第四章 指数函数与对数函数 单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高一指数函数与对数函数单元卷，适配人教版必修一第四章复习，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合新能源研发资金（第7题）等现实情境与算子组合（第11题）创新设计，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题40分|指数对数运算、图像性质、大小比较|第3题图像辨析考查几何直观| |多选题|3题18分|函数性质综合判断|第10题含参数不等式培养推理能力| |填空题|3题15分|定点问题、对数运算、方程解|第14题方程解关联体现模型意识| |解答题|5题77分|单调性证明、反函数、含参方程|19题结合图像与方程唯一解，发展创新意识与运算能力|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年高一单元测试—指数函数与对数函数 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版A版必修一第四章—指数函数与对数函数 一、选择题（共40分） 1．设，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 5．（     ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．我市为促进新能源产业发展，计划逐年加大研发资金投入，若2025年全年投入研发资金1300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则我市全年投入的研发资金开始超过2000万元的年份是（     ）（参考数据：，，） A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年 8．若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，且，，，则下列不等式可能成立的是（     ） A． B． C． D． 11．利用算子以及常数可以组合出四则运算与一切初等函数．已知，设，．对于使得下列等式两边均有意义的实数，，始终成立的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题（15分） 12．函数过定点________． 13．已知，，则________．（用，表示）． 14．已知两不相等的正实数、均满足方程，则的值为________． 四、解答题（77分） 15．已知 (1)求的值； (2)若，且，求． 16．（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 17．已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 18．已知函数． (1)求证：函数在内单调递增； (2)记为函数的反函数．若关于x的方程在上有解，求m的取值范围． 19．已知函数（且）的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若有唯一实数解，求实数的取值范围； (3)记.若，，且实数，满足，求，的值. 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年高一单元测试—指数函数与对数函数 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版A版必修一第四章—指数函数与对数函数 一、选择题（共40分） 1．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 则有，所以. 2．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数、指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，，， 所以. 3．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数函数的图象性质可知，底数，则此对数函数是上的单调递增函数， 则选C正确． 4．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，结合二次函数、对数函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 5．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的幂运算性质化简计算即可. 【详解】，故C正确. 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又因为，故. 7．我市为促进新能源产业发展，计划逐年加大研发资金投入，若2025年全年投入研发资金1300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则我市全年投入的研发资金开始超过2000万元的年份是（     ）（参考数据：，，） A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年 【答案】C 【详解】设经过年，全年投入的研发资金超过2000万元， 根据题意得：，化简得：. 因为在上单调递增，不等式两边同时取常用对数得： ， 代入参考数据得： ，解得. 因为为正整数，故的最小值为4，所以对应年份为年. 8．若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可. 【详解】设， 则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得， 则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，， 因为，，， 所以，易得，，所以， 故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ． 由 ，得 若 ，则 ，从而 ，矛盾，所以 ． 由 ，得 若 ，则矛盾，所以 ． 这与 矛盾，因此 不可能出现． 二、多选题（共18分） 9．已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，选项正确； ，选项正确； ，选项错误； ，选项正确. 10．已知，且，，，则下列不等式可能成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用分类讨论，结合对数函数的性质分析判断参数的大小关系即可. 【详解】当时，对数函数在上单调递增， 由，可得， 结合，得，A不符， B 符合，C不符； 当时，对数函数在上单调递减， 由，可得， 结合，得，D符合. 11．利用算子以及常数可以组合出四则运算与一切初等函数．已知，设，．对于使得下列等式两边均有意义的实数，，始终成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将选项，，等号右侧分别代入定义展开化简，观察是否与左侧相等，即可做出判断；选项逐层拆解右侧表达式，最终化简为，与左侧不一定相等. 【详解】选项A，由题意知右式为，展开得，化简得， 即左式等于右式，故A正确； 选项B，右式为，展开得，即，化简得， 即，不一定等于左式，故B错误； 选项C，右式为，展开得，即，化简得， 即，即左式等于右式，故C正确； 选项D，右式中最内层等于即，中间层等于， 即，则最外层等于，展开得，即，不一定等于左式，故D错误． 三、填空题（15分） 12．函数过定点________． 【答案】 【分析】利用对数函数（且）的恒成立性质，即可求解. 【详解】令，解得，得， 因此函数恒过定点. 13．已知，，则________．（用，表示）． 【答案】 【分析】由对数的运算法则进行求解． 【详解】由，得， 则， 因为， 所以． 14．已知两不相等的正实数、均满足方程，则的值为________． 【答案】 【分析】设，可得出，由反函数的性质可得出函数与图象的交点必在直线上，于是得出，，进而得出，，再利用对数的运算性质化简可得答案. 【详解】设，由得， 函数与互为反函数，且均单调递增， 因此函数与图象的交点必在直线上，即，所以，． 于是，，故． 因此． 四、解答题（77分） 15．已知 (1)求的值； (2)若，且，求． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用对数的运算法则计算即可； （2）利用指数与对数的互化及运算法则计算即可. 【详解】（1） （2）设，． 因为，所以． 由换底公式得，即，所以，则． 16．（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）方法1：因为，，则，， 所以； 方法2：因为，， 则， 所以． （2）方法1：因为，，则，， 则， 所以； 方法2：由，，则，． 所以． 17．已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)2或； (2). 【分析】（1）对a分类讨论，根据单调性求出函数的最值，即可求解. （2）根据单调性，把对数不等式等价转化一次不等式求解. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 当时，， 于是，因此； 当时，函数在上单调递减， 当时，， 于是，因此， 所以a的值为2或. （2）当时，函数在上单调递增，而， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 18．已知函数． (1)求证：函数在内单调递增； (2)记为函数的反函数．若关于x的方程在上有解，求m的取值范围． 【答案】(1)任取，则， ，，，， ，即函数在内单调递增． (2) 【详解】（1）略. （2）， ， 当时，，，， 则，的取值范围是. 19．已知函数（且）的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若有唯一实数解，求实数的取值范围； (3)记.若，，且实数，满足，求，的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将已知图象所过的定点坐标直接代入，求解出对数函数的底数. （2）优先确定使原等式成立的x的定义域，随后将对数方程转化为二次方程，通过分类讨论判别式以及结合根的分布，找出使该方程在定义域内仅有一解的参数k的范围. （3）根据绝对值相等的性质并结合定义域求出m与n的关系式，将其代入已知条件构造出关于n的方程，求解后根据的限制条件即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得，则. （2）由题意得有唯一实数解， 则，，所以， 进而， 即，此时等式右边由确定恒正，故恒正， 整理得，设， ①若， 即，解得， 当时，对称轴，符合题意， 当时， 对称轴，不符合题意， ②若且在内只有一个实数根 此时区间两端点的函数值必须异号，即， ，， 则，解得， 若，此时有方程，解得或， 都不在内，故不符合题意， 若，此时有方程，解得或， 有唯一解在内，因此符合题意， 综上，的取值范围是. （3）令，则有， 即，且即， ①， 此时 所以，不满足，此种情况舍去， ②， 代入得， 因为，所以或， 代入到等式左面得，整理得， 情况1:， 此时，整理得， 解得或， 若，则，此时不满足，舍去， 若，则，此时满足， 情况2: ， 此时，整理得， 无解，故舍去， 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $