函数与导数：导数新定义问题、极值点偏移问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数新定义与极值点偏移两大难点，通过多样化例题构建从概念理解到综合应用的解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数新定义问题|6例+6变式|多选填空为主，涉及曲率等创新定义|从导数概念延伸，通过新定义培养数学抽象与创新意识| |极值点偏移问题|3例+3变式|解答题为主，含单调性讨论与证明|基于极值性质，通过构造函数培养逻辑推理与数学表达能力|

函数与导数：导数新定义问题、极值点偏移问题专项训练 函数与导数：导数新定义问题、极值点偏移问题专项训练 考点目录 导数新定义问题 极值点偏移问题 考点一 导数新定义问题 例1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试·多选）平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度．定义函数的曲率函数（是的导数，是的导数），以下结论正确的是（   ） A．函数当且仅当在最值处的曲率为1 B．曲线的图象上任一点曲率恒为常数 C．函数在点处的曲率最大 D．若函数在处的曲率相同，则 【答案】ABD 【分析】对于A，先根据函数单调性求得函数的曲率函数范围，求得曲率为1的自变量的取值集合即可判断；对于B，将其转化为函数或且，再分别计算对应的曲率函数即可判定；对于C，求解曲率函数得，再求导研究单调性即可判断；对于D，不妨设，进而将问题转化为，，，令，，则，转化为，再结合基本不等式求得，即可得答案. 【详解】对于A，，，函数的曲率函数为， 令，则，当时，； 当时，单调递增且， 而单调递减且，单调递增且， 根据复合函数的单调性知在时单调递减， 所以可知在时单调递增， 所以的最大值为，所以，即， 所以当函数的曲率为1时，， 即，时，此时函数取得最值，故A选项正确； 对于B，对于， 转化为函数或且， 对于求导得， 得到， 所以， 同理，对于求导得， 所以， 综上，曲线的图象上任一点曲率恒为常数，故B选项正确； 对于C，函数，，， 所以， 则， 令得， 所以，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得最大值，点处的曲率不是最大的，故C选项错误； 对于D，函数，，，故， 则。 令得，即， 故当时，单调递增；当时，单调递减； 所以在取得极大值， 因为函数，在处的曲率相同， 不妨设，则，，即， 令，，则， 所以，即， 所以，整理得，， 由得， 所以，即， 令，则，即， 所以，解得，即， 所以，故， 所以函数在处的曲率相同，则，D选项正确. 故选：ABD 例2．（25-26高三上·山东·阶段检测·多选）定义：对于函数，若存在，使得，则称函数是“对称导数函数”.下列函数是“对称导数函数”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据“对称导数函数”定义逐项判断. 【详解】对于A：，因为 ，所以， 所以是“对称导数函数”，故A正确. 对于B： ， 令，得， 设， 则，所以为增函数，又， 所以在上无实数解，所以不是“对称导数函数”，故B错误. 对于C： ，令，得， 即，令， 则是增函数，又因为，所以有唯一零点0， 所以等价于，而， 所以不是“对称导数函数”，故C错误. 对于D：对于，令， 得，因为， 当时，方程成立，所以是“对称导数函数”，D正确. 故选：AD 例3．（2025·河南·模拟预测）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.已知函数，则曲线在点处的曲率为______. 【答案】/ 【分析】求出和，继而求出和，根据曲率的计算即可得答案. 【详解】因为，故，， 故， 故，即曲线在点处的曲率为， 故答案为： 例4．（24-25高三下·广东东莞·阶段检测）类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处的倾角为，曲线上另外一点对应于弧，在点处的倾角为，则弧段的长度为，当动点M转到时切线转动的角度为，用比值来表示弧段的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作.类似于从平均速度引入瞬时速度的方法，当这个趋于M时，上述平均曲率的极限就叫做曲线C在M处的曲率，记作K；.在数学上给出曲率的公式：.（其中，分别表示在点M处的一阶、二阶导数）,根据定义，椭圆在点的曲率为______. 【答案】 【分析】由在第一象限，可得，两次对函数求导，代入曲率计算公式求解即可. 【详解】由题意，因为在第一象限，所以， 则，记， 则， 故，，故. 故答案为： 例5．（25-26高二下·广西玉林·期末）定义：如果函数在定义域内存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数． (1)当时，若是极值可差比函数，求的极值差比系数的值； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不存在，理由如下：由题意得的定义域为，， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得， 不妨设，则， 因为 ， 所以， 从而，因为，所以， 得（*）， 令，， 所以在上单调递增，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为． 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性和极值，求出的值； （2）求导，由根与系数关系和韦达定理得到方程和不等式，根据题意得到方程，变形得到，构造函数，求导，得到上式无解，故不存在使的极值差比系数为． 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以． （2）略 例6．（25-26高二下·安徽·期中）已知的横坐标是互为倒数的两点，且作函数图象的切线，过点的切线分别为. (1)若，点，，从点观察点，若观察的视线不被曲线挡住，求实数的取值范围. (2)若恰好为函数图象上相异的两点，且切线存在交点，则称这个交点为函数的“优点”. （i）若函数不存在“优点”，求实数的值； （ii）求函数的“优点”的横坐标的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）先对函数求导，求出过点处切线斜率并写出切线方程，利用视线不被遮挡转化为点在切线下方，代入横坐标比较纵坐标大小，建立不等式求解的范围，运用导数求切线、几何条件代数化的方法. （2）（i）依据无“优点”推出两条切线平行或重合，即同组互为倒数横坐标处导数值恒相等，分段求出对应区间导数，列恒等式化简求解参数，结合分段函数导数、切线平行的条件转化求解. （ii）设出横坐标互为倒数的两点坐标，利用导数写出两处切线方程，联立切线方程解出交点横坐标，借助对勾函数值域与基本不等式，限定自变量范围，推出优点横坐标的取值区间. 【详解】（1）由，求导得. 设过点的曲线切线切点为， 切线斜率，切线方程为。 将代入切线方程，， 整理得，解得或. 因为点在右侧，所以取斜率为正的切线，即，， 对应切线方程为. 由题可知从点观察点视线不被曲线挡住，等价于点在切线下方. 将代入，得故， 即实数的取值范围是. （2）（i）因为函数不存在“优点”，则切线无交点. 所以对恒成立， 不妨取，则， 此时，， 所以恒成立，即，解得， 经验证符合题意. （ii）设，（且）， 在两点处的切线方程分别为，， 即，， 联立可得，解得， 因为，当时，；当时，， 所以， 即函数的“优点”的横坐标取值范围为. 变式1．（24-25高二下·山东淄博·期末·多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值.已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．切线的方程为 B． C． D．设，则 【答案】ABD 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，代入得到切点，进而求出切线方程判断A，结合给定定义求出的切线方程，再利用赋值法求解判断B，举反例判断C，利用给定定义得到，再结合得到，进而将表示为，再利用导数结合给定定义得到的范围，最后证明结论正确判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，， 则，故的切点为， 而，由导数的几何意义得的斜率为， 得到切线的方程为，化简得，故A正确， 对于B，在中，令，解得， 而，， 则的方程为，令，解得，故B正确， 对于C，当时，，， 不满足，故C错误， 对于D，由题意得在处的切线方程为， 而该方程必过，代入得到， 则，得到， 而， 可得， 由已知得，则单调递增， 而，，得到， 由零点存在性定理得存在作为零点， 随着操作次数的增加，与越来越接近，故， 则，得到， 即成立，故D正确. 故选：ABD 变式2．（25-26高三上·四川遂宁·期中·多选）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数拐点处的切线方程为 B．当时，函数在区间内存在最小值，则的取值范围是 C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 【答案】AD 【分析】求出函数的二阶导数，求出拐点处的横坐标，再由导数的几何意义求出切线方程，即可判断A，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极小值点，即可得到不等式组，从而判断B，设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，得到，再转化为交点问题，即可判断C，联立直线与曲线方程，消元，即可判断D. 【详解】对于A：当时，，则，， 令，解得， 又，，所以函数拐点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B：当时，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值，又， 要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得， 即的取值范围是，故B错误； 对于C：因为，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得， 令，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，， 因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点， 所以，即的取值范围是，故C错误； 对于D：由，可得， 即， 显然在定义域上单调递增， 所以，即对任意实数，直线与曲线有唯一公共点，故D正确. 故选：AD 变式3．（25-26高三下·四川成都·阶段检测）若定义在区间上的函数，其导函数为，且，，则称为区间上的“函数”、若为区间上的“函数”，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据“函数”的定义，将不等式转化为，再构造函数，再用导数求函数的最大值，从而可得所求值的范围. 【详解】由，且，所以， 所以， 依题意，为区间上的“函数”，所以，即， 所以在上恒成立，得在上恒成立. 令，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 故当时，函数在区间上取得极大值，也是区间上的最大值， ，实数的取值范围为. 变式4．（24-25高二下·内蒙古包头·阶段检测）在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正n边形和内接正n边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．若函数，则曲线在点处的切线方程为______，用此结论“近似计算”的值为______（结果用分数表示）． 【答案】 【分析】根据新定义，利用导数的几何意义即可得切线方程，继而近似计算，可得答案． 【详解】函数的导数为，所以， 函数在点处的切线为， 所以在附近可以用代替， 即，又非常接近0， ． 故答案为：；． 变式5．（25-26高二下·上海·期中）记在上的最大值为，在上的最小值为. (1)若，求与； (2)若，且对给定的实数，存在，使得，求实数的取值范围； (3)若，且存在实数，，，，使得，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用函数在区间上的单调性计算即可得； （2）由三角函数性质可得，则在区间上必须能取到与，结合三角函数性质计算即可得； （3）利用导数求出该三次函数单调性及其极值点后，令，分、、及讨论即可得. 【详解】（1）由在上单调递减， 故，； （2）由，故， 由，故，， 故存在，使得，， 由，即在区间上必须能取到与， 令，， 即，， 则可为、，可为、， 故有且，即； （3）由，得 令，得 解得 当或时，；当时，. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 且 设 当或时，方程只有一个实根，设为.此时与分别在两侧出现. 要使上的最小值为且上的最大值为，只能使，，故. 当或时，可看作下面三交点情形的端点情况，所得也包含在下面的范围内. 当时，方程有三个不同实根，记为 由函数的单调性可知 因为，所以区间必须在的部分，并且要接触到水平线.因此或. 因为，所以区间必须在的部分，并且要接触到水平线.因此或. 于是可能出现以下情况： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 综上，对于固定的，一定有 下面估计.由的三个根为，，， 根据根与系数的关系，得 令，则，且 由，代入上式得 于是 所以，从而， 最后说明端点和中间值都可以取到.当时，， 即， 所以三个根为，，. 此时对应，对应. 由前面的四种位置关系可得能取到、以及端点.当从连续变化到时， 从连续变化到，从连续变化到， 因此负值部分也能连续取遍.所以的取值范围为. 变式6．（24-25高三下·河南·阶段检测）若函数在开区间I内满足：，在处的切线的斜率均为，则称为I内的“缘分函数”． (1)判断是否为内的“缘分函数”，并说明理由； (2)若为内的“缘分函数”，求实数a的取值范围； (3)证明：不是内的“缘分函数”． 【答案】(1)不是，理由如下： 求导得， 为内的“缘分函数”当且仅当方程在内有两个不同的解， 而在上单调递减，即在上单调递减， 故方程在内最多有一个解， 从而不是内的“缘分函数”； (2) (3) 由题意只需证明在内最多有1个根， 令， 即证最多有一根， 求导得， 当时，在上都单调递增， 设，注意到， 从而当时，存在唯一的，使得，即有成立， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有最小值， 这表明最多有一根， 综上所述，命题得证. 【分析】（1）由题意只需判断在内是否有两个不同的解，结合函数单调即可说明； （2）原条件等价于在内有两个不同的解，分离参数并结合对勾函数的性质即可得解； （3）分析得知只需证明最多有一根，即只需证明的最小值或最大值即可. 【详解】（1）略 （2）原条件等价于在内有两个不同的解， 即在内有两个不同的解， 设， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故所求为； （3）略 考点二 极值点偏移问题 例1．（25-26高二下·四川成都·期末）设函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)已知 ，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2). (3).证明如下： 因为方程有两个不等实根，，不妨设, 所以，， 化简得，即， 令，其中，则，所以， 解得，则解得； 因为方程有两个不等实根，，不妨设, 所以，， 化简得，即， 令，其中，则，所以， 解得，解得； 设，其中，令，， 则，， ， ， 因为，所以，，，， 令，其中， 则， ，当时，，所以在上单调递减， ，所以在上单调递增， 当时，，，所以，则， 所以在上单调递减， 因为，所以，所以， 则，所以，即. 【分析】（1）函数的定义域，求导得，由的正负求函数得单调区间. （2）对不等式化简变形，构造，利用导数的正负判断函数的单调性，求出最小值，进一步确定参数的取值范围. （3）根据题意构造参数，，再进一步构造函数： .利用导数的单调性判断和的大小，进一步判断与的大小关系. 【详解】（1）因为的定义域为，， 令得，；令得，；令得，， 所以，在上单调递减，在上单调递增. （2）由，得，即， 令，，则恒成立，即， ， 令得，；令得，；令得，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， ， 则,得，解得，故的取值范围为. （3）略. 【点睛】方法归纳： 1.恒成立问题：构造函数，导数求最值，转化最值不等式求解参数. 2.零点乘积比较：构造比值型辅助函数，利用单调性比较根的乘积大小. 易错归纳： 1.忽视对数函数的定义域；对求导易算错. 2.恒成立混淆“最小值>常数”与“最大值>常数”. 3.构造辅助函数，求导符号判断失误，导致乘积结论出错. 例2．（2026·河北秦皇岛·一模）已知函数. (1)当时，判断函数的单调性; (2)当时，判断函数的零点个数; (3)当时，是否存在实数，使得有两个极值点?若存在，求证：（为极值点）；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)在单调递增 (2)个零点 (3)当时，存在满足条件的实数，使得有两个极值点. 证明如下： 的极值点满足， 若，时，无正极值点； 若，令，则， 令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时取得极小值， 因为，时，， 所以当时，有两个极值点，此时，得， 即存在，使得有两个极值点. 下证： 因为是的两个极值点，所以是的两个根， 可得，取对数得，则，整理得，要证，即证， 不妨设，则不等式变形为， 令，则，即证， 令，则， 所以在单调递增， 所以，即，得， 因此得证. 【分析】（1）对导函数再求导找最小值，证导函数恒大于零，直接判定原函数； （2）代入后求导分析原函数的单调性与极值，结合零点存在定理和特殊点函数值判断零点个数； （3）先将极值点存在问题转化为导数方程的正根问题，通过分析导数函数的最值证明存在满足条件的，再通过换元构造函数证明. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 令，则， 令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，即取得最小值为， 即对所有恒成立。 因此，在上单调递增. （2）当时，，显然，故是一个零点， 又，当时，，，故，在单调递增，因此时无零点； 当时，令，则，令得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以的最小值为，又， 时，故在有两个零点， 因此在递增，递减，递增： 因为，，且， 又在单调递减，且，所以，而，所以， 所以，又时，， 所以在和各有一个零点， 综上，共有个零点. （3）略. 例3．（2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明： 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用求切线斜率，再求切线方程； （2） （ⅰ）有两个极值点等价于有两解，即有两解，令，在分析的单调性即可求解； （ⅱ）有两解，先求出满足的关系式，再令，不等式等价于，令函数，求导分析单调性再求最值即可求解. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则， 而，所以曲线在处的切线方程为. （2）（ⅰ）当时，函数，求导得， 由是函数的两个极值点，得是方程的两个不等实根， 由，得，令函数，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，所以. （ⅱ）有两解，即，两边取对数得, 则当时，， 令，则，，因此， 不等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即 ，，于是. 变式1．（2026·甘肃嘉峪关·三模）已知函数，其中. (1)设，若不等式对恒成立，求的取值范围. (2)，若，求证： 【答案】(1) (2)函数的定义域为， ， 当时，，所以，所以单调递增； 当时，，所以，所以单调递减. 因为，所以可设，则. 令， 则， 当，所以，，所以； 当，所以，，所以， 又，所以恒成立， 所以函数是增函数. 所以，所以， 即. 【分析】（1）利用导数分析的单调性，并求得其最小值，由此不等式对恒成立，转化为.构造函数，利用导数分析其单调性，即可解得实数的取值范围； （2） 利用导数分析函数的单调性，得，则，构造函数，利用导数分析函数的单调性，得，从而证得. 【详解】（1）函数的定义域为， . 当时，令，得. 当时，，所以； 当时，，所以. 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为. 因为不等式对恒成立，所以. 设， 则恒成立， 所以在上单调递增. 因为，所以，解得，即. 综上所述：的取值范围是. （2）略 变式2．（25-26高三上·广西河池·期末）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，，且， （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，不等式恒成立，求证：. 【答案】(1) 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； (2) （ⅰ）证明：由， 所以， 则要证即证， 令，则，所以要证即证， 令， 则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，所以； （ⅱ）证明：由（1）可知时，时， 当时不等式恒成立， 令， 则时恒成立，时恒成立， 所以是方程的两根， 所以，则， 所以. 【分析】（1）利用导数工具，分和时分析导数正负即可求解； （2）（ⅰ）将问题等价为求证，令，将问题继续等价转换为证，构造函数，利用导数工具求证即可求证； （ⅱ）令，由题意得到是方程的两根，再由韦达定理结合（ⅰ）即可求证. 【详解】（1）由题可得函数定义域为，且为上减函数， 所以当时在上恒成立， 所以函数在上单调递增； 当时，令， 则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2）略 变式3．（25-26高三上·广东·阶段检测）设，曲线在处的切线方程为． (1)求k，b的值； (2)证明：； (3)若存在两根，，且，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）构造函数，求导数，结合函数单调性与导数的关系即可证明结论； （3）先判断的范围，继而将证明转化为证明．从而设，求导数，利用函数的单调性即可证明. 【详解】（1）由题意得，所以，即， 因为，所以点在切线上，即，所以． （2）由（1）知，切线的方程为，所以要证，即证． 设，则， 当时，此时单调递增： 当时，此时单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立．所以． （3）因为，当时，此时单调递减； 当时，此时单调递增，则的极小值为， 且，且小于0，，；且； 因为存在两根且，所以，且． 要证明：，即证．因为在上单调递减， 所以只要证，结合，即证． 设，则， 当时，，则，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 故，所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：导数新定义问题、极值点偏移问题专项训练 函数与导数：导数新定义问题、极值点偏移问题专项训练 考点目录 导数新定义问题 极值点偏移问题 考点一 导数新定义问题 例1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试·多选）平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度．定义函数的曲率函数（是的导数，是的导数），以下结论正确的是（   ） A．函数当且仅当在最值处的曲率为1 B．曲线的图象上任一点曲率恒为常数 C．函数在点处的曲率最大 D．若函数在处的曲率相同，则 例2．（25-26高三上·山东·阶段检测·多选）定义：对于函数，若存在，使得，则称函数是“对称导数函数”.下列函数是“对称导数函数”的有（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·河南·模拟预测）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.已知函数，则曲线在点处的曲率为______. 例4．（24-25高三下·广东东莞·阶段检测）类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处的倾角为，曲线上另外一点对应于弧，在点处的倾角为，则弧段的长度为，当动点M转到时切线转动的角度为，用比值来表示弧段的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作.类似于从平均速度引入瞬时速度的方法，当这个趋于M时，上述平均曲率的极限就叫做曲线C在M处的曲率，记作K；.在数学上给出曲率的公式：.（其中，分别表示在点M处的一阶、二阶导数）,根据定义，椭圆在点的曲率为______. 例5．（25-26高二下·广西玉林·期末）定义：如果函数在定义域内存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数． (1)当时，若是极值可差比函数，求的极值差比系数的值； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 例6．（25-26高二下·安徽·期中）已知的横坐标是互为倒数的两点，且作函数图象的切线，过点的切线分别为. (1)若，点，，从点观察点，若观察的视线不被曲线挡住，求实数的取值范围. (2)若恰好为函数图象上相异的两点，且切线存在交点，则称这个交点为函数的“优点”. （i）若函数不存在“优点”，求实数的值； （ii）求函数的“优点”的横坐标的取值范围. 变式1．（24-25高二下·山东淄博·期末·多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值.已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．切线的方程为 B． C． D．设，则 变式2．（25-26高三上·四川遂宁·期中·多选）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数拐点处的切线方程为 B．当时，函数在区间内存在最小值，则的取值范围是 C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 变式3．（25-26高三下·四川成都·阶段检测）若定义在区间上的函数，其导函数为，且，，则称为区间上的“函数”、若为区间上的“函数”，则实数的取值范围是______. 变式4．（24-25高二下·内蒙古包头·阶段检测）在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正n边形和内接正n边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．若函数，则曲线在点处的切线方程为______，用此结论“近似计算”的值为______（结果用分数表示）． 变式5．（25-26高二下·上海·期中）记在上的最大值为，在上的最小值为. (1)若，求与； (2)若，且对给定的实数，存在，使得，求实数的取值范围； (3)若，且存在实数，，，，使得，求的取值范围. 变式6．（24-25高三下·河南·阶段检测）若函数在开区间I内满足：，在处的切线的斜率均为，则称为I内的“缘分函数”． (1)判断是否为内的“缘分函数”，并说明理由； (2)若为内的“缘分函数”，求实数a的取值范围； (3)证明：不是内的“缘分函数”． 考点二 极值点偏移问题 例1．（25-26高二下·四川成都·期末）设函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)已知 ，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论． 例2．（2026·河北秦皇岛·一模）已知函数. (1)当时，判断函数的单调性; (2)当时，判断函数的零点个数; (3)当时，是否存在实数，使得有两个极值点?若存在，求证：（为极值点）；若不存在，请说明理由. 例3．（2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明： 变式1．（2026·甘肃嘉峪关·三模）已知函数，其中. (1)设，若不等式对恒成立，求的取值范围. (2)，若，求证： 变式2．（25-26高三上·广西河池·期末）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，，且， （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，不等式恒成立，求证：. 变式3．（25-26高三上·广东·阶段检测）设，曲线在处的切线方程为． (1)求k，b的值； (2)证明：； (3)若存在两根，，且，证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $