第四章 指数函数与对数函数 单元检测卷（能力卷02）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本试卷聚焦指数函数与对数函数单元核心内容，通过单选（8）、多选（3）、填空（3）、解答（5）题的梯度设计，实现基础运算与逻辑推理的综合考查，适配高一单元复习对数学思维与应用能力的培养需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|指数对数运算、函数图像、充分必要条件|第3题结合奇偶性辨析图像，考查数学眼光；第7题对数换底公式应用，强化运算能力| |多选题|3|函数性质、图像对称性|第11题对比两函数奇偶性与对称性，培养数学思维的严谨性| |填空题|3|根式化幂、对数运算、零点问题|第14题含参数二次函数零点讨论，提升分类讨论能力| |解答题|5|函数定点、零点证明、不等式求解|第16题结合函数定点与零点存在性定理，第18题反函数与不等式综合，体现数学语言表达与应用意识|

人教A版高一数学必修一第四章指数函数与对数函数单元检测 （能力卷02） 一、单选题 1．已知实数满足，则的值为（    ） A．14 B．16 C．12 D．18 2．若则（   ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知a、b均为正数，不等式成立是不等式成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．对于任意的，都有，且，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．计算log916·log881的值为（    ） A．18 B． C． D． 8．已知，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知定义在上的函数的图像如图所示.下述四个结论: （    ） A．函数的值域为 B．函数的单调递减区间为 C．函数仅有两个零点 D．存在实数满足 10．已知函数则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为. B．若为奇函数，则 C．在上单调递减 D．若，则的值域为 11．已知函数和，则下列说法中正确的有（    ） A．与的奇偶性相同 B．与在各自定义域上是增函数 C．与的图象关于直线对称 D．与的图象关于直线对称 三、填空题 12．把方根化为幂的形式：_______. 13．______. 14．已知是实数，若函数在区间上恰好有一个零点，则的取值范围______. 四、解答题 15．计算下列各式． (1)； (2)． 16．已知函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a＞0，且a≠1)，g(x)＝x－1. (1)若函数y＝f(x)的图象恒过定点A，求点A的坐标； (2)若函数F(x)＝f(x)－g(x)的图象过点，试证明函数F(x)在x∈(1,2)上有唯一零点． 17．设，已知函数. (1)若是奇函数，求的值； (2)当时，证明：. 18．已知指数函数的反函数为． (1)求函数的解析式； (2)已知函数，求不等式的解集． 19．已知函数（且）满足． (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版必修第一册第四章单元检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B D B B C B BD ABD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】由，变形代值即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2．D 【分析】根据指数对数互化和对数的运算法则. 【详解】已知， 对等式两边取以为底的对数： 化简， 即 故选：D 3．B 【分析】根据排除C，判断函数的奇偶性可排除D；再根据时，可排除A. 【详解】由，可得，排除C， 则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除D； 当时，，则，排除A，则B符合题意. 故选：B 4．D 【分析】利用对数函数定义域的求法与二次不等式化简集合，再利用充分必要条件的定义即可得解. 【详解】因为，   当时，取，则由，得，解得， 此时，此时不成立，故充分性不成立； 当时，取，由，得，解得， 此时，满足，但不成立，故必要性不成立； 综上，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5．B 【分析】当时，利用基本不等式及指数的运算性质可得是否成立，再结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以， 当时，，此时， 所以不等式成立是不等式成立的必要不充分条件. 故选：B. 6．B 【分析】应用赋值法计算判断A，C，应用 特殊函数计算判断B，多次应用已知条件计算判断D. 【详解】令，有，且，得，A成立； 令，得，C成立； 不妨设，满足，则，B不成立； ，D成立． 故选：B． 7．C 【分析】根据对数的运算性质，换底公式以及其推论即可求出． 【详解】原式＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查对数的运算性质，换底公式以及其推论的应用，属于基础题． 8．B 【分析】利用对数型复合函数的单调性分析得的单调性，从而得到在上的最值，由条件得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 所以在区间上单调递减，其最大值与最小值分别为，， 则， 即，则， 得，整理得， 令，则其图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 因为存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1， 所以存在，使得成立，即， 则，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 9．BD 【分析】直接根据图像，结合函数的值域、递减区间、零点与特殊点即可. 【详解】对A，由图，的最大值大于2，最小值小于2，故值域不为，故错误； 对B，函数的单调递减区间为，故正确； 对C，函数有三个零点，故错误； 对D，成立，故正确； 故选：BD 10．ABD 【分析】根据函数的定义域的求法，可判定A正确；根据函数的奇偶性列出方程，求得的值，可判定B正确，化简，结合指数函数的单调性，可判定C错误；化简函数，结合指数函数的值域，可判定D正确. 【详解】由题意，函数， 对于A中，由，所以函数的定义域为，所以A正确； 对于B中，由函数为奇函数，则满足，即， 所以，即， 所以B不正确； 对于C中，由， 因为函数为单调递增函数，则递增函数， 所以函数在上单调递减，所以C不正确； 对于D中，当时，可得， 因为，可得，所以， 即函数的值域为，所以D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】根据奇偶性的定义判断A；根据复合函数与对数函数的单调性求出的单调性，可判断B；根据函数图象的对称性判断CD. 【详解】令,解得，故函数的定义域为, 的定义域为, ，所以是奇函数. ,所以是奇函数， 所以与的奇偶性相同，故A正确； ， 易知在上单调递减，在定义域内单调递增，所以在上单调递减，故B错误； 设为上一点，则其关于直线对称的点为，即, 又, 所以点在上， 所以与的图象关于直线对称，故C正确； 设为上一点，则其关于直线对称的点为，即, 又. 所以点在上， 所以与的图象关于直线对称，故D正确. 故选:ACD. 12． 【分析】利用分数指数幂的意义直接化简即可作答. 【详解】. 故答案为： 13．2 【解析】根据对数的运算法则及性质运算即可. 【详解】 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了对数恒等式，对数运算法则，属于容易题. 14．或 【分析】讨论a 是否为0，当a≠0时，考虑△＝0的情况以及在[﹣1，1]上具有单调性用零点定理解决． 【详解】①当＝0时，f（x）＝2x﹣3，显然在[﹣1，1]上没有零点，所以≠0． ②当时，1°且，解得； 2°f（﹣1）•f（1）＝（﹣1）（﹣5）≤0，解得1≤≤5， 经检验＝5不满足条件， 综上，的取值范围为或. 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查了二次函数与方程之间的关系，二次函数在给定区间上的零点问题，属于中档题． 15．(1) (2)1 【分析】根据指数和对数运算规则计算即可. 【详解】（1） （2） 16．(1) 过点A(－1，－1),(2) 函数F(x)在(1,2)上有唯一零点 【详解】试题分析:(1)由对数函数恒过点(1,0)可得,令x+2=1,则,即图象恒过A(－1，－1);(2)先求出函数F(x)的解析式,根据图象恒过点，可求出a值,代回进而确定函数在(1,2)上是增函数,根据零点存在性定理可判断出零点唯一. 试题解析:(1)∵函数y＝logax的图象恒过点(1,0)， ∴函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点A(－1，－1)． (2)F(x)＝f(x)－g(x)＝loga(x＋2)－1－x－1， ∵函数F(x)的图象过点， ∴F(2)＝，即loga4－1－2－1＝， ∴a＝2. ∴F(x)＝log2(x＋2)－x－1－1. ∴函数F(x)在(1,2)上是增函数． 又∵F(1)＝log23－2＜0，F(2)＝＞0， ∴函数F(x)在(1,2)上有零点， 故函数F(x)在(1,2)上有唯一零点． 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由奇函数的性质计算即可得； （2）作差后化简及因式分解，结合及的范围即可得. 【详解】（1）由题意，对任意，都有， 即， 即，因此； （2）因为，， ，所以. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的定义可得，再根据指数函数的反函数是对数函数分析可解； （2）根据奇偶性的定义以及复合函数单调性判断的奇偶性和单调性，进而解不等式. 【详解】（1）若为指数函数， 则，且，解得，即， 所以指数函数的反函数为. （2）因为，可知的定义域为， 且， 可知为定义在上的偶函数， 又因为在上单调递增，且在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，且在内单调递减， 对于不等式，可得， 整理得，解得， 所以等式的解集为. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据题中函数解析式结合对数运算可得，即可得结果. （2）利用函数解析式将不等式化简可得在上恒成立.，再利用二次不等式恒成立即可求解. 【详解】（1）的定义域为， 因为，可得. 又因为且，所以. （2）由（1）可知：. 因为，， 则，，可得. 因为在上单调递增， 则，即在上恒成立. 又在上最小值为0，则，解得， 且，所以的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $