4.1认识三角形(内角与外角)（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

4.1认识三角形(内角与外角) （10大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 证明三角形内角和 题型二 应用三角形内角和定理求角度 题型三 三角形内角和与平行线的综合应用 题型四 三角形内角和与角平分线的综合应用 题型五 应用三角形内角和定理解决三角板问题 题型六 外角的定义 题型七 由三角形的外角性质求角度 题型八 应用三角形的外角性质比较角度大小 题型九 三角形的外角性质与角平分线的综合 题型十 三角形的外角性质与平行线的综合 能力提升题 题型一 三角形折叠中的角度问题 题型二 应用三角形内角和定理探究角的数量关系 题型三 三角形内角和定理与新定义问题综合 题型一 证明三角形内角和 1．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 3.如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    4.下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） 已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）．    A．★处填2 B．■处填1 C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义 题型二 应用三角形内角和定理求角度 5．如图，中，，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6.若的三个内角之比为，那么中最大角的度数为 ． 7.在中，，且，则的度数为 ． 8．如图，在中，点，分别在边，上，，若，求的度数． 9．已知：如图我们把它称为“8字形”，试说明：． 题型三 三角形内角和与平行线的综合应用 10．如图，在中，，直线经过点A且．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 11．如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 12．如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 13．如图，已知直线，直线分别与直线、交于点、，交直线于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14.如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 题型四 三角形内角和与角平分线的综合应用 15．如图，在中，，，平分，交于，，交于点，则的大小是（   ） A． B． C． D． 16．如图，直线，，分别平分，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 17.如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ． 题型五 应用三角形内角和定理解决三角板问题 18．将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（　　） A． B． C． D． 19．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 20．一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 21．一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 22．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型六 外角的定义 23.如图，点在线段的延长线上，过点作射线交于点，则下列是的外角的是（    ）    A． B． C． D． 24.如图，是 和 的外角；以为一边长的三角形有 个．    25．下列语句中，正确的是（    ） A．三角形的外角和大于它的内角和 B．三角形的一个外角等于它的两个内角的和 C．三角形的内角小于它的外角 D．三角形的外角和是 题型七 由三角形的外角性质求角度 26．如图，已知，点D在的延长线上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，分别是，上一点，，相交于点．若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 28．如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数． 29．如图，点D、B、C在同一直线上，，求的度数． 30．如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若是高，，求的度数； (3)若是角平分线，，求的度数． 题型八 应用三角形的外角性质比较角度大小 31.如图，点D为的边BC延长线上一点，关于与的大小关系，下列说法正确的是(   ) A． B． C． D．无法确定 32.如图，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是(     ). A．∠A＞∠DOE＞∠BEC B．∠DOE＞∠A＞∠BEC C．∠BEC＞∠DOE＞∠A D．∠DOE＞∠BEC＞∠A 33.如图，点是内一点，连接并延长交于，连接，则图中的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型九 三角形的外角性质与角平分线的综合 34．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 35．如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（    ）度 A．50 B．55 C．80 D．65 36．如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型十 三角形的外角性质与平行线的综合 37．如图， ，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 38．如图，在四边形中，，点为边上一点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 39．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 40．如图，点D在边的延长线上，．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 41.已知：． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，，点P在射线上，，射线交于点M，补全图形后请探究的数量关系，并证明你的结论． ． 题型一 三角形折叠中的角度问题 42．数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 43．如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 44．如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 45．如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 46．如图，把三角形纸片分别沿所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型二 应用三角形内角和定理探究角的数量关系 47.在中，，平分，F为射线上一点（不与点E重合），且于D；    (1)如图1，当点F与点A重合，且，时，求的度数； (2)如果点F在线段上（不与点A重合）时，如图2，直接写出、、的数量关系． 48.如图，ABCD，E为线段CD上一点，∠BAD＝n°，n＝15xy，且． (1)求n的值． (2)求证：∠PEC﹣∠APE＝135°． (3)若P点在射线DA上运动，直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A、D重合的情况） 题型三 三角形内角和定理与新定义问题综合 49.我们定义： 【概念理解】 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的 4 倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”. 【简单应用】 如图 1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM 交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB 于点C（点 C不与 O，B重合） （1）∠ABO＝ ，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”； （2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”． 【应用拓展】 如图 2，点D在△ABC 的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使，．若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度数． 50.新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则称△ABC为“n倍角三角形”. 例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”. (1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“_______倍角三角形”. (2)如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数. 51．如图1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． (1)证明：；（过程中不要求写依据） (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图2，若，则当______°时，； ②如图3，请直接写出此时之间的数量关系是______； ③在整个平移的过程中，若，则当时，的度数为______． 52．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图，其中； 乙同学的操作如图，落在所在直线上； 丙同学的操作如图，落在上，落在上． 【阅读理解】 (1)求出图中的度数； (2)图3中______； (3)求出图中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1认识三角形(内角与外角) （10大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 证明三角形内角和 题型二 应用三角形内角和定理求角度 题型三 三角形内角和与平行线的综合应用 题型四 三角形内角和与角平分线的综合应用 题型五 应用三角形内角和定理解决三角板问题 题型六 外角的定义 题型七 由三角形的外角性质求角度 题型八 应用三角形的外角性质比较角度大小 题型九 三角形的外角性质与角平分线的综合 题型十 三角形的外角性质与平行线的综合 能力提升题 题型一 三角形折叠中的角度问题 题型二 应用三角形内角和定理探究角的数量关系 题型三 三角形内角和定理与新定义问题综合 题型一 证明三角形内角和 1．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 2．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 3.如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 4.下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） 已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）．    A．★处填2 B．■处填1 C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义 【答案】D 【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可． 【详解】证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴1，2（两直线平行，内错角相等）． ∵（平角定义）， ∴（等量代换）．    故选D 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． 题型二 应用三角形内角和定理求角度 5．如图，中，，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理． 设，根据三角形的内角和定理，结合已知可得，可得，从而可得，即为的度数． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：B． 6.若的三个内角之比为，那么中最大角的度数为 ． 【答案】 【分析】三角形的内角和为，然后按比例分配即可． 【详解】解：由题意得，最大角为． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 7.在中，，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和为即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为． 8．如图，在中，点，分别在边，上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，先根据三角形内角和定理得出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 9．已知：如图我们把它称为“8字形”，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，对顶角相等．根据三角形内角和定理，可得，，再由对顶角相等，即可解答． 【详解】解：在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三 三角形内角和与平行线的综合应用 10．如图，在中，，直线经过点A且．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的概念，先由，得，再运用，代数进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ 故选：D． 11．如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 12．如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 13．如图，已知直线，直线分别与直线、交于点、，交直线于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线,三角形的内角和定理等知识点，由垂直的定义得，可得，由平行线的性质推出，熟练掌握平行线的性质，垂线,三角形的内角和的综合应用是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 14.如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 【答案】 【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解， 本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型四 三角形内角和与角平分线的综合应用 15．如图，在中，，，平分，交于，，交于点，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质；根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 16．如图，直线，，分别平分，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义得，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 17.如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和以及角平分线的定义是解题的关键．首先根据三角形的内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求得的度数，则可以求解，然后在中，利用内角和定理即可求得的度数． 【详解】，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型五 应用三角形内角和定理解决三角板问题 18．将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，直接利用三角板的性质结合平行线的性质分析得到，根据三角形的内角和得到，再根据对顶角相等得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：． 19．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 20．一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解决问题是解本题的关键．由同角的余角相等可判断①，求解从而可判断②，证明可判断③，画好的示意图，证明可判断④，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：， ，故①符合题意； 如图，，， ， ， 与不平行，故②不符合题意； ，， ， ∴，故③符合题意； 如图，当时， ， ， ， ， ，故④符合题意； 故选：B． 21．一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质、三角形内角和为，掌握其性质及两特殊三角形角的度数是解题的关键． 由题可知，，再结合角平分线及三角形内角和为即可求解． 【详解】根据题意， ， 又平分，平分， 所以， 在中，， 解得． 故选：C． 22．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角板中的角度计算，三角形外角的性质，先根据三角板的知识得出，再根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：如图， ， ， 故选：C． 题型六 外角的定义 23.如图，点在线段的延长线上，过点作射线交于点，则下列是的外角的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，据此即可求解． 【详解】解：根据三角形外角的定义可知： 是的外角， 故选：C． 24.如图，是 和 的外角；以为一边长的三角形有 个．    【答案】 4 【分析】本题考查了三角形的认识及三角形外角的定义，熟记三角形的定义：“三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”及三角形外角的定义：“三角形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角”是解题的关键． 【详解】解：根据图形可得：是和的外角； 以为一边长的三角形有：，，，，共4个； 故答案为：；；4． 25．下列语句中，正确的是（    ） A．三角形的外角和大于它的内角和 B．三角形的一个外角等于它的两个内角的和 C．三角形的内角小于它的外角 D．三角形的外角和是 【答案】A 【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理，根据三角形外角的性质和内角和定理进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的外角和大于它的内角和，故符合题意； B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故不符合题意 C、三角形的内角不一定小于它的外角，故不符合题意； D、三角形的外角和是，故不符合题意； 故选：A． 题型七 由三角形的外角性质求角度 26．如图，已知，点D在的延长线上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可作答． 【详解】解：∵是的外角，， ∴． 故选：B 27．如图，在中，，分别是，上一点，，相交于点．若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、对顶角相等，由三角形外角的定义及性质得出，由三角形内角和定理计算出，最后再由对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 28．如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】本题考查三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为．根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答． 【详解】解： ， ， ， ． 29．如图，点D、B、C在同一直线上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角，根据三角形的内角和定理，求出的度数，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵在中，． ∴． 又∵， ∴，    又∵， ∴． 又∵． 30．如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若是高，，求的度数； (3)若是角平分线，，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键． （1）根据的周长为：，的周长为：，可得与的周长差为：，再根据中线定义得，以及，即可得出答案； （2）根据是的平分线得，再根据是的高得，再由三角形外角性质得，据此即可得出答案； （3）根据得，再根据角平分线定义得，然后再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】（1）解：的周长为：， 的周长为：， 与的周长差为：， 是的中线， ， 又，， ， 即与的周长差为：1． 故答案为：1． （2）解：是的平分线，， ， 是的高， ， ； （3）解：在中，， ， 是的平分线，是平分线， ，， ， ． 题型八 应用三角形的外角性质比较角度大小 31.如图，点D为的边BC延长线上一点，关于与的大小关系，下列说法正确的是(   ) A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质分析即可得解． 【详解】解：∵是的外角， ∴． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的外角大于任意一个与其不相邻的内角是解题的关键． 32.如图，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是(     ). A．∠A＞∠DOE＞∠BEC B．∠DOE＞∠A＞∠BEC C．∠BEC＞∠DOE＞∠A D．∠DOE＞∠BEC＞∠A 【答案】D 【详解】解：在△ABE中，∠BEC=∠A+∠B，所以，∠BEC＞∠A，在△COE中，∠DOE=∠BEC+∠C，所以，∠DOE＞∠BEC，所以，∠DOE＞∠BEC＞∠A．故选D． 点睛：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 33.如图，点是内一点，连接并延长交于，连接，则图中的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据三角形外角的性质可排除选项． 【详解】解：由题意得： ∠1=∠2+∠DCP，∠2=∠A+∠ABD， ； 故选D． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 题型九 三角形的外角性质与角平分线的综合 34．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题的关键是掌握一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 根据角平分线的定义得到，，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∴． 故选：A． 35．如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（    ）度 A．50 B．55 C．80 D．65 【答案】C 【分析】根据角平分线定义得出，，根据三角形内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，求出，则，即可求解． 【详解】 解：平分，平分， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 36．如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角，运用方程思想是解题的关键；设，根据三角形的内角和定理，三角形的外角分别求出，，再根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ， ， ，， ， ，分别是的外角，的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 题型十 三角形的外角性质与平行线的综合 37．如图， ，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 38．如图，在四边形中，，点为边上一点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由，，可求得，已知，利用三角形外角定理可知，则题目可求． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， ． 故选：C． 39．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，延长交于点，由平行线的性质可得，即得，再根据三角形的外角性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 40．如图，点D在边的延长线上，．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，掌握三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，两直线平行内错角相等是解题的关键． 根据可得，再由三角形外角的性质得到即可求解． 【详解】， （两直线平行，内错角相等）， 又是的外角， 所以， ． 故选：B． 41.已知：． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，，点P在射线上，，射线交于点M，补全图形后请探究的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)答案见解析 (2)2（∠BMC+∠AEB）=3∠CAB，证明见解析 【分析】（1）如图1，过F作FH∥AB，根据平行线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠FDC，由等量代换得到∠BFC=∠ABE+∠FCD，即可得到结论； （2）设∠BCP=∠DCP=，∠ABE=∠PBF=，∠PCF=，根据已知条件得到 ，由（1）知，∠AEB=∠ABE+∠DCF=，∠E=∠PBF+∠DCF=∠PBF+∠DCP－∠PCF=，于是得到2（∠BMC+∠E）=2（）=6，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，过F作FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠1=∠2，∠3=∠FDC， ∵∠2=∠ABE， ∴∠1=ABE， ∵∠BFC=∠1+∠3， ∴∠BFC=∠ABE+∠FCD， ∵∠ABE=∠BFC， ∴∠AEB=∠ABE+∠DCF； （2）解：设∠BCP=∠DCP=，∠ABE=∠PBF=，∠PCF=， ∵∠BCF=2∠ABE， ∴，即， 由（1）知，∠AEB=∠ABE+∠DCF=，∠E=∠PBF+∠DCF=∠PBF+∠DCP－∠PCF=， ∴2（∠BMC+∠E）=2（）=6， ∵3∠CAB=3（∠E+∠ABE）=3（）=6， ∴2（∠BMC+∠AEB）=3∠CAB． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角与外角的关系，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． ． 题型一 三角形折叠中的角度问题 42．数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． 43．如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理．利用三角形内角和定理，先求出，再利用翻折变换的性质求出，再根据，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 沿向内折叠得到， ，，， 在中，， ， ， ， 故选：C． 44．如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠的性质可知，，求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴． 在中，，， ∴． 故选：． 45．如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的折叠问题，注意折叠前后的两个图形完全重合．由折叠可得：，，再根据三角形的内角和求出，最后根据平角数为定义即可求解． 【详解】解：由翻折得到，， ，， ， ． 故选：D． 46．如图，把三角形纸片分别沿所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可得：，，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型二 应用三角形内角和定理探究角的数量关系 47.在中，，平分，F为射线上一点（不与点E重合），且于D；    (1)如图1，当点F与点A重合，且，时，求的度数； (2)如果点F在线段上（不与点A重合）时，如图2，直接写出、、的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，，由角平分线的性质易得的度数，可得； （2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出，外角的性质得出，在中，由三角形内角和定理可得． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． 在中， 在中． （2） 证明：平分， 为的外角， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键． 48.如图，ABCD，E为线段CD上一点，∠BAD＝n°，n＝15xy，且． (1)求n的值． (2)求证：∠PEC﹣∠APE＝135°． (3)若P点在射线DA上运动，直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A、D重合的情况） 【答案】(1)n＝45 (2)见解析 (3)①当P在线段AD上时，∠PEC+∠APE＝225°②当P在A点左边时，∠PEC﹣∠APE＝45° 【分析】（1）根据非负数的性质可求x＝1，y＝3，再代入n＝15xy计算可求n的值． （2）作PFAB，根据平行线的性质可得∠APF＝135°，再根据平行线的性质得到∠PEC＝∠FPE，根据等量关系即可求解； （3）分两种情况：①当P在线段AD上时；②当P在A点左边时；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴x﹣1＝0，y﹣3＝0， ∴x＝1，y＝3， ∴n＝15×1×3＝45； （2）证明：如图1，过P作PFAB，则∠APF＝180°﹣∠BAD＝135° ∵ABCD， ∴CDPF， ∴∠PEC＝∠FPE， ∴∠PEC﹣∠APE＝∠APF＝135°； （3）解：分两种情况： ①当P在线段AD上时，如图2， ∵ABCD， ∴∠ADC＝∠BAD＝45°， ∴∠DPE+∠DEP＝180°﹣45°＝135°， ∴∠PEC+∠APE＝360°﹣135°＝225°； ②当P在A点左边时，如图3， ∵∠PEC＝∠APE+∠PDE， ∴∠PEC﹣∠APE＝∠PDE＝45°． 【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 题型三 三角形内角和定理与新定义问题综合 49.我们定义： 【概念理解】 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的 4 倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”. 【简单应用】 如图 1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM 交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB 于点C（点 C不与 O，B重合） （1）∠ABO＝ ，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”； （2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”． 【应用拓展】 如图 2，点D在△ABC 的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使，．若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度数． 【答案】【简单应用】：（1）18°，是；（2）详见解析；【应用拓展】： 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余即可求出∠ABO=18°，由∠MON=4∠ABO，故为完美三角形；（2）根据垂直的性质与三角形的内角和求出∠OAC，即可得出△AOC是“完美三角形”（3）先由证得，，再根据△BCD是“完美三角形”，得出，再根据三角形的内角和求出∠B的度数. 【详解】（1）∠ABO=90°-∠MON =18°， ∵∠MON=4∠ABO ∴△AOB是“完美三角形”； （2） 证明： 是“完美三角形” （3） 是“完美三角形” 【点睛】此题主要考查三角形的角度计算，解题的关键是熟知平行线的性质与角平分线的性质. 50.新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则称△ABC为“n倍角三角形”. 例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”. (1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“_______倍角三角形”. (2)如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数. 【答案】(1)2 (2)18°或54° 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断； （2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案． 【详解】（1）解：在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°， 则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°， ∴∠D＝2∠E， ∴△DEF为“2倍角三角形”， 故答案为：2； （2）解：∵∠C＝36°， ∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°， ∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D， ∴∠DAB＝∠BAC，∠DBA＝∠ABC， ∴∠DAB+∠DBA＝×144°＝72°， ∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°， ∵△ABD为“6倍角三角形”， ∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD， 当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°， 当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°， 综上所述，∠ABD的度数为18°或54°． 【点睛】本题考查的是新定义、三角形内角和定理、角平分线的定义，正确理解n倍角三角形的定义是解题的关键． 51．如图1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． (1)证明：；（过程中不要求写依据） (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图2，若，则当______°时，； ②如图3，请直接写出此时之间的数量关系是______； ③在整个平移的过程中，若，则当时，的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2)①20；②；③或130 【分析】（1）利用“两直线平行，同旁内角互补”及“同旁内角互补，两直线平行”即可证明； （2）①利用平行直线的性质，三角形内角和定理，平角的概念即可求解；②设与相交于，根据得到同位角相等，再利用三角形内角和定理即可得到答案；③分两种情况讨论．情况一：点在线段上；情况二：点在的延长线上．辅助线：过D作的平行线与相交，利用直线平行的性质及已知条件即可求解． 本题考查了直线平行的性质与判定，三角形内角和定理等，作出合适的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ． ， ． （2）解：①如图： 由题知， ∴①， 在中，②， ①－②，得，即③． ∵， ∴④， ③＋④，得， ∴， 故答案为：20； ②如图，设与相交于， 由题可知， ∴， ∵， 即， 故答案为：； ③当点在线段上时，如图： 过点作交于点，则． ， ， ∴． 又∵， ． ∵，即，， ∴， ； 如图： 当点在的延长线上时，过点作交于点， 则． ∵， ∴， ∴． 又∵ ． ∵，即，， ∴ ． 综上所述，的度数为或． 52．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图，其中； 乙同学的操作如图，落在所在直线上； 丙同学的操作如图，落在上，落在上． 【阅读理解】 (1)求出图中的度数； (2)图3中______； (3)求出图中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，即可求解． （2）根据折叠的性质得，，从而可得，即可求解． （3）根据折叠的性质可得，再由，即可求解． （4）分两种情况：当三角形与三角形不重叠时，当三角形与三角形重叠时，先表示出的度数，再根据和进行求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴； （2）由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为：； （3）由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴，即； （4）的度数为或．分两种情况进行讨论： 当三角形与三角形不重叠时，如图1所示： 由折叠的性质得：， ∴， ∵，即，， ∴； 当三角形与三角形重叠时，如图2所示： 由折叠的性质得：，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 综上所述：的度数为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $