第二章一元二次函数、方程和不等式单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一上数学人教A版必修一不等式与集合单元卷，适配高中试卷结构，难度分层合理（基础60%、中档30%、难题10%），覆盖基本不等式、一元二次不等式等核心知识点，注重数学思维与语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题/40分|基本不等式、一元二次不等式、逻辑用语|基础巩固，如第1-5题直接考查不等式应用| |多选|3题/18分|不等式恒成立、最值判断、集合|辨析能力，如第9题判断不等式恒成立条件| |填空|3题/15分|基本不等式、不等式恒成立|运算能力，如第12题求最值| |解答题|5题/77分|不等式解法、二次函数应用、集合综合|分层设计，如17题三问从最值到综合应用，19题结合集合与逻辑条件考查推理|

2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一单元测试卷 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 满分：150分 【注意事项】 ①.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 ②.作答前，请将姓名、班级填写在试卷指定位置。 ③.所有答案请书写规范，解答题需写出必要解题步骤。 ④.命题说明：适配普通高中试卷结构，单选8题+多选3题+填空3题+解答题5题，难度配比：基础60%、中档30%、难题10%。 1.已知，且，则的最大值为（ ） A.2 B.4 C.8 D.16 2.已知函数在时，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.一元二次不等式的解集为，则满足（ ） A. B. C. D. 4.已知，则的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知，且则的最小值是（ ） A.1 B. C.2 D.3 6.“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若不等式 对任意实数 恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题；（本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9.下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C.若，则 D. 10.下列求最值过程正确的是（ ） A.当 ，的最小值为4 B.当时，的最小值为 C.当时， 的最大值为 D.当时，无最小值 11.已知集合，，若 ，则实数的可能取值为（ ） A.1 B. C.2 D.3 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.已知，则的最小值为________。 13.若关于的不等式 恒成立，则实数的取值范围是 。 14.已知，当时，则的值为 。 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分）求下列不等式的解集。 （1） （2） 16.（14分）已知不等式。 (1) 当时不等式恒成立，求实数的取值范围； (2) 若时不等式恒成立，求实数的取值范围。 17.（15分）已知正数 满足。 （1）求 的最大值； （2）求 的最小值； （3）求的最小值。 18.（17分）已知二次函数 。 （1）若函数图像过点(2,3)，求的值； （2）若，求实数的取值范围； （3）若对任意， 恒成立，求实数的取值范围。 19.（18分）已知集合，. （1）若，求 （2）若求的取值范围。 （3）若，且“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围。 参考答案与详细解析 1.【答案】D 【解析】已知 ，由基本不等式： 当且仅当 取等号。 【考查点】考查基本不等式的运用。 2.【答案】C 【解析】已知函数的图像开口向上，在时，恒成立，即 则解得 【考查点】考查不等式的应用。 3.【答案】B 【解析】一元二次不等式 解集为，因为抛物线开口向上，且与轴无交点，即 【考查点】考查一元二次不等式的运用。 4.【答案】A 【解析】已知，则， 所以 当 时，即取等号。 【考查点】考查基本不等式的运用。 5.【答案】C 【解析】因为所以 故，，取等号。 【考查点】考查基本不等式的运用。 6.【答案】B 【解析】因为 由可以推出 ，反过来则不行，是必要不充分条件。 【考查点】考查逻辑用语的运用。 7.【答案】A 【解析】不等式 对 恒成立。 二次项系数，函数图像开口向上，函数值恒大于等于0，则要求判别式 即 则 【考查点】考查一元二次不等式的应用。 8.【答案】B 【解析】当 恒成立。 说明二次函数存在函数值小于0，开口向上，因此判别式 则 ，即。 【考查点】考查不等式的应用。 9.【答案】AC 【解析】A.，变形恒成立，正确 B.，当不成立，错误 C.，恒成立，正确 D.，，当时可以取等号，不成立。错误 【考查点】考查基本不等式的运用。 10.【答案】AC 【解析】A.，当取等，正确 B.令，是最大值-4，不是最小值，错误 C. 所以 当，最大值，正确 D.因为， 所以 存在最小值，D错误。 【考查点】考查不等式的应用。 11.【答案】BC 【解析】因为 因为则解得 综合解得 选项A.1、选项B. 、选项C.2、选项D.3，四个选项中只有和满足条件。 【考查点】考查不等式的应用。 12.【答案】2 【解析】已知 ， 所以 当且仅当 即 取等号。 【考查点】考查基本不等式的运用。 13. 【答案】 【解析】不等式 对一切实数恒成立，二次开口向上，则。即 解得：。 【考查点】考查一元二次不等式的运用。 14.【答案】 【解析】，则同号； 已知。分组得 由基本不等式得，当且仅当，即取等号； ，当且仅当 ，即取等号。 两个式子相加 ，题目等于4，只能同时取等号： 即， 所以。 若时，则，和小于0，不可能等于4，舍去。 【考查点】考查基本不等式的应用。 15.【解析】（1） 因式分解得 方程 的根分别为 二次函数图像开口向上，大于等于0取两边： 所以不等式的解集为 (2) 展开整理得 因式分解得 方程的根分别为 二次函数开口向上，小于0取两根之间： 所以不等式的解集： 【考查点】考查一元二次不等式的解法。 16.【解析】（1）当时不等式恒成立，分两种情况讨论： ① 时，不等式变为，恒成立，满足条件。 ②当时，这是一元二次不等式，要对全体实数R恒成立，需满足 即 综合①②得：实数的取值范围为 （2） 当 时，； 当时，左边，无论取何值都成立。 当，，不等式变形： 令 在 单调递增，所以，故 要 恒成立，只要大于等于它的最大值即可。 所以 验证：0恒成立。 【考查点】考查一元二次不等式的应用。 17.【解析】（1）因为 由基本不等式得，则 当x=2y时，的最大值为2 （2） 当时，即，结合可取到，所以的最小值为 （3）由条件，又 ，则 代入 这是关于二次函数，函数图像开口向上，对称轴。 当 时取得最小值，此时，满足条件。 所以的最小值为3。 【考查点】考查不等式的应用。 18.【解析】（1）若函数图像过点，把 代入函数 中 即，解得 （2）因式分解 方程 的两根：，且 。 二次函数图像开口向上，所以取两根之间，其解集为 所以实数的取值范围为 （3），函数图像开口向上，对称轴为 两根分别为。 所以的解： 或 。 要求区间全部落在或者。 情况①：，即 ； 情况②：，即。 综上所述：实数的取值范围为或 验证： 当时，两根都小于1，区间在大根右侧，； 当时，两根都大于2，区间在小根左侧，； 当时，区间会穿过两根之间，存在使，不满足。 【解析】考查一元二次不等式的综合应用。 19.【解析】集合等价于 解得 则。 集合 若，则 因为 所以 （2）若，说明A完全落在里面。 分和两种情况 ①当 此时，成立。 ② 当时则。 要使，则 解得与0矛盾，无解。 综上所述的取值范围为 （3）若，且“”是“”的必要不充分条件 必要不充分条件是指 即 ,且，所以集合一定非空。 即综合解得 检验边界： 要小于等于左端点2；右端点要大于3。 当，区间真包含于A，满足条件。 所以。 【考查点】考查不等式的综合应用。 命题双向细目表 题号 题型 分值 对应知识点 难度 预估得分率 考查层级 1 单选 5 基本不等式 基础 0.90 理解运用 2 单选 5 一元二次不等式 基础 0.85 识记理解 3 单选 5 一元二次不等式 基础 0.85 辨析判断 4 单选 5 基本不等式 基础 0.85 理解应用 5 单选 5 基本不等式 基础 0.90 基础应用 6 单选 5 不等式 基础 0.85 基础应用 7 单选 5 不等式的运用 中档 0.75 能力迁移 8 单选 5 不等式 中档 0.70 能力迁移 9 多选 6 不等式 基础 0.90 辨析判断 10 多选 6 不等式 基础 0.95 辨析判断 11 多选 6 不等式的应用 中档 0.80 能力迁移 12 填空 5 基本不等式 基础 0.90 辨析运算 13 填空 5 不等式 中档 0.80 基础运用 14 填空 5 基本不等式的运用 拔尖 0.60 综合运用 15 解答 13 一元二次不等式 基础 0.90 理解运算 16 解答 14 不等式 基础 0.85 能力迁移 17 解答 15 不等式 中档 0.70 性质综合 18 解答 17 一元二次不等式 中档 0.75 综合应用 19 解答 18 不等式 拔尖 0.55 性质综合 学科网（北京）股份有限公司 $