甘肃兰州市第五十九中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

兰州市第五十九中学2025~2026学年第二学期期末考试 高一数学 时间：120分钟分数：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1.已知à=(1,2)，万=(k,2-3),若a和6方向相同，则k=（) A.-1 B.3 C.-1或3 D.1或-3 2已知向量d=(-5,刂且向量6在向量上的投影向量为石，则a方=（) A.-1 B.- c.2 D.1 3已知0<a<元，coa=-,则sna=（) 互 32 A. c.10 D.10 已知函数f(x)=sinxsin(x+)一3sin?x+经，若y=f(x)在-牙，军上的最大值为M,最小值为 则M+m=() A.3 B. c. D.5 5已知1为虚数单位，复数2=1i+已+4+…±20+204 i 则复数z在复平面内对应的点的坐标 为() A.(1,0) B.(0,1) C.(-1,0) D.(0,-1) 6.己知正方体ABCD-ABCD1边长为2，E,F分别是棱BC,CC1的中点，动点P在正方形BCCB(包 括边界)内运动，则PA平面AEF的一个充分非必要条件是() D B D A.P为C1 B.P为BC1的中点 C.P的轨迹长度为V2 D,P为BB1的中点 7.已知l,m是两条不同的直线，α是平面，则下列命题中正确的是() A.若lca,m￠a,则l,m是异面直线 B.若/a,ml/a,则llm C.若lm,mca,则l/a D.若l⊥a,mCa,则l⊥m 8.若a为从集合ceNx<5}中任意选取的一个元素，则a-4+4i是纯虚数的概率为() A.为 B.d D.8 二、多选题（每题6分，共18分） 9.在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,C,则下列说法正确的是() A.若sinA>sinB,则a>b B.若sinA=cosB,则△ABC为直角三角形 C.若△ABC为锐角三角形，则simA+sinB>cosA+cosB D.若B=号，a=45,且△4BC有两解，则b的取值范围是(6,4W5) 10.己知函数f(x)=sin(ox+p)-V5cos(ox+p)(o>0,0<p<π)且f(x)图象的相邻两条对称轴间的 距离为受，则以下说法正确的是() A.若f(x)的一个对称中心为(-晋，0），则9=君 B.若()为偶函数，则9=彩 C.若f(x)在区间[0，内有三个零点，则P=号 D.若f(x)在区间(0，君)上单调递增，则的最大值为爱 11.某公益组织为更好地安排志愿者工作，随机抽取了1000名志愿者，并统计了他们的年龄数据，绘 制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），则() 频率 个组距 0.065 0.040 0.010 010152025303540年龄/岁 A.估计这1000名志愿者年龄的众数为22.5 B.这1000名志愿者中年龄在[30,35)的有175人 310 C.估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为13 D.以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选2人，其年龄均在[25,30)的概率为0.2 三、填空题（每题5分，共15分) 12黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某 数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102 的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 m.（参考数据：tan63°≈2) 13.如图Rt△OAB是一平面图形的直观图，斜边OB=2,则这个平面图形的面积是 b 45° 0" B' 21 14.在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是3和3，b、c闭合与断开的概率都是立，且 是相互独立的，则灯亮的概率为 四、解答题（共73分) 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是ab,C,且户b=牛2. C (1)求角B的大小： (2)若点D满足AD=3DC,且BD=3,求△ABC面积的最大值. 16.(15分)已知函数f(x)-号+sinxeos V3cos2x ()求y=f(x)的单调递增区间： 2求函数y=f(x)在xe[0,受]时的值域： ③)对任意的x∈[]，不等式P(x)-mf(x)-1≤0恒成立，求m的取值范围. 17.(15分)某地区为了了解市民的心理健康水平，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，按 所得评分（满分100分）从低到高将心理健康分为四个等级： 调查评分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100) 心理等级有隐患 一般 良好 优秀 并绘制了如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在[70,80)的市民人数为400人.（用频率估计 概率) 频率/组距 0.035---------- 0.025 0.02 1t 0.004 0405060708090100分数 (1)求n的值及频率分布直方图中的t值： (2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照分层随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导.根 据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在[40,50)的市民心理等级转为“良好”的概率为4，调查 评分在[50,60)的市民心理等级转为“良好”的概率为3，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试 问抽取的3人中，经过心理疏导后至少有一人心理等级转为“良好”的概率； (3)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照简单随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导.根 据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在[40,50)的市民心理等级转为“良好”的概率为4，调查 评分在[50,60)的市民心理等级转为“良好”的概率为3，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试 问抽取的3人中，经过心理疏导后恰有一人心理等级转为“良好”的概率. 18.(17分)瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：eir=cosx+-isinx(x∈R)(其中e是自 然对数的底数，i是虚数单位)，现令f(x)=Cosx+isinx(x∈R). (①)求e肾，e的虚部： (2)证明：f(a)·f(B)=f(a+B)(a,B∈R): (3)复数z=a+bi(aER,bER)与复平面内的点Z(a,b)和向量O2一一对应(0为复平面内坐标原点)， 由(2)的结论可知：复平面内任意复数z乘以f(8),对应其向量OZ绕原点逆时针旋转0. (i)在复平面内将点Z(a,b)绕原点按逆时针方向旋转0(0ER)后得到点Z(a,b),证明： f a=acos0-bsine b=asin0+bcos0 ()若=3=1，且21=(a-1)f(),求△0z2的面积. 19.(17分)如图，四棱锥P-ABCD中，PD1平面ABCD,底面ABCD是正方形，PD=AB=2,E为PC 中点. E D B (1)求证：PA/I平面BDE: (2)设平面PAB∩平面PCD=I,求证：II/平面ABCD: (3)求三棱锥B-CDE的体积.