甘肃西北师范大学附属中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

西北师大附中 2025—2026学年第二学期期末考试试题参考答案 高一数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．B 2．C 3．A 4．D 5．D 6．D 7．B 8．D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．BD 10．ABD 11．ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．） 12．2 13． 14． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．解：（1）平面向量，，则． ，，， 由，， 当时，的坐标为；当时，的坐标为． （2）由于与垂直，，， ， ． （3）与的夹角为锐角，， 且与不平行， ，且， 解得且． 即． 16．证明：（1）因为平面，而平面， 平面平面，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）自作于， 因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为，而，于是点与不重合，即． 因为，平面，所以平面． 因为平面，故平面平面． 17．解：（1）由正弦定理得， 所以，所以， 由余弦定理得，， 因，则． （2）由余弦定理，，即， 又，由条件知，所以， 所以，，， 所以周长为． （3）由，可得， 由正弦定理得，，即得，， 则 ， 由为锐角三角形可得，，解得：， 则，，故得， 即面积的取值范围为． 18．解：（Ⅰ）当时，甲进入决赛的概率， 所以甲没有进入决赛的概率为． （Ⅱ）甲只通过一轮的情况有两种： ①通过第一轮但未通过第二轮，其概率为， ②未通过第一轮但通过第二轮，其概率为， 所以甲只通过一轮的概率为； 乙只通过一轮的情况有两种： ①通过第一轮但未通过第二轮，其概率为， ②未通过第一轮但通过第二轮，其概率为， 所以乙只通过一轮的概率为； 所以甲、乙均只通过一轮的概率为． （Ⅲ）设甲进入决赛为事件，则， 乙进入决赛为事件，则， 两人均进入决赛的概率 ， 两人中至少有一人进入决赛的概率 ， 因为，所以， 即， 两边同乘20，得 所以． 19．解：（1）当时，平面平面， 证明如下： 取中点，连接，，， 因为，，是的中点， 所以，即，， 则，， 又，，则， 则， 因为，所以，则， 又，，平面，平面，所以平面， 又平面，则平面平面， 即当时，平面平面． 此时有平面，即平面， 则即为直线与平面所成角，， 即平面平面时，直线与平面所成角的正切值是． （2）取中点为，连接， 可知四边形为正方形，点为的中点，则有， 又因为，，、平面， 所以平面，而平面， 因此平面平面， 在平面内作，垂足为， 因为平面平面，由面面垂直的性质可得平面， 在平面内，作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，因此平面， 又因为平面，所以， 因此是二面角的平面角，， 设，，则， ， 因此 ， 当且仅当时，取到等号，所以，因此， 所以的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中 2025—2026学年第二学期期末考试试题 高一数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A． B． C． D． 3．设，，分别为的三边，，的中点，则（ ） A． B． C． D． 4．在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．袋中共有完全相同的4只小球，编号为1，2，3，4，现从中任取2只小球，则取出的2只球编号之和是奇数的概率为（ ） A． B． C． D． 6．已知的内角，，所对的边分别为，，，，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．已知圆锥的底面半径与球的半径相等，圆锥的侧面积与球的表面积相等，圆锥的体积为，则球的半径（ ） A． B． C． D． 8．已知在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，定义如下事件：“掷出的点数为偶数”，“掷出的点数小于3”，“掷出点数为1”，则下列说法正确的是（ ） A． B．事件包含于事件 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 10．下列化简正确的是（ ） A． B． C． D． 11．如图，点是正方体的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A．存在无数个点满足 B．若正方体的棱长为1，则三棱锥体积的最大值为 C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是 D．存在无数个点满足平面 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若为的外心，，则的值为_____________． 13．已知，，，，则的值为_____________． 14．一棱长为3的正方体封闭盒子中放有一个半径为1的小球，若将盒子任意翻动，则小球达不到的空间的体积是_____________． 四、解答题（本大题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题13分）已知平面向量，． （1）若，且，求的坐标； （2）当为何值时，与垂直； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16．（本小题15分）如图，在四棱锥中，平面平面，平面，，．用几何法证明： （1）平面； （2）平面平面． 17．（本小题15分）在面积为的中，内角，，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，求的周长； （3）若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围． 18．（本小题17分）某校组织“语文课外阅读知识竞赛”活动，在预赛阶段，共设置“古代文学、文化常识”和“国外文学名著鉴赏”两轮比赛，两轮比赛均通过才能进入决赛．已知甲、乙两名同学通过第一轮的概率分别为，，通过第二轮的概率分别为，（，），每次是否通过互不影响，且两轮比赛均必须参加． （Ⅰ）若，求甲没有进入决赛的概率； （Ⅱ）若，，求甲、乙均只通过一轮的概率； （Ⅲ）设甲、乙两人中至少有一人进入决赛的概率为，两人均进入决赛的概率为，若，求的值． 19．（本小题17分）已知矩形，，，设是边上的点，且，现将沿着直线翻折至．请用几何法解答下列问题： （1）当为何值时，使平面平面；并求此时直线与平面所成角的正切值； （2）设二面角的大小为，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $▣回 西北师大附中2025一2026学年第二学期期末考试答题卡 高一数学 姓名： 班级： 考场/座位号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 (正面潮上，切勿贴出虚线方框) 留痕迹。 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 缺考标记 4.在草稿纸、试题卷上答题无效。 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 客观题 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][c][D] 填空题 12. 13 14. 解答题 15. 囚囚■ ■ 16. B 17. ▣囚■ 0 ■ 18. I I I 1 I ■ 囚■囚 ■ ▣ 19. A 回囚 a