体步骤如下：首先针对一般式y=ax2+bx+c，将二次项系数提取出来，把二次项与一次项单独组合，变形得到y=；随后对括号内的二次多项式配方：加上一次项系数一半的平方，再减 该数凑出完全平方式，即变形为y= ；最后整理式子，将完全平方式保留，把常数项合并后移到括号外，就可以得到顶点式y=。 ②公式法：先利用顶点坐标公式算出顶点的横纵坐标，直接代入顶点式的结构，快速写出最终结果。 【典例1】将二次函数y＝x2﹣2x﹣2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2﹣3 【变式1-1】把二次函数配方化为形式是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】将二次函数化为的形式，结果为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】将二次函数化成的形式，则变化后正确的是（　　） A． B． C． D． 【模块二】二次函数y=ax2+bx+c的图象 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，属于轴对称图形，其开口方向由二次项系数a的符号决定：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下，常规的画图步骤如下： 1. 先确定抛物线的关键特征：通过配方将一般式转化为顶点式y=a(x-h)2+k，或利用公式计算得到顶点坐标为（）同时确定对称轴为直线； 2. 选取特殊点：一般先标出抛物线与y轴的交点(0,c)，再找出该点关于对称轴的对称点，若抛物线与x轴存在交点，也可求出交点坐标并标注； 3. 最后用平滑的曲线将标注好的顶点、特殊点依次连接，就得到该二次函数的图象。 【典例2】已知抛物线． (1)该抛物线的对称轴是_______，顶点坐标_______； (2)选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较 与 的大小． 【变式2-1】二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】数学课上，老师把一个二次函数图像给甲、乙、丙、丁四位同学看后，四位同学分别进行了如下描述，甲说：该函数的图像经过点（1，0）；乙说：该函数的图像经过点（3，0）；丙说：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；丁说：该函数的图像的对称轴为直线，老师告诉全班同学这四个人中有一个人说错了，请你判断说错的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2-3】已知二次函数． (1)下表是y与x的部分对应值，请补充完整； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 3 … (2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象． 【模块三】二次函数y=ax2+bx+c的性质 .二次函数y=ax2+bx+c的性质可以从开口方向、对称性、增减性和最值几个方面梳理，具体如下： ① 开口方向：二次项系数a的符号决定抛物线开口方向，当a>0时开口向上，当a<0时开口向下，且|a|越大，抛物线开口越窄。 ② 对称性与顶点：二次函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线，图象与对称轴的交点为抛物线的顶点，顶点坐标为（），顶点是抛物线增减性的转折点。 ③增减性：若a>0，对称轴左侧的y随x增大而减小，对称轴右侧的y随x增大而增大；若a<0，对称轴左侧的y随x增大而增大，对称轴右侧的y随x增大而减小。 ④最值：若a>0，抛物线存在最低点，在顶点处取得最小值，无最大值；若a<0，抛物线存在最高点，在顶点处取得最大值无最小值。 【典例3】抛物线的开口方向___________，对称轴是___________，顶点坐标是___________． 【变式3-1】已知二次函数的图象如图所示，自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】对二次函数y＝x2﹣2x的图像性质描述，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．对称轴右侧图像呈下降趋势 【变式3-3】已知二次函数 (1)求开口方向、对称轴及顶点坐标; (2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 【模块四】二次函数y=ax2+bx+c图象上点的坐标特征 二次函数y=ax2+bx+c图象上点的坐标的核心特征： ①满足函数与图象的基本对应关系：即二次函数图象上任意一点的横纵坐标，都满足该二次函数的解析式；反过来，若某个点的坐标满足该二次函数解析式，则该点一定在这个二次函数的图象上。 ②结合二次函数的对称性可得：若两个点都在该二次函数图象上，且纵坐标相等，则这两个点关于二次函数的对称轴对称，两点横坐标的平均值等于对称轴所在直线的横坐标。 ③当时，抛物线开口向上，根据对称性，点离对称轴越远（点的横坐标与对称轴的差的绝对值越大），函数值越大；当时，抛物线开口向下，根据对称性，点离对称轴越远（点的横坐标与对称轴的差的绝对值越大），函数值越小 【典例4】已知点，一条抛物线经过其中三点，则不在该抛物线上的点是点_____． 【变式4-1】．抛物线的图象上有两点，则b的值为____________． 【变式4-2】已知二次函数 (1)求二次函数图像的对称轴； (2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图像经过，，，四点，请判断a，b，c，d的大小，并说明理由． 【变式4-3】如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D．若与的面积比为1：4，则k值为___________． 【模块五】二次函数图象与各项系数符号 判断方法如下： ① 二次项系数a：a的符号决定抛物线的开口方向，若a>0，抛物线开口向上；若a<0，抛物线开口向下；|a|越大，抛物线开口越窄。 ②一次项系数b：b与a共同决定对称轴的位置，口诀为“左同右异”：若对称轴在y轴左侧，则a与b符号相同；若对称轴在y轴右侧，则a与b符号相反；若对称轴为y轴，则b=0。 ③ 常数项c：c是抛物线与y轴交点的纵坐标，若抛物线与y轴交于正半轴，则c>0；若交点为原点，则c=0；若交于负半轴，则c<0。 ④根的判别式b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数，若b2﹣4ac>0，抛物线与x轴有2个不同交点；若b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有1个交点（顶点在x轴上）；若b2﹣4ac<0，抛物线与x轴无交点。 ⑤特殊代数式的符号可通过对应点的函数值判断：当x=1时，函数值y=a+b+c，可根据x=1对应点的位置判断a+b+c的符号；当x=-1时，函数值y=a-b+c，可据此判断a-b+c的符号等。 【典例5】二次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的结论是（） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【变式5-1】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列四个结论中：①a＋b＋c＞0；②a﹣b＋c＜0；③abc＞0；④5a﹣b＋c＜0，其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论： ①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【变式5-3】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【模块六】一次函数与二次函数的图象综合判断 核心判断思路是：先从其中一个函数的图象特征中提取出对应系数的取值范围，再结合该范围推导验证另一函数的图象特征是否匹配。 ①若已知二次函y=ax2+bx+c的图象，可先通过开口方向确定a的正负，再结合对称轴的位置，推导得到b的正负，进而得到待判断一次函数y=kx+b中一次项系数、常数项的符号，最终对应判断一次函数图象经过的象限、增减性特征是否符合。 ②若已知一次函数图象，可反过来推导二次函数相关系数的取值，验证二次函数的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置是否匹配。 ③若需要判断两个给定函数图象的交点个数，只需联立两个函数的解析式，整理得到关于x的一元二次方程，通过判别式的符号判断即可：b2﹣4ac>0时，两个图象有2个交点；b2﹣4ac=0时，有1个交点；b2﹣4ac<0时，没有交点。 【典例6】二次函数与-次函数在同一坐标系中的图象可能是（　　　） A． B． C． D． 【变式6-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】函数和在同一坐标系中的图象大致是（　　） A．B． C． D． 【模块七】用“一般式"求二次函数解析式的方法 一般适用于已知抛物线上三个不同点的坐标（或三组x与y的对应值）求解解析式的场景，具体步骤如下： 第一步，设出函数解析式：设所求二次函数为y=ax2+bx+c，其中a、b、c为待求的待定系数； 第二步，代入条件列方程：将已知的三个点的坐标（或三组x、y对应值）分别代入所设解析式，得到由三个方程组成的三元一次方程组； 第三步，解方程组求出待定系数：通过消元法等方法解该三元一次方程组，得到a、b、c的具体数值； 第四步，回代得到最终解析式：将求解得到的a、b、c的值回代到所设的解析式中，即可得到所求的二次函数解析式。 【典例7】已知二次函数（其中x是自变量），当时，，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【变式7-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式； (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标． 【变式7-2】如图，抛物线的图象与x轴交于点A，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若当，取得最大值时，求m的值． 【变式7-3】抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 从上表可知，时，的值为（    ） A． B． C． D．0 【模块八】用“顶点式”"求二次函数解析式 步骤总结为三步： 第一步：设解析式，当题目已知二次函数的顶点坐标(h,k)、对称轴或是最值时，先设二次函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k（其中a，h、k为顶点坐标对应的已知常数）； 第二步：求待定系数a，将题目给出的二次函数图象上另外一个已知点的横纵坐标代入所设顶点式，得到只含未知数a的一元一次方程，解方程即可求出a的值； 第三步：得最终解析式，将求得的a值代回所设顶点式，即可得到所求的二次函数解析式，若题目要求化为一般式，再将顶点式展开整理为y=ax2+bx+c(a0)的形式即可。 【典例8】已知抛物线的顶点是，且经过点，求该抛物线的函数表达式． 【变式8-1】已知，二次函数的图像过点，顶点是，则此二次函数的表达式是（    ）． A． B． C． D． 【变式8-2】已知二次函数中的x和y满足下表： x ⋯ 0 1 2 ⋯ y ⋯ 0 3 4 3 m ⋯ (1)根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m的值； (2)求该二次函数的表达式． 【变式8-3】小宇利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 0 ﹣1 0 3 … 接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（　　） A． B． C． D． 【模块九】用“交点式"求二次函数解析式 当已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标(x1,0)、(x2,0)时，可先设二次函数的解析式为\(y=a(x-x1)(x-x2)，再将抛物线上第三个已知点的坐标代入所设解析式，即可求出待定系数a的值，最终将a代回整理就能得到所求的二次函数解析式。相较于设一般式求解，交点式在已知交点相关信息的题目中能大幅简化计算过程，缩短解题步骤，提升解题准确率。 【典例9】一抛物线与轴的交点是，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点坐标，并求当时，二次函数的最大值． 【变式9-1】求过，和三点的抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标． 【变式9-2】如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点，是抛物线上不同的两点且，求的最小值． 【变式9-3】已知二次函数的与的部分对应值如下表： … … … … 若、是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是(    ) A． B．顶点的坐标是 C．当时， D．图象开口向下 【模块十】二次函数关于点或直线对称的解析式 核心思路是利用对称点的坐标关系转化求解，具体步骤可分两类情况讨论： 一、关于点(m,n)对称的解析式求法 设所求对称抛物线上任意一点坐标为(x,y)，根据中点坐标公式，可得该点关于(m,n)的对称点坐标为(2m-x,2n-y)，由于该对称点一定在原二次函数图象上，将(2m-x,2n-y)代入原二次函数解析式，整理后即可得到所求对称抛物线的解析式。 二、关于直线对称的解析式求法 针对常见的特殊对称轴可以直接替换得到结果： 1. 关于x轴对称：将原解析式中的y替换为-y，整理后即可得到所求解析式； 2. 关于y轴对称：将原解析式中的x替换为-x，整理后即可得到所求解析式； 3. 关于直线x=m对称：设所求抛物线上任意一点（x,y)，其对称点为(2m-x,y)，将该点代入原二次函数解析式整理即可； 4. 关于直线y=n对称：设所求抛物线上任意一点(x,y)，其对称点为(x,2n-y)，将该点代入原二次函数解析式整理即可。 若为关于任意不规则直线对称，同样遵循"设所求点坐标→求该点关于对称直线的对称点坐标→将对称点代入原解析式整理"的步骤求解即可。 【典例10】将抛物线沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】．已知二次函数：与二次函数关于原点对称，则的解析式为_____． 【变式10-2】把二次函数的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为，若成立，则m的最小整数值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式10-3】已知抛物线C：． (1)直接写出该抛物线关于轴对称的抛物线C1的解析式． (2)将抛物线平移至，使其经过点，且顶点在轴上，求的解析式． 【模块十一】二次函数图象的平移问题 平移问题中求解抛物线解析式的核心是把握平移过程中抛物线的形状、开口方向保持不变，也就是二次项系数a始终与原抛物线一致，仅顶点位置发生改变。解题时一般先将原抛物线解析式化为顶点式，确定原顶点坐标，再结合平移的方向和单位长度，依据“左加右减、上加下减”的规律得到平移后的顶点坐标，即可写出平移后抛物线的解析式；若题目给出平移后抛物线经过定点的条件，将点的坐标代入解析式即可求出未知参数，最终确定抛物线解析式。 【典例11】在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为． (1)当时，求y的值． (2)将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点，求b的值． 【变式11-1】已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ (3)把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 【变式11-2】将抛物线平移，若有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”，现将抛物线：向右平移（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式11-3】把抛物线：先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线． (1)动点能否在抛物线上？请说明理由． (2)若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由． 【模块十二】二次函数的对称性 核心逻辑依托于二次函数的轴对称性质，即抛物线上纵坐标相等的两个点关于二次函数的对称轴对称，待求点与已知函数值的点若满足对称关系，二者函数值相等，具体操作流程为： 首先确定二次函数的对称轴，若对称轴未直接给出，可通过已知抛物线上纵坐标相等的两个点的横坐标计算得到对称轴的直线方程； 接着计算待求点横坐标关于对称轴的对称点横坐标，若该对称点对应的函数值已知，根据二次函数对称性质，待求点的函数值就等于该对称点的已知函数值，无需将待求点代入二次函数解析式计算，可大幅简化求解过程。 【典例12】二次函数经过，和，两点，则的值是( ) A． B． C． D． 【变式12-1】若二次函数的图象经过四点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】已知 ，是抛物线上的两点，下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式12-3】已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如下表所示： x … 0 1 2 … y … 6 1 a 1 6 … 则表格中a的值应为（    ） A．－2 B．0 C．1 D．3 【模块十三】二次函数的最值 通常可根据自变量的取值范围，分两类讨论求解： 第一类，当自变量取值范围为全体实数时，二次函数图象为完整抛物线，顶点就是抛物线的最高或最低点，第二类，当自变量取值范围是给定闭区间时，需要结合对称轴位置与单调性分析：若对称轴落在给定区间内，则函数的一个最值在顶点处取得，另一个最值在距离对称轴更远的区间端点处取得；若对称轴不在给定区间内，则二次函数在该区间上为单调函数，区间两个端点分别对应最大值与最小值，代入计算后比较大小即可得到所求最值。 对于带参数的最值问题，只需要按照上述逻辑，结合参数对开口方向、对称轴位置的影响分类讨论，即可逐步推导出符合要求的结果。 【典例13】二次函数的最大值是，那么代数式的化简结果是（ ） A． B． C． D． 【变式13-1】已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．有最大值1，有最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，有最小值 D．有最大值1，有最小值 【变式13-2】已知二次函数的图象经过点，则当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 专题攻坚·多题归一 【微专题一】二次函数的取值范围 要分不同的题目场景讨论： ①如果题目没有给出实际应用背景，也没有额外限定自变量的范围，那么二次函数的自变量x的取值范围为全体实数；函数值的取值范围只需根据开口方向确定：当二次项系数a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，函数值的取值范围为顶点纵坐标到正无穷；当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值，函数值的取值范围为负无穷到顶点纵坐标。 ②若题目存在实际应用背景，则需要结合自变量代表的实际意义确定限制：据此列出不等式（组）求解，就能得到自变量的合法取值范围，再依据二次函数的单调性即可得到对应函数值的取值范围。 ③若题目直接限定了自变量的取值区间，则只需结合对称轴与区间的位置关系，分析二次函数在区间内的增减性，计算区间端点与顶点处的函数值并比较大小，即可确定对应自变量和函数值的取值范围。 ④二次函数中参数取值范围的确定是中考二次函数板块的高频考点，这类问题的核心思路是将题目给出的各类限定条件，转化为与二次项系数、对称轴、顶点位置、区间端点函数值、判别式等要素相关的不等关系，再通过求解不等式（组）得到参数范围。 【典例14】二次函数 ，当时，则（　　） A． B． C． D． 【变式14-1】在二次函数y=-x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是（ ） A．x＜1 B．x＞1 C．x＜-1 D．x＞-1 【变式14-2】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2．结合图象，m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．0＜m＜1 C．0＜m＜ D．m＜0 【变式14-3】在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点，例如的限变点是，点的限变点是（，），若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【微专题二】 利用二次函数的对称性求最短路径的方法 核心思路是将初中几何中“两点之间线段最短”的基本公理，与二次函数对称轴的轴对称性质结合，把折线段的最短路径问题转化为两点共线的线段长度问题。这类问题的常见出题形式，是要求在二次函数的对称轴上确定一个动点位置，使得该动点到两个定点的线段长度之和最小。 具体求解过程遵循固定步骤：首先，根据对称轴位置，将位于对称轴同侧的其中一个定点作对称变换，得到其关于对称轴的对称点——若该定点落在二次函数图象上，利用二次函数图象的对称性，可直接根据原坐标快速得到对称点坐标，无需额外计算；其次，连接得到的对称点与另一个定点，该连线与对称轴的交点，就是满足距离和最小要求的动点位置；最后，若要求解最短路径的长度，直接计算对称点与原定点之间的线段长度即可；若要求动点坐标，只需先求出连线的直线解析式，再联立对称轴方程即可算出结果。 【典例15】如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【变式15-1】已知，抛物线，过、、，M为顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上找一点P，使得的值最小，并求出P的坐标； 【变式15-2】如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 【变式15-3】如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A，点B和点C的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标． 【微专题三】 二次函数图像的折叠 二次函数图像的折叠与对称是二次函数几何变换类问题的核心考点，解题的关键是抓住变换过程中的不变量与坐标变化规律：变换过程中抛物线的开口大小始终保持不变，仅开口方向或顶点位置随对称规则发生改变，结合对称变换的坐标变化规律即可快速推导出变换后函数的解析式。 ①若为关于x轴对称的变换，原函数上任意点(x,y)变换后对应点为(x,-y)，代入原解析式整理即可得到新解析式； ②若为关于y轴对称的变换，原函数上任意点(x,y)变换后对应点为(-x,y)，同理可推导得到新解析式。 ③若为沿任意直线折叠的题型，则需先利用轴对称性质，求出折叠后抛物线的顶点坐标与开口方向，再结合顶点式即可写出最终解析式， ④若题目要求解决折叠后图形与其他直线的交点个数、参数取值范围等问题，再结合判别式、函数图象的单调性与区间限制分析即可，需要注意部分题目仅对原抛物线的某一段进行折叠，求解时不要遗漏折叠部分对应的自变量取值范围限制。 【典例16】函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移个单位后与直线有个交点 A．①② B．①③ C．①③④ D．②③ 【变式16-1】（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D ①求抛物线的解析式； ②求△ABD的面积． （2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②． ①直接写出图像M所对应的函数解析式； ②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围． 【变式16-2】已知抛物线如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是 _____． 【变式16-3】如图，二次函数的图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)将一次函数的图象向下平移a个单位长度，与二次函数的图象总有交点，求a的取值范围； (3)过点作y轴的垂线，以为对称轴将二次函数的图象位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，直接写出m的取值范围． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 直线与抛物线交点个数问题 是二次函数模块中考察方程与函数结合思想的典型题型，解题的核心思路是将几何交点问题转化为代数方程根的个数问题：将直线解析式与抛物线解析式联立，消去y后整理得到关于x的一元二次方程，再通过根的判别式即可直接判断交点个数：当判别式大于零时，直线与抛物线有两个不同的公共点；当判别式等于零时，直线与抛物线有且只有一个公共点，此时直线与抛物线相切；当判别式小于零时，直线与抛物线没有公共点。若涉及抛物线翻折、分段抛物线这类新定义问题，除利用判别式判断外，还需要结合图象的范围，找到临界交点位置对应的参数值，最终确定满足条件的参数取值范围，这类问题也是中考二次函数压轴题的常见考法。 【典例16】已知直线与函数的图象至少个交点，则取值范围是__________. 【变式16-1】下表记录了二次函数中两个变量与的5组对应值，其中． … 1 3 … … 0 2 0 … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（    ） . A． B． C． D． 【变式16-2】已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____． 【变式16-3】已知直线与抛物线有一个公共点，且． （1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； （2）说明直线与抛物线有两个交点． 【压轴二】二次函数中的新定义问题 新定义问题是近年各地中考二次函数压轴题中十分热门的创新题型，这类问题会在已有二次函数知识的基础上，给出全新的概念、规则或约束条件，比如定义“友好点”“伴随抛物线”“对称割线”等新术语，要求考生结合已掌握的二次函数图象与性质知识，完成阅读理解、知识迁移与推理计算，重点考察学生的审题分析能力、知识转化能力与数形结合思想的应用。 解决这类问题的核心步骤可总结为三步：首先是认真读题，准确拆解新定义的含义，将陌生的新规则转化为我们熟悉的二次函数交点、最值、参数范围等常规问题；其次是结合图象梳理条件，找到满足新定义要求的临界位置；最后结合二次函数的性质分类讨论，计算得到最终的参数范围或结果。这类问题往往分层设问，前一问的结论也常常会为后一问的解答提供铺垫，解题时要注意把握前后设问的逻辑关联，逐步推导即可。 【典例17】．定义：同时经过x轴上两点，的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线：与抛物线：是都经过，的同弦抛物线． (1)任意写出一条抛物线的同弦抛物线． (2)已知抛物线是的同弦抛物线，且过点，求抛物线对应函数的最大值或最小值． 【变式17-1】【新定义】函数的“向心值”：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值” ． 【问题解决】抛物线与直线的“向心值”为（   ） A． B． C．3 D．4 【变式17-2】定义：若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”． 分类一：若二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”． (1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”） (2)试求出的“反顶伴侣二次函数”． (3)若二次函数与互为“反顶伴侣二次函数”，试探究与的关系，并说明理由． (4)分类二：若二次函数可以绕点M旋转180°得到二次函数；，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”． ①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”） ②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？ ③如图，，互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数，的顶点有什么关系．并说明理由． 【变式17-3】我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小王同学画出了“鹊桥”函数的图像（如图所示），下列结论错误的是（    ） A．图像具有对称性，对称轴是直线 B．当时，函数有最大值是4 C．当或时，函数有最小值是0 D．当或时，函数值随值的增大而减小 通关检测·实战演练 一 选择题 1.二次函数（）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … 下列说法正确的是（   ） A．抛物线G的开口向下 B．抛物线G的对称轴是直线 C．抛物线G与y轴的交点坐标为(0，4) D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 2．已知点在二次函数的图象上，二次函数图象与y轴的交点在正半轴，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴相交于点C，将该二次函数图象向右平移m个单位长度后，也经过点C，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4.已知二次函数（其中x是自变量），当时，y随x的增大而增大，且时，y的最大值为9，则a的值为（　　） A． B． C．1 D． 5.已知二次函数（）的图象如图，分析下列六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二 填空题 6.二次函数的顶点坐标是 ． 7.已知二次函数的最小值为，这个函数的图象经过点，且对称轴为，则这个二次函数的表达式为 _____． 8.二次函数（a为常数）的图象经过点、、．若，则a的取值范围为______． 9.在二次函数的图象上有，两点，若，则的取值范围是______． 10.二次函数，当时，y的取值范围为____________． 三解答题 11.已知二次函数的图象经过和两点，与y轴交于求此二次函数的解析式． 12.已知某二次函数，当时，y有最大值为5，且它的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点在该抛物线上，试比较、的大小． 13.把抛物线：先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线． (1)动点能否在抛物线上？请说明理由． (2)若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由． 14.二次函数图象上部分点的横坐杯x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 … y … 5 0 m … (1)写出m的值； (2)求用此二次函数解析式； (3)在图中画出这个二次函数的图象； (4)时，x的取值范围是； (5)当时，y的取值范围是． 15.如图，已知点C为二次函数的顶点，点为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图像于点A，B（点A在点B的左侧）.点M在射线上，且满足.过点M作交抛物线于点N，记点N的纵坐标为. (1)求顶点C的坐标. (2)①若，求MB的值. ②当时，求的取值范围. 16.在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）． (1)求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）； (2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线的距离为1，求出的取值范围； (3)如果点，都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有，求的取值范围． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《26.2.3二次函数y=ax2+bx+c(的图像与性质》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 二次函数一般式化为顶点式 模块11 二次函数图象的平移问题 模块2 二次函数y=ax2+bx+c的图象 模块12二次函数的对称性 模块3 二次函数y=ax2+bx+c的性质 模块13二次函数的最值 模块4 二次函数y=ax2+bx+c图象上点的坐标特征 微专题1二次函数的取值范围 模块5 二次函数图象与各项系数符号 微专题2利用二次函数的对称性求最短路径的方法 模块6一次函数与二次函数的图象综合判断 微专题3二次函数图像的折叠 模块7用“一般式"求二次函数解析式的方法 压轴1 直线与抛物线交点个数问题 模块8 用“顶点式”"求二次函数解析式 压轴2 二次函数中的新定义问题 模块9用“交点式"求二次函数解析式 通关检测·实战演练 模块10 二次函数关于点或直线对称的解析式 知识梳理 · 基础溯源 知识点1二次函数的顶点式与一般式的互化 利用配方法，可以将二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)转化成顶点式y=a(x一h)2+k，其中 h= 一，k=，所以二次函数y=ax2+bx十c图象的对称轴是直线x= 一，顶点坐标为 (一 ，) 利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下： 知识点2 的图像与性质： 把二次函数的一般式化成顶点式可知一般式的性质如下： 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （） （） 对称轴 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 ．对称轴左边y随x的增大而 减小 ． 对称轴右边y随x的增大而 减小 ．对称轴左边y随x的增大而 增大 ． 最值 函数轴最 小 值这个值是 ． 函数轴最 大 值这个值是 ． 与y轴交点坐标 （0，c） （0，c） 特别提示：当a与b同号时，，对称轴在y轴的左边． 当a与b异号时，，对称轴在y轴的右边．简称左同右异． 模块通关·举一反 三 【模块一】二次函数一般式化为顶点式 ①配方法：具体步骤如下：首先针对一般式y=ax2+bx+c，将二次项系数提取出来，把二次项与一次项单独组合，变形得到y=；随后对括号内的二次多项式配方：加上一次项系数一半的平方，再减 该数凑出完全平方式，即变形为y= ；最后整理式子，将完全平方式保留，把常数项合并后移到括号外，就可以得到顶点式y=。 ②公式法：先利用顶点坐标公式算出顶点的横纵坐标，直接代入顶点式的结构，快速写出最终结果。 【典例1】将二次函数y＝x2﹣2x﹣2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2﹣3 【答案】B 【分析】利用配方法整理即可得解． 【详解】解：y＝x2-2x-2＝x2-2x+1-3＝（x-1）2-3， 所以，y＝（x-1）2-3． 故选：B． 【点睛】此题考查了配方法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【变式1-1】把二次函数配方化为形式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用提公因式发法将函数转化为，再根据二次项系数，利用加上一次项系数的一半的平方，凑成完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式化成顶点式的方法，配方法解一元二次方程等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式1-2】将二次函数化为的形式，结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法整理即可得解． 【详解】解： ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，熟知配方法是解题的关键． 【变式1-3】将二次函数化成的形式，则变化后正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据配方法可把二次函数的一般式化为顶点式． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的一般式化为顶点式，熟练掌握利用配方法进行求解是解题的关键 【模块二】二次函数y=ax2+bx+c的图象 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，属于轴对称图形，其开口方向由二次项系数a的符号决定：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下，常规的画图步骤如下： 1. 先确定抛物线的关键特征：通过配方将一般式转化为顶点式y=a(x-h)2+k，或利用公式计算得到顶点坐标为（）同时确定对称轴为直线； 2. 选取特殊点：一般先标出抛物线与y轴的交点(0,c)，再找出该点关于对称轴的对称点，若抛物线与x轴存在交点，也可求出交点坐标并标注； 3. 最后用平滑的曲线将标注好的顶点、特殊点依次连接，就得到该二次函数的图象。 【典例2】已知抛物线． (1)该抛物线的对称轴是_______，顶点坐标_______； (2)选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较 与 的大小． 【答案】(1)， (2)填表见解析，画图见详解 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴，代入对称轴的值即可求解顶点坐标； （2）根据抛物线自变量的取值范围，适当选取自变量的值，计算函数值，并在平面直角坐标系中描点，连线即可； （3）根据函数图像的特点即可求解． 【详解】（1）解：抛物线中，， ∴对称轴为，顶点坐标公式中横坐标为， ∴顶点坐标的纵坐标的值为， ∴顶点坐标为， 故答案为：，． （2）解：抛物线中自变量的取值范围为全体实数，自变量适当如图所示（答案不唯一）， … … … … 描点、连线如图所示， （3）解：由（2）可知，当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴横坐标满足时，两点，中， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合知识，掌握二次函数中对称轴的计算方法，顶点的计算方法，绘图的方法，二次函数图像的性质是解题的关键． 【变式2-1】二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据当时，即抛物线经过即可判断． 【详解】当时，， ∴抛物线经过 ∴只有B选项符合 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式2-2】数学课上，老师把一个二次函数图像给甲、乙、丙、丁四位同学看后，四位同学分别进行了如下描述，甲说：该函数的图像经过点（1，0）；乙说：该函数的图像经过点（3，0）；丙说：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；丁说：该函数的图像的对称轴为直线，老师告诉全班同学这四个人中有一个人说错了，请你判断说错的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】利用反证法结合二次函数的图像解答即可． 【详解】解：假设甲、乙两同学的说法正确，则抛物线与x轴的交点在y轴的右侧，对称轴为直线，此时丙、丁两同学的说法都不正确，这与老师告诉全班同学这四个人中有一个人说错了矛盾， ∴假设甲、乙两同学的说法正确不成立，可知甲、乙两同学的说法有一人不正确； 假设甲同学的说法正确，则乙同学的说法不正确， ∵该函数的图像经过点（1，0），称轴为直线， ∴该抛物线与x轴只有一个公共点， ∴丙同学的说法不正确，这与老师告诉全班同学这四个人中有一个人说错了矛盾， ∴假设甲同学的说法正确不成立， ∴甲同学的说法错误， 故选：A． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图像的性质，反证法，利用反证法解答是解题的关键． 【变式2-3】已知二次函数． (1)下表是y与x的部分对应值，请补充完整； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 3 … (2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象． 【答案】(1)0，-1，0 (2)见解析 【分析】（1）将x=1，2，3代入求解． （2）通过描点，连线，作图． （1） 分别将x=1，2，3代入得y=0，-1，0， 故答案为：0；-1；0． （2） 如图， 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 【模块三】二次函数y=ax2+bx+c的性质 .二次函数y=ax2+bx+c的性质可以从开口方向、对称性、增减性和最值几个方面梳理，具体如下： ① 开口方向：二次项系数a的符号决定抛物线开口方向，当a>0时开口向上，当a<0时开口向下，且|a|越大，抛物线开口越窄。 ② 对称性与顶点：二次函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线，图象与对称轴的交点为抛物线的顶点，顶点坐标为（），顶点是抛物线增减性的转折点。 ③增减性：若a>0，对称轴左侧的y随x增大而减小，对称轴右侧的y随x增大而增大；若a<0，对称轴左侧的y随x增大而增大，对称轴右侧的y随x增大而减小。 ④最值：若a>0，抛物线存在最低点，在顶点处取得最小值，无最大值；若a<0，抛物线存在最高点，在顶点处取得最大值无最小值。 【典例3】抛物线的开口方向___________，对称轴是___________，顶点坐标是___________． 【答案】 下 【分析】根据二次项系数确定开口方向，利用配方法转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标． 【详解】∵，而， ∴开口方向向下． ∵， ∴对称轴是，顶点坐标是． 故答案为：下，，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴是直线，顶点坐标为． 【变式3-1】已知二次函数的图象如图所示，自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到抛物线对称轴为直线，离对称轴越远函数值越大，再由即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为，且开口向上， ∴抛物线对称轴为直线，离对称轴越远函数值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选B 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键． 【变式3-2】对二次函数y＝x2﹣2x的图像性质描述，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．对称轴右侧图像呈下降趋势 【答案】C 【分析】将抛物线解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：y=x2-2x=（x-1）2-1， A．由a=1＞0可知抛物线开口向上，此选项错误； B．抛物线的对称轴为直线x=1，此选项错误； C．当x=0时，y=0，即此抛物线经过原点，此选项正确； D．由a＞0且对称轴为直线x=1知，当x＞1，即对称轴右侧时，y随x的增大而增大，此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练根据抛物线的顶点式得出开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数的增减性等性质． 【变式3-3】已知二次函数 (1)求开口方向、对称轴及顶点坐标; (2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 【答案】(1)开口向下，对称轴为：直线，顶点坐标为：； (2)时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大． 【分析】（1）根据二次函数的性质进行解答即可； （2）根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而增大减小进行解答即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴抛物线的开口向下， 对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）解：∵抛物线的开口向下， ∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大． 【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【模块四】二次函数y=ax2+bx+c图象上点的坐标特征 二次函数y=ax2+bx+c图象上点的坐标的核心特征： ①满足函数与图象的基本对应关系：即二次函数图象上任意一点的横纵坐标，都满足该二次函数的解析式；反过来，若某个点的坐标满足该二次函数解析式，则该点一定在这个二次函数的图象上。 ②结合二次函数的对称性可得：若两个点都在该二次函数图象上，且纵坐标相等，则这两个点关于二次函数的对称轴对称，两点横坐标的平均值等于对称轴所在直线的横坐标。 ③当时，抛物线开口向上，根据对称性，点离对称轴越远（点的横坐标与对称轴的差的绝对值越大），函数值越大；当时，抛物线开口向下，根据对称性，点离对称轴越远（点的横坐标与对称轴的差的绝对值越大），函数值越小 【典例4】已知点，一条抛物线经过其中三点，则不在该抛物线上的点是点_____． 【答案】 【分析】根据的纵坐标相同得有一点不在同一条抛物线上，根据的横坐标相同得两点中有一点不在同一条抛物线上，即可得． 【详解】解：∵的纵坐标相同， ∴有一点不在同一条抛物线上， ∵的横坐标相同， ∴两点中有一点不在同一条抛物线上， 综上，点不在抛物线上， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图像上点的坐标满足解析式． 【变式4-1】．抛物线的图象上有两点，则b的值为____________． 【答案】 【分析】根据二次函数的图象与性质和二次函数的对称性可知，A、B两点纵坐标相等，则A和B关于对称轴对称．二次函数的对称轴为，所以，最后解出答案即可． 【详解】A和B都在二次函数y=的图象上，且纵坐标相等， 点A和B关于对称轴对称， ， 解得． 故答案为-6． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质与二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 【变式4-2】已知二次函数 (1)求二次函数图像的对称轴； (2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图像经过，，，四点，请判断a，b，c，d的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，；当时，，见解析． 【分析】（1）结合解析式，根据求得对称轴； （2）当时，抛物线开口向上，根据对称性，点离对称轴越远（点的横坐标与对称轴的差的绝对值越大），函数值越大；当时，抛物线开口向下，根据对称性，点离对称轴越远（点的横坐标与对称轴的差的绝对值越大），函数值越小进行比较即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴二次函数图像的对称轴为直线． （2）由（1）得抛物线对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ， ． 当时，抛物线开口向下， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，增减性，对称性；熟练掌握二次函数图像性质是阶解题的关键． 【变式4-3】如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D．若与的面积比为1：4，则k值为___________． 【答案】/0.8 【分析】根据函数解析式可以求得点D、C的坐标，然后再根据与的面积比为1∶4，得到关于k的方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴顶点， ∴， ∵的面积，的面积， 与的面积比为1：4， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求出C、D的坐标． 【模块五】二次函数图象与各项系数符号 判断方法如下： ① 二次项系数a：a的符号决定抛物线的开口方向，若a>0，抛物线开口向上；若a<0，抛物线开口向下；|a|越大，抛物线开口越窄。 ②一次项系数b：b与a共同决定对称轴的位置，口诀为“左同右异”：若对称轴在y轴左侧，则a与b符号相同；若对称轴在y轴右侧，则a与b符号相反；若对称轴为y轴，则b=0。 ③ 常数项c：c是抛物线与y轴交点的纵坐标，若抛物线与y轴交于正半轴，则c>0；若交点为原点，则c=0；若交于负半轴，则c<0。 ④根的判别式b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数，若b2﹣4ac>0，抛物线与x轴有2个不同交点；若b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有1个交点（顶点在x轴上）；若b2﹣4ac<0，抛物线与x轴无交点。 ⑤特殊代数式的符号可通过对应点的函数值判断：当x=1时，函数值y=a+b+c，可根据x=1对应点的位置判断a+b+c的符号；当x=-1时，函数值y=a-b+c，可据此判断a-b+c的符号等。 【典例5】二次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的结论是（） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】①由抛物线的开口方向向下，与y轴交点在负半轴，对称轴在y轴右侧，确定出a，b及c的正负，即可对于abc的正负作出判断； ②根据对称轴为：x=-=1判断即可； ③根据抛物线与x轴的交点即可求得抛物线的对称轴，然后把x=3代入方程即可求得相应的y的符号； ④由图象得到当x＜0时，y随x的变化而变化的趋势． 【详解】解：①根据图示知，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴交于负半轴， ∴a＞0，c＜0， ∵->0， ∴b＜0， 所以abc＞0．故①错误； ②根据图象得对称轴x=1，即-=1，所以b=-2a，即2a+b=0，故②正确； ③当x=3时，y=0，即9a+3b+c=0．故③错误； ④根据图示知，当x＜0时，y随x的增大而减小，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 【变式5-1】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列四个结论中：①a＋b＋c＞0；②a﹣b＋c＜0；③abc＞0；④5a﹣b＋c＜0，其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向判断a的正负，再结合对称轴位置判断b的正负，根据抛物线与y轴的交点判断c的正负，结合抛物线与x轴交点情况进行推理，对所得结论逐一判断即可． 【详解】解：①由图示知，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．故①错误； ②由图示知，当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0．故②错误； ③由图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0， 对称轴x＝﹣＜0，则b＜0， 抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0， 所以abc＞0．故③正确； ④由图示知，当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0．当x＝1时，y＝a+b+c＜0， 所以10a﹣2b+2c＜0，即5a﹣b+c＜0，故④正确． 综上所述，正解的结论有：③④，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点等与系数之间的关系，综合性较强，特别是结论④的判断，需要将x＝﹣3和x＝1分别代入然后求和，有一定难度． 【变式5-2】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论： ①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向可得出的符号，再由抛物线与轴的交点可得出的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当、、时的情况进一步综合判断即可． 【详解】由图象可知，a＜0，c=1， 对称轴：x=， ∴b=2a， ①由图可知：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，正确； ②由图可知：当x=−1时，y＞1，∴a−b+c＞1，正确； ③abc=2a2＞0，正确； ④由图可知：当x=−3时，y＜0，∴9a−3b+c＜0，正确； ⑤c−a=1−a＞1，正确； ∴①②③④⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 【变式5-3】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【答案】D 【分析】由图可知，二次函数开口向下，即a＜0；与y轴交于正半轴，所以c＞0；与x轴有两个交点，即△＞0；对称轴，且当时y最大．根据这些性质结合题意逐个判断即可． 【详解】∵抛物线与x轴有两个交点， ∴＞0 ，即， ∴， ∴①正确； ∵把x=1代入抛物线得：， ∴ ， ∵对称轴， ∴，即． ∴，即， ∴②正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴的值最大， 把代入抛物线解析式得：， ∴． ∴， ∴③正确； ∵，， ∴ ， 则，即 ∴④正确； 综上①②③④都正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键.． 【模块六】一次函数与二次函数的图象综合判断 核心判断思路是：先从其中一个函数的图象特征中提取出对应系数的取值范围，再结合该范围推导验证另一函数的图象特征是否匹配。 ①若已知二次函y=ax2+bx+c的图象，可先通过开口方向确定a的正负，再结合对称轴的位置，推导得到b的正负，进而得到待判断一次函数y=kx+b中一次项系数、常数项的符号，最终对应判断一次函数图象经过的象限、增减性特征是否符合。 ②若已知一次函数图象，可反过来推导二次函数相关系数的取值，验证二次函数的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置是否匹配。 ③若需要判断两个给定函数图象的交点个数，只需联立两个函数的解析式，整理得到关于x的一元二次方程，通过判别式的符号判断即可：b2﹣4ac>0时，两个图象有2个交点；b2﹣4ac=0时，有1个交点；b2﹣4ac<0时，没有交点。 【典例6】二次函数与-次函数在同一坐标系中的图象可能是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可． 【详解】A．图象中二次函数，一次函数，故A不符合题意． B．图象中二次函数，一次函数，故B不符合题意． C．图象中二次函数，一次函数，故C符合题意． D．图象中二次函数，一次函数，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键． 【变式6-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致． 【详解】A、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误． 故选A． 【变式6-2】一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先观察解析式可得两函数图象在y轴上交于一点，再根据二次函数图象和一次函数图象的性质分析即可． 【详解】观察解析式发现：一次函数与二次函数与y轴的交点为同一点，故排除B、C选项； A、二次函数图象开口向上，则，但是一次函数y随x的增大而减小，则，a的取值矛盾，故A不符合题意； D、二次函数图象开口向上，则，一次函数y随x的增大而增大，则，符合，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图象性质，若能根据解析式先排除掉部分选项，则先进行排除．另外，用假设法来搞定这种数形结合题也是一种很好的方法． 【变式6-3】函数和在同一坐标系中的图象大致是（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质逐项判断即可． 【详解】A．图象中二次函数，一次函数，故A符合题意． B．图象中二次函数，一次函数，故B不符合题意． C．图象中二次函数，一次函数，故C不符合题意． D．图象中二次函数，一次函数，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键． 【模块七】用“一般式"求二次函数解析式的方法 一般适用于已知抛物线上三个不同点的坐标（或三组x与y的对应值）求解解析式的场景，具体步骤如下： 第一步，设出函数解析式：设所求二次函数为y=ax2+bx+c，其中a、b、c为待求的待定系数； 第二步，代入条件列方程：将已知的三个点的坐标（或三组x、y对应值）分别代入所设解析式，得到由三个方程组成的三元一次方程组； 第三步，解方程组求出待定系数：通过消元法等方法解该三元一次方程组，得到a、b、c的具体数值； 第四步，回代得到最终解析式：将求解得到的a、b、c的值回代到所设的解析式中，即可得到所求的二次函数解析式。 【典例7】已知二次函数（其中x是自变量），当时，，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：当时，；时，，则，解得：， 当时，；时，，则，解得：， ∴a的值为±1． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题时需分两种情况计算，注意自变量和函数值得对应关系． 【变式7-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式； (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题． （2）根据二次函数图象的对称性求得的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，，，． ，． 这个抛物线的表达式为． （2）由（1）得，． 该抛物线的对称轴是直线． 点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，点的横坐标为， 的横坐标是4． 当时，． ． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键． 【变式7-2】如图，抛物线的图象与x轴交于点A，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若当，取得最大值时，求m的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为，则有抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，抛物线有最大值，即为； ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式7-3】抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 从上表可知，时，的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据题意，利用待定系数法求出二次函数解析式，然后把代入解析式，即可得出答案． 【详解】解：把，、，和，代入， 可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴当时，的值为． 故选：D 【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、求函数值，解本题的关键在正确得出二次函数解析式． 【模块八】用“顶点式”"求二次函数解析式 步骤总结为三步： 第一步：设解析式，当题目已知二次函数的顶点坐标(h,k)、对称轴或是最值时，先设二次函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k（其中a，h、k为顶点坐标对应的已知常数）； 第二步：求待定系数a，将题目给出的二次函数图象上另外一个已知点的横纵坐标代入所设顶点式，得到只含未知数a的一元一次方程，解方程即可求出a的值； 第三步：得最终解析式，将求得的a值代回所设顶点式，即可得到所求的二次函数解析式，若题目要求化为一般式，再将顶点式展开整理为y=ax2+bx+c(a0)的形式即可。 【典例8】已知抛物线的顶点是，且经过点，求该抛物线的函数表达式． 【答案】 【分析】既然已知顶点，故设出顶点式，再将另外一个点的坐标代入即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点是， ∴可设抛物线的函数表达式为， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，根据题目中的已知信息，选择合适的表达式的形式是解题的关键．当已知顶点式时，设顶点式；当已知任意三点坐标时，设一般式 【变式8-1】已知，二次函数的图像过点，顶点是，则此二次函数的表达式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设二次函数的解析式为，顶点是，则，把代入，即，，那么． 【详解】根据题意设二次函数的解析式为， 把代入，即，，那么， 故选：A． 【点睛】本题主要考查是二次函数的顶点式、一般式等知识内容，熟练掌握二次函数的顶点式，顶点是是解题的关键． 【变式8-2】已知二次函数中的x和y满足下表： x ⋯ 0 1 2 ⋯ y ⋯ 0 3 4 3 m ⋯ (1)根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m的值； (2)求该二次函数的表达式． 【答案】(1)二次函数的对称轴为直线； (2) 【分析】（1）由于，；，，则可利用抛物线的对称性得到对称轴；然后利用对称性确定m的值； （2）设顶点式，然后把代入求出a的值，从而得到抛物线解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵和所对应的函数值相等， ∴； （2）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴该二次函数的解析式为， 即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 【变式8-3】小宇利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 0 ﹣1 0 3 … 接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，再利用待定系数法求出二次函数解析式，进行验证． 【详解】∵和时，； ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线为， 把，代入得， ∴， ∴该二次函数解析式为， 当时，， ∴，错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，找出图表数据特点，根据函数的对称性解答即可，注意进行验证，以确保判定的正确性． 【模块九】用“交点式"求二次函数解析式 当已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标(x1,0)、(x2,0)时，可先设二次函数的解析式为\(y=a(x-x1)(x-x2)，再将抛物线上第三个已知点的坐标代入所设解析式，即可求出待定系数a的值，最终将a代回整理就能得到所求的二次函数解析式。相较于设一般式求解，交点式在已知交点相关信息的题目中能大幅简化计算过程，缩短解题步骤，提升解题准确率。 【典例9】一抛物线与轴的交点是，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点坐标，并求当时，二次函数的最大值． 【答案】(1) (2)，，8 【分析】（1）设交点式为，然后把代入求出的值即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式可得该抛物线的顶点坐标，然后根据二次函数的性质求当时，二次函数的最大值． 【详解】（1） 解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为，即； （2） ， 抛物线的顶点坐标为，， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大，则时，函数值最大，最大值为8． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【变式9-1】求过，和三点的抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标． 【答案】解析式为，顶点坐标为 【分析】根据点，设函数的表达式为：，再将点代入求出a的值即可． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴设函数的表达式为：， 将点代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， ∴顶点坐标为：， 综上：函数的解析式为，顶点坐标为：． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式和顶点坐标，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，以及求二次函数顶点坐标的方法． 【变式9-2】如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点，是抛物线上不同的两点且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线与x轴相交于点，，利用待定系数法即可求解； （2），，得到的函数表达式，即可求出结果． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 由题意可得：，， ， ，解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线， ①若点M、N关于抛物线对称轴对称，则，， ②， ， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用，熟练掌握求二次函数解析式的方法、用配方法求函数的最值及函数的对称性是解题的关键． 【变式9-3】已知二次函数的与的部分对应值如下表： … … … … 若、是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是(    ) A． B．顶点的坐标是 C．当时， D．图象开口向下 【答案】C 【分析】由抛物线经过，，，，，可得抛物线解析式，进而得出对称轴及开口方向，进而求解． 【详解】解：抛物线经过，，，，，， 设抛物线的解析式为，将代入得， ， 抛物线的解析式为： 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，故B、D选项错误， 当时，随的增大而增大， ，故C选项正确， 由抛物线对称性可得，与，关于对称轴对称， 时，，故A选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 【模块十】二次函数关于点或直线对称的解析式 核心思路是利用对称点的坐标关系转化求解，具体步骤可分两类情况讨论： 一、关于点(m,n)对称的解析式求法 设所求对称抛物线上任意一点坐标为(x,y)，根据中点坐标公式，可得该点关于(m,n)的对称点坐标为(2m-x,2n-y)，由于该对称点一定在原二次函数图象上，将(2m-x,2n-y)代入原二次函数解析式，整理后即可得到所求对称抛物线的解析式。 二、关于直线对称的解析式求法 针对常见的特殊对称轴可以直接替换得到结果： 1. 关于x轴对称：将原解析式中的y替换为-y，整理后即可得到所求解析式； 2. 关于y轴对称：将原解析式中的x替换为-x，整理后即可得到所求解析式； 3. 关于直线x=m对称：设所求抛物线上任意一点（x,y)，其对称点为(2m-x,y)，将该点代入原二次函数解析式整理即可； 4. 关于直线y=n对称：设所求抛物线上任意一点(x,y)，其对称点为(x,2n-y)，将该点代入原二次函数解析式整理即可。 若为关于任意不规则直线对称，同样遵循"设所求点坐标→求该点关于对称直线的对称点坐标→将对称点代入原解析式整理"的步骤求解即可。 【典例10】将抛物线沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答即可． 【详解】解：根据题意，得 翻折后抛物线的解析式的解析式为：． 即． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．总结：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标坐标互为相反数．关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数．关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数． 【变式10-1】．已知二次函数：与二次函数关于原点对称，则的解析式为_____． 【答案】 【分析】设二次函数：上任意一点，其关于原点的对称点为，则是二次函数上的任意一点，根据题意，得，代入，得到关于的函数即可． 【详解】设二次函数：上任意一点，其关于原点的对称点为，则是二次函数上的任意一点， 根据题意，得，代入， 得， 所以， 故的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的抛物线解析式的确定，利用对称点的特点变形代入化简是解题的关键． 【变式10-2】把二次函数的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为，若成立，则m的最小整数值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先求出变换前的关系式，可用含有a的关系式表示b，c，进而得出关于a，m的不等式，然后结合a的范围得出答案． 【详解】∵关于y轴对称的图象的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标是， ∴原函数解析式为， ∴，即． 当时，， ∴， ∴， 即， ∴m的最小整数值为4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的轴对称变换，掌握变换前后解析式之间的关系是解题的关键． 【变式10-3】已知抛物线C：． (1)直接写出该抛物线关于轴对称的抛物线C1的解析式． (2)将抛物线平移至，使其经过点，且顶点在轴上，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用原抛物线上的关于轴对称的点的特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数就可以解答； （2）由题意知平移后的解析式为：，即可求得抛物线解析式． 【详解】（1）解： ∴抛物线的顶点坐标为，与 轴交点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴顶点坐标是，且与轴交点． 设的解析式为，把代入，解得：， ∴的解析式为， 即； （2）要使顶点在轴上，则平移后的解析式为：， ∵经过点， ∵， 解得∶ ∴抛物线解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，化为顶点式，二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【模块十一】二次函数图象的平移问题 平移问题中求解抛物线解析式的核心是把握平移过程中抛物线的形状、开口方向保持不变，也就是二次项系数a始终与原抛物线一致，仅顶点位置发生改变。解题时一般先将原抛物线解析式化为顶点式，确定原顶点坐标，再结合平移的方向和单位长度，依据“左加右减、上加下减”的规律得到平移后的顶点坐标，即可写出平移后抛物线的解析式；若题目给出平移后抛物线经过定点的条件，将点的坐标代入解析式即可求出未知参数，最终确定抛物线解析式。 【典例11】在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为． (1)当时，求y的值． (2)将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点，求b的值． 【答案】(1)0 (2)0 【分析】（1）把代入，即可求得； （2）根据题意原抛物线经过，代入解析式解方程即可求得． 【详解】（1）解：当时，； 即y的值为0； （2）∵将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点 ∴原抛物线经过， 把代入解析式可得：， ∴． 【点睛】此题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式11-1】已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ (3)把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 【答案】(1)开口向上，顶点坐标 (2) (3)抛物线不过点，理由见详解 【分析】（1）二次函数中，，，，根据的判断抛物线的开口，将一般式化成顶点式即可求出顶点； （2）由（1）可知，对称轴左边是随的增大而减小，对称轴右边是随的增大而增大，由此即可求解； （3）抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位得到新的函数解析式，把代入计算，若，则点在函数上，否则不在． 【详解】（1）解：二次函数中，，，， ∵， ∴抛物线开口向上， 将一般式化成顶点式得：， ∴顶点坐标为． （2）解：∵抛物线的开口向上，对称轴直线， ∴当时，函数值随着自变量的增大而减小． （3）解：抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位得，，化简得， ∴当时，， ∴抛物线不过点． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质，平移是解题的关键． 【变式11-2】将抛物线平移，若有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”，现将抛物线：向右平移（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据平移方式“左加右减”可得出抛物线的解析式，再根据点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点代入两个解析式求值即可． 【详解】解：依题意得抛物线为： ， 为“平衡点”， 既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上， 解得或， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图像的平移和二次函数图像上点的坐标特征，理解“平衡点”的定义，掌握二次函数图像的平移的规律是解题关键． 【变式11-3】把抛物线：先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线． (1)动点能否在抛物线上？请说明理由． (2)若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)不在，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解； （2）根据二次函数的增减性即可判断． 【详解】（1）， 把抛物线：先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线：，即， 抛物线的函数关系式为：． 动点不在抛物线上，理由如下： 抛物线的函数关系式为：， 函数的最小值为， ， 动点不在抛物线上； （2）∵抛物线的函数关系式为：， ∴对称轴为， ∵二次项系数为， ∴图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点，都在抛物线上，且， ∴． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答；也考查函数图象的平移的规律． 【模块十二】二次函数的对称性 核心逻辑依托于二次函数的轴对称性质，即抛物线上纵坐标相等的两个点关于二次函数的对称轴对称，待求点与已知函数值的点若满足对称关系，二者函数值相等，具体操作流程为： 首先确定二次函数的对称轴，若对称轴未直接给出，可通过已知抛物线上纵坐标相等的两个点的横坐标计算得到对称轴的直线方程； 接着计算待求点横坐标关于对称轴的对称点横坐标，若该对称点对应的函数值已知，根据二次函数对称性质，待求点的函数值就等于该对称点的已知函数值，无需将待求点代入二次函数解析式计算，可大幅简化求解过程。 【典例12】二次函数经过，和，两点，则的值是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的，即可求解． 【详解】解：抛物线经过，和，两点， 可知函数的对称轴， ， ； ， 将点代入函数解析式，可得； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 【变式12-1】若二次函数的图象经过四点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次函数的图象经过求出对称轴，再根据函数图象判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过， 二次函数对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ， ，，的大小关系为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，能够找出对称轴是解题的关键． 【变式12-2】已知 ，是抛物线上的两点，下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据抛物线解析式可以得到抛物线的对称轴，然后在分类讨论开口方向求解． 【详解】解： 抛物线的对称轴为直线 A、当抛物线开口向下，若即到对称轴的距离大于到对称轴的距离，则，故此项错误 B、当抛物线开口向下，若说明更接近对称轴，则到对称轴的距离更小即，故此项错误 C、当，，关于轴对称或重合，故此项错误 D、若，说明，到对称轴的距离相等，则，故此项正确 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图像的对称性及二次函数开口方向 ，正确理解二次函数的对称性是解题的关键． 【变式12-3】已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如下表所示： x … 0 1 2 … y … 6 1 a 1 6 … 则表格中a的值应为（    ） A．－2 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】由抛物线上的两点的纵坐标相等时，由这两点的横坐标可求得抛物线的对称轴，再由对称轴可求得点关于对称轴的对称点的横坐标，这时这两个点的纵坐标相等 【详解】∵由表格可得已知点和纵坐标相等， ∴该二次函数的对称轴， 设点关于对称轴的对称点的横坐标为， ∴， 解得：， ∴根据表格可知点关于对称轴的对称点为， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键 【模块十三】二次函数的最值 通常可根据自变量的取值范围，分两类讨论求解： 第一类，当自变量取值范围为全体实数时，二次函数图象为完整抛物线，顶点就是抛物线的最高或最低点，第二类，当自变量取值范围是给定闭区间时，需要结合对称轴位置与单调性分析：若对称轴落在给定区间内，则函数的一个最值在顶点处取得，另一个最值在距离对称轴更远的区间端点处取得；若对称轴不在给定区间内，则二次函数在该区间上为单调函数，区间两个端点分别对应最大值与最小值，代入计算后比较大小即可得到所求最值。 对于带参数的最值问题，只需要按照上述逻辑，结合参数对开口方向、对称轴位置的影响分类讨论，即可逐步推导出符合要求的结果。 【典例13】二次函数的最大值是，那么代数式的化简结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的最大值是， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数解析式和图象的性质，根据题意得到且是解题的关键． 【变式13-1】已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．有最大值1，有最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，有最小值 D．有最大值1，有最小值 【答案】D 【分析】直接根据函数图象即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，；当时，． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像和最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键． 【变式13-2】已知二次函数的图象经过点，则当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将点代入求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，分析在时的最大值和最小值即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得：， ∴该二次函数的表达式为：， ∴该函数的对称轴为直线， ∵， ∴该二次函数图象开口向上，离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴再之间，当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值， ∴当时，y的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小． 【变式13-3】如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①：根据二次函数的对称轴，，即可判断出；②：结合图象发现，当时，函数值大于1，代入即可判断；③：结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断；④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断． 【详解】解：二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点， ，， ， ，故①错误； 从图中可以看出，当时，函数值大于1， 因此将代入得，， 即，故②正确； ， ， 从图中可以看出，当时，函数值小于0， ， ，故③正确； 二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入得，， 解得， 二次函数的解析式为， 当时，； 根据二次函数的对称性，得到，故④正确； 综上所述，②③④正确，故有3个正确结论， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】二次函数的取值范围 要分不同的题目场景讨论： ①如果题目没有给出实际应用背景，也没有额外限定自变量的范围，那么二次函数的自变量x的取值范围为全体实数；函数值的取值范围只需根据开口方向确定：当二次项系数a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，函数值的取值范围为顶点纵坐标到正无穷；当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值，函数值的取值范围为负无穷到顶点纵坐标。 ②若题目存在实际应用背景，则需要结合自变量代表的实际意义确定限制：据此列出不等式（组）求解，就能得到自变量的合法取值范围，再依据二次函数的单调性即可得到对应函数值的取值范围。 ③若题目直接限定了自变量的取值区间，则只需结合对称轴与区间的位置关系，分析二次函数在区间内的增减性，计算区间端点与顶点处的函数值并比较大小，即可确定对应自变量和函数值的取值范围。 ④二次函数中参数取值范围的确定是中考二次函数板块的高频考点，这类问题的核心思路是将题目给出的各类限定条件，转化为与二次项系数、对称轴、顶点位置、区间端点函数值、判别式等要素相关的不等关系，再通过求解不等式（组）得到参数范围。 【典例14】二次函数 ，当时，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将二次函数由一般式化为顶点式，找出对称轴和顶点坐标，得到函数的最大值，再根据抛物线上的点到坐标轴的距离确定函数的最小值． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为， 当时，函数最大值是5， ， 时，函数最小值，最小值为：， ， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，将二次函数解析式由一般式化为顶点式是解题的关键． 【变式14-1】在二次函数y=-x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是（ ） A．x＜1 B．x＞1 C．x＜-1 D．x＞-1 【答案】B 【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，然后开口向下，在对称轴右侧满足y随x的增大而减小即可求解． 【详解】解：y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2， 抛物线的对称轴为直线x=1， ∵a=-1＜0，开口向下， ∴当x＞1时，y随x的增大而减少． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图形性质，属于基础题，熟练掌握二次函数的图形性质是解决本题的关键． 【变式14-2】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2．结合图象，m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．0＜m＜1 C．0＜m＜ D．m＜0 【答案】C 【分析】时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标越小． 【详解】解：如图： 抛物线：的对称轴为， ，，为抛物线上三点，且总有， 则，（注时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标越小）， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标，解题的关键是画出大致图象，掌握时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，函数值越小． 【变式14-3】在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点，例如的限变点是，点的限变点是（，），若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分两种情况，当时，当时，分别求出限变点的纵坐标的取值范围即可． 【详解】解：当时，， ∴当时，， 当时，， ∴当时，， 综上，当时，其限变点的纵坐标的取值范围是， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到关于的函数解析式． 【微专题二】 利用二次函数的对称性求最短路径的方法 核心思路是将初中几何中“两点之间线段最短”的基本公理，与二次函数对称轴的轴对称性质结合，把折线段的最短路径问题转化为两点共线的线段长度问题。这类问题的常见出题形式，是要求在二次函数的对称轴上确定一个动点位置，使得该动点到两个定点的线段长度之和最小。 具体求解过程遵循固定步骤：首先，根据对称轴位置，将位于对称轴同侧的其中一个定点作对称变换，得到其关于对称轴的对称点——若该定点落在二次函数图象上，利用二次函数图象的对称性，可直接根据原坐标快速得到对称点坐标，无需额外计算；其次，连接得到的对称点与另一个定点，该连线与对称轴的交点，就是满足距离和最小要求的动点位置；最后，若要求解最短路径的长度，直接计算对称点与原定点之间的线段长度即可；若要求动点坐标，只需先求出连线的直线解析式，再联立对称轴方程即可算出结果。 【典例15】如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【答案】C 【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离． 【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)， ∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)， 过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F， ∴CE=C'E， 则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值； ∵直线yx+3， 设直线C'F的解析式为， 将C'(﹣2，﹣2)代入得：， 解得：， ∴C'F的解析式为yx， 解方程组， 得：， ∴F(，)， ∴C'F． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键． 【变式15-1】已知，抛物线，过、、，M为顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上找一点P，使得的值最小，并求出P的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设抛物线解析式为，把点C的坐标代入解析式，即可求解； （2）首先根据抛物线的对称性，可得点P的位置，可求得直线的解析式，再把代入解析式，即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线，点A与点B关于直线对称， 连接交直线于P点，则， ， ∴此时的值最小， 设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 则满足条件的P点坐标为． 【点睛】本题考查了求一次函数及二次函数的解析，二次函数的性质，准确求得一次函数及二次函数的解析是解决本题的关键． 【变式15-2】如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 【答案】 【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案． 【详解】解：如图， 在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1）， ∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2， ∴对称轴为x=1，顶点D（1，2）， 则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1）， 作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1）， 连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点， 四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE =DE+D′F+FG+GE′ =DE+D′E′ =， ∴四边形EDFG的周长的最小值为：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键． 【变式15-3】如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A，点B和点C的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标． 【答案】（1）A（﹣2，0），B（1，0），C（0，﹣2）．（2）P（，） 【分析】（1）利用二次函数图像与x轴交点时，y=0，代入式子即可求出x值，即可求出A、B两点坐标，图像与y轴相交，x=0，带入可以求出y值，即可求出C点坐标； （2）有题可知本问考查的是“两定一动”，故需要利用“将军饮马”的方法进行解题，B点关于对称轴的对称点为A点，连接AC，AC与对称轴的交点即为P点，求出AC所在直线解析式，之后求出与对称轴交点即为P点坐标． 【详解】解：（1）由 y＝0，得 x2+x-2＝0 解得 x＝-2，x＝1， ∴A（-2，0），B（1，0）， 由 x＝0，得 y＝-2， ∴C（0，-2）． （2）连接AC与对称轴的交点即为点P． 设直线 AC 为 y＝kx+b， 则﹣2k+b＝0，b＝﹣2： 得 k＝﹣1， y＝﹣x﹣2． 对称轴为 x＝， 当 x＝时， y＝-2＝， ∴P（，）． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的基本性质，以及“两定一动”的动点问题，熟练掌握二次函数中的综合运用是解题的关键． 【微专题三】 二次函数图像的折叠 二次函数图像的折叠与对称是二次函数几何变换类问题的核心考点，解题的关键是抓住变换过程中的不变量与坐标变化规律：变换过程中抛物线的开口大小始终保持不变，仅开口方向或顶点位置随对称规则发生改变，结合对称变换的坐标变化规律即可快速推导出变换后函数的解析式。 ①若为关于x轴对称的变换，原函数上任意点(x,y)变换后对应点为(x,-y)，代入原解析式整理即可得到新解析式； ②若为关于y轴对称的变换，原函数上任意点(x,y)变换后对应点为(-x,y)，同理可推导得到新解析式。 ③若为沿任意直线折叠的题型，则需先利用轴对称性质，求出折叠后抛物线的顶点坐标与开口方向，再结合顶点式即可写出最终解析式， ④若题目要求解决折叠后图形与其他直线的交点个数、参数取值范围等问题，再结合判别式、函数图象的单调性与区间限制分析即可，需要注意部分题目仅对原抛物线的某一段进行折叠，求解时不要遗漏折叠部分对应的自变量取值范围限制。 【典例16】函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移个单位后与直线有个交点 A．①② B．①③ C．①③④ D．②③ 【答案】C 【分析】根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故①正确；由图象可判断二次函数与轴的交点为，即，故②错误；根据图象判断，，结合，可知，故③正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图像有个交点，故④正确． 【详解】解：∵由图象可知二次函数与轴的交点为和， ∴二次函数的对称轴为， ∴， ∴，故①正确； ∵由图象可知二次函数与轴的交点为， ∴二次函数与轴的交点为， ∴，故②错误； ∵由图象可知二次函数的开口向上，对称轴在轴的右侧， ∴，， 又∵， ∴，故③正确； ∵将点和代入， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， ∵当时，， ∴图象上当时，函数顶点的坐标为， ∴将图象向上平移个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示： ∴此时，直线与函数图像有个交点，故④正确， 综上：正确的有①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式、系数与图象的关系、待定系数法求二次函数的表达式等是解答本题的关键． 【变式16-1】（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D ①求抛物线的解析式； ②求△ABD的面积． （2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②． ①直接写出图像M所对应的函数解析式； ②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围． 【答案】（1）①；②8；（2）① ；②或 【分析】（1）①用待定系数法即可求解； ②当−（x−1）2＋4＝0时，解得 x1＝−1，x2＝3．则AB＝3−（−1）＝4，进而求解； （2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4，进而求解； ②观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）①把C（0，3）代入y＝−（x−1）2＋k，得3＝−（0−1）2＋k， 解得 k＝4． ∴y＝−（x−1）2＋4； ②由y＝−（x−1）2＋4．可知顶点D（1，4）． 当−（x−1）2＋4＝0时， 解得 x1＝−1，x2＝3． ∴A（−1，0），B（3，0）． ∴AB＝3−（−1）＝4． ∴S＝×4×4＝8； （2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4， ∴； ②从函数图象看，M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围为：x＜−1或0＜x＜1． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【变式16-2】已知抛物线如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是 _____． 【答案】 【分析】先求出翻折部分的解析式，再根据图象确定直线与图象恰有四个公共点时m的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 令，则， 解得：，， ∴，， 根据翻折变换，关于x轴的对称点为， ∴曲线所对应的函数解析式为， 当直线与图象2恰有四个公共点时，如图所示： ①当直线与x轴重合，即时与图象②有两个公共点， 所以当时与图象②有四个公共点； ②当时，直线与有三个公共点， 所以当时，直线与新图象有四个交点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出图象，找出新图象与直线有四个不同公共点的条件是解题的关键． 【变式16-3】如图，二次函数的图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)将一次函数的图象向下平移a个单位长度，与二次函数的图象总有交点，求a的取值范围； (3)过点作y轴的垂线，以为对称轴将二次函数的图象位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）平移后直线的表达式为：联立①②并整理得：，则，即可求解； （3）若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，则点在y轴的负半轴，点在x轴的上方，进而求解． 【详解】（1）把代入， 得：， 解得：， 故二次函数的解析式为：①； （2）平移后直线的表达式为：②， 联立①②并整理得：， 依题意得：， 解得：； （3）如图，设原抛物线交y轴于点，抛物线的顶点为， 根据图象折叠的对称性，则点N在和中垂线上， 设 由中点坐标公式得， 解得， ∴点， 同理可得，点， 若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，则点在y轴的负半轴，点D′在x轴的上方， 即且， 解得：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，函数图象的折叠、一次函数的基本性质、解不等式等，解题的关键是数形结合思想的应用． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 直线与抛物线交点个数问题 是二次函数模块中考察方程与函数结合思想的典型题型，解题的核心思路是将几何交点问题转化为代数方程根的个数问题：将直线解析式与抛物线解析式联立，消去y后整理得到关于x的一元二次方程，再通过根的判别式即可直接判断交点个数：当判别式大于零时，直线与抛物线有两个不同的公共点；当判别式等于零时，直线与抛物线有且只有一个公共点，此时直线与抛物线相切；当判别式小于零时，直线与抛物线没有公共点。若涉及抛物线翻折、分段抛物线这类新定义问题，除利用判别式判断外，还需要结合图象的范围，找到临界交点位置对应的参数值，最终确定满足条件的参数取值范围，这类问题也是中考二次函数压轴题的常见考法。 【典例16】已知直线与函数的图象至少个交点，则取值范围是__________. 【答案】 【分析】画出图像即可求解． 【详解】解：根据描点法画出图像，如图所示， 若直线与函数的图象至少个交点， 由图像可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两个函数图像的交点问题，数形结合是解题关键． 【变式16-1】下表记录了二次函数中两个变量与的5组对应值，其中． … 1 3 … … 0 2 0 … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（    ） . A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点，利用交点式得到，从而得到二次函数表达式为，根据当时，直线与该二次函数图像有两个公共点，可得． 【详解】解：由可得抛物线对称轴， 又由以及对称轴可得， ，则设抛物线交点式为， 与对比可得，解得， 二次函数表达式为， 当时，； 当时，； 当时，， ，当时，直线与该二次函数图像有两个公共点， ， 故选：C 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键． 【变式16-2】已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____． 【答案】17 【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17． 【详解】解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15； 当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3， 整理得x2-（10+k）x+36=0， ∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去）， ∴k的最大值是15，最小值是2， ∴k的最大值与最小值的和为15+2=17． 故答案为：17． 【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最小值是解题的关键． 【变式16-3】已知直线与抛物线有一个公共点，且． （1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； （2）说明直线与抛物线有两个交点． 【答案】（1），；（2）证明见详解． 【分析】（1）把点坐标代入抛物线解析式可得到与的关系，可用表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标； （2）由直线解析式可先求得的值，联立直线与抛物线解析式，消去，可得到关于的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可； 【详解】解：（1）抛物线过点， ，即， ， 抛物线顶点的坐标为，； （2）直线经过点， ，解得， ∴直线的解析式是 联立直线与抛物线解析式，即有： 可得 △， 由（1）知，且， ， △， 方程有两个不相等的实数根， 直线与抛物线有两个交点； 【点睛】本题考查的是二次函数的顶点式，根的判别式，一元二次方程等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 【压轴二】二次函数中的新定义问题 新定义问题是近年各地中考二次函数压轴题中十分热门的创新题型，这类问题会在已有二次函数知识的基础上，给出全新的概念、规则或约束条件，比如定义“友好点”“伴随抛物线”“对称割线”等新术语，要求考生结合已掌握的二次函数图象与性质知识，完成阅读理解、知识迁移与推理计算，重点考察学生的审题分析能力、知识转化能力与数形结合思想的应用。 解决这类问题的核心步骤可总结为三步：首先是认真读题，准确拆解新定义的含义，将陌生的新规则转化为我们熟悉的二次函数交点、最值、参数范围等常规问题；其次是结合图象梳理条件，找到满足新定义要求的临界位置；最后结合二次函数的性质分类讨论，计算得到最终的参数范围或结果。这类问题往往分层设问，前一问的结论也常常会为后一问的解答提供铺垫，解题时要注意把握前后设问的逻辑关联，逐步推导即可。 【典例17】．定义：同时经过x轴上两点，的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线：与抛物线：是都经过，的同弦抛物线． (1)任意写出一条抛物线的同弦抛物线． (2)已知抛物线是的同弦抛物线，且过点，求抛物线对应函数的最大值或最小值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)最小值为 【分析】（1）根据同弦抛物线的定义即可得； （2）先根据同弦抛物线的定义可设抛物线的解析式为（且），将点代入可求出的值，再根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：抛物线与抛物线：为同弦抛物线， 抛物线的函数解析式为． （2）解：由题意可设抛物线的解析式为（且）， 将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，抛物线对应函数取得最小值，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，读懂同弦抛物线的定义，并熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【变式17-1】【新定义】函数的“向心值”：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值” ． 【问题解决】抛物线与直线的“向心值”为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】先判断抛物线与直线得图象哪个在上方，再构建出新的二次函数求最小值即可． 【详解】 ∵抛物线开口向上， ∴根据图象可知，抛物线在直线上方， 如图在抛物线上任取一点P，作轴，交直线于点Q， 令，则， ∴， ∴当时，值最小，最小值为； 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质及新定义等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 【变式17-2】定义：若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”． 分类一：若二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”． (1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”） (2)试求出的“反顶伴侣二次函数”． (3)若二次函数与互为“反顶伴侣二次函数”，试探究与的关系，并说明理由． (4)分类二：若二次函数可以绕点M旋转180°得到二次函数；，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”． ①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”） ②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？ ③如图，，互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数，的顶点有什么关系．并说明理由． 【答案】(1)假 (2) (3)见解析 (4)①真；②见解析；③见解析 【分析】（1）根据题意举反例验证求解即可； （2），则“反顶伴侣二次函数”为，再将（2，1）代入求出a值，即可得出解析式； （3）根据题意，分别表示出过顶点坐标的函数解析式，进行相加化简即可得出结果； （4）①由旋转的性质，找到对称中心M，可知对于任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”； ②利用A，B坐标求出中点M的坐标，进而得出结论； ③根据矩形的性质和平行的性质，得出AB∥y轴，进而得出A，B点的坐标均为（h，h），最后得出结论． 【详解】（1）解：令的顶点坐标A为（1，4），开口向上，则的顶点坐标B为（4，1）， 此时C1不经过B（4，1）， ∴所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是假命题． 故答案为：假． （2）解：，则“反顶伴侣二次函数”为， 由题意，得将（2，1）代入，得 ， 解得a=-1， ∴的“反顶伴侣二次函数”为． （3）解：∵二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A， ∴①， ②， ①+②，得， 当h=k时，与任意非零实数； 当h≠k时，=0． （4）解：①如图 ∵A，B的中点为M， ∴对称中心为M， ∴任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”． 故答案为：真； ②∵M为A，B的中点， ∴M的坐标为， 即M在直线y=x上． ③解：∵轴，四边形EFQG为矩形， ∴AB∥y轴， ∴h=k， 即A，B的坐标均为（h，h）， ∴A，B两点重合在直线y=x上． 【点睛】本题考查二次函数的性质，以及矩形的性质，读懂题意，理解新定义是解决问题的关键． 【变式17-3】我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小王同学画出了“鹊桥”函数的图像（如图所示），下列结论错误的是（    ） A．图像具有对称性，对称轴是直线 B．当时，函数有最大值是4 C．当或时，函数有最小值是0 D．当或时，函数值随值的增大而减小 【答案】B 【分析】观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可． 【详解】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，故A正确，不符合题意； 令可得， ∴， ∴， ∴和是函数图象与x轴的交点坐标， 由图象可知，当时，函数值随x的减小而增大，当时，函数值shi随x的增大而增大， 由图象可知和是函数图象的最低点，则当或时，函数最小值是0，故C正确，不符合题意； 综合来看：， 故当时的函数值4并非最大值，故B错误，符合题意； ∵对称轴是直线， ∴当或时，函数值y随x值的增大而减小，故D正确，不符合题意； 综上，只有B错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数在新定义函数中的应用等知识，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.二次函数（）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … 下列说法正确的是（   ） A．抛物线G的开口向下 B．抛物线G的对称轴是直线 C．抛物线G与y轴的交点坐标为(0，4) D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】由表格信息，及二次函数图象的对称性可得抛物线的对称轴，及与x、y轴的交点，继而判断抛物线的开口方向及增减性． 【详解】由表中数据可得，抛物线与y轴交点为：，故C正确； x轴的交点坐标为：，因此可得抛物线的对称轴为，故B错误； 由上可知，抛物线开口向上，故A错误； 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．已知点在二次函数的图象上，二次函数图象与y轴的交点在正半轴，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，然后利用抛物线的对称性和增减性即可得出答案． 【详解】解：∵，二次函数图象与y轴的交点在正半轴， ∴， ∴， ∴图象的开口向下，对称轴是直线， ∴关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 3.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴相交于点C，将该二次函数图象向右平移m个单位长度后，也经过点C，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先表示出C的坐标，再将其代入平移后抛物线的解析式得到关于m的方程，解方程即可得答案． 【详解】解：在中，令，得， ∴， 将二次函数图象向右平移m个单位长度后所得抛物线解析式为， 把代入得：， 解得（舍去）或， 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线的平移，解题的关键是掌握“左加右减”，用含m的式子表示平移后抛物线的解析式． 4.已知二次函数（其中x是自变量），当时，y随x的增大而增大，且时，y的最大值为9，则a的值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴，再根据当时，y随x的增大而增大，即可得到a的正负情况，最后根据当时，y的最大值为9和二次函数的性质，可以求得a的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为（其中x是自变量），， ∴该函数的对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴离对称轴越远函数值越大， 又∵当时，y的最大值为9， ∴时，， 即， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5.已知二次函数（）的图象如图，分析下列六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线与x轴的公共点的个数可得到；由抛物线开口向下得，根据对称轴在y轴的左侧，得a，b同号，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得；由抛物线的对称轴为直线得，因为当，所以． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故①错误； ∵对称轴在y轴的左侧， ∴a，b同号， ∴，故②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，③正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故④正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，故⑤错误； 当，所以，故⑥正确； 综上所述：正确的有②③④⑥， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．熟练掌握二次函数（）系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与坐标轴交点的关系是解题关键.． 二 填空题 6.二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】将一般式配方化成顶点式即可得出结果． 【详解】， 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的顶点式，熟练将二次函数一般式化为顶点式是解题关键． 7.已知二次函数的最小值为，这个函数的图象经过点，且对称轴为，则这个二次函数的表达式为 _____． 【答案】 【分析】先根据二次函数的性质得到顶点坐标，设顶点式，然后将代入求解得到，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的最小值为，对称轴为， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 函数的图象经过点， ， ， 抛物线解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，根据给定条件选择恰当的方法求解析式是解题关键． 8.二次函数（a为常数）的图象经过点、、．若，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为直线，且开口向上，再由，可得点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上， ∵， ∴点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离是解题的关键． 9.在二次函数的图象上有，两点，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意易得二次函数的对称轴为直线，由，可知在对称轴的右侧，且满足，进而可知y随x的增大而减小，然后问题可求解． 【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线， ∵点，在该二次函数的图象上，且在对称轴的右侧， ∴由可知当时，y随x的增大而减小， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 10.二次函数，当时，y的取值范围为____________． 【答案】/ 【分析】先把函数化成顶点式 ，求出二次函数的最小值，再求出当和对应的y值，确定最大值，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴当时，y有最小值， 当时，； 当时，； ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当和对应的y值是解此题的关键． 三解答题 11.已知二次函数的图象经过和两点，与y轴交于求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】设该二次函数的解析式为，将点、、代入求出a、b、c的值，即可得出该二次函数的解析式． 【详解】解：设该二次函数的解析式为， 把、、代入得： ，解得：， ∴ 二次函数的解析式为． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． 12.已知某二次函数，当时，y有最大值为5，且它的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点在该抛物线上，试比较、的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)设这函数解析式为，把点代入解析式求出即可； (2)分别求出、的值比较大小． 【详解】（1）设这个函数解析式为 把点代入，，解得， ∴这个函数解析式是； （2）由（1）知，， ∴，， 则． 【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特点，待定系数法求二次函数函数解析式，巧设函数关系式是解题的关键 13.把抛物线：先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线． (1)动点能否在抛物线上？请说明理由． (2)若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)不在，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解； （2）根据二次函数的增减性即可判断． 【详解】（1）， 把抛物线：先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线：，即， 抛物线的函数关系式为：． 动点不在抛物线上，理由如下： 抛物线的函数关系式为：， 函数的最小值为， ， 动点不在抛物线上； （2）∵抛物线的函数关系式为：， ∴对称轴为， ∵二次项系数为， ∴图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点，都在抛物线上，且， ∴． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答；也考查函数图象的平移的规律． 14.二次函数图象上部分点的横坐杯x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 … y … 5 0 m … (1)写出m的值； (2)求用此二次函数解析式； (3)在图中画出这个二次函数的图象； (4)时，x的取值范围是； (5)当时，y的取值范围是． 【答案】(1)0 (2) (3)见解析 (4)或 (5) 【分析】（1）先确定出对称轴，根据抛物线的对称性即可求得； （2）设函数的解析式为，再把点代入，即可求解； （3）根据二次函数图象的画法作出图象即可； （4）根据抛物线的对称性，关于直线的对称点是，根据图象即可求得结论， （5）根据函数图象，写y的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图表可知抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于直线x=-1的对称点是， ∴， 故答案为0； （2）解：根据题意可设函数的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴函数的解析式为； （3）解：函数图象如图所示； （4）解：∵关于直线的对称点是， 由图象得当时，x的取值范围是或， 故答案为或； （5）解：由图象得当时，y的取值范围是， 故答案为． 【点睛】此题考查二次函数的图象，二次函数的性质，解题关键在于数形结合． 15.如图，已知点C为二次函数的顶点，点为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图像于点A，B（点A在点B的左侧）.点M在射线上，且满足.过点M作交抛物线于点N，记点N的纵坐标为. (1)求顶点C的坐标. (2)①若，求MB的值. ②当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将二次函数解析式化成顶点式即可解答； （2）①当时，令，，解得，，即点的横坐标为，即可求得，再根据可得，最后根据即可解答；②由题意可得，即，然后再根据二次函数的性质求得最大值和最小值即可解答. 【详解】（1）解：， 顶点的坐标为. （2）解：①当时，令，，解得，，即点的横坐标为 ∴， ∵ ∴ ∴. ②， . 当时，的最小值为. 当时，的最大值为6. . 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键. 16.在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）． (1)求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）； (2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线的距离为1，求出的取值范围； (3)如果点，都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将一般式配方转化为顶点式即可． （2）当抛物线与直线有两个交点且与直线无交点时满足题意，代入式子求出范围即可． （3）求出对称轴，将，两点的位置分类讨论，求出范围即可． 【详解】（1）解∵， ∴抛物线顶点坐标为． （2）解：∵抛物线开口向下， ∴当抛物线与直线有两个交点且与直线无交点时满足题意， ∵抛物线顶点坐标为， ∴， 解得． （3）解：∵抛物线的顶点在第四象限， ∴， 解得， ∵抛物线开口向下， ∴时，随增大而增大， ∴点，在对称轴右侧时，满足题意，即， 当点在对称轴左侧时，设点关于对称轴对称点坐标为， ∴点在右侧时，满足题意，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相关知识点有：解一元一次不等式，熟练运用二次函数的性质是解题关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $