高中数学单元测试——第二章一元二次函数、方程和不等式（适中版01）

**基本信息** 高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式单元卷，知识覆盖全面，通过基础题、综合题及实际应用，考查数学眼光、思维与语言，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质（1）、大小比较（2）、解集求解（3-5）|基础巩固，梯度设计| |多选题|3/18|方程根分布（10）、不等式综合（9、11）|能力辨析，逻辑推理| |填空题|3/15|实际情境不等式（12）、基本不等式最值（13）|数学表达，应用意识| |解答题|5/77|二次函数综合（15、19）、不等式证明（16）、利润问题建模（17）|综合应用，数学思维与语言|

高中数学单元测试 —— 第二章 一元二次函数、方程和不等式（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 4．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 5．（本题5分）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（本题5分）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 8．（本题5分）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 11．（本题6分）已知且，则 （    ） A．的最大值为 B．的最小值为10 C．的最小值为3 D．的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）一桥头竖立的“限质量”的警示牌，是提示货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过，用不等式表示为__________. 13．（本题5分）设a，b为正数，且，则的最小值为______． 14．（本题5分）已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若对，不等式恒成立，求不等式的解集. 16．（本题15分）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 19．（本题17分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集； (3)设关于的方程有两实数根，，且满足，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 一元二次函数、方程和不等式（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，故A错误； 对于B，由，得，故B错误； 对于C，由，可得，故C错误； 对于D，由，可得，故D正确. 故选：D. 2．（本题5分）已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为， 所以． 故选：C 3．（本题5分）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】利用一元二次不等式的运算法则计算求解． 【详解】，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 4．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】解分式不等式即可. 【详解】由可得且， 解得或， 即不等式的解集为或. 故选：D. 5．（本题5分）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 6．（本题5分）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件确定，结合不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则有， 所以，即， 所以. 故选：B 7．（本题5分）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 【答案】C 【分析】由题意求出的表达式，利用基本不等式求出取得最大值时，进而代入，结合二次函数性质求解即可. 【详解】由条件正实数，，满足， 可得，所以， 当，即时，等号成立，此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值9，所以的最大值为9， 故选：C. 8．（本题5分）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，将恒成立转化为，得到的一元二次不等式求解. 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当时，即，即时，等号成立， 的最小值为 ， 恒成立，， ，，，实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断得解. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：AC 10．（本题6分）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】AB 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可判断各选项. 【详解】因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误； 故选：AB. 11．（本题6分）已知且，则 （    ） A．的最大值为 B．的最小值为10 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】AD选项，直接使用基本不等式进行求解，得到A正确；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，变形得到，由基本不等式求出答案； 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为9，故B错误； 对于C，因为且， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）一桥头竖立的“限质量”的警示牌，是提示货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过，用不等式表示为__________. 【答案】 【分析】直接根据不等式的含义进行求解即可. 【详解】因为货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过， 所以有：. 故答案为： 13．（本题5分）设a，b为正数，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】通过基本不等式“1”妙用求得最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：. 14．（本题5分）已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题为真命题进行判断，进而可得为假命题的条件. 【详解】若命题p为真命题，则，即在上恒成立， 而在上单调递减，所以，得. 所以命题p为假命题，则. 若命题q为真命题，则在上能成立， 而在上单调递减，所以，即. 所以命题q为假命题，则. 所以命题p，q均为假命题，则. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若对，不等式恒成立，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意知和是方程的两个根，结合韦达定理可求出的值； （2）由题设条件得出，求出的值，再利用分式不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【详解】（1）由题意可知，和是方程的两个根，则，解得. （2）由题意可知：，解得， 则不等式即为，所以， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 16．（本题15分）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 【答案】(1)开口向上，对称轴为 (2)或 【分析】（1）根据二次函数图象的性质求解即可； （2）由已知可得恒成立，结合二次函数的性质可得，解不等式即可． 【详解】（1），对称轴为， 的开口向上，对称轴为； （2）由恒成立， 可得恒成立， ∴，即， 解得或， 实数a的取值范围为或． 19．（本题17分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集； (3)设关于的方程有两实数根，，且满足，求的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）结合题意并利用一元二次方程根与系数的关系求解即可. （2）结合题意将原不等式化为分式不等式，再求解解集即可. （3）对目标式合理变形，再结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以，且，解得，故. （2）因为， 所以不等式，可化为，即， 而，，可得，解得且， 则不等式的解集为或. （3）由题意得关于的方程有两实数根， 则有两实数根， 所以，易知此式恒成立， 因为，由韦达定理，， 所以， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $