(7)·函数与导数-导数小题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 2027届一轮复习导数小题专项卷，精选15道各地模拟题，覆盖导数应用核心知识，梯度设计适配一轮查漏补缺 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|11题|利用导数研究不等式恒成立（第1题）、函数零点（第3题）、极值点（第7题）|真题改编（如广东广州一模题）、梯度分层（难度0.4-0.85），突出数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念）| |填空|4题|函数单调性求参数（第12题）、零点存在求最值（第13题）|综合应用（如第15题同构函数法），强化数学眼光（抽象能力、几何直观）|

2027届一轮复习(7)·函数与导数：导数小题 7月第四周，我们进行 2027届一轮复习(7)·函数与导数：导数小题 ，题目难度较大。一轮复习一定要做到无漏洞，加油哦！（大家可以在评论区留言自己的需求） 1．（★★★）对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（广东广州市2026届高三毕业生一模数学试卷·★★★）函数在区间上的极值点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（安徽省合肥市2026届高三第一次教学质量检测·★★★）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（贵州省贵阳市第一中学2024届高三下学期一模考试·★★★）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025届山东省威海市高三模拟考试·★★★）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（广西壮族自治区河池市2026届高三毕业班3月教学质量联合测试·★★★）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（云南省2025届高三下学期5月新高考自主命题冲刺金卷·★★★）若函数有两个极值点，则a的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 8．（湖北省武汉市武昌区2022届高三下学期5月质量检测数学试题·★★★☆）已知函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 9．（广东省广州市2025届高三下学期综合测试（一）·★★★☆）已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（   ） A． B．当时， C． D．当且时， 10．（广东广州市2026届高三毕业生一模数学试卷·★★★☆）已知曲线的方程为，集合，若对任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线．下列方程所表示的曲线为曲线的是（   ） A． B． C． D． 11．（重庆市九龙坡区2026届高三下学期第二次学业质量调研抽测数学试卷·★★★☆）已知函数，则（   ） A．存在，使得在上是单调函数 B．若有三个不同的零点，则 C．当 时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D．若 恰有个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 12．（★★★）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围______． 13．（浙江省杭州第二中学等四校2023届高三下学期5月高考模拟数学试题·★★★）函数在区间上存在零点，则的最小值为_________. 14．（四川省攀枝花市2026届高三第一次统一考试数学试题·★★★）已知函数的图象不在x轴上方，则的最大值为______． 15．（河北省邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模）·★★★☆）若函数在定义域内有零点，则实数a的取值范围为________. 试卷第2页，共3页 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D B D BC ABD ACD ABD 题号 11 答案 BCD 1．B 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先分离变量，再利用导数研究新函数单调性与最值，即得结果. 【详解】由恒成立可得恒成立， 令，则， 显然在上单调递增，又， ∴当时，，当时，， ∴当时，取得最小值.∴. 故选B． 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查基本分析求解能力，属中档题. 2．A 【难度】0.65 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的乘除法、求已知函数的极值点 【分析】根据题意，求得，令，求得或，结合正弦函数的性质，以及函数极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，可得或， 因为，可得， 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 在上递增，在上递减，在上递增， 其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点， 所以在区间的极值点为，共有4个. 故选：A. 3．C 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 故选：C 4．D 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式. 【详解】依题意令，则， 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，，故A不正确； 所以，即，即，故B不正确； 又，即，即，故C错误； 因为，即，即，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据题意构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小. 5．B 【难度】0.85 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求导，由题意将问题转换成有解，构造函数，由其单调性得到，求解即可. 【详解】求导可得， 由题意有解， 即有解， 即有解， 令， 因为，易知在单调递增， 此时，所以， 又，， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 故选：B. 6．D 【难度】0.62 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【详解】由，得，即，即． 设，则，因为0，所以在上单调递增，所以，即． 设，则 ， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，所以． 7．BC 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由题意可和得有两个根，令，可导可得在单调递增，在单调递减，进而可得. 【详解】函数的定义域为， 由已知得：有两个变号的零点，即：有两个根， 令，则，又在上单调递减，且时， 令得：，所以在单调递增； 令得：，所以在单调递减； 所以在处取得极大值，而时，，时，， 所以，要使函数有两个极值点，则， 故选：BC． 8．ABD 【难度】0.4 【知识点】零点存在性定理的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 【分析】对AB，求导分析可得为增函数，再根据零点存在性定理可判断； 对C，根据AB得出的结合正切函数的单调性可判断； 对D，构造函数，再根据零点存在性定理，放缩判断的正负判断即可 【详解】对AB，由题，故为增函数.又，，故，故AB正确； 对C，因为，所以，但，故C错误； 对D，构造函数，则，故为增函数.故，因为，故，故，即，故，故，D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数零点的问题，一般需要用零点存在性定理判断零点所在的区间，同时在判断区间端点正负时，需要适当放缩，根据能够确定取值大小的三角函数值进行判断，属于难题 9．ACD 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、根据极值点求参数 【分析】根据极值的定义可得，进而求出可判断A；结合函数的单调性判断B；代式计算判断C；由，可得，再结合函数的单调性可得，进而得到，再验证可得，进而判断D. 【详解】由，则， 则函数的定义域为， 则，， 则， 因为函数在处取得极大值， 所以，即， 此时， 则， 令，得或； 令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极大值，符合题意，即，故A正确； 由上述可知函数在上单调递减， 当时，，则，故B错误； 由， 则， ， 所以，故C正确； 因为，，则， 又函数在上单调递增，则， 所以， 又， 则，故D正确. 故选：ACD 10．ABD 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程 【分析】令，，问题化为过定点且与直线平行或重合的直线与曲线有交点，结合各项对应曲线的图形分析是否满足题设. 【详解】令，，， 等价于过定点且与直线平行或重合的直线与曲线有交点， 对于A：如下图，， 如图示，其中任意点在曲线上运动，都存在一点，使直线平行或重合，满足题设， 对于B：如下图，且， 如图示，其中任意点在曲线上运动，都存在一点，使直线平行或重合，满足题设， 对于C：如下图，，，则， 若与曲线相切且为切点，则，故，此时 令，则，即，故，即有与相切于， 如图示，此时不存在一点，使直线平行或重合，不满足， 对于D：如下图，，， 如图示，其中任意点在曲线上运动，都存在一点，使直线平行或重合，满足题设， 11．BCD 【难度】0.42 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由函数的单调区间求参数、利用导数研究方程的根 【分析】首先要根据题目中的函数方程，通过求导的方式得出函数的单调性，极值，然后再根据每一个选项的条件，分别进行解答. 【详解】函数，求导可得， 令，即，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 极大值为，极小值为， 选项A：函数在上单调性发生了变化，所以不是单调函数； 选项B：函数要有三个不同的零点，则要求的极大值大于且极小值小于， 即，解得； 选项C：当时，函数， 设切点坐标为，切线斜率为， 则切线方程为，化简可得， 根据题目可知，切线经过原点， 代入，可得，解得， 因为只有唯一解，所以当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条； 选项D：令，要使有个不同的实数根，则要求有个不同的实数根，，，且每个有个不同的实数根， 设满足题意，则方程的三个实数根均满足， 当参数为时，方程变为，三个实数根为， 此时要求根满足，该条件等价于， 由于和满足题意的条件完全相同，故的取值范围关于原点对称. 【点睛】验证C选项时，设切点坐标，写出切线的方程再把原点代入进行证明， 验证D选项时，能想到分别用和来进行证明. 12． 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】由题意，即，构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】存在，使得可得， 构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减， 则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 13．/ 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据零点所在的区间求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设为在上的零点，可得，转化为点在直线上，根据的几何意义，可得有解，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案． 【详解】设为在上的零点，可得， 所以，即点在直线， 又表示点到原点距离的平方， 则有解，即有解， 令，可得， 因为，， 所以恒成立， 可得在上为单调递增函数， 所以当时，， 所以，即的最小值为． 故答案为：. 14． 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】问题即恒成立，通过讨论确定，则，令，构造函数，利用导数求最大值. 【详解】的图象不在轴上方，即恒成立. 若，当时，，，所以，不合题意； 若，则，当时，，不合题意； 所以，且当时，由可得；当时，由可得， 又是增函数，所以当时，，即， 所以，令，则， 设，则，令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为， 即的最大值为. 15． 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】根据函数的解析式形式，利用同构函数法，结合函数的零点定义、导数的性质进行求解即可. 【详解】函数的定义域为. 令 ， 令，于是有， 设函数，因此函数是实数集上的增函数， 所以由， 由， 当时，由， 设， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此，且，当时，，当时，， 函数在定义域内有零点， 转化为函数在时，与直线有交点，如下图所示： 根据数形结合思想可知：当时，函数在时，总与直线有交点， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 答案第12页，共12页 答案第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $