四川省达州市渠县崇德实验学校2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题

**基本信息** 开学自测数学模拟卷，以AI科技标识、运动行程等真实情境为载体，覆盖整式运算、轴对称、勾股定理等知识，通过基础题与动态探究题梯度设计，考察抽象能力、几何直观和推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8题32分|轴对称（AI标识）、整式运算、无理数判断|结合科技情境，考察空间观念| |填空|10题40分|概率估计（摸球实验）、函数解析式（表格数据）、折叠角度计算|生活实例与抽象思维结合| |解答|8题78分|平行线与三角尺综合（推理能力）、动态几何（等腰直角三角形运动）、赵爽弦图验证勾股定理|设置分层探究，体现模型意识与创新应用|

四川省达州市渠县崇德实验学校2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．（x2）3＝x5 C．（﹣ab）3＝﹣a3b3 D．2a+2b＝2ab 3．下列各式化简结果为无理数的是（　　） A． B． C．|﹣3.14| D． 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．甲、乙同学的速度和为10米/秒 B．甲、乙同学在8秒时相遇 C．甲同学的速度为5米/秒 D． 6．如图，根据图中阴影部分的面积关系可以得到的恒等式为（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点D为线段AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 8．如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为10cm，高度为12cm，现有一根25cm的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为acm，则a的取值范围是（　　） A．13≤a≤25 B．25﹣2a≤25 C．25﹣2a≤13 D．11≤a≤15 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．一个口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的数量是 　　 ． 10．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是　　 ． 11．已知变量y与变量x的函数关系如下表所示，那么y与x的函数解析式可以是________. x … 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … 12．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD．若CF∥HB，若∠1＝α，则∠2的大小为________．（用α的代数式表示） 13．a是的整数部分，b是的整数部分，则a﹣b＝　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中，b＝3． 15．（8分）如图，在正方形网格上有一个△ABC． （1）画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积． （3）在直线MN上求作一点P，使PA+PB最小． 16．（10分）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（m）与无人机飞行的时间x（s）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题； （1）楼顶距离地面的高度是　　 m； （2）在这个过程中，甲无人机的速度是　　 m/s，乙无人机的速度是　　 m/s； （3）当甲、乙两架无人机上升了10s时，它们的高度差是多少米？ 17．（10分）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2． （2）解决问题：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△BAD，连接DE，求DE的长． 18．（12分）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动． （1）【操作发现】：如图①，小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝70°，求∠1的度数； （2）【探索证明】：如图②，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索∠AEF与∠FGC之间的数量关系，并说明理由； （3）【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，求∠CFG（用含α的式子表示）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．一个正数的平方根是m﹣2和2m﹣1，则这个正数是 　　 ． 20．一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 　　 ． 21．已知与（y﹣16）2互为相反数，则x与y的积的立方根为　　 ． 22．如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为2cm/s，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于x的图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为__________ ． 23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△ABD、△BCE均为等边三角形，DE、AB交于点F，AF＝3，则△ACE的面积为_______　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理：c2＝a2+b2； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝8，BC＝6，求CD的长度． 25．（10分）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： （1）观察算式规律，计算 　　 ； 　　 ． （2）用含正整数n的式子表示上述算式的规律：　____________． （3）计算：． 26．（12分）（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，线段BD与CE的数量关系是_______，∠DCE＝　　 °． （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，连接CE，请求解下列问题并说明理由： ①∠DCE的度数；②线段BD，CD，DE之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰直角△ADE，∠DAE＝90°，连接CE，BE，若BE＝10，BC＝6，请直接写出DE2的值． 参 考 答 案 四川省达州市渠县崇德实验学校2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．下列计算正确的是（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．（x2）3＝x5 C．（﹣ab）3＝﹣a3b3 D．2a+2b＝2ab 【解答】解：根据完全平方公式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项逐项分析判断如下： A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故A不符合题意； B、（x2）3＝x6，故B不符合题意； C、（﹣ab）3＝﹣a3b3，故C符合题意； D、2a和2b不是同类项，不能合并，故D不符合题意； 故选：C． 3．下列各式化简结果为无理数的是（　　） A． B． C．|﹣3.14| D． 【解答】解：2，2是有理数， ∴A不符合要求， ，3是有理数， ∴B不符合要求， |﹣3.14|＝3.14，3.14是有限小数，属于有理数， ∴C不符合要求， ，是无限不循环小数，即无理数， ∴是无理数，D符合要求． 故选：D． 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】即：∵﹣4＜0， ∴在实数范围内无意义， ∴A选项不正确，不符合题意； ∵， ∴B选项运算不正确，不符合题意； ∵， ∴C选项运算不正确，不符合题意； ∵， ∴D选项计算正确，符合题意． 故选：D． 5．学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．甲、乙同学的速度和为10米/秒 B．甲、乙同学在8秒时相遇 C．甲同学的速度为5米/秒 D． 【解答】解：根据题意和函数图象中的数据逐项分析判断如下： 由图象可得，甲、乙同学在8秒时相遇，故B正确，不符合题意； 甲的速度为80÷20＝4（米/秒），故C错误，符合题意； 乙的速度为80÷8﹣4＝10﹣4＝6（米/秒）， ∴甲、乙同学的速度和为10米/秒，故A正确，不符合题意； ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 6．如图，根据图中阴影部分的面积关系可以得到的恒等式为（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【解答】解：由题可知， 阴影部分的面积为：a×a﹣b×b＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：B． 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点D为线段AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【解答】解：∵∠B＝50°，CE∥AB， ∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°， 由折叠可知，∠BCD＝∠ECD65°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝25°． 故选：C． 8．如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为10cm，高度为12cm，现有一根25cm的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为acm，则a的取值范围是（　　） A．13≤a≤25 B．25﹣2a≤25 C．25﹣2a≤13 D．11≤a≤15 【解答】解：∵将一根长为25cm的吸管，置于底面直径为10cm，高度为12cm的圆柱形水杯中， ∴在杯子中吸管最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， ∴当杯子中吸管最短是等于杯子的高时，x＝12cm， 最长时等于杯子斜边长度是：x2（cm）， ∴a的取值范围是：25﹣2a≤25﹣12， 即25﹣2a≤13， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．一个口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的数量是 　7　 ． 【解答】解：估计这个口袋中红球的数量为107（个）， 故答案为：7． 10．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是　5　 ． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）如图所示，作PA⊥x轴于点A，则PA＝4，OA＝3． 在直角三角形AOP中，由勾股定理得：OP5． 故答案为：5． 11．已知变量y与变量x的函数关系如下表所示，那么y与x的函数解析式可以是 yx . x … 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … 【解答】解：∵﹣3，﹣24，﹣12，00，1（﹣2），2（﹣4）， ∴yx， 故答案为：yx． 12．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD．若CF∥HB，若∠1＝α，则∠2的大小为　90°﹣α　 ．（用α的代数式表示） 【解答】解：如图，由折叠的性质，可得∠3＝∠1＝α， ∵AG∥BH，CF∥ED， ∴AG∥ED， ∴∠ADE＝∠1+∠3＝2α， 由折叠的性质，可得∠ADC＝∠CDM， ∴∠ADC＝∠CDM（180°﹣2α）＝90°﹣α， ∵CF∥ED， ∴∠2＝∠CDM＝90°﹣α． 故答案为：90°﹣α． 13．a是的整数部分，b是的整数部分，则a﹣b＝　﹣1　 ． 【解答】解：a是的整数部分，b是的整数部分， ∵32＜10＜42， ∴， ∴的整数部分a＝3； ∵42＜21＜52， ∴， ∴的整数部分b＝4； ∴a﹣b＝3﹣4＝﹣1． 故答案为：﹣1． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中，b＝3． 【解答】解：（1）原式＝5﹣1﹣1+4 ＝5+4﹣1﹣1 ＝7； （2）原式＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b ＝（4ab+2b2）÷2b ＝4ab÷2b+2b2÷2b ＝2a+b， 当，b＝3时， 原式 ＝﹣1+3 ＝2． 15．（8分）如图，在正方形网格上有一个△ABC． （1）画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积． （3）在直线MN上求作一点P，使PA+PB最小． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求； （2）△ABC的面积＝4×51×41×43×5＝20﹣2﹣2﹣7.5＝8.5． （3）如图，点P即为所求． 16．（10分）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（m）与无人机飞行的时间x（s）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题； （1）楼顶距离地面的高度是　20　 m； （2）在这个过程中，甲无人机的速度是　8　 m/s，乙无人机的速度是　4　 m/s； （3）当甲、乙两架无人机上升了10s时，它们的高度差是多少米？ 【解答】解：（1）由图象可知：楼顶距离地面的高度是20m， 故答案为：20； （2）乙无人机的速度是（40﹣20）÷5＝4（m/s）， 甲无人机的速度是40÷5＝8（m/s）， 故答案为：8，4； （3）8×10﹣（20+4×10）＝80﹣60＝20（米）． 答：甲、乙两架无人机上升了10s时，它们的高度差是20米． 17．（10分）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2． （2）解决问题：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△BAD，连接DE，求DE的长． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，垂足为O，如图1， ∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，AD2＝OA2+OD2，BC2＝OB2+OC2， ∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，AD2+BC2＝OA2+OB2+OC2+OD2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2． （2）解：如图2，过点D作DM⊥BE，交EB的延长线于点M， 则∠BMD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴AC3， ∵△BCE和△ABD都是等腰直角三角形， ∴∠CBE＝∠ABD＝90°，BE＝BC＝4，BD＝BA， ∴∠CBM＝180°﹣∠CBE＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABC+∠ABM＝90°， ∵∠DBM+∠ABM＝90°， ∴∠ABC＝∠DBM， ∵∠ACB＝∠DMB＝90°， ∴△ABC≌△DBM（AAS）， ∴MD＝AC＝3，BM＝BC＝4， ∴ME＝BE+BM＝448， 在Rt△BMD中，DE． 18．（12分）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动． （1）【操作发现】：如图①，小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝70°，求∠1的度数； （2）【探索证明】：如图②，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索∠AEF与∠FGC之间的数量关系，并说明理由； （3）【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，求∠CFG（用含α的式子表示）． 【解答】解：（1）∵点G在直线CD上， ∴∠EGD+∠EGF+∠2＝180°， 又∵∠EGF＝60°，∠2＝70°， ∴∠EGD＝180°﹣（∠EGF+∠2）＝180°﹣（60°+70°）＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠EGD＝50°； （2）∠AEF与∠FGC之间的数量关系是：∠AEF+∠FGC＝90°，理由如下： 在△EFG中，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°， ∴∠GEF＝180°﹣（∠EFG+∠EGF）＝30°， ∴∠AEG＝∠AEF+∠GEF＝∠AEF+30°，∠CGE＝∠FGC+∠EGF＝∠FGC+60°， ∵AB∥CD， ∴∠AEG+∠CGE＝180°， ∴∠AEF+30°+∠FGC+60°＝180°， ∴∠AEF+∠FGC＝90°； （3）∵∠AEG＝α，∠GEF＝30°，∠EFG＝90°， ∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝α+30°，∠CFE＝∠CFG+∠EFG＝∠CFG+90°， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴α+30°+∠CFG+90°＝180°， ∴∠CFG＝60°﹣α． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．一个正数的平方根是m﹣2和2m﹣1，则这个正数是 　1　 ． 【解答】解：当m﹣2与2m﹣1不相等时，即m﹣2+2m﹣1＝0， 解得m＝1， 所以m﹣2＝﹣1，2m﹣1＝1， 这时这个正数为（±1）2＝1； 因此这个正数为1或9， 故答案为：1． 20．一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 　120　 ． 【解答】解：三角形的三边长分别为6010，6024，6026． ∵102+242＝262， ∴三角形为直角三角形． ∴三角形的面积10×24＝120． 故答案为：120． 21．已知与（y﹣16）2互为相反数，则x与y的积的立方根为　﹣4　 ． 【解答】解：根据题意得（y﹣16）2＝0， ∴x+4＝0，y﹣16＝0， ∴x＝﹣4，y＝16， ∴xy＝﹣4×16＝﹣64， ∵﹣64的立方根是﹣4， ∴x与y的积的立方根为﹣4， 故答案为：﹣4． 22．如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为2cm/s，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于x的图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为 　48cm2 ． 【解答】解∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止， 当点P在点B，C之间运动时，△ABP的面积随时间x的增大而增大， 由图2知，当x＝3时，点P到达点C处， ∴BC＝3×2＝6（cm）； 当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变， 由图2可知，点P从点C运动到点D所用时间为7﹣3＝4（s）， ∴CD＝2×4＝8（cm）， ∴长方形ABCD的面积＝8×6＝48（cm2）． 故答案为：48cm2． 23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△ABD、△BCE均为等边三角形，DE、AB交于点F，AF＝3，则△ACE的面积为　6　 ． 【解答】解：如图所示，过D作DG⊥AB于G，EK⊥AC交AC的延长线于K． ∵△ABD是等边三角形，DG⊥AB， ∴AG＝BGAB，由勾股定理得：DGAG， ∵∠ABC＝30°， ∴ACAB， ∴AG＝ACAB， ∵由勾股定理得：BCAC， ∴DG＝BC＝BE， ∵∠EBA＝60°+30°＝90°， ∴EB⊥AB． ∴DG∥EB． ∴∠BEF＝∠GDF，∠DGB＝∠EBF＝90°， 在△DGF与△EBF中， ∵， ∴△DGF≌△EBF（AAS）， ∴DF＝EF，GF＝BF， ∵AG＝BG，AF＝3， ∴FG，AG＝2， ∴AB＝4AC＝2，EC＝BCAC＝6， 在Rt△CEK中，EKEC＝3， ∴S△ACE•AC•EK•2•36． 故答案为6． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理：c2＝a2+b2； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝8，BC＝6，求CD的长度． 【解答】解：（1）∵外面大正方形的面积＝c2， 外面大正方形的面积＝里面小正方形的面积+4个直角三角形的面积＝（b﹣a）2+4ab， ∴c2＝（b﹣a）2+4ab， 整理，得c2＝a2+b2； （2）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴由勾股定理，得AB10， ∵CD是AB边上的高， ∴S△ABCAB•CDAC•BC， ∴CD． 25．（10分）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： （1）观察算式规律，计算 　7　 ； 　18　 ． （2）用含正整数n的式子表示上述算式的规律：　n+2　 ． （3）计算：． 【解答】解：（1）7， 18， 故答案为：7，18； （2）， 故答案为：n+2； （3） ＝3﹣4+5﹣6+…+2023 ＝（﹣1）×1010+2023 ＝﹣1010+2023 ＝1013． 26．（12分）（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，线段BD与CE的数量关系是 BD＝CE ，∠DCE＝　120　 °． （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，连接CE，请求解下列问题并说明理由： ①∠DCE的度数；②线段BD，CD，DE之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰直角△ADE，∠DAE＝90°，连接CE，BE，若BE＝10，BC＝6，请直接写出DE2的值． 【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠EAC． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝60°， ∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°， 故答案为：BD＝CE，120； （2）①∠DCE＝90°，理由如下： ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE， ∵∠B＝∠ACD＝45°， ∴∠DCE＝∠ACE+∠ACD＝90°； ②BD2+CD2＝DE2，理由如下： 由①可知，∠DCE＝90°，BD＝CE， 在Rt△DCE中，由勾股定理得：CE2+CD2＝DE2， ∴BD2+CD2＝DE2； （3）同（2）得：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE＝45°，BD＝CE， ∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝90°， ∴CE8， ∴BD＝CE＝8， ∴CD＝BD﹣BC＝8﹣6＝2， ∵∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝90°， 在Rt△DCE中，由勾股定理得，DE2＝CE2+CD2＝82+22＝68， 即DE2的值为68． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $