1.4.1 第二课时 空间中直线、平面的平行 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练聚焦空间中直线、平面平行，通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|法向量平行、线面平行判定等单一知识点|选择填空为主，如法向量坐标运算（题1）、线面平行方向向量判断（题2）| |综合运用|多线面平行关系、向量法证明等综合考点|多选与证明结合，如正方体中面面平行判定（题12、14）| |拓展提高|折叠问题、存在性问题等复杂情境|解答题为主，需空间想象与推理，如探究点位置使面面平行（题16）|

第二课时　空间中直线、平面的平行 一、基础巩固 1.已知平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于(　　) A.2 B.-4 C.4 D.-2 2.若直线l的一个方向向量为a=(2,5,7),平面α的一个法向量为u=(1,1,-1),则(　　) A.l∥α或l⊂α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α斜交 3.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是(　　) A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 4.已知两平行直线的方向向量分别为a=(4-2m,m-1,m-1),b=(4,2-2m,2-2m),则实数m的值为(　　) A.1 　　　B.3 C.1或3 　　　D.以上答案都不正确 5.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 6.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,若AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为(　　) A.(1,1,1) B. C. D. 7.(多选)已知空间中两条不同的直线l,m,两个不同的平面α,β,则下列说法中正确的是(　　) A.若直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为b=(2,-2,4),则l∥m B.若直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l∥α C.若平面 α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β D.若平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t= 8.若两不重合平面α,β的法向量分别为u=(2,-3,5),ν=,则α与β的位置关系是　　　.  9.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n=(2,2,4),若a=(-1,-1,1),则直线l与平面α的位置关系为　　　　.  10.若平面α的法向量为u=(-1,2,4),平面β的法向量为v=(m,-1,-2),直线l的方向向量为t=(n,-2,-4),若α∥β,则m=　　　　,若l∥α,则n=　　　　.  11.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点M,N分别是面对角线A'B与面对角线A'C'的中点.求证:MN∥侧面AD';MN∥AD',并且MN=AD'. 二、综合运用 12.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M均是所在棱的中点,则下列说法正确的是(　　) A.B1G∥DM B.B1G∥平面A1EF C.平面BDM∥平面A1EF D.B1G∥A1F 13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1,O2分别是正方形BCC1B1、正方形DCC1D1的中心,则O1O2与B1D1的位置关系是　　　　　　.  14.如图所示,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D是AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD.试用向量方法证明AP∥平面EFG. 三、拓展提高 15.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点,点P在棱AA1上,且DP∥平面B1AE,则AP的长为　　　　.  16.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO? 第二课时　空间中直线、平面的平行 一、基础巩固 1.已知平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于(　　) A.2 B.-4 C.4 D.-2 答案　C 解析　因为α∥β,所以==, 所以k=4. 2.若直线l的一个方向向量为a=(2,5,7),平面α的一个法向量为u=(1,1,-1),则(　　) A.l∥α或l⊂α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α斜交 答案　A 解析　由条件知a·u=2×1+5×1+7×(-1)=0,所以a⊥u,故l∥α或l⊂α.故选A. 3.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是(　　) A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 答案　B 解析　由题意得,=(-3,-3,3),=(1,1,-1),∴=-3,∴与共线, 又AB与CD没有公共点, ∴AB∥CD. 4.已知两平行直线的方向向量分别为a=(4-2m,m-1,m-1),b=(4,2-2m,2-2m),则实数m的值为(　　) A.1 　　　B.3 C.1或3 　　　D.以上答案都不正确 答案　C 解析　由题意知a∥b. 因为b=(4,2-2m,2-2m)≠0, 所以“a∥b的充要条件是a=λb”, 即显然m=1符合题意, 当m≠1时,由m-1=λ(2-2m),得λ=-, 代入4-2m=4λ,得m=3. 综上,m的值为1或3. 5.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 答案　B 解析　如图,分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系. 因为A1M=AN=a, 所以M,N, 所以=. 又C1(0,0,0),D1(0,a,0), 所以=(0,a,0),所以·=0, 所以⊥. 因为是平面BB1C1C的一个法向量,且MN⊄平面BB1C1C, 所以MN∥平面BB1C1C. 6.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,若AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为(　　) A.(1,1,1) B. C. D. 答案　C 解析　由已知得A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1). 设M(x,x,1),则=(x-,x-,1),=(,-,0),=(0,-,1). 设平面BDE的法向量为n=(a,b,c), 则即 所以 取b=1,则n=(1,1,). 又AM∥平面BDE,所以n·=0, 即2(x-)+=0,得x=, 所以M. 故选C. 7.(多选)已知空间中两条不同的直线l,m,两个不同的平面α,β,则下列说法中正确的是(　　) A.若直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为b=(2,-2,4),则l∥m B.若直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l∥α C.若平面 α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β D.若平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t= 答案　AD 解析　对于A,b=2a,则a∥b, ∴l∥m,故A中说法正确; 对于B,a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0, 则a⊥n,∴l∥α或l⊂α,故B中说法错误; 对于C,若n1=λn2(λ≠0), 则(0,1,3)=λ(1,0,2), 得此方程组无解, ∴α∥β不成立,故C中说法错误; 对于D,=(-1,-1,1),=(-1,3,0), ∵n=(1,u,t)是平面α的法向量, ∴ 解得 ∴u+t=,故D中说法正确.故选A,D. 8.若两不重合平面α,β的法向量分别为u=(2,-3,5),ν=,则α与β的位置关系是　　　.  答案　平行 解析　∵u=-2ν,∴α与β平行. 9.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n=(2,2,4),若a=(-1,-1,1),则直线l与平面α的位置关系为　　　　.  答案　l∥α或l⊂α 解析　当a=(-1,-1,1)时, a·n=(-1,-1,1)·(2,2,4)=0, 则l∥α或l⊂α. 10.若平面α的法向量为u=(-1,2,4),平面β的法向量为v=(m,-1,-2),直线l的方向向量为t=(n,-2,-4),若α∥β,则m=　　　　,若l∥α,则n=　　　　.  答案　　-20 解析　由α∥β,得u∥v, 则==,解得m=; 由l∥α,得t⊥u,即t·u=-n-4-16=0,得n=-20. 11.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点M,N分别是面对角线A'B与面对角线A'C'的中点.求证:MN∥侧面AD';MN∥AD',并且MN=AD'. 证明　设=a,=b,=c, 则=(a+c),=c+(a+b), 所以=-=(b+c), 即与b,c共面. 因为MN不在平面AD'内, 所以MN∥平面AD'. 又因为b+c=, 所以=, 所以MN∥AD',MN=AD'. 二、综合运用 12.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M均是所在棱的中点,则下列说法正确的是(　　) A.B1G∥DM B.B1G∥平面A1EF C.平面BDM∥平面A1EF D.B1G∥A1F 答案　ABC 解析　以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图, 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 则D(0,0,0),G(0,1,0),M(2,1,2),E(2,1,0),F(1,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2), 所以=(-2,-1,-2),=(2,1,2), 所以=-,即∥, 即B1G∥DM,故A正确; 又=(0,1,-2),=(-1,0,-2), 设平面A1EF的法向量为n=(x,y,z),则 即 令z=1,则x=-2,y=2,所以n=(-2,2,1), 所以n·=(-2)×(-2)+2×(-1)+1×(-2)=0,即n⊥, 又B1G⊄平面A1EF, 所以B1G∥平面A1EF,故B正确; 又=(2,1,2),=(2,2,0), 设平面BDM的法向量为m=(x1,y1,z1), 则即 令x1=2,则y1=-2,z1=-1, 所以m=(2,-2,-1), 所以n=-m,即n∥m, 所以平面BDM∥平面A1EF,故C正确; 因为=(-2,-1,-2), =(-1,0,-2), 所以B1G和A1F不平行,故D错误. 13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1,O2分别是正方形BCC1B1、正方形DCC1D1的中心,则O1O2与B1D1的位置关系是　　　　　　.  答案　平行 解析　如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz, 设正方体的棱长为1,则 O1,O2,B1(1,1,1), D1(0,0,1),则=, =(-1,-1,0), ∴=2,∥, ∴O1O2∥B1D1. 14.如图所示,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D是AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD.试用向量方法证明AP∥平面EFG. 证明　如图,以D为原点,以DA,DC,DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz, 则有关点及向量的坐标为: P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0), =(-2,0,2),=(0,-1,0),=(1,1,-1). 设平面EFG的法向量为n=(x,y,z), ∴即 ∴令x=1,则z=1,∴n=(1,0,1). ∵n·=1×(-2)+0×0+1×2=0, ∴n⊥. 又AP⊄平面EFG,∴AP∥平面EFG. 三、拓展提高 15.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点,点P在棱AA1上,且DP∥平面B1AE,则AP的长为　　　　.  答案　 解析　如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. 设AB=a,AP=b, 则A(0,0,0),D(0,1,0). P(0,0,b),B1(a,0,1),E. 于是=(a,0,1),=, =(0,-1,b). 法一　设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z), 则得取x=2, 得y=-a,z=-2a, ∴n=(2,-a,-2a)是平面B1AE的一个法向量. ∵DP∥平面B1AE, ∴·n=a-2ab=0,解得b=,即AP=. 法二　∵DP∥平面B1AE,∴存在实数λ,μ, 使=λ+μ, 即(0,-1,b)=λ(a,0,1)+μ=. ∴∴b=λ=,即AP=. 16.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO? 解　如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q. 设正方体的棱长为1, 则O,P,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1), 则Q(0,1,m)(0≤m≤1). 法一　因为=, =(-1,-1,1),则=, 所以∥,于是OP∥BD1. =,=(-1,0,m), 当m=时,=,即AP∥BQ, 有平面PAO∥平面D1BQ, 故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. 法二　=,=, 设平面PAO的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则有n1⊥,n1⊥, 因此 取x1=1,则n1=(1,1,2). 又因为=(-1,-1,1), =(0,-1,1-m), 设平面D1BQ的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则有n2⊥,n2⊥, 因此 取z2=1,则n2=(m,1-m,1). 要使平面D1BQ∥平面PAO,需满足n1∥n2, 因此==, 解得m=,这时Q. 故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. 学科网（北京）股份有限公司 $