精品解析：甘肃嘉峪关市第一中学2025-2026学年第二学期阶段性考试（三）高一数学试卷

嘉峪关市第一中学2025-2026学年第二学期阶段性考试（三） 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，从而得，再求模长即可. 【详解】向量，，且， 所以，解得，所以，， 所以， 故选：B. 3. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】甲、乙两人各射击一次,目标没被命中的概率为, 甲、乙两人各射击一次,目标被命中的概率为. 所以A选项是正确的. 4. ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和、差的余弦公式化简求值，结合同角三角函数的基本关系可得结果. 【详解】由题意得，， 所以， 所以. 故选：B. 5. 在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（ ）. A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先选择两条不共线的向量作基底，再进行向量的线性运算，最后利用平面向量基本定理来求解即可． 【详解】 由图可知：，， 因为，所以， 整理得：， 根据平面向量基本定理可得：，解得， 所以， 故选：A． 6. 投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ） A. A与B 是互斥事件 B. A 与B 是对立事件 C. A与C是独立事件 D. B与C 是独立事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 7. 唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力､开放的心态､丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示.已知球的半径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱的高为，内壁的表面积为，可得，可得，利用几何体的几何特征可求内壁表面积. 【详解】设圆柱的高为，内壁的表面积为， 由题意可知：，解得， 内壁的表面积等于圆柱的侧面积，加半球的表面积， 即. 故选：D. 8. 已知函数，若在上的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，再结合自变量区间求最值，最后计算最值之和. 【详解】依题意， 由，得，因此. 当时，取最大值，故； 当时，取最小值，故. 因此. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设向量，，则 （ ） A. B. C. D. 与的夹角为 【答案】CD 【解析】 【分析】由向量的坐标运算，逐个验证向量平行、垂直、夹角和模的问题. 【详解】由题意，，， 则 ， ，故A错误； 易知，由， 所以与不平行，故B错误； 又 ，即，故C正确； 因为 ， 又 ，所以与的夹角为，故D正确． 故选：CD． 10. 已知古典概型的样本空间及事件和事件，满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别计算出，再结合古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】由题意， 所以，，. 故选：BCD. 11. 如图所示，为圆锥的底面圆的直径，为母线的中点，点为底面圆上异于的任一点，则圆上存在点满足（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BC 【解析】 【分析】假设存在点使得，再根据点线面的位置关系得出矛盾可得A错误，利用面面平行的判定定理即可证明平面平面，再结合面面平行性质可得B正确，利用线面垂直判定定理及其性质可得C正确，假设平面，由线面垂直性质可得出平面与平面平行，与题意不符，可得D错误. 【详解】对于A，若存在点使得，则四点共面， 因为，所以平面，易得为平面与平面的公共点，所以三点共线，与题设矛盾，故A错误； 对于B，如图所示， 过点作，交劣弧于点，连接. 由于分别为的中点，所以， 由于平面平面，所以平面，平面， 又因为，所以平面平面，由于平面，所以平面，故B正确； 对于C，由为底面圆的直径，可知， 又，所以， 又易知，，平面， 因此平面，平面，可得，故C正确； 对于D，假设存在点使平面，则， 又因为平面，所以平面， 故平面与平面平行，与题意不符，故D错误， 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为__________． 【答案】 【解析】 【详解】在上的投影向量为. 13. 如图，在四边形中，，，，，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系及三角形面积公式求解即可. 【详解】在中，，所以. 由正弦定理得，，所以. 在中，由余弦定理得， 又，所以. 所以. 14. 复数满足，则的最大值是______． 【答案】49 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，得到复数对应的图形，由图形求出的最大值. 【详解】解：设复数在复平面内对应的点坐标为，复数满足，则的几何意义为复平面内到点的距离为2的点的集合，即以为圆心，以2为半径的圆. ，其几何意义为复平面内点到原点距离的平方，所以的最大值为圆心到原点的距离加半径的平方，即. 故答案为：49 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是. （1）试分别求出事件B和事件C发生的概率； （2）试求A、B、C只有一个发生的概率. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式列出方程组，求出事件B和事件C发生的概率；（2）在第一问的基础上利用独立事件和对立事件概率公式进行求解. 【小问1详解】 由题意得：， ，即， 解得：或 【小问2详解】 设A、B、C只有一个发生的概率为P， 当时， 则； 当时，同理可得：， 综上：A、B、C只有一个发生的概率为 16. 已知向量，. （1）若∥，求的值； （2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值. 【答案】（1） （2）最小正周期为 ，最大值为 【解析】 【分析】（1）由得，再根据二倍角的正切公式直接求解. （2）根据平面向量的数量积以及三角函数的恒等变换，化简f（x）即可求出T，再根据三角函数的图象与性质，求出x∈[0，]时f（x）的最大值以及对应x的值． 【详解】解：（1）由得, ， ∴ ∴ （2） ∴函数 的最小正周期为 当 时， ∴当，即时，. 【点睛】本题考查了共线向量的坐标运算，平面向量的数量积和三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目． 17. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【答案】（1）20 （2）平均数32.25; 第80百分位数37.5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，先求出年龄在内的频率，再求出频数； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【小问1详解】 （1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 【小问2详解】 (2) 平均数为 32.25; 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. 【小问3详解】 （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题. 18. 设的内角所对的边分别为，已知向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，求的周长取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算和正弦定理边化角可化简已知等式求得，由的范围可求得； （2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，根据正弦型函数值域的求法可求得的取值范围，进而得到周长的取值范围. 【小问1详解】 ，， ，，，即， ，. 【小问2详解】 由正弦定理得：，，， ； ，，， ，， 即周长的取值范围为. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，平面平面.为中点，为线段上一点，满足平面. （1）求的值； （2）若，求点到平面的距离； （3）记二面角为，直线与平面所成角为，求证：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：如图2，过作于，连接， 由（2）知为等边三角形，是的中点，所以， 又平面平面，平面平面， 又平面，所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，则是二面角二面角的平面角， 则， 又，且，所以四边形是平行四边形，则，且， 又平面，所以平面，则是直线与平面所成的角， 则，所以， 又，是的中点，所以，又，所以， 又是的中点，则为定值. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据条件及面面平行的判定定理得平面平面，再由面面平行的性质得，即可求解； （2）利用面面垂直的性质得平面，分别求出，，再利用，即可求解； （3）过作于，连接，根据条件可得，再结合条件，即可求解. 【小问1详解】 如图1，取中点，连接，则， 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面，所以平面平面， 又平面平面，平面平面，所以， 又四边形是菱形，为的中点，所以为的中点，则. 【小问2详解】 如图2，连接，因为，， 四边形是菱形，所以为等边三角形， 由（1）知是的中点，所以，又平面平面，平面平面， 又平面，所以平面，且， 又，所以是等边三角形，则， 所以， 在中，，，则， 所以，则， 又，设点到平面的距离为， 由，得到，解得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉峪关市第一中学2025-2026学年第二学期阶段性考试（三） 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为 A. B. C. D. 4. ，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（ ）. A. 1 B. C. D. 6. 投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ） A. A与B 是互斥事件 B. A 与B 是对立事件 C. A与C是独立事件 D. B与C 是独立事件 7. 唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力､开放的心态､丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示.已知球的半径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在上的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设向量，，则 （ ） A. B. C. D. 与的夹角为 10. 已知古典概型的样本空间及事件和事件，满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，为圆锥的底面圆的直径，为母线的中点，点为底面圆上异于的任一点，则圆上存在点满足（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为__________． 13. 如图，在四边形中，，，，，，则的面积为__________． 14. 复数满足，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是. （1）试分别求出事件B和事件C发生的概率； （2）试求A、B、C只有一个发生的概率. 16. 已知向量，. （1）若∥，求的值； （2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值. 17. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 18. 设的内角所对的边分别为，已知向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，求的周长取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，平面平面.为中点，为线段上一点，满足平面. （1）求的值； （2）若，求点到平面的距离； （3）记二面角为，直线与平面所成角为，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $