(9)·函数与导数：导数恒成立大题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 2027届一轮复习函数与导数专项试卷，聚焦导数恒成立大题，含10道解答题，融合2023新课标Ⅰ卷、2020新课标Ⅰ卷等高考真题及多地模拟题，难度梯度0.15-0.85，适配一轮复习无漏洞巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|10道|含利用导数求单调区间（如第1题）、切线方程（第2题）、恒成立问题参数范围（第7题）等|真题与模拟题结合（如第3、7题为高考真题），梯度设计（难度0.15-0.85），注重逻辑推理与数学抽象（如构造函数证明不等式）|

2027届一轮复习(9)·函数与导数：导数恒成立大题 8月第一周，我们进行 2027届一轮复习(9)·函数与导数：导数恒成立大题 ，题目难度较大。一轮复习一定要做到无漏洞，加油哦！（大家可以在评论区留言自己的需求） 1．（江苏省常州市北郊高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题·★★★）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 2．（河南省郑州市2024-2025学年高三下学期第二次质量预测数学试题·★★★）已知函数，． (1)若，求曲线的斜率为1的切线方程； (2)若不等式没有整数解，求实数的取值范围． 3．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题·★★★）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 4．（湖北武汉市2026届高三下学期四月供题数学试题·★★★）已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 5．（★★★）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 6．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（大纲卷带解析）·★★★☆）设函数. (1)讨论的单调性； (2)设，求的取值范围. 7．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）·★★★☆）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围. 8．（四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试理科·★★★☆）已知函数． (1)当时，求的单调性； (2)若，求实数的取值范围． 9．（浙江省强基联盟2024-2025学年高三下学期2月联考·★★★★）已知函数，其中. (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数； (3)若，，求的取值范围. 10．（广东省佛山市2023届高三二模数学试题·★★★★）已知函数，其中． (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 试卷第2页，共3页 1．(1)单调减区间是，单调增区间是和； (2) 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）对函数求导，由导函数的符号确定函数的单调区间即可； （2）解法1：将题设不等式等价转化，参变分离为，从而求函数的最大值即可；解法2：根据值分类讨论函数的单调性，再由函数的最值列出不等式确定参数范围即可. 【详解】（1）当时， ，， ， 由，可得或， 由，可得， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是和； （2）解法1：由恒成立，可得：对，， 即，， 令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以当时，，所以， 所以实数的取值范围为． 解法2：由恒成立，可得：，， 令， 当时，可得，即在上单调递增， 又，即不能恒成立，不合题意； 当时，令，解得， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以， 因为恒成立，则需使恒成立，解得， 所以实数的取值范围为． 2．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先求导，构造函数，利用导数求得的零点即得时的值，继而求得切点坐标，再用点斜式即可得切线方程. （2）通过参变分离转化为没有整数解，相继构造函数，，利用导数分析的单调性，得存在唯一的使，即，继而再利用的单调性结合得结论：当时，，从而当时，没有整数解. 【详解】（1）当时，， 则，即， 令，则， 令，得，令，得， 所以，故有且仅有，， 此时，所以曲线的斜率为1的切线方程为在处的切线方程， 该切线方程为． （2）由得，即， 所以没有整数解， 设，， 设，，所以单调递增， 且，， 所以存在唯一的，使，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，所以当时，， 所以当时，没有整数解，即没有整数解． 3．(1) 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）略 4．(1)（ⅰ）；（ⅱ）在上单调递减，在上单调递增. (2). 【难度】0.52 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线方程； （ⅱ）根据导数的正负求函数的单调区间； （2）首先确定，再根据导数求函数的最小值，根据最小值，结合极值点化简不等式，求和的取值范围. 【详解】（1）当时，，. （ⅰ）因，，所以切线方程为. （ⅱ）由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，不满足题意. 所以，此时. 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即. 此时在上单调递减，在上单调递增. 由题意. 将代入上式整理得：，解得：. 此时，代入后. 化简得：，解得：. 令，其中. 则，所以是区间上的增函数. 所以，代入得到的取值范围是. 5．(1) 在上单调递增,在上单调递减 (2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可; （2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可. 【详解】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当. 6．(1)答案见解析 (2) 【难度】0.15 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出，分类讨论的范围，在定义域内分别令与，从而得解； （2）先由题意推得，从而构造函数，利用导数证得恒成立，从而分类讨论与，证得恒成立，由此得解. 【详解】（1）因为，所以，， 当时，，当且仅当时，， 在上是增函数， 当时，，当且仅当或时，， 在上是减函数， 当时，令，则或， 当是增函数， 当是减函数， 当是增函数. （2）因为， 由得，即，则， 下证当时，恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，即， 当时，有， 当时，，所以， 当时，，， 则， 综上，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 7．（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2） 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围. 【详解】(1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减， 当时，单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数 由得，，其中， ①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②.当时，分离参数a得，， 记，， 令， 则，， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，, 综上可得，实数a的取值范围是. [方法二]：特值探路 当时，恒成立． 只需证当时，恒成立． 当时， ． 只需证明⑤式成立． ⑤式， 令， 则 ， 所以当时，单调递减； 当单调递增； 当单调递减． 从而，即，⑤式成立． 所以当时，恒成立． 综上． [方法三]：指数集中 当时，恒成立， 记， ， ①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意； ②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又， 所以若满足，只需，即 ，所以当时，成立； ③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立， 所以时，满足题意. 综上，. 【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有： 方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究； 方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性； 方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！ 8．(1)单调递减区间为，；单调递增区间为 (2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数直接求单调区间即可； （2）先将不等式由分式化整式，再用指对互化构造同构，换元后再分参处理恒成立问题即可解决. 【详解】（1）当时，， ， 令得：； 令得：或， 所以的单调递减区间为：，； 单调递增区间为：． （2）因为在上恒成立， 所以（*）在上恒成立， 令，则， 则在上递减，在上递增． 所以的最小值为，即， 则（*）式化为：， 当时，显然成立． 当时，恒成立， 令，则， ， 当时，在上递增． 所以即，可得， 所以即 可得， 当时，, 当时，, 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以实数a的取值范围为：． 【点睛】方法点睛：指对同式时的不等式问题，可用指对同构法来处理，即用指对互化来实现同构. 9．(1) (2)两个零点 (3) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）由偶函数的定理建立等式，求出； （2）代入，得到，写出，令后在求导.由解析式可知当时，恒成立.当时，，得到单调递增，由二分法知道在存在唯一零点.由此知道函数的单调区间，再由二分法得到函数零点. （3）当时，恒成立，所以当时，由，求出的范围.再将的范围分为，，三个范围，由三角函数的性质以及导函数判断函数单调性建立不等式，最后求出的范围. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以. 即， 解得：. （2）当时，. ，， 令，则. 当时，， 当时，，单调递增， 又，， 所以存在，使得. ，，单调递减，，，单调递增， 而，，，所以在上存在一个零点. 综上，函数在有两个零点. （3）当时，；当时，， 则或. （ⅰ）当时，，，成立； （ⅱ）当时， 若，则，单调递增， 所以； 若，则，，成立； （ⅲ）当时，若，则成立； 只要考虑，此时令， 则，递增，，， 所以存在，使得， 若，则，递减；若，则，递增. 所以，解得. 此时，所以，从而. 若，则函数，当时，显然成立，当时，因为,所以恒成立，即符合题意 综上，. 【点睛】方法点睛，本题是函数综合问题，考查了利用导函数得到函数单调性，由函数单调性解决不等式恒成立问题.本题需要先通过三角函数的值域先得到不等式在某个区间恒成立，再通过某个特殊值得到的范围，然后通过函数解析式的特殊性，分别讨论的范围内不等式恒成立.本题用到了隐零点的方法求得函数的最小值，要想不等式大于等于零恒成立，转变为最小值大于等于零，然后解得的范围. 10．(1)； (2)． 【难度】0.15 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究函数图象及性质 【分析】（1）由题可得方程有两个解，然后构造函数利用导数研究函数的性质进而即得； （2）由题知恒成立，进而转化为证明当时，然后利用二次函数的性质结合条件可得只需证明即可，再构造函数利用导数证明不等式即得. 【详解】（1）由有两个零点，得方程有两个解， 设，则， 由，可得，单调递增，由，可得，单调递减， 所以的最大值为，当时，当时，， 所以可得函数的大致图象， 所以，解得， 所以，有两个零点时，的取值范围是； （2）设，即，则恒成立， 由，，可得， 下面证明当时，，即证， 令，则证，， 令为开口向上的二次函数，对称轴为， 由（1）可知，故在时单调递增， 则， 下面只需证明即可，即证， 令，则， 令，则， 所以函数单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故，即，从而不等式得证， 综上，的取值范围是． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 答案第8页，共8页 答案第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $