4.2命题与证明（第2课时证明、举反例）（教学课件）数学新教材湘教版八年级上册

该初中数学课件聚焦“证明、举反例”核心内容，涵盖命题真假判断（举反例）、直接证明及反证法。课堂通过“大家谈谈”环节，以“有理数是整数”等具体命题引导学生判断，衔接前期命题概念，搭建从实例到抽象方法的学习支架，为后续几何证明奠定基础。 其亮点在于以“做一做”“典例分析”驱动，培养数学眼光（抽象能力）与数学思维（推理意识）。如举反例用“a=1，b=-1”说明“若a²=b²则a=b”为假，反证法借“三角形内角和”推导矛盾，结合命题否定表格规范数学语言。学生能提升逻辑推理与表达能力，教师可依托清晰流程和例题高效教学。

湘教版2024·八年级上册 4.2.2 证明、举反例 第4章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 会用“举反例”的方法说明一个命题是假命题.（重点） 会用“证明”的方法说明一个命题是真命题（重点） 会用“反证法”的方法说明一个命题是真命题.（难点） 新知探究 大家谈谈 判断下列命题是真命题还是假命题？你是怎样判断的？ (1)若a是有理数，则a是整数. (2)有理数的绝对值是正数. 如何判断一个命题是假命题呢? 一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 举反例 0.1是有理数，但不是整数。 0的绝对值是0，不是正数。 假命题 假命题 典例分析 例2 命题“如果ab=0，那么a=0”是真命题还是假命题? 解： 1x0=0，但是1≠0， 因此“如果ab=0，那么a=0”是假命题. 新知探究 做一做 用举反例的方法说明下列命题是假命题. (1)若a²=b²，则a=b; (2)一个角的余角大于这个角; (3)若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|; (4) 如果∠A=∠B,那么∠A与∠B是对顶角. a=1,b=-1,1²=（-1）²,a 若这个角为72度，它的余角为18度。 若a=3，b=-1,|a+b||a|+|b|。 新知探究 思 考 如何判断一个命题是真命题呢? 命题的条件 逻辑推理、计算 定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题 命题的结论成立 证明 典例分析 例3 证明:如果实数a≠0或实数b≠0，那么a²+ b²≠0 证明： 若a≠0，则a²为正数. 又b²为正数或0，从而a²+b²是正数， 因此a²+b²≠0. 同理可得，若b≠0，则a²+b²≠0. 典例分析 例4 证明:△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 这道题你能不能直接从条件出发证明？ 若当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，有什么其他更好的办法来证明呢？ 我们可以先假设命题不成立 “有一个”“有两个”“有三个” 可以假设没有一个满足条件，假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°，则∠A<60°，∠B<60°,∠C<60°。 再从这个假设出发进行证明 导出矛盾 否定假设 典例分析 例4 证明:△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 证明： 假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°，则∠A<60°，∠B<60°,∠C<60°， 从而∠A+∠B+∠C<60°+60°+60°=180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，故假设不成立. 因此，△ABC的三个内角中至少有至少有一个角大于或等于60°。 否定结论 导出矛盾 肯定结论 新知探究 ★反证法： 总结归纳 (1)假设命题不成立; (2)导出矛盾; (3)肯定结论. 当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确.这种证明方法叫作反证法. ★反证法基本步骤:： 原词语 否定词 原词语 否定词 等于 任意的 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 小于 至多有n个 对所有x,成立 对任何x， 不成立 准确地作出“结论的反面”是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.   不是 不都是 不大于 大于或等于 一个也没有 至少有两个 至多有（n-1)个 至少有（n+1)个 存在某x， 不成立 存在某x,成立 不等于 某个 新知探究 新知探究 做一做 用反证法证明本节例3. 用反证法 证明:如果实数a≠0或实数b≠0，那么a²+ b²≠0 证明：假设a²+ b²=0， 从而a=0,b=0. 这与已知条件“实数a≠0或实数b≠0”矛盾，故假设不成立. 因此，如果实数a≠0或实数b≠0，那么a²+ b²≠0。 新知应用 基础巩固题 1. 下列命题是真命题的是( ) A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角 B.两互补的角一定是邻补角 C.如果2=2,那么= D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等 2. 下列命题是假命题的是( ) A.如果,那么 B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60° C.两条直线被第三条直线所截,同位角相等 D.两直线平行，内错角相等 A C 新知应用 基础巩固题 4.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a//b”,应假设( ) A.a不垂直c B.a,b都不垂直c C.a⊥b D.a与b相交 D 5.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是(　　) A．两个内角是直角 B．有三个内角是直角 C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角 C 3.用反证法证明命题：“已知 ， ，求证： ”．第一步应先假设_ _________. <m></m> 新知应用 基础巩固题 6. 举反例说明下列命题是假命题： （1）两个锐角的和是钝角； （2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数； （3）两条直线被第三条直线所截同位角相等. 答：直角三角形的两个锐角和不是钝角 答：-1和-3的积是(-1)(-3)>0，-1和-3不是正数. 答：两条相交的直线a、b被第三条直线l所截，它们的同位角不相等 a b l 新知应用 基础巩固题 7.证明:在同一平面内，如果直线a//b,l⊥a，那么l⊥b. a b l 2 1 证明：如图。 因为a//b. 所以∠2=∠1， 又因为l⊥a. 所以∠1=900 所以∠2=900 ，所以l⊥b 新知应用 基础巩固题 8.用反证法证明:如果ab=0，那么a=0或b=0. 证明：假设a0且b， 从而ab. 这与已知条件“ab=0”矛盾，故假设不成立. 因此，如果ab=0，那么a=0或b=0.。 (1)假设命题不成立; (2)导出矛盾; (3)肯定结论. ★反证法基本步骤:： 新知应用 能力提升题 9.已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c. 求证：a//b A a b c 证明：假设a与b不平行， 则可设它们相交于点A。 那么过点A 就有两条直线a、b分别与直线c平行， 这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直 线平行”矛盾,故假设不成立。 ∴a//b. 新知应用 能力提升题 10.已知:如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.求证:OE⊥OF. 证明:∵OE平分∠AOB， ∴∠1＝∠AOB，同理∠2＝∠BOC， ∴∠1＋∠2＝(∠AOB＋∠BOC)＝∠AOC＝90°， ∴OE⊥OF(垂直定义). 课堂小结 感谢聆听! $