1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(第2课时)空间中直线、平面的平行同步练-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础巩固-更上层楼-探究发现”三层设计，以空间向量应用为核心，从单一关系判断到复杂几何体综合探究，构建梯度化知识巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|线线/线面/面面平行垂直判断、简单证明|10题选择填空+2道基础证明，强化向量运算与位置关系判定| |更上层楼|复杂几何体线面关系、存在性问题|4题含多选与探究题，提升空间想象与逻辑推理| |探究发现|中点线面关系综合应用|1道填空题，需构建向量模型探究点位置，发展创新意识|

课时作业(八) 1．若空间中四点A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的关系为(　　) A．平行　　　　　　　　 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 答案　A 解析　直线AB与CD对应的方向向量分别为＝(－2，－2，2)，＝(1，1，－1)，所以＝－2，所以∥.连接AC，同理可得，不共线，所以AB∥CD. 2．已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　) A．－ B．－6 C．6 D. 答案　C 解析　因为α∥β，故可得法向量(2，3，－1)与法向量(4，λ，－2)共线，易知λ≠0，故可得＝＝，解得λ＝6. 3．已知直线l的一个方向向量为m＝(－4，2，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－1，x)，若l∥平面α，则x＝(　　) A．－5 B．5 C．－1 D．1 答案　B 解析　因为l∥平面α，则m⊥n，所以m·n＝－8－2＋2x＝2x－10＝0，解得x＝5. 4．已知平面α的一个法向量是a＝，b＝(－1，2，1)，c＝，且b，c都与α平行，则a等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵a是平面α的法向量，b，c都与α平行，∴a与b，c都垂直，∴即解得∴a＝. 5．【多选题】已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，且α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　) A．(4，2，－2) B．(2，0，4) C．(－2，1，－1) D．(4，－2，2) 答案　CD 解析　平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，设平面β的法向量为(x，y，z)，则(2，－1，1)＝λ(x，y，z)，λ≠0，对比四个选项可知，C、D符合要求． 6．【多选题】已知平面α与平面β平行，若n＝(2，－4，8)是平面β的一个法向量，则平面α的法向量可能为(　　) A．(－1，2，－4) B．(－1，2，4) C．(2，4，－8) D．(－2，4，－8) 答案　AD 解析　因为平面α与平面β平行，且n＝(2，－4，8)是平面β的一个法向量，则平面α的法向量与n平行，因为(－1，2，－4)＝－n，(－2，4，－8)＝－n，向量(－1，2，4)，(2，4，－8)与向量n不共线，所以A、D中的向量可以作为平面α的法向量． 7．若两条直线的方向向量分别是a＝(2，4，－5)，b＝(－6，x，y)，且两条直线平行，则x＝________，y＝________． 答案　－12　15 解析　因为两条直线平行，且两条直线的方向向量分别是a＝(2，4，－5)，b＝(－6，x，y)，所以a∥b.所以存在λ∈R，使b＝λa，则(－6，x，y)＝λ(2，4，－5)，所以解得 8．已知α，β为两个不重合的平面，设平面α与向量a＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b＝(－2，4，－8)垂直，则平面α与β的位置关系是________． 答案　平行 解析　由题意知，向量a与向量b分别是平面α与平面β的法向量，且b＝2a，∴a∥b，∴α∥β. 9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：C1F∥平面ABE. 证明　如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设BC＝a，AB＝b，BB1＝c， 则B(0，0，0)，A(0，b，0)，C1(a，0，c)，F，E. 所以＝(0，－b，0)，＝. 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝2，则y＝0，z＝－，即n＝. 又＝，所以n·＝0， 又C1F⊄平面ABE， 所以C1F∥平面ABE. 10.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点． 求证：平面AA1D1D∥平面FCC1. 证明　因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点， 所以BF＝BC＝CF， 所以△BCF为正三角形， 因为四边形ABCD为等腰梯形，所以∠BAD＝∠ABC＝60°. 取AF的中点M，连接DM， 则DM⊥AB，所以DM⊥CD. 以D为原点，DM，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(，－1，0)，F(，1，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)， 所以＝(0，0，2)，＝(，－1，0)，＝(，－1，0)，＝(0，0，2)， 所以∥，∥， ∵D∉CC1，D∉CF，∴DD1∥CC1，DA∥CF， 又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA⊂平面AA1D1D，CC1，CF⊂平面FCC1， 所以平面AA1D1D∥平面FCC1. 11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 答案　B 解析　根据题意建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2)，B(2，0，2)，∴M(2，1，1)，N(1，1，2)，∴＝(－1，0，1)．又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0，1，0)，∴·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴⊥n，又∵MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C. 12.【多选题】已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝1，E是PB的中点，F是PC的中点．建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　) A．平面ADE的一个法向量是(0，－1，1) B．直线AE∥平面PCD C．直线FE∥平面PAD D．直线DF∥平面PAB 答案　AC 解析　因为D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，E，F，所以＝(1，0，0)，＝.设平面ADE的法向量n＝(x，y，z)，则⊥n，⊥n，所以令z＝1，得y＝－1，x＝0，所以n＝(0，－1，1)，A正确．易知PD⊥AD，AD⊥CD，又PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD，所以平面PCD的一个法向量为＝(1，0，0)．又因为＝，·＝－≠0，所以与不垂直，即AE与平面PCD不平行，B不正确．易知平面PAD的一个法向量为＝(0，1，0)，又＝，·＝0，所以⊥，又FE⊄平面PAD，所以直线FE∥平面PAD，C正确．设平面PAB的法向量m＝(x1，y1，z1)，由＝(0，1，0)，＝(1，0，－1)，得令x1＝1，得m＝(1，0，1)．又＝，所以·m＝≠0，所以直线DF与平面PAB不平行，D不正确． 13.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________． 答案　 解析　如图，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝a，AP＝b，a>0，0≤b≤1， 则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，b)，B1(a，0，1)，E. 于是＝(a，0，1)，＝，＝(0，－1，b)． 方法一：设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)，则得取x＝2，得y＝－a，z＝－2a，∴n＝(2，－a，－2a)是平面B1AE的一个法向量．∵DP∥平面B1AE，∴·n＝a－2ab＝0，解得b＝，即AP＝. 方法二：∵DP∥平面B1AE， ∴存在实数λ，μ，使＝λ＋μ， 即(0，－1，b)＝λ(a，0，1)＋μ＝. ∴∴b＝λ＝，即AP＝. 14.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD. 解析　因为PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，所以建立空间直角坐标系如图， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，F(1，1，0)，D(0，2，0)． 设P(0，0，t)(t＞0)，所以＝(1，1，－t)，＝(1，－1，0)， 设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)， 由得 令z＝1，解得x＝y＝，所以n＝. 设点G的坐标为(0，0，m)(0＜m≤t)，连接EG， 又E， 则＝. 要使EG∥平面PFD，只需·n＝0， 即×＋0×＋m×1＝0，即m－＝0， 解得m＝t，所以满足AG＝AP的点G即为所求． 15.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA＝AB＝2，若OG∥平面EFC，则AG＝________． 答案　 解析　如图所示，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，O(1，1，0)， 则F(1，0，1)，E(0，1，1)， 所以＝(1，2，－1)，＝(－1，1，0)， 设平面EFC的法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒令x＝1，则可得一个法向量为n＝(1，1，3)． 因为OG∥平面EFG，则n·＝0， 设G(0，0，a)(0≤a≤2)，则＝(－1，－1，a)，所以－1－1＋3a＝0， 解得a＝，所以G，即AG＝. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业(八) 1．若空间中四点A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的关系为(　　) A．平行　　　　　　　　 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 2．已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　) A．－ B．－6 C．6 D. 3．已知直线l的一个方向向量为m＝(－4，2，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－1，x)，若l∥平面α，则x＝(　　) A．－5 B．5 C．－1 D．1 4．已知平面α的一个法向量是a＝，b＝(－1，2，1)，c＝，且b，c都与α平行，则a等于(　　) A. B. C. D. 5．【多选题】已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，且α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　) A．(4，2，－2) B．(2，0，4) C．(－2，1，－1) D．(4，－2，2) 6．【多选题】已知平面α与平面β平行，若n＝(2，－4，8)是平面β的一个法向量，则平面α的法向量可能为(　　) A．(－1，2，－4) B．(－1，2，4) C．(2，4，－8) D．(－2，4，－8) 7．若两条直线的方向向量分别是a＝(2，4，－5)，b＝(－6，x，y)，且两条直线平行，则x＝________，y＝________． 8．已知α，β为两个不重合的平面，设平面α与向量a＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b＝(－2，4，－8)垂直，则平面α与β的位置关系是________． 9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：C1F∥平面ABE. 10.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点． 求证：平面AA1D1D∥平面FCC1. 11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 12.【多选题】已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝1，E是PB的中点，F是PC的中点．建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　) A．平面ADE的一个法向量是(0，－1，1) B．直线AE∥平面PCD C．直线FE∥平面PAD D．直线DF∥平面PAB 13.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________． 14.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD. 15.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA＝AB＝2，若OG∥平面EFC，则AG＝________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $