4.2.2 证明，举反例（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“证明与举反例”核心知识点，涵盖命题真假判断、举反例方法及直接证明、反证法等内容，通过“判一判”互动问题导入，衔接已学命题概念，搭建从识别命题到逻辑论证的学习支架。 其亮点在于以分层练习和典型例题为载体，结合推理意识与逻辑思维，如用反证法证明三角形内角性质、举反例辨析假命题，强化数学思维。学生能提升论证能力，教师可借助系统资源优化教学，落实核心素养培养。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第4章 三角形 4.2.2 证明，举反例 2026年8月8日 4.2.2 证明与举反例 同步练习题（八年级数学） 本套习题适配八年级数学4.2.2证明与举反例核心知识点，涵盖命题真假判断、举反例辨析、完整几何证明、易错命题论证，题型由浅入深，贴合课本重难点、课堂训练及单元考核要求，帮助掌握“判断命题、举反例证假、逻辑推理证真”三大核心能力。 一、核心知识梳理 1. 命题分类：分为真命题和假命题。经过推理证实正确的是真命题，错误的命题为假命题。 2. 举反例：是证明一个命题为假命题的唯一方法，只需找出一个满足命题条件，但不满足命题结论的例子即可。 3. 证明：从命题的条件出发，依据定义、公理、定理，通过一步步逻辑推理，证实命题结论成立的过程，仅用于证明真命题。 二、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于命题与证明的说法正确的是（） A. 所有命题都是真命题 B. 假命题没有条件和结论 C. 举反例可证明命题为假 D. 真命题不需要证明 2. 可以用来证明命题“若\(a^2=b^2\)，则\(a=b\)”是假命题的反例是（） A. \(a=2，b=2\) B. \(a=-2，b=2\) C. \(a=2，b=3\) D. \(a=-2，b=-2\) 3. 下列命题为真命题的是（） A. 同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 垂直于同一直线的两直线平行 D. 对顶角相等 4. 证明“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（） A. \(30^\circ+80^\circ=110^\circ\) B. \(45^\circ+50^\circ=95^\circ\) C. \(20^\circ+30^\circ=50^\circ\) D. \(60^\circ+40^\circ=100^\circ\) 5. 下列命题中，无法举反例推翻的是（） A. 若两直线平行，则内错角相等 B. 若\(|a|=a\)，则\(a\gt0\) C. 互补的角一定是邻补角 D. 大于直角的角是钝角 三、填空题（每题4分，共20分） 6. 证明假命题的方法是________，证明真命题的方法是________。 7. 举一个反例，说明命题“若\(a\gt b\)，则\(a^2\gt b^2\)”是假命题：________。 8. 命题“相等的两个角一定是同位角”是________命题（填“真”或“假”），可举反例：________。 9. 完整的几何证明步骤包含：已知、________、证明三部分。 10. 举反例说明“任意实数的平方都是正数”为假命题：________。 四、解答题（共60分） 11. 判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例（每题6分，共24分） （1）若两个角互为补角，则这两个角一个是锐角，一个是钝角。 （2）若\(ab=0\)，则\(a=0\)。 （3）同位角相等。 （4）若一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数。 12. 完成几何证明题（18分） 已知：如图，直线\(a\parallel b\)，直线\(c\)截\(a、b\)所得一组内错角分别为\(\angle1、\angle2\)。求证：\(\angle1=\angle2\)。 13. 综合辨析题（18分） 命题：“如果两个三角形有两条边对应相等，那么这两个三角形全等”。请判断该命题真假，若为假命题，举出具体反例，并简要说明理由。 参考答案及详细解析 一、选择题 1. C 解析：命题都有条件和结论，假命题通过举反例证明，真命题需要逻辑证明，ABD错误。 2. B 解析：\(a=-2，b=2\)时，\(a^2=b^2=4\)，但\(a eq b\)，满足条件不满足结论，是有效反例。 3. D 解析：同位角不一定相等（需两直线平行），相等的角不一定是对顶角，同一平面内垂直于同一直线的两直线才平行，只有对顶角相等为真命题。 4. C 解析：\(20^\circ\)和\(30^\circ\)均为锐角，和为\(50^\circ\)是锐角，推翻原命题。 5. A 解析：A为平行线性质定理，是真命题；B反例：\(a=0\)；C反例：不相邻的两个互补角；D反例：平角。 二、填空题 6. 举反例；逻辑推理证明 7. 示例：\(a=1，b=-2\)，\(a\gt b\)，但\(a^2=1\lt b^2=4\)（答案不唯一） 8. 假；对顶角相等，但不是同位角（答案不唯一） 9. 求证 10. \(0^2=0\)，0不是正数 三、解答题 11. （1）假命题。反例：两个直角互补（\(90^\circ+90^\circ=180^\circ\)），均不是锐角和钝角。 （2）假命题。反例：\(a=3，b=0\)，\(ab=0\)，但\(a eq0\)。 （3）假命题。反例：两条不平行的直线被第三条直线所截，同位角不相等。 （4）假命题。反例：0的绝对值等于本身，但0不是正数。 12. 证明：∵ \(a\parallel b\)（已知），∴ 同位角相等（两直线平行，同位角相等）。又∵ \(\angle1\)的对顶角与\(\angle2\)是同位角，对顶角相等，∴ \(\angle1=\angle2\)（等量代换）。 13. 该命题为假命题。反例：两个三角形，第一个三角形边长为2、3、4，第二个三角形边长为2、3、5，两组边长2、3对应相等，但第三边不相等，两个三角形不全等。理由：三角形全等需三边、两边夹角、两角一边等判定条件，仅两组边相等无法判定全等。 核心知识点总结：区分证明与举反例的适用场景是解题关键。举反例只需一例即可否定假命题，证明真命题需严谨的逻辑推理，每一步推理都需依据定义、定理、公理，做到有理有据，同时要注意区分命题的条件与结论，避免辨析出错。 举反例 1 如：0 的绝对值是 0，不是正数. 1. 有理数的绝对值是正数. 假命题 判一判：下列命题是真命题还是假命题？ 2. 如果 | a | = | b |，那么 a = b. 如： a = -1，b = 1， | a | = | b |，但 a≠b. 假命题 例1 命题“如果 ab = 0，那么 a = 0”是真命题还是假命题？ 解：1×0 = 0，但是 1≠0， 因此“如果 ab = 0，那么 a = 0”是假命题. 一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 探究1：如何判断一个命题是假命题呢？ 知识要点 知识点1 举反例 1.对于，的取值，能够说明命题“若，则 ”是假命题的 是( ) D A.， B.， C.， D.， 返回 举一反三 4 2.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的是 ( ) C A. ，的补角 ， B. ，的补角 ， C. ，的补角 ， D. 角不小于它的补角 返回 举一反三 5 3.要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是 ___________________（写出一个即可）. （答案不唯一） 返回 举一反三 6 2 证明 探究2：如何判断一个命题是真命题呢? 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明. 证实其他命 题的正确性 推 理 推理的过程叫证明 基本事实或定义 一些条件 + 真命题证明的一般过程： 归纳总结 例2 证明：如果实数 a≠0 或实数 b≠0， 那么 a²+b²≠0. 证明：若a≠0，则 a² 为正数. 又 b² 为正数或 0，从而 a² + b² 是正数， 因此 a²+b²≠0. 同理可得，若b≠0，则 a²+b²≠0. 知识点2 证明 4.“因为，，所以 ”，这个推理的依据是( ) C A.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 B.垂线段最短 C.平行于同一直线的两条直线平行 D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 返回 举一反三 10 5.如图，下列结论中不正确的是( ) A （第5题） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 返回 举一反三 11 6.如图, 若于点,于点，则___ ,理由是:______ ___________. 同角 的余角相等 （第6题） 返回 举一反三 12 例3 证明：△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°. 分析：“至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”，因而应分三种情况进行证明，我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设，从而得出所要证明的结论. 3 反证法 证明：假设△ABC 的三个内角中没有一个角大于或等于 60°， 则∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°， 从而∠A +∠B +∠C＜60° + 60° + 60°＝180°. 这与“三角形的内角和等于 180°”矛盾， 故假设不成立. 因此，△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°. 像上例这样，当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确，这种证明方法叫作反证法. 反证法基本步骤： (1) 假设命题不成立；(2) 导出矛盾；(3) 肯定结论. 归纳总结 应用反证法的情形： (1) 直接证明困难； (2) 需分成很多类进行讨论； (3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 的一类命题； (4) 结论为“唯一”类命题. 用反证法证明时，导出矛盾的几种可能： （1）与原命题的条件矛盾； （3）与定义、公理、定理、性质矛盾； （2）与假设矛盾; （4）与客观事实矛盾. 7.［2025永州期中］补全证明过程，并在括号内填写 推理的依据. 已知：如图，于点，于点 ， ，求证：是 的平分线. 证明：因为， ， 所以 （____________）. 所以 （________________________）. 所以 ______， 垂直的定义 同位角相等，两直线平行 举一反三 18 （________________________）. 因为 ， 所以 ______ ， 所以是 的平分线（________________）. 两直线平行，内错角相等 角平分线的定义 返回 举一反三 知识点3 反证法 8.［2025茂名期中］已知在中，，求证： .用反 证法证明时，第一步应先假设( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 20 9.用反证法证明“若，则， 至少有一个不小于0”时，第一步 应假设( ) A A.，都小于0 B.， 不都小于0 C.，都不小于0 D.， 都大于0 返回 举一反三 21 10.［教材 例4变式］在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大 于 ”成立时，我们利用反证法，先假设三角形的三个内角都大于 ，则可推出三个内角之和大于 ，这与_____________________ _____相矛盾. 三角形的内角和等于 返回 举一反三 22 11.［2025常德期末］用反证法证明：在一个三角形中不能有两个角是钝 角.应先假设：______________________________. 在一个三角形中有两个角是钝角 返回 举一反三 23 12.用反证法证明“三角形中至少有两个角是锐角”时，首先应该假设这 个三角形中( ) C A.每一个角都是锐角 B.每一个角都是钝角或直角 C.至多有一个角是锐角 D.至多有一个角是钝角或直角 返回 举一反三 24 13. 在探究“过直线外一点作已知直线 的平行线”的活 动中，王玲同学通过如图的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过 程中她可能用到的推理依据组合是( ) D ①平角的定义；②邻补角的定义；③角平分线的定义；④同旁内角互补， 两直线平行；⑤两直线平行，内错角相等. A.②④ B.③⑤ C.①②⑤ D.①③④ 返回 举一反三 25 14.如图，现有以下三个论断：；； . 如果以其中两个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成___ 个真命题. 3 返回 举一反三 26 15.判断命题“若，则 ”是真命题还是假命题，若是假命题， 请举一个反例. 解：该命题是假命题，反例：当， 时， ，但是 .（反例不唯一） 返回 举一反三 27 16.用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角不互补， 那么这两条直线不平行. （第16题） 解：已知：如图，直线，被 所截， . 求证：与 不平行. 证明：假设，则 （两直线平行， 同旁内角互补），这与“ ”矛盾，所以假 设不成立.所以结论成立，与 不平行. 返回 举一反三 28 真命题的证明 直接证明 反证法 反设结论 推理 导出矛盾 (画图)写出已知、求证 写出证明过程 证得结论 假命题的证明 举反例 课堂小结 谢谢观看 THANKS $