4.2 命题与证明 课件 2026--2027学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件围绕三角形定理、推论及命题证明展开，通过“三角形内角和定理”实例导入概念，结合外角和计算与证明，搭建从已知（内角和）到新知（外角和、逆定理）的学习支架，帮助学生构建逻辑脉络。 其亮点在于以“探索展示”引导猜测-证明过程，培养推理能力（数学思维），通过规范证明步骤（例1及课堂练习）强化数学语言表达（应用意识）。中考考点结合实例，小结提问促反思，助力学生提升逻辑思维，教师可高效落实素养目标。

第4章 三角形 4.2.3 定理，推论 学习目标 1．通过具体事例掌握定理、推论、逆定理、互逆定理等概念． 2．掌握命题证明的过程与方法，会写规范的证明过程． 3．培养学生的逻辑思维能力． 任务导入 我们把经过证明为真的命题叫作定理. 例如，“三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”. 定理也可以作为判断其他命题真假的依据， 利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 例如，利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角 等于与它不相邻的两个内角的和"，于是可将这一结论称为“三角形 的内角和定理的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”. 探索展示 如图，在△ABC中，已知∠BAC = 80°，∠ABC = 60°， ∠BCA = 40°， ∠ACE， ∠CBD，∠BAF 是△ABC 的三个外角， 问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？ A B C D E F 60O 80O 40O ∵ ∠ACE = 180°- 40°= 140° ∠CBD = 180°-60°= 120° ∠BAF =180°-80°= 100° ∴ ∠ACE + ∠CBD + ∠BAF = 140°+ 120°+ 100°= 360° 猜测：三角形的三个外角之和等于360°. 探索展示 猜测：三角形的三个外角之和等于360°. A B D C E F 证：如图 ，△ABC的三个外角分别为∠BAF，∠CBD，∠ACE. ∵ ∠BAF = 180°- ∠BAC ∠CBD = 180°-∠ABC ∠ACE = 180°-∠ACB ∴ ∠BAF + ∠CBD + ∠ACE =(180°- ∠BAC)+(180°- ∠ABC)+(180°- ∠ACB) = 540°-(∠BAC + ∠ABC + ∠ACB) = 540°- 180° = 360° 由此可得：三角形的外角和等于360°. 探索展示 平行线的性质定理1“两直线平行，同位角相等” 与平行线的判定定理1“同位角相等，两直线平行”是互逆定理. 如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的 逆定理，并将这两个定理称为互逆定理. 平行线的性质定理1“两直线平行，同位角相等”的逆命题 “同位角相等，两直线平行”也是真命题 应用提升 例1 证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边. 分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明. 已知：如图，在△ABC中，∠B = ∠C，AE是外角∠CAD 的平分线. 求证：AE∥BC. A B C D E 证：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得 ∠CAD = ∠B + ∠C 又∵∠B = ∠C ∴ ∠CAD = 2∠B ∵ AE是∠CAD的平分线 ∴ ∠CAD = 2∠DAE 从而 2∠B = 2∠DAE 即∠B = ∠DAE ∴ AE∥BC(同位角相等，两直线平行). 应用提升 证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件； 第二步，根据命题的结论写出求证； 第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经 证明了的定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论. 应用提升 课堂练习 1.证明：如图，在四边形 ABCD 中，如果 ∠A + ∠B = 180°， 那么 ∠C +∠D = 180°. A B C D 证： 在四边形 ABCD 中 ∵ ∠A + ∠B = 180° ∴ AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行) 从而 ∠C +∠D = 180°(两直线平行, 同旁内角互补) 应用提升 课堂练习 2.如图，直线 AB，CD 被直线 MN 所截，且 ∠1 = ∠2. 求证：∠3 + ∠4 =180°. A C D B M N 1 2 3 4 证： ∵ ∠1=∠2 ∴ AB∥CD(同位角相等，两直线平行) 从而 ∠3+∠4=180° (两直线平行, 同旁内角互补) 应用提升 课堂练习 3.如图，线段AB与CD相交于点E. 求证：∠A + ∠C = ∠B + ∠D. A B D C E 证： ∵ AB与CD 相交于点E ∴ ∠AEC=∠BED (对顶角相等) 又 ∵∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180° (三角形内角和等于180°) ∴ ∠A + ∠C = ∠B + ∠D 中考考法 B A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 下列定理中没有逆定理的是( ) D A. 同位角相等，两直线平行 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 互为相反数的两数之和为0 D. 对顶角相等 返回 中考考法 3. ［2025遂宁开学考试］下列说法中，正确的是( ) C 返回 中考考法 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 返回 中考考法 5.定理“两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行， 那么同位角相等”有逆定理吗?如果有，请将其逆定理写出. 【解】有.逆定理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角 相等，那么这两条直线平行. 返回 中考考法 中考考法 中考考法 续表 中考考法 中考考法 返回 课堂小结 1.证明一个命题是真命题的基本步骤是什么? 2.用反证法证明应分几步? 谢谢观看！ $