四川省达州市外国语学校2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题

**基本信息** 立足开学检测，融合文化情境与分层设计，覆盖初中数学核心知识，通过茶文化、榫卯结构等素材考查几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|轴对称（茶文化标识）、整式运算、概率|文化情境与基础概念结合| |填空题|10/40|无理数、折叠问题、勾股树（面积计算）|榫卯结构函数建模，体现应用意识| |解答题|8/78|全等证明、动态几何（旋转）、函数实际问题|分层设计，A卷巩固基础（如三角形判定），B卷创新拓展（如高斯函数、完全平方公式）|

四川省达州市外国语学校2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题 卷面满分：150分 测试时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．中国茶文化源远流长，博大精深，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（　　） A．（a2+ab2）÷a＝a+b B．3y•2x2y＝6x2y2 C．（﹣3x）2＝6x2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 3．乐乐是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，乐乐进球的概率为，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（　　） A．乐乐明天肯定进球 B．乐乐明天有可能进球 C．乐乐明天比赛每射球5次必进球1次 D．乐乐明天的进球率为10% 4．如图，直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1＝48°，则∠2等于（　　） A．132° B．138° C．156° D．159° 5．若一个等腰三角形的两边长分别为2和6，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．14 B．10 C．14或10 D．12或9 6．下列说法错误的是（　　） A．±3是9的平方根 B．的平方根为±4 C．25的平方根为±5 D．负数没有平方根 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到斜边AB的距离是（　　） A． B． C．9 D．6 8．如图，CB＝1，且OA＝OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．在下列实数中：①﹣2π，②（﹣1）2027，③，④，⑤1.010010001…（两个1之间依次多1个0），属于无理数的是_________．（直接填写序号） 10．如图，将一张长方形纸条沿AB折叠，已知∠1＝50°，则∠2的度数为 　　 ． 11．中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为________． 12．已知x，y都是实数，0，则x+y的值为________． 13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积是　　 ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．计算：（1）； （2）x2﹣16＝0； （3）4（x+1）2＝81． 15．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝4，BC＝3，． （1）AD的值； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 16．如图，在正方形网格中，点A，B，C，M，N都在格点上． （1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A1B1C1； （2）若网格中最小正方形边长为1，求△ABC的面积； （3）在直线MN上找一点P，使得PC﹣PA1的值最大，并画出点P的位置． 17．如图，点D是等边△ABC内一点，E是△ABC外的一点，∠CDB＝130°，∠BDA＝α，△BDA≌△CEA． （1）求证：△AED是等边三角形； （2）若△CDE是直角三角形，求α的度数． 18．如图1，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，∠ACE＝45°． （1）求证：△AEF≌△CEB． （2）若G在BC的延长线上，连接GA，若GA＝GB，求证：AC平分∠DAG． （3）如图2，在（2）的条件下，H为AG的中点，连接DH交AC于M，连接EM、ED，若S△EMC＝4，∠BAD＝15°，求AM的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若一个直角三角形的三边分别为x，4，5，则x2＝　　 ． 20．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别垂直于AB，AC，如果S△ABC＝18cm2，AC＝7cm，AB＝9cm，那么DF＝　　 cm． 21．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数y＝[x]称为取整函数，也称高斯函数，即[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣0.6]＝﹣1，[2]＝2，则　　 ． 22．要使多项式（x﹣1）（x+3）（x﹣4）（x﹣8）+m为一个完全平方式，则m等于　196　 ． 23．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于 　　 ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与线段BA延长线交于点F，点E在线段CF上，且∠AEF+∠FCD＝180°． （1）求证：AE∥BC； （2）若∠B＝28°，∠ACF＝62°，求∠BAC的度数． 25．某工厂车间内甲乙两人需要完成相同数量的产品包装工作．他们同时开始工作，1小时后甲离开车间一段时间后又返回车间继续工作，两人恰好同时完工．在包装过程中两人工效始终不变，且甲的工效为乙的两倍．设乙的加工时间为x（时），甲包装的产品数量为y1（个），乙包装的产品数量为y2（个），其图象如图所示： （1）求y2与x之间的关系式； （2）求m，n的值； （3）当x为何值时，甲包装的产品数量比乙包装的产品数量少20个？ 26．【发现证明】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系． 小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF＝BE+FD． 【类比引申】（1）如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系，并证明； 【联想拓展】（2）如图3，如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E、F在边BC上，且∠EAF＝45°，若BE＝3，EF＝5，求CF的长． 参考答案 四川省达州市外国语学校2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题 卷面满分：150分 测试时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．中国茶文化源远流长，博大精深，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项错误； B．不是轴对称图形，故本选项错误； C．是轴对称图形，故本选项正确； D．不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：C． 2．下列运算正确的是（　　） A．（a2+ab2）÷a＝a+b B．3y•2x2y＝6x2y2 C．（﹣3x）2＝6x2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 【解答】解：（a2+ab2）÷a＝a+b2，故A错误，不符合题意； 3y•2x2y＝6x2y2，故B正确，符合题意； （﹣3x）2＝9x2，故C错误，不符合题意； （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，故D错误，不符合题意； 故选：B． 3．乐乐是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，乐乐进球的概率为，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（　　） A．乐乐明天肯定进球 B．乐乐明天有可能进球 C．乐乐明天比赛每射球5次必进球1次 D．乐乐明天的进球率为10% 【解答】解：∵乐乐进球的概率为， ∴乐乐明天将参加一场比赛，有可能进球，也有可能不进球． 故选：B． 4．如图，直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1＝48°，则∠2等于（　　） A．132° B．138° C．156° D．159° 【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝48°， ∴∠GEB＝∠1＝48°， ∵EF为∠GEB的平分线， ∴∠FEB∠GEB＝24°， ∵AB∥CD， ∴∠2+∠FEB＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠FEB＝156°． 故选：C． 5．若一个等腰三角形的两边长分别为2和6，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．14 B．10 C．14或10 D．12或9 【解答】解：当2为底时，其它两边都为6，2、6、6可以构成三角形，周长为14； 当2为腰时，其它两边为2和6，因为2+2＜6，所以不能构成三角形，故舍去． 故这个等腰三角形的周长为14． 故选：A． 6．下列说法错误的是（　　） A．±3是9的平方根 B．的平方根为±4 C．25的平方根为±5 D．负数没有平方根 【解答】解：A、±3是9的平方根，正确，故本选项不符合题意； B、的平方根为±2，故B不正确，故本选项符合题意； C、25的平方根为±5，正确，故本选项不符合题意； D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到斜边AB的距离是（　　） A． B． C．9 D．6 【解答】解：设点C到斜边AB的距离是h， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12， ∴AB15， ∴h． 故选：A． 8．如图，CB＝1，且OA＝OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵BC⊥OC， ∴∠BCO＝90°， ∵BC＝1，CO＝2， ∴OB＝OA， ∵点A在原点左边， ∴点A表示的实数是． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．在下列实数中：①﹣2π，②（﹣1）2027，③，④，⑤1.010010001…（两个1之间依次多1个0），属于无理数的是 　①④⑤　 ．（直接填写序号） 【解答】解：无理数有：①﹣2π，④，⑤1.010010001……（两个1之间依次多1个0）． 故答案为：①④⑤． 10．如图，将一张长方形纸条沿AB折叠，已知∠1＝50°，则∠2的度数为 　100°　 ． 【解答】解：如图， 由折叠得∠1＝∠3＝50°， ∵AD∥BC， ∴∠2＝∠1+∠3＝100°， 故答案为：100°． 11．中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为y＝5x+1　 ． 【解答】解：由题意可知，x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度y＝（6﹣1）x+1＝5x+1，即y关于x的关系式可以表示为：y＝5x+1． 故答案为：y＝5x+1． 12．已知x，y都是实数，0，则x+y的值为 　﹣1　 ． 【解答】解：根据题意，得： x+3＝0，y﹣2＝0， 解得x＝﹣3，y＝2， 所以x+y＝﹣3+2＝﹣1， 即x+y的值是﹣1． 故答案为：﹣1． 13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积是　61　 ． 【解答】解：由勾股定理可知：SA+SB＝SF，SC+SD＝SG， ∴SF＝42+52＝41，SG＝22+42＝20， ∴SE＝SF+SG ＝41+20 ＝61． 故答案为：61． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．计算：（1）； （2）x2﹣16＝0； （3）4（x+1）2＝81． 【解答】解：（1） ＝4+1﹣3 ＝2； （2）x2﹣16＝0， ∴x2＝16， 解得：x＝±4， ∴x＝4或x＝﹣4． （3）4（x+1）2＝81， ∴， ∴， 解得：或． 15．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝4，BC＝3，． （1）AD的值； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∴CD， ∴AD； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： 由（1）可知，AD， ∴AB＝AD+BD5， ∵AC2+BC2＝42+32＝25＝52＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°． 16．如图，在正方形网格中，点A，B，C，M，N都在格点上． （1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A1B1C1； （2）若网格中最小正方形边长为1，求△ABC的面积； （3）在直线MN上找一点P，使得PC﹣PA1的值最大，并画出点P的位置． 【解答】解：（1）如图，△A1，B1，C1即为所求； （2）△ABC的面积为：3×31×33×21×2； （3）如图，点P即为所求． 17．如图，点D是等边△ABC内一点，E是△ABC外的一点，∠CDB＝130°，∠BDA＝α，△BDA≌△CEA． （1）求证：△AED是等边三角形； （2）若△CDE是直角三角形，求α的度数． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵△BDA≌△CEA， ∴AE＝AD，∠CAE＝∠BAD， ∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝60°， ∴△AED是等边三角形； （2）解：∵△BDA≌△CEA， ∴∠CEA＝∠BDA＝α， ∵△AED是等边三角形， ∴∠AED＝∠ADE＝60°， ∴∠CED＝α﹣60°，∠CDE＝360°﹣130°﹣α﹣60°＝170°﹣α， ∴∠DCE＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣（α﹣60°）﹣（170°﹣α）＝70°， 当∠CED＝90°时，α﹣60°＝90°， 解得：α＝150°， 当∠CDE＝90°时，170°﹣α＝90°， 解得：α＝80°， 综上所述：△CDE是直角三角形时，α的度数为150°或80°． 18．如图1，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，∠ACE＝45°． （1）求证：△AEF≌△CEB． （2）若G在BC的延长线上，连接GA，若GA＝GB，求证：AC平分∠DAG． （3）如图2，在（2）的条件下，H为AG的中点，连接DH交AC于M，连接EM、ED，若S△EMC＝4，∠BAD＝15°，求AM的长． 【解答】（1）证明：∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACE＝45°， ∴∠CAE＝45°＝∠ACE， ∴AE＝CE， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ECB+∠CFD＝90°， ∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠ECB+∠AFE＝90°， ∵∠EAF+∠AFE＝90°， ∴∠EAF＝∠ECB， 在△AEF和△CEB中， ， ∴△AEF≌△CEB（ASA）； （2）证明；∵△AEF≌△CEB， ∴∠AFE＝∠B， ∵∠AFE＝∠ACE+∠CAD＝45°+∠CAD， ∴∠B＝45°+∠CAD， ∵AG＝BG， ∴∠B＝∠BAG， ∴∠BAG＝45°+∠CAD， ∵∠BAG＝∠CAE+∠CAG＝45°+∠CAG， ∴∠CAD＝∠CAG， ∴AC平分∠DAG； （3）解：∵∠BAD＝15°，∠CAE＝45°， ∴∠CAD＝∠CAE﹣∠BAD＝30°， ∵∠CAD＝∠CAG， ∴∠DAG＝2∠CAD＝60°， 在Rt△ADG中，点H是AG的中点， ∴DH＝AH， ∴△ADH是等边三角形， ∴∠ADH＝60°，AD＝AH， ∵∠CAD＝∠CAG， ∴AC⊥DH， 即：∠AMD＝∠DMC＝90° ∵∠ADC＝90°， ∴∠CDM＝30°， 在Rt△DMC中，DMCM， 在Rt△AMD中，AMDMCM＝3CM， ∴S△AEM＝3S△CEM＝3×4＝12， ∴S△ACE＝S△CEM+S△AEM＝16， ∵∠AEC＝90°，AE＝CE， ∴S△ACEAE2＝16， ∴AE＝4， ∴ACAE＝8， ∴AM+CM＝8， ∵AM＝3CM， ∴3CM+CM＝8， ∴CM＝2， ∴AM＝3CM＝6． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若一个直角三角形的三边分别为x，4，5，则x2＝　41或9　 ． 【解答】解：分两种情况： ①5是直角边长，则第三边x是斜边长， 由勾股定理得：x2＝52+42＝41； ②5是斜边长，则第三边x是直角边长， 由勾股定理得：42+x2＝52， ∴x2＝9； 综上所述，x2＝41或9． 故答案为：41或9． 20．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别垂直于AB，AC，如果S△ABC＝18cm2，AC＝7cm，AB＝9cm，那么DF＝　　 cm． 【解答】解：设DF＝xcm， ∵AD平分∠BAC，DE，DF分别垂直于AB，AC， ∴DE＝DF＝xcm， ∵AB＝9cm，AC＝7cm，S△ABC＝18cm2， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ACDAB•DEAC•DF（9x+7x）＝18， ∴x． ∴DFcm． 故答案为：． 21．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数y＝[x]称为取整函数，也称高斯函数，即[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣0.6]＝﹣1，[2]＝2，则　﹣6　 ． 【解答】解：， ∵， ∴， ∴， ∴6． 22．要使多项式（x﹣1）（x+3）（x﹣4）（x﹣8）+m为一个完全平方式，则m等于　196　 ． 【解答】解：（x﹣1）（x+3）（x﹣4）（x﹣8）+m ＝（x﹣1）（x﹣4）（x+3）（x﹣8）+m ＝（x2﹣5x+4）（x2﹣5x﹣24）+m， 把x2﹣5x看成一个整体，设x2﹣5x＝y， 则上式＝（y+4）（y﹣24）+m ＝y2﹣20y﹣96+m， ∵多项式（x﹣1）（x+3）（x﹣4）（x﹣8）+m为一个完全平方式， ∴﹣96+m＝102， 解得：m＝196， 故答案为：196． 23．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于 　　 ． 【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置， ∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°， 又∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD， ∴AE＝DC， 而∠AFE＝∠DFC， ∵在△AEF与△CDF中， ， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴EF＝DF； ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4， ∵Rt△AEF≌Rt△CDF， ∴FC＝FA， 设FA＝x，则FC＝x，FD＝6﹣x， 在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，即x2＝42+（6﹣x）2，解得x， 则FD＝6﹣x． 故答案为： 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与线段BA延长线交于点F，点E在线段CF上，且∠AEF+∠FCD＝180°． （1）求证：AE∥BC； （2）若∠B＝28°，∠ACF＝62°，求∠BAC的度数． 【解答】（1）证明：∵∠AEF+∠AEC＝180°，∠AEF+∠FCD＝180°， ∴∠AEC＝∠FCD， ∴AE∥BC； （2）解：∵CF是∠ACD的平分线，∠ACF＝62°，∠B＝28°， ∴∠ACD＝2∠ACF＝124°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝124°﹣28°＝96°． 25．某工厂车间内甲乙两人需要完成相同数量的产品包装工作．他们同时开始工作，1小时后甲离开车间一段时间后又返回车间继续工作，两人恰好同时完工．在包装过程中两人工效始终不变，且甲的工效为乙的两倍．设乙的加工时间为x（时），甲包装的产品数量为y1（个），乙包装的产品数量为y2（个），其图象如图所示： （1）求y2与x之间的关系式； （2）求m，n的值； （3）当x为何值时，甲包装的产品数量比乙包装的产品数量少20个？ 【解答】解：（1）根据图象可知，乙的工作效率为200÷5＝40（个/时）， ∴y2与x之间的关系式为y2＝40x； （2）∵甲的工效为乙的两倍， ∴甲的工作效率为2×40＝80（个/时）， ∴m＝80×1＝80， ∵1.5， ∴n＝5﹣1.5＝3.5； （3）由图象和题意可知，A（2，80）， ①甲离开时， 根据题意得：40x﹣80＝20， 解得x＝2.5； ②甲返回车间继续工作后， 根据题意40x﹣[80（x﹣3.5）+80]＝20， 解得x＝4.5， 综上，当x＝2.5或4.5时，甲包装的产品数量比乙包装的产品数量少20个． 26．【发现证明】 如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系． 小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF＝BE+FD． 【类比引申】 （1）如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系，并证明； 【联想拓展】 （2）如图3，如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E、F在边BC上，且∠EAF＝45°，若BE＝3，EF＝5，求CF的长． 【解答】解：（1）DF＝EF+BE． 理由：如图1所示，∵AB＝AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合， ∵∠ADC＝∠ABE＝90°， ∴点C、D、G在一条直线上， ∴EB＝DG，AE＝AG，∠EAB＝∠GAD， ∵∠BAG+∠GAD＝90°， ∴∠EAG＝∠BAD＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠FAG＝∠EAG﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△EAF和△GAF中， ， ∴△EAF≌△GAF， ∴EF＝FG， ∵FD＝FG+DG， ∴DF＝EF+BE； （2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACG，连接FG，如图2， ∴AG＝AE，CG＝BE，∠ACG＝∠B，∠EAG＝90°， ∴∠FCG＝∠ACB+∠ACG＝∠ACB+∠B＝90°， ∴FG2＝FC2+CG2＝BE2+FC2； 又∵∠EAF＝45°， 而∠EAG＝90°， ∴∠GAF＝90°﹣45°， 在△AGF与△AEF中， ， ∴△AEF≌△AGF， ∴EF＝FG， ∴CF2＝EF2﹣BE2＝52﹣32＝16， ∴CF＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $