4.1.3 三角形内角和与外角 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件围绕三角形内角和定理、直角三角形性质及外角定义与定理展开，通过测量锐角三角形内角和、撕拼验证等操作导入，衔接多种几何证明方法，搭建从具体操作到抽象推理的学习支架。 其亮点在于融合动手实践与逻辑推理，以“测量—撕拼—证明”培养几何直观（数学眼光），多种证法及方程思想应用提升推理能力（数学思维），破损玻璃等应用题体现应用意识（数学语言）。梯度化练习与“典例精析”设计，助力学生夯实基础，教师可高效开展分层教学。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第4章 三角形 4.1.3三角形内角和与外角 2026年8月8日 湘教版数学八年级上册4.1.3三角形内角和与外角同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 三角形内角和定理：任意一个三角形的三个内角的和等于180°。该定理适用于所有三角形，是角度计算的核心依据，常用于已知两角求第三角、角度推理证明等题型。 2. 直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角相加等于90°；反之，有两个角互余的三角形是直角三角形。 3. 三角形外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。每个三角形有六个外角，同一顶点的两个外角相等。 4. 三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，常用于角度大小比较和复杂角度推导。 二、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 三角形三个内角的和等于________°。 2. 在Rt△ABC中，一个锐角为35°，则另一个锐角为________°。 3. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________°。 4. 三角形的一个外角________任意一个与它不相邻的内角（填“大于”“小于”或“等于”）。 5. 在△ABC中，∠A=40°，∠B的外角为110°，则∠C=________°。 三、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 2. 下列关于三角形外角的说法正确的是（ ） A. 外角一定大于内角 B. 外角等于两个内角的和 C. 钝角三角形的外角都是锐角 D. 外角等于与它不相邻的两个内角和 3. 已知三角形一个外角是120°，其中一个不相邻内角为50°，则另一个不相邻内角为（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 4. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=70°，则∠C的外角为（ ） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 5. 若一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 四、解答题（每题8分，共32分） 1. 在△ABC中，已知∠A=2∠B，∠C=3∠B，求△ABC三个内角的度数。 2. 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠A=55°，∠B=45°，求∠ACD的度数。 3. 在△ABC中，∠A=70°，∠B、∠C的平分线相交于点O，求∠BOC的度数。 4. 已知一个三角形的两个内角分别为48°和72°，求第三个内角的度数以及最大内角的外角度数。 五、应用题（14分） 一块三角形破损玻璃，剩余两个完整内角分别为38°和52°，求这块三角形玻璃原本的最大内角度数，并判断该三角形的形状。 六、拓展提升题（14分） 在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=25°，∠C=55°，求∠DAE的度数。 七、参考答案与详细解析 （一）填空题答案 1. 180 解析：三角形内角和定理基础定义，任意三角形内角和恒为180°。 2. 55 解析：直角三角形两锐角互余，90°-35°=55°。 3. 70 解析：∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°。 4. 大于 解析：三角形外角性质，外角大于任意一个不相邻内角。 5. 70 解析：由外角定理，∠B外角=∠A+∠C，∠C=110°-40°=70°。 （二）选择题答案 1.B 解析：设角度为x、2x、3x，x+2x+3x=180°，解得x=30°，最大角90°，为直角三角形。 2.D 解析：外角大于不相邻内角，A错误；需强调“不相邻”，B错误；钝角三角形有外角为钝角，C错误。 3.C 解析：120°-50°=70°，依据外角定理计算。 4.A 解析：∠C=50°，外角=∠A+∠B=130°？修正：∠C=180°-60°-70°=50°，∠C外角=180°-50°=130°，选C。 5.B 解析：设∠A=∠B-∠C，结合内角和得∠B=90°，为直角三角形。 （三）解答题解析 1. 解：设∠B=x，则∠A=2x，∠C=3x。x+2x+3x=180°，解得x=30°。所以∠A=60°，∠B=30°，∠C=90°。 2. 解：根据外角定理，∠ACD=∠A+∠B=55°+45°=100°。 3. 解：∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，角平分线平分两角，∠OBC+∠OCB=55°，∠BOC=180°-55°=125°。 4. 解：第三个内角=180°-48°-72°=60°，最大内角为72°，外角=180°-72°=108°。 （四）应用题解析 解：最大内角=180°-38°-52°=90°，有一个角为直角，因此该三角形为直角三角形。答：最大内角为90°，三角形为直角三角形。 （五）拓展题解析 解：∠BAC=180°-25°-55°=100°，AE平分∠BAC，∠BAE=50°。AD为高，∠BAD=90°-25°=65°。∠DAE=∠BAD-∠BAE=65°-50°=15°。 本节习题围绕三角形内角和定理、直角三角形性质、外角定理三大核心考点设计，涵盖基础计算、概念辨析、几何推理等题型，梯度由浅入深，贴合湘教版教材教学要求，能够有效训练学生三角形角度计算与简单几何推导能力，夯实几何入门基础。 思考： 任意三角形的内角和都是180° 吗？为什么？ 折叠 锐角三角形 测量 40° 68° 72° 40°＋68°＋72°＝180° （请同学们运用学科工具——量角器测量演示） 还有其他的方法吗？ 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来证明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角撕下来拼合在一起. 三角形的内角和定理的证明 1 三角形内角的和等于 180°. 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. 已知：△ABC . 证法1：过点 A 作 l∥BC， 则∠B =∠1，∠C =∠2 (两直线平行，内错角相等). ∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180°， ∴∠B +∠C +∠BAC = 180°. 1 2 验证结论 证法2：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA， 则∠A =∠1 (两直线平行，内错角相等)， ∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠EDF +∠AED = 180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 想一想：同学们还有其他的证法吗？ 知识点1 三角形的内角和等于 1.［2025长沙期中］如图，在中， ， ，则 的度数为( ) C （第1题） A. B. C. D. 返回 举一反三 8 2.如图，已知，， ，则 的度数为 ( ) A （第2题） A. B. C. D. 返回 举一反三 9 3.［2024长沙中考］如图，在 中， ， ，，则 的 度数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 10 例1 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的 3 倍，∠C 比∠B 大 15°，求∠A，∠B，∠C 的度数. 解：设∠B 为 x°，则∠A 为 (3x)°，∠C 为 (x + 15)°， 从而 3x + x + (x + 15)＝180， 解得 x＝33. 所以 3x＝99，x + 15＝48. 答：∠A，∠B，∠C 的度数分别为 99°，33°，48°. 几何问题借助方程来解， 这是一个重要的数学思想. 典例精析 一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？ 因为三角形的内角和等于 180°，因此最多有一个直角或一个钝角. 说一说 1.三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形； 锐角三角形 3.有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形. 钝角三角形 2.有一个角是直角的三角形叫作直角三角形， 直角三角形 直角边 直角边 斜边 A B C 直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC； 两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形. 定义 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，可得到∠ACD.像这样，把三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角. ∠ACD 是△ABC 的一个外角 C B A D 三角形的外角的概念 2 A B C 画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有 6 个外角． 每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角. 三角形的外角应具备的条件： ① 角的顶点是三角形的顶点； ② 角的一边是三角形的一边； ③ 另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD 是△ABC 的一个外角， C B A D 每一个三角形都有 6 个外角． 归纳总结 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 问题1 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角 ∠ACB 有什么关系？ ∠BCD 与∠ACB 互补. 三角形的外角的性质 3 问题2 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两内角 (∠A，∠B ) 有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°， ∴∠BCD =∠A +∠B. 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ 三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： 因为∠ACD 是△ABC 的一个外角， 所以∠ACD =∠A +∠B. 知识要点 4.在中， ，，则 _____. 返回 举一反三 20 5. ［教材 探究变式］数学课上，同学们通过撕、拼 的方法，探索、验证三角形的内角和等于 .下面是小彬的课堂笔记， 请阅读操作方法，补全说理过程. 举一反三 21 如图①，的三个内角分别为，，.将和 撕下，按图 ②的方式摆拼，使和的顶点均与的顶点重合，的一边与 重合，的一边与 重合. _______________________________________________________________________________________ 举一反三 22 解：由操作可知 ， 所以 （________________________）. 同理， ，所以____//____. 因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点 ， ，在同一条直线上，所以_____ ， 即________ ______. 内错角相等，两直线平行 180 返回 举一反三 23 例2 如图，已知 AD 是∠ABC 的角平分线， ∠ADB = 98°，∠C = 70°，求∠B 的度数. 解 因为∠ADB =∠C + ∠CAD， 所以∠CAD =∠ADB－∠C = 98°－70° = 28°. 又∠BAD =∠CAD， 所以∠BAD = 28°. 因此，∠B = 180°－∠ADB－∠BAD = 54°. 如图①，试比较∠2 、∠1的大小； 如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 图① 图② 解：因为∠2 =∠1 +∠B， 所以∠2＞∠1. 解：因为∠2 =∠1 +∠B， ∠3 =∠2 +∠D， 所以∠3＞∠2＞∠1. 拓展探究 三角形的外角大于与它不相邻的内角. A B C D ( ( 1 2 3 A B C D ( ( ( 1 2 E 由三角形的内角和定理易得 ∠A +∠B =∠C +∠D. 归纳总结 A B C D 由三角形的外角和定理易得 ∠BDC = ∠A +∠B +∠C. “8”字形 “燕尾蝶”形 知识点2 三角形按角分类 6.一个三角形的两条边分别为3和3，且有一个角是 ，这个三角形是 ( ) C A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 返回 举一反三 27 7.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分 类，其中不能判断三角形类型的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 28 知识点3 三角形的外角 8.下图中 是三角形的一个外角的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 29 （第9题） 9.［2025永州期中］如图，中，，， 三 点共线， ， ，则 的度 数为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 30 10.将一副三角板按如图所示摆放，则 的度数是( ) C （第10题） A. B. C. D. 返回 举一反三 31 （第11题） 11.如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点 的对应点为点，交于点.若 ， 则 的度数为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 32 12.如图是可调躺椅示意图，与的交点为， ， ， ， .为了舒适，需调整 的大小，使 ，且，，保持不变，则 应调整为_____. （第12题） 返回 举一反三 33 13.如图，是的外角 的平分线，且 交的延长线于点 . （1）若 ， ，求 的度 数； 解：因为平分 ， 所以 . 因为 ， ， 所以 . 因为 ， 所以 . 举一反三 34 （2）试说明： . 解：因为平分，所以 . 因为， ， 所以 . 返回 举一反三 35 14. 如图所示，是 的 外角，的平分线与 的平分线交于点 ，的平分线与 的平分线交于点 ，， 的平分线与 的平分 线交于点，点为 延长线上一动点，连接 C A. B. C.的值为定值 D. 的值为定值 ，的平分线与的平分线交于点，设 ，下列 结论正确的是( ) 返回 举一反三 36 三角形 三角形内角和定理 三角形外角的性质 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三个内角的和为180° ↑ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ↓ 课堂小结 谢谢观看 THANKS $