专题02 数轴12大题型（重难点讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本讲义聚焦初中数学数轴核心知识点，从三要素规范画法切入，系统梳理有理数与数轴点的对应关系，延伸至利用数轴比较大小、理解相反数和绝对值几何意义，最终过渡到动点问题等动态应用，构建从基础到综合的学习支架。 该资料亮点在于题型丰富且层次分明，涵盖12类题型及巩固强化训练，通过典例与变式结合、规范解题步骤（如动点问题六步法）培养学生抽象能力和推理意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升数形结合应用能力。

专题02 数轴 1. 掌握数轴三要素规范画法，能准确标注有理数，分清正负数、原点位置，区分数轴上点与实数一一对应基础逻辑。 2. 学会利用数轴比较有理数大小，理解右侧数字恒大于左侧，快速判断正负、零之间数值的大小关系。 3. 借助数轴理解相反数几何意义，清楚互为相反数两点到原点距离相等，分居原点两侧且符号相反。 4. 依托数轴掌握绝对值几何定义，明白绝对值是点到原点距离，能结合数轴化简含绝对值简单代数式。 5. 熟练解决数轴动点基础题型，会表示动点移动后对应数，计算两点距离、相遇间隔等基础动态问题。 知识点01 数轴的概念与画法 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 知识点02 有理数与数轴上点的对应关系 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 知识点03 利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 知识点04 数轴动点问题常考题型 题型 1：两点相遇问题 两个动点相向而行 等量关系：两者路程之和 = 初始两点距离 ⚠️ 验证：求出 t 后代回动点表达式，确认位置一致。 题型 2：两点相距定值（最容易漏解） 动点 A、B 相距 m 个单位 列式： ✅ 一定有两种情况： ① A 在 B 左边 ② A 在 B 右边 很多同学只算出一个答案，丢一半分数！ 题型 3：到两点距离相等（中点 / 两侧对称） 两种情况： 是 中点（常规答案） 在点 同侧（容易漏掉） 题型 4：中点公式 若点 M 是 A、B 中点 动点问题经常结合中点求值、定值探究。 【标准解题步骤】 1. 设运动时间为 2. 用含代数式表示每个动点对应的数（右加左减） 3. 根据题意列等式（距离用绝对值） 4. 解方程 5. 检验解是否符合实际（t≥0、运动范围） 6. 写出最终答案，多解分开说明 题型01 数轴的三要素及其画法 数轴例题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、系统分组_加入顺序 【典例】下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素，原点，单位长度，正方向即可得到答案． 【详解】 解：是一条射线，不是数轴，故选项A不符合题意； 单位长度不一致，不是数轴，故选项B不符合题意； 没有正方向且位置错误，不是数轴，故选项C不符合题意； 是数轴，故选项D符合题意； 故选D． 【变式1】关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】C 【分析】根据数轴必须具备的三个要素：正方向、原点和单位长度逐项进行判断即可． 【详解】解：、数轴应该是一条直线，本选项的数轴左侧应该出头，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴没有正方向，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴具备数轴的三要素，正确，符合题意； 、本选项的数轴没有原点，故错误，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了数轴的定义，熟练掌握数轴的三要素：正方向、原点和单位长度，是解答本题的关键． 【变式2】关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【答案】C 【分析】数轴的三要素为原点、正方向、统一的单位长度，只有同时满足三要素才是规范的数轴，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．缺少原点，不符合要求，故A错误； B．缺少正方向，不符合要求，故B错误； C．具备原点、正方向，且单位长度一致，符合数轴定义，故C正确； D．正负方向标错，不符合要求，故D错误． 【变式3】操作与探索： (1)如图1，写出数轴上点A、B、C、D表示的数； (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：； (3)如图2，观察数轴，回答下列问题： ①大于﹣3并且小于3的整数有哪几个？ ②在数轴上到表示﹣1的点的距离等于1个单位长度的点表示的数是什么？ 【答案】(1)A、B、C、D表示的数分别是，，0，2 (2)见解析 (3)①，，0，1，2；②或0 【分析】本题主要考查了对数轴知识的掌握，关键是能读懂数轴，能从数轴上找出各数． （1）根据数轴的知识，准确的读出数轴上的数值． （2）根据数轴的知识，准确的画出数值在数轴上的位置． （3）从数轴上找到这些点． 【详解】（1）解：A、B、C、D表示的数分别是，，0，2； （2）解：如图，即为所求， （3）解：①由数轴得，大于并且小于3的整数有5个：，，0，1，2； ②；． 即在数轴上到表示的点的距离等于1个单位长度的点表示的数是或0． 题型02 用数轴上的点表示有理数 【典例】数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出对应数轴上9个单位长度，结合刻度尺上对应长度为，求出数轴1个单位长度对应刻度尺长度，即可解答． 【详解】解：∵数轴上点A表示，点C表示， ∴，即对应数轴上9个单位长度． ∵刻度尺上对应长度为， ∴数轴1个单位长度对应刻度尺长度为：， ∵原点到点A的距离为个单位长度， ∴原点对应的刻度为：． 【变式1】点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上表示的数，由题意可得点表示的数是或，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点在数轴上距原点5个单位长度， ∴点表示的数为：或， 当点表示的数为时，， 当点表示的数为时，， ∴点表示的数是或， 故选：A． 【变式2】点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 【变式3】如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． (1)该数轴的原点是点____________； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)点 (2) 【分析】本题考查了实数与数轴，准确识图，判断出，两个数之间的距离小于3是解题的关键． （1）根据已知条件结合数轴判断出，两个数之间的距离小于3，依据，即可判断原点的位置． （2）由，结合，即可解得，再由代入计算即可． 【详解】（1）解：， 两个数之间的距离小于3， ， 原点不在两个数之间，也不在两个数的左边， 即该数轴的原点是点； 故答案为：； （2）解：， ， 解得：， ． 题型03 利用数轴比较有理数的大小 【典例】已知有理数：， 0， ， 2，   (1)画出数轴，并在数轴上标出这些数对应的点； (2)用“>”把这些数连接起来． 【答案】(1) 如图： (2) 【分析】本题考查数轴与有理数，有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键. （1）在数轴上表示出有理数即可； （2）根据在数轴上越往右的数越大进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）解：在数轴上，越往右的数越大， ∴． 【变式1】已知：点在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)点表示的有理数是______，表示有理数的点是______，两点之间的距离为______个单位长度； (2)请你在数轴上标出表示有理数和的点和点； (3)将，0，，，这五个数用“”连接的结果是______． 【答案】(1)，， (2) 下图为所求： (3) 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，利用数轴比较有理数大小，熟知数轴与有理数的相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置和数轴上两点距离公式求解即可； （2）在数轴上找到表示有理数和的点即可； （3）根据数轴上左边的数小于右边的数进行求解即可． 【详解】（1）解：观察数轴可知，点表示的数是，点表示的数是，表示有理数的点是，两点之间的距离为：． 故答案为：，，； （2）略 （3）解：根据数轴，可知． 故答案为：． 【变式2】在数轴上有A、B、C三点，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C在点B的右侧，且到点B的距离为4． (1)点C表示的有理数是 ； (2)将点A向右平移6个单位长度得到点D，点D表示的数是 ；点E在点D的左侧，且与点D的距离为3，点E表示的数是 ； (3)在数轴上画出点A、B、C、D、E，并将这五个点表示的数用“”连接起来． 【答案】(1)6 (2) (3)数轴表示如图即为所求， 【分析】本题考查了数轴上的点与有理数的对应关系、点的平移及有理数的大小比较，解题的关键是掌握数轴上点的位置与数的关系及平移规律． （1）根据点C在点B右侧及距离计算点C表示的数； （2）根据点的平移规律计算点D，再根据点E与点D的位置关系计算点E； （3）在数轴上标出各点后，再根据数轴上的点表示的数，从左到右依次增大，进行比较数的大小即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为2，点在点右侧且距离为4， ∴点C表示的数为， 故答案为：6； （2）解：点A表示的数为，向右平移6个单位长度得到点D， 点D表示的数为， 点E在点D左侧，且与点D的距离为3， 点E表示的数为， 故答案为：； （3）略 【变式3】如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，则点D表示的数是_________；到点D距离2个单位长度的数是_________． (2)用数轴上的点M、N分别表示有理数和． (3)将，0，，，4这5个数用“<”连接的结果是__________________． 【答案】(1)；或1 (2) 依题意，用数轴上的点M、N分别表示有理数和．如下图所示： (3) 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出点A表示的有理数是：4，再结合点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，得出点D表示的数是，则点D距离2个单位长度的数是或1； （2）结合点M、N分别表示有理数和，直接在数轴上描点，即可作答． （3）由（2）中的数轴，越在数轴的右边的数越大，得，即可作答． 【详解】（1）解：由数轴得点A表示的有理数是：4， ∵将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示， ∴， 则点D表示的数是； 或， 即到点D距离2个单位长度的数是或1； 故答案为：；或1； （2）略 （3）解：由（2）中的数轴，得， 故答案为：． 题型04 数轴上两点之间的距离 【典例】如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴与有理数，根据数轴的概念即可求解； 根据题意先判断出数轴的单位长度是，得到原点对应的刻度，即可求得数轴上与刻度线对齐的点表示的数． 【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐， ∴数轴的单位长度是， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：B． 【变式1】如图，在数轴上从左到右有A，B，C三点，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点A，B，C所表示的数的和是． （1）若点为原点，则点所表示的数是__________； （2）若点到原点的距离为4，则的值是__________． 【答案】 3 或17 【分析】本题主要考查了数轴上点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算，掌握数轴上点与有理数的关系，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据数轴特点进行计算即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当原点在点B的左边时；当原点在点B的右边时；结合数轴上两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：（1）因为点为原点，且点到点的距离为3，点在点的右侧， 所以点表示的数为3； 故答案为：3； （2）由题意知，①当原点在点左侧时，点表示的数为4， 则点表示的数为1，点表示的数为12， 所以； ②当原点在点右侧时，点表示的数为， 则点表示的数为，点表示的数为4， 所以． 综上，的值为或17； 故答案为：或17． 【变式2】在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当______秒时，点到点A的距离是个单位长度． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．先求出距离，分从A到B点和从B点返回两种情况解答，利用距离除以速度等于时间求解即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，点表示的数为， ∴， 点从A出发到达恰好距离A点个单位长度运动，用时秒， ∴， 到达后立即返回，再走个单位长度距离A点个单位长度，用时秒， 此时． 故答案为：或． 【变式3】如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 题型05 数轴上的中点问题 【典例】在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的基本性质和数轴上两点间的距离计算，本题的解题关键是数轴上两点间的距离计算，根据数轴的基本性质和数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】解：、、是数轴上三点，且点表示的数是，点表示的数为1， 设点表示的数为， 当其中一点是另外两点构成的线段中点， ①为线段的中点， 的值为：； ②为线段的中点， 的值为：； ③为线段的中点， 的值为：； 则点C表示的数是或或8， 故选：D． 【变式1】如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是（　　） A．1 B．1或 C．1或 D．1或 【答案】B 【分析】本题主要考查的数轴上两点之间的距离，根据折叠分类讨论，当点A落在4和16对应的点时，结合数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】解：，， 当点A落在数4对应的点时，则点C表示的数为：； 当点A落在数16对应的点时，则点C表示的数为：， 综上所述，点C表示的数是1或． 故选：B． 【变式2】如图，数轴上点A，B，D表示的数分别是，，1，且点C为线段的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段的中点．若，则的长为__________________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的点以及数轴上两点的距离，根据题意分两种情况讨论，当点E在D的右侧时和当点E在D的左侧时，然后根据点F为的中点，分别计算出F点代数的数，然后计算即可． 【详解】解：当点E在D的右侧时，如下图： ∵，D表示的数是1． ∴点E表示的数是4， ∵点为线段的中点． ∴， ∴点F表示的数是， ∵点B表示的数是， ∴． 当点E在D的左侧时，如下图： ∵，D表示的数是1 ∴点E表示的数是， ∵点为线段的中点． ∴， ∴点F表示的数是， ∵点B表示的数是， ∴． 故答案为：或． 【变式3】综合与实践 已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和9．    (1)观察发现： 直接写出线段__________． (2)情境探究： 情境①：当点P为线段的中点时，且M为的中点，N为的中点，请你借助直尺在图1中画出相应的图形，并写出线段__________； 情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为的中点，N为的中点，试通过计算判断的长度是否发生变化？ (3)迁移类比： 当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为的中点，N为的中点，直接写出线段的长． 【答案】(1)12 (2)情境①：图见解析，6；情境②：的长度不变． (3)6 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的中点，理解中点的定义是解答本题的关键． （1）根据两点间的距离求解即可； （2）情境①：先根据点P为线段的中点求出，再根据M为的中点，N为的中点求出，，然后相加即可； 情境②：根据M为的中点，N为的中点求出，，然后相加即可； （3）根据中点的定义得，，然后根据求解即可． 【详解】（1）． 故答案为：12； （2）情境①：如图，    ∵点P为线段的中点， ∴． ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． 故答案为：6； 情境②：∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． ∴， ∴的长度不变； （3）∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． 题型06 数轴上单点的移动（动点问题） 【典例】如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 【变式1】点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为___________． 【答案】6或 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点间的距离，先根据题意得到A表示的数，再得到点B表示的数，再根据点C到点B的距离为4，利用数轴上两点间的距离公式求出点C的值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点A在数轴的负半轴上，且距离原点3个单位长度， ∴点A表示的数为， ∵将点A沿数轴向右移动5个单位长度到点， ∴点B表示的数为：， ∵点C到点B的距离为4，设点C表示的数为，则， ∴或， 解得：或， ∴点C表示的数为6或， 故答案为：6或． 【变式2】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键． （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定、、三点对应的数，再在数轴上标出位置． （2）先计算点对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度． （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点表示的数． 【详解】（1）解：点三点在数轴上的位置如图所示， （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 【变式3】如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 题型07 数轴上多点的移动（动点问题） 【典例】对于题目“已知A、B、C在同一直线上，，，求的长．”甲同学和乙同学分别给出了下列的解法一、解法二． (1)请认真阅读下列解法，并填空： 解法一：根据题意可分如下两种情形： ①如图1，C点在线段上， ； ②如图2，C点在线段延长线上， ．所以线段的长为或． 解法二：如图3，在直线上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段的长为3个单位长度建立如图所示的数轴．则A：表示的数为0，B：表示的数为3；因为，所以点C表示的数为 ；所以线段的长为或． (2)已知A、B、C、D在同一直线上，，，，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出的长为 ． (3)已知线段，线段在直线上运动，且，在运动的过程中，若点M、N分别为线段、的中点，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出的长为 ． 【答案】(1)解法一：①；② 解法二：2或4 (2)1或3或5 (3)4或1 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，线段的和差与绝对值的意义，掌握好中点公式并灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． （1）解法一：根据线段的和差关系进行填空即可； 解法二：利用数轴上点的位置和两点之间的距离公式进行填空即可； （2）解法一：先对点C和点D的位置分类讨论，根据线段的和差关系计算出； 解法二：仿照题干建立数轴，则 A：表示的数为0，B：表示的数为3，再写出点C和点D表示的数，计算距离即可； （3）解法一：按照点C和点D与线段的位置关系进行分类讨论，利用线段的和差进行计算即可； 解法二：仿照题干建立数轴，设点C表示的数为，则点D表示的数为或．根据点D表示的数，分两类讨论，用中点公式表示出点M和点N表示的数，两者差的绝对值即线段的长． 【详解】（1）解：解法一：根据线段的和差， ①C点在线段上，， 故答案为：； ②C点在线段上，， 故答案为：； 解法二：设点C表示的数为x， ∵， ∴， 解得，或， 故答案为：或； （2）解：解法一：根据题意可分如下四种情形： ①点C和点D都在线段上，， ②点C在线段上，点D在线段的延长线上，， ③点C在线段的延长线上，点D在线段上，， ④点C在线段的延长线上，点D在线段的延长线上， 综上所述，的长为或或； 解法二：在直线上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则A表示的数为0，B表示的数为3， ∵， ∴点C表示的数为2或4， ∵， ∴点D表示的数为， ∴①当点D表示1，点C表示2时，， ②当点D表示，点C表示2时，， ③当点D表示1，点C表示4时，， ④当点D表示，点C表示4时，， ∴综上所述，的长为或或； （3）解：解法一：根据题意可分如下情形： ①当点C在点A右侧，且点D在点C右侧，如图， 结合题意与图可知， ， ， ， ， ， ， ②当点C在点A右侧，且点D在点C左侧，如图， ， ， ， ， ， ， ； ③当点C在点A左侧，且点D在点C右侧，如图， 与①同理可得，， ③当点C在点A左侧，且点D在点C左侧，如图， 与②同理可得，， 综上所述，的长或； 解法二：在直线上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则A表示的数为0，B表示的数为3， ∵线段在直线上运动，且， ∴设点C表示的数为a，则点D表示的数为或， ∵点M为的中点， ∴点M表示的数为， ∵点N为的中点， ∴点N表示的数为或， 当点N表示的数为时，， 当点N表示的数为时，， 综上所述，的长或． 【变式1】如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 【变式2】一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A：，B：，C：4 (2)①点P与点B之间的距离为1；②不存在一个有理数m，使的值始终保持不变，理由见解析 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上点的移动等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点； （1）运用数轴上的点可以用有理数表示和数轴上两点间的距离公式即可得到答案； （2）①根据点的运动规律用有理数表示出运动后点表示的数，再运用数轴上两点间的距离公式即可得到答案； ②先根据点的运动规律表示出运动后点表示的数，根据两点间的距离公式用式子表示运动距离，再根据题意列出整式，根据项无关得到结果进行对比即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位， ∴点表示的数为，再向右移7个单位， ∴点表示的数为，、C两点间距离为， ∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为， ∴点表示的数为， 即A：，B：，C：4； （2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为， ∵表示的数为4， ∴表示的数为：，又B表示的数为， ∴点P与点B之间的距离为1， 动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． ②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， 则，， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 【变式3】已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 【答案】(1)B表示的数为：5；C表示的数为 (2)①左；②6秒，此时点M表示的数为；③8秒，此时点M表示的数为； (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到点到原点的距离为，再由点A和点B不重合，点B表示的数为5，再用点B表示的数减去点C到点的距离即可求出点C表示的数，最后在数轴上表示出点A，点B，点C即可； （2）①设运动时间为t，由于，且点M的运动速度大于点N的运动速度，故只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度；②二者相遇前运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数；③二者相遇后运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数； （3）根据题意可得动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度，据此求出2024次运动后点P表示的数，再由第2025次点P是向左运动2025个单位长度进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等， ∴点到原点的距离为， ∵点A和点B不重合， ∴点B表示的数为5， ∵点在原点的左侧，且到点的距离为7， ∴点C表示的数为， （2）解：①设运动时间为t， ∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度， ∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度， 故答案为：左 ②当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； ③当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； （3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……， ∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度， ∴第2024次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为， ∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度， ∴表示的数为． 题型08 数轴上找原点 【典例】有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点B右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答． 【详解】解：∵，且从数轴得， ∴，， ∴原点一定在中点左侧， 故选：C． 【变式1】如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点的特征，熟悉相关性质是解题的关键．根据数轴上点的位置和有理数加法的性质，即可判断原点可能的位置． 【详解】解：若A点为原点，则，，，故符合题意； 若B点为原点，则，，无法判断，故不符合题意； 若C点为原点，则，，，故不符合题意； 若D点为原点，则，，，故不符合题意； 故选：A． 【变式2】“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【答案】(1)原点、正方向、单位长度 (2) 如图即为所求： (3) B点表示的数为4，如图，在数轴上标出原点O： 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和数轴的定义等知识，准确理解数轴的定义是关键． （1）根据数轴的定义进行解答即可； （2）根据点在数轴上的位置进行解答即可； （3）设，则，根据列方程并解方程即可得B点表示的数，再根据点B的位置找到原点的位置即可． 【详解】（1）解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴， 故答案为：原点、正方向、单位长度 （2）略 （3）解：设，则 ∵， ∴ 解得 所以B点表示的数为4. 【变式3】数轴上，点A，B，C表示的数分别为a，b，c，请利用刻度尺或圆规完成下列画图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，若，在数轴上画出原点O的位置； (2)如图②，若，在数轴上画出原点O的位置． 【答案】(1)如图， (2)如图， 【分析】本题考查了有理数与数轴，数轴上找原点，线段的和差计算等知识点． （1）以为圆心，长为半径画弧，在点右侧交数轴于点，则点即为原点，此时即可得到； （2）以为圆心，为半径画弧，在点左侧交数轴于点，则点即为原点．首先确定点在点左侧，由得到，而，则，即可作图． 【详解】（1）解：原点即为所求，以为圆心，长为半径画弧，在点右侧交数轴于点，则点即为原点； （2）解：原点即为所求，以为圆心，为半径画弧，在点左侧交数轴于点，则点即为原点． 题型09数轴上整点覆盖问题 【典例】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论和数形结合的思想方法，注意分类讨论不要遗漏是关键． 分线段的端点与整点重合和线段AB的端点与整点不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论． 【详解】解：依题意得：当线段起点在整点时， 则1厘米长的线段盖住2个整点，2017厘米长的线段盖住2018个整点， 当线段起点不在整点时，则1厘米长的线段盖住1个整点，2017厘米长的线段盖住2017个整点． 故选C． 【变式1】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这条数轴上随意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数是（    ）． A．2023或2024 B．2024或2025 C．2025或2026 D．2026或2027 【答案】C 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，分两种情况：当线段起点在整点时覆盖2026个数，当线段起点不在整点时覆盖2025个点，可得答案． 【详解】解：当线段的起点在整点时盖住个整点； 当线段的起点不在整点时盖住个整点， 所以答案为或． 故选：C． 【变式2】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ___________． 【答案】2017或2018 【分析】本题主要考查数轴上线段与整点的关系，熟练掌握分情况讨论线段端点与整点的位置关系是解题的关键．分情况讨论线段的端点与整点重合和不重合两种情况，根据线段长度与整点个数的关系求解． 【详解】解：当线段的起点在整点时，盖住的整点个数为个； 当线段的起点不在整点时，盖住的整点个数为个． 故答案为：或． 【变式3】一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，熟练掌握数轴上的点的特征是解题的关键，找出墨迹遮盖部分最左侧的实数及最右侧的实数，据此可得遮盖住的整数个数． 【详解】解：∵墨迹最左侧的实数为，最右侧的实数为3， ∴在和3（包括3）之间有，，，，，，，，，0，1，2，3共13个整数点， 故选：B． 题型10 数轴上的点运动规律 【典例】如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 【变式1】正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2027所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余2，所以数轴上数2027所对应的点是点C， 故选：C． 【变式2】如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母M，N，P，Q，先让圆上字母M所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴正半轴方向滚动，那么数轴上的数2025将与圆周上重合的字母是（    ） A．M B．Q C．P D．N 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的数字规律．求出与数轴上的数1，2，3，4重合的字母，根据可知数2025与圆周上重合的字母和数1重合的字母相同，据此即可得到答案． 【详解】解：如图： 数轴上与1，2，3，4对应的字母分别为N，M，Q，P， ∵， 故数2025与圆周上重合的字母和数1重合的字母相同，是N， 故选：D． 【变式3】如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，点第一次落回到数轴上时向右滚动的距离为长方形的周长，则可得到，从而得到答案； （2）长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上，用点A表示的数加上滚动的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，若点与原点重合，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上时，，即点表示的数为； （2）解：由题意可得，长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上， ∴若点表示的数为，点表示的数为． 题型11 数轴的折叠问题 【典例】如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为_______． 【答案】6或/或6 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数等知识．根据数轴上表示的点与表示3的点重合得到从表示1的点处折叠，根据数轴上两点之间的距离是10得到点P到表示1的点的距离是5，即可得到点表示的数为6或． 【详解】解：因为轴上表示的点与表示3的点重合， 所以是从表示1的点处折叠， 因为数轴上两点之间的距离是10， 所以点P到表示1的点的距离是5， 所以点表示的数为6或． 故答案为：6或． 【变式1】在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________ 【答案】4或5或6 【分析】由线段总长度及三条线段的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】解：∵线段长为8，这三条线段的长度之比为， ， ∴这三条线段的长度分别为2，2，4， 若剪下的第一条线段长为2，第2条线段长度也为2， 则折痕表示的数为：； 若剪下的第一条线段长为2，第2条线段长度为4， 则折痕表示的数为：； 若剪下的第一条线段长为4，第2条线段长度为2， 则折痕表示的数为：； ∴折痕表示的数为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题考查数轴与线段综合，列出三条线段所有可能的顺序是解题的关键． 【变式2】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：    若数轴上数表示的点与数0表示的点重合． (1)则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)若数轴上，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，直接写出点，点表示的数． 【答案】(1) (2)或1 (3)1009， 【分析】（1）数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而即可解答； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或，然后分A表示的数为5或两种情况分别求出B点表示的数即可； （3）依据M、N两点之间的距离为2022，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数． 【详解】（1）解：因为数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而，所以数轴上数3表示的点与数-7表示的点重合． 答案： （2）解：由题意知：点A表示的数为5或， 因为A，两点经折叠后重合， 所以当点A表示时，点表示1；当点A表示5时，点表示， 所以点表示的数是或1． （3）解：∵，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合， ∴ ，， 又∵点表示的数比点表示的数大， ∴点表示的数是1009，点表示的数是． 【点睛】本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键． 【变式3】如下图，已知数轴上两点对应的数分别为为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)若点P到点A，B的距离相等，则x的值为_________． (2)若将数轴折叠，使A，B两点重合，则表示的点与表示__________的点重合． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2025（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（2）中的方式折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 【答案】(1) (2) (3)点对应的数为，点对应的数为 【分析】本题主要考查了数轴上的点以及数轴上两点之间的距离，解题的关键是列出方程，解方程． （1）根据两点之间的距离公式，列出关于的方程，解方程即可； （2）先求出折叠点表示的数为，再设与表示的点重合的点为数，进而有，解方程即可； （3）设点表示的数是，则点表示的数是，列出关于的方程，解方程即可得出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：点到点的距离相等， ， 解得：． （2）解：将数轴折叠，使两点重合， 折叠点表示的数为． 设与表示的点重合的点为数， 则即， 解得：， 所以表示的点与表示的点重合． （3）解：设点表示的数是，则点表示的数是， 两点经过（2）中的方式折叠后互相重合 即 解得： 点对应的数为，点对应的数为 题型12 数轴的定义问题 【典例】综合与实践 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究． 定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图1，点为线段的“优点”． ①若，则__________________； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则________________（填“=”或“”）； (2)性质探究 如图2，在原点为的数轴上有E，F两点，其中点表示的数为1，F点表示的数为4．若点在点的左侧，且M，N均为线段的“优点”，求线段的长； (3)拓展应用 在（2）的探究中，若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，请直接写出点表示的数． 【答案】(1)①18；② (2) (3)5.5或10 【分析】本题考查数轴相关知识点，线段之间的数量关系，用数轴上点表示有理数，解答本题需要分类讨论多种情况，解题的关键是读懂题中“优点”，“优点”伴侣线段的定义． （1）①由即可求解；②利用“优点”定义求出即可； （2）根据点M在N左侧，再由“优点”定义求解即可； （3）根据点G在线段的延长线上，可得出或，求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C为线段的“优点”，， ∴， ∴， 故答案为：18； ②如图， ∵点D是线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数为4， ∴， 当点在点左侧时，则，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵点E表示的数为1，点F表示的数为4， ∴， 线段互为“优点”伴侣线段时，有或， 当时，， ∴点表示的数为， 当时，， ∴点表示的数为10， 综上，点表示的数为或10． 【变式1】已知点是图形上的任意点，点是图形上的任意点．给出规定：如果，两点的距离有最小值，那么我们称这个最小值为图形的亲和距离；记作：（图形，图形）．特别地，当，两点重合时，（图形，图形）． 举例说明： 如图，数轴上的点表示的数是1，点，表示的数分别是与，那么（点，线段）． 根据以上定义完成下列问题： 数轴上的点，点表示的数分别是，，点为原点． (1)当时，（原点，线段）　　　； (2)如果（原点，线段），那么　　　； (3)数轴上的点，点表示的数分别是，，如果（线段，线段），直接写出的值． 【答案】(1)1 (2)3或 (3)或6 【分析】本题考查“数轴上两点间的距离”，理解题目中的亲和距离的计算方式是解题关键． 由题意，可知当图形M、图形N有重合的点时，d（图形M，图形N）=0． （1）由，得到点，点表示的数，再通过数轴判断原点O离线段的最短距离即可； （2）分两种情况讨论，分别求出当点D与点O的距离最短，且距离为3时x的值和当点E与点O的距离最短，且距离为3时x的值即可； （3）分两种情况讨论，当线段在线段左方时，最短距离为，则；当线段在线段右方时，最短距离为，则，代入计算即可得到的值． 【详解】（1）解：当时，点D表示数1，点E表示数2，此时点D与原点O的距离为线段上的点与原点O的最小值，故d（原点O，线段）=1． （2）分两种情况讨论， 第一种：在原点O的左方，此时点E为线段上离原点O的最近点，故d（原点O，线段）=，即， ∴． 第二种：在原点O的右方，此时点D为线段上离原点O的最近点，故d（原点O，线段）=，即， ∴． 故答案为：3或． （3）分两种情况讨论， 第一种：在的左方，此时点E，点F为线段，线段上距离最近的两点，故d（线段，线段）=，即， ∴． 第二种：在的右方，此时点D，点G为线段，线段上距离最近的两点，故d（线段，线段）=，即， ∴． 故答案为：或6． 【变式2】【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80． (1)则点之间的距离为___________； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【答案】(1)90 (2)所对应的数是20或50； (3)折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53． 【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可． （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为80， ∴， ∴点之间的距离是90； 故答案为：90； （2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为， 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为20； 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为50； ∴线段的“理想点”所对应的数是20或50； （3）解：∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为18，18，54， ①当从到三条纸条的长度为18，18，54，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ②当从到三条纸条的长度为18，54，18，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ③当从到三条纸条的长度为54，18，18，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53． 【变式3】在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 【巩固训练】 1．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）在数轴上A、B两点分别表示的数是2和8，在数轴上，点A右侧有另外一点P，且P到A、B的距离和是10，则点P表示的数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设点表示的数为，根据在点右侧，分在、之间和在右侧两种情况，利用数轴上两点间距离的性质列方程求解即可. 【详解】解：设点表示的数为， ∵点在点右侧， ∴， ①当点在、之间，即时， 由数轴上点的位置关系可得，，， ∵， ∴该情况不符合题意； ②当点在点右侧，即时， 可得，， ∴， 解得，符合题意； 综上，点表示的数为. 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（    ） A．与3相比，点M表示的数离0更接近 B．2.1和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负数 【答案】D 【详解】解：A、与3相比，点M表示的数离0更接近，说法正确，该选项不符合题意； B、2.1和点M表示的数之间有5个整数，说法正确，该选项不符合题意； C、点M表示的数在与之间，说法正确，该选项不符合题意； D、点M表示的数和0之间有无数个负数，原说法错误，该选项符合题意． 3．（25-26九年级下·山东日照·开学考试）如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意：A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等，得出点A表示的数为，点C表示的数为3，再结合数轴，即可得出点B表示的数． 【详解】解：∵A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等， ∴点A表示的数为，点C表示的数为3， ∵点在点右侧2个单位， ∴点B表示的数为． 4．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． 5．（25-26七年级下·山东滨州·期中）在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 【答案】 【分析】根据数轴的特点，数轴从左到右表示的数越来越大，数轴平移的特点是左减右加，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 点A所表示的数向右平移4个单位长度后，得到的点B所表示的数是3， ∴点A表示的数是：． 6．（25-26七年级上·山东青岛·期末）将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的和x，则x的值是________． 【答案】4.4 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离是解题的关键．由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：坐标轴上的和分别与尺子的和对应， 所以坐标轴上的单位长度是， 由题意知，， 故答案为：4.4． 7．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数， 先确定数轴上被盖住的整数，进而得出答案． 【详解】解：被盖住的整数有， 一共有10个． 故答案为：10． 8．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一辆玩具火车放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合；当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为______． 【答案】 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和整数的个数问题，熟练掌握数轴的特征是解题的关键．由题意可得到的长度是玩具火车的倍，则玩具火车长度为，要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，据此即可得到答案． 【详解】解：∵已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为． ∴, 由题意可知，的长度是玩具火车的倍， ∴玩具火车长度为， 要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，此时玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为， 故答案为： 9．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，． 【答案】如图即为所求． 【分析】根据数轴的特点把各数在数轴上表示出来即可． 【详解】略 10．（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)则所表示的数是______； (2)数轴上有点，且与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了数轴的特点，数轴上表示数，数轴上两点间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键 ． （1）根据点表示的数，确定原点，由此即可求解； （2）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可． 【详解】（1）解：因为点表示的数是， 所以原点如图所示， 所以点表示的数为， 故答案为：； （2）解：因为点表示的数为， 所以当点在点左边时，点表示的数为； 当点在点的右边时，点表示的数为， 故答案为：或． 【强化训练】 11．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（  ） A．A点 B．B点 C．D点 D．E点 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，根据题意可得，翻转后数轴上1，2，3，4，5，6对应的点为根据，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1，2，3，4，5，6对应的点为…… 则， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是B． 故答案为：B． 12．（25-26七年级上·全国·阶段检测）有理数，在数轴上表示的点如图所示，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过数轴比较有理数大小，根据数轴可知，所以在原点右侧，由，则，从而可得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在原点的左侧， ∴， ∴在原点右侧， ∵， ∴， ∴，即， 故选：． 13．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，正方形滚动一周的长度为4，从到2024共滚动2026个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合， 故选：C． 14．（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 15．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 16．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【详解】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 17．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）线段，P是线段上任意一点，C，D两点分别从点P，点A同时向B点运动，且C点的运动速度为，D点的运动速度为．若运动时间为时，则________． 【答案】 6或16 【分析】本题考查线段上的动点问题，根据运动方向和速度确定点在数轴上的位置，利用绝对值的几何意义求解距离，即可 【详解】解：设所在的直线为数轴，点A为原点，则点B所表示的数为20，设点P表示的数为x， ∵C，D两点分别从点P，点A同时向B点运动，且C点的运动速度为，D点的运动速度为． ∴点C所表示的数为：，点D所表示的数为： ∵， ∴，解得：或4， ∴或 故答案为：6或16． 18．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 【答案】6 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，线段的中点，根据题意利用分类讨论思想解题是关键． 分点P，Q同时向右，同时向左两种情况，结合数轴上两点间的距离和线段中点的定义计算求解． 【详解】解：①当点P，Q同时向右运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； ②当点P，Q同时向左运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； 故答案为： 6． 19．（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，则点D表示的数是_________；到点D距离2个单位长度的数是_________． (2)用数轴上的点M、N分别表示有理数和． (3)将，0，，，4这5个数用“<”连接的结果是__________________． 【答案】(1)；或1 (2) 依题意，用数轴上的点M、N分别表示有理数和．如下图所示： (3) 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出点A表示的有理数是：4，再结合点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，得出点D表示的数是，则点D距离2个单位长度的数是或1； （2）结合点M、N分别表示有理数和，直接在数轴上描点，即可作答． （3）由（2）中的数轴，越在数轴的右边的数越大，得，即可作答． 【详解】（1）解：由数轴得点A表示的有理数是：4， ∵将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示， ∴， 则点D表示的数是； 或， 即到点D距离2个单位长度的数是或1； 故答案为：；或1； （2）略 （3）解：由（2）中的数轴，得， 故答案为：． 20．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2) (3)当时，不存在一点为另外两点的中点，理由： 解：三点中不存在一点为另外两点的中点， 当时， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， ∴，，， ∵， ∴三点中不存在一点为另外两点的中点． 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系． （1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为； （3）点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； B点与C点的中点D表示的数为； 故答案为：4，5； （2）点以每秒2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：； （3）略 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴 1. 掌握数轴三要素规范画法，能准确标注有理数，分清正负数、原点位置，区分数轴上点与实数一一对应基础逻辑。 2. 学会利用数轴比较有理数大小，理解右侧数字恒大于左侧，快速判断正负、零之间数值的大小关系。 3. 借助数轴理解相反数几何意义，清楚互为相反数两点到原点距离相等，分居原点两侧且符号相反。 4. 依托数轴掌握绝对值几何定义，明白绝对值是点到原点距离，能结合数轴化简含绝对值简单代数式。 5. 熟练解决数轴动点基础题型，会表示动点移动后对应数，计算两点距离、相遇间隔等基础动态问题。 知识点01 数轴的概念与画法 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 知识点02 有理数与数轴上点的对应关系 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 知识点03 利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 知识点04 数轴动点问题常考题型 题型 1：两点相遇问题 两个动点相向而行 等量关系：两者路程之和 = 初始两点距离 ⚠️ 验证：求出 t 后代回动点表达式，确认位置一致。 题型 2：两点相距定值（最容易漏解） 动点 A、B 相距 m 个单位 列式： ✅ 一定有两种情况： ① A 在 B 左边 ② A 在 B 右边 很多同学只算出一个答案，丢一半分数！ 题型 3：到两点距离相等（中点 / 两侧对称） 两种情况： 是 中点（常规答案） 在点 同侧（容易漏掉） 题型 4：中点公式 若点 M 是 A、B 中点 动点问题经常结合中点求值、定值探究。 【标准解题步骤】 1. 设运动时间为 2. 用含代数式表示每个动点对应的数（右加左减） 3. 根据题意列等式（距离用绝对值） 4. 解方程 5. 检验解是否符合实际（t≥0、运动范围） 6. 写出最终答案，多解分开说明 题型01 数轴的三要素及其画法 数轴例题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、系统分组_加入顺序 【典例】下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   【变式2】关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【变式3】操作与探索： (1)如图1，写出数轴上点A、B、C、D表示的数； (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：； (3)如图2，观察数轴，回答下列问题： ①大于﹣3并且小于3的整数有哪几个？ ②在数轴上到表示﹣1的点的距离等于1个单位长度的点表示的数是什么？ 题型02 用数轴上的点表示有理数 【典例】数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 【变式2】点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【变式3】如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． (1)该数轴的原点是点____________； (2)若，求线段的长． 题型03 利用数轴比较有理数的大小 【典例】已知有理数：， 0， ， 2，   (1)画出数轴，并在数轴上标出这些数对应的点； (2)用“>”把这些数连接起来． 【变式1】已知：点在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)点表示的有理数是______，表示有理数的点是______，两点之间的距离为______个单位长度； (2)请你在数轴上标出表示有理数和的点和点； (3)将，0，，，这五个数用“”连接的结果是______． 【变式2】在数轴上有A、B、C三点，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C在点B的右侧，且到点B的距离为4． (1)点C表示的有理数是 ； (2)将点A向右平移6个单位长度得到点D，点D表示的数是 ；点E在点D的左侧，且与点D的距离为3，点E表示的数是 ； (3)在数轴上画出点A、B、C、D、E，并将这五个点表示的数用“”连接起来． 【变式3】如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，则点D表示的数是_________；到点D距离2个单位长度的数是_________． (2)用数轴上的点M、N分别表示有理数和． (3)将，0，，，4这5个数用“<”连接的结果是__________________． 题型04 数轴上两点之间的距离 【典例】如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在数轴上从左到右有A，B，C三点，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点A，B，C所表示的数的和是． （1）若点为原点，则点所表示的数是__________； （2）若点到原点的距离为4，则的值是__________． 【变式2】在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当______秒时，点到点A的距离是个单位长度． 【变式3】如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 题型05 数轴上的中点问题 【典例】在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 【变式1】如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是（　　） A．1 B．1或 C．1或 D．1或 【变式2】如图，数轴上点A，B，D表示的数分别是，，1，且点C为线段的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段的中点．若，则的长为__________________． 【变式3】综合与实践 已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和9．    (1)观察发现： 直接写出线段__________． (2)情境探究： 情境①：当点P为线段的中点时，且M为的中点，N为的中点，请你借助直尺在图1中画出相应的图形，并写出线段__________； 情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为的中点，N为的中点，试通过计算判断的长度是否发生变化？ (3)迁移类比： 当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为的中点，N为的中点，直接写出线段的长． 题型06 数轴上单点的移动（动点问题） 【典例】如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式1】点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为___________． 【变式2】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【变式3】如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 题型07 数轴上多点的移动（动点问题） 【典例】对于题目“已知A、B、C在同一直线上，，，求的长．”甲同学和乙同学分别给出了下列的解法一、解法二． (1)请认真阅读下列解法，并填空： 解法一：根据题意可分如下两种情形： ①如图1，C点在线段上， ； ②如图2，C点在线段延长线上， ．所以线段的长为或． 解法二：如图3，在直线上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段的长为3个单位长度建立如图所示的数轴．则A：表示的数为0，B：表示的数为3；因为，所以点C表示的数为 ；所以线段的长为或． (2)已知A、B、C、D在同一直线上，，，，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出的长为 ． (3)已知线段，线段在直线上运动，且，在运动的过程中，若点M、N分别为线段、的中点，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出的长为 ． 【变式1】如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【变式2】一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【变式3】已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 题型08 数轴上找原点 【典例】有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点B右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【变式1】如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式2】“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【变式3】数轴上，点A，B，C表示的数分别为a，b，c，请利用刻度尺或圆规完成下列画图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，若，在数轴上画出原点O的位置； (2)如图②，若，在数轴上画出原点O的位置． 题型09数轴上整点覆盖问题 【典例】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 【变式1】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这条数轴上随意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数是（    ）． A．2023或2024 B．2024或2025 C．2025或2026 D．2026或2027 【变式2】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ___________． 【变式3】一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（　　） A． B． C． D． 题型10 数轴上的点运动规律 【典例】如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【变式1】正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式2】如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母M，N，P，Q，先让圆上字母M所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴正半轴方向滚动，那么数轴上的数2025将与圆周上重合的字母是（    ） A．M B．Q C．P D．N 【变式3】如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 题型11 数轴的折叠问题 【典例】如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为_______． 【变式1】在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________ 【变式2】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：    若数轴上数表示的点与数0表示的点重合． (1)则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)若数轴上，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，直接写出点，点表示的数． 【变式3】如下图，已知数轴上两点对应的数分别为为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)若点P到点A，B的距离相等，则x的值为_________． (2)若将数轴折叠，使A，B两点重合，则表示的点与表示__________的点重合． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2025（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（2）中的方式折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 题型12 数轴的定义问题 【典例】综合与实践 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究． 定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图1，点为线段的“优点”． ①若，则__________________； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则________________（填“=”或“”）； (2)性质探究 如图2，在原点为的数轴上有E，F两点，其中点表示的数为1，F点表示的数为4．若点在点的左侧，且M，N均为线段的“优点”，求线段的长； (3)拓展应用 在（2）的探究中，若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，请直接写出点表示的数． 【变式1】已知点是图形上的任意点，点是图形上的任意点．给出规定：如果，两点的距离有最小值，那么我们称这个最小值为图形的亲和距离；记作：（图形，图形）．特别地，当，两点重合时，（图形，图形）． 举例说明： 如图，数轴上的点表示的数是1，点，表示的数分别是与，那么（点，线段）． 根据以上定义完成下列问题： 数轴上的点，点表示的数分别是，，点为原点． (1)当时，（原点，线段）　　　； (2)如果（原点，线段），那么　　　； (3)数轴上的点，点表示的数分别是，，如果（线段，线段），直接写出的值． 【变式2】【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80． (1)则点之间的距离为___________； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【变式3】在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【巩固训练】 1．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）在数轴上A、B两点分别表示的数是2和8，在数轴上，点A右侧有另外一点P，且P到A、B的距离和是10，则点P表示的数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（    ） A．与3相比，点M表示的数离0更接近 B．2.1和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负数 3．（25-26九年级下·山东日照·开学考试）如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 4．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东滨州·期中）在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 6．（25-26七年级上·山东青岛·期末）将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的和x，则x的值是________． 7．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 8．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一辆玩具火车放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合；当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为______． 9．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，． 10．（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)则所表示的数是______； (2)数轴上有点，且与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______． 【强化训练】 11．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（  ） A．A点 B．B点 C．D点 D．E点 12．（25-26七年级上·全国·阶段检测）有理数，在数轴上表示的点如图所示，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 14．（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 15．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 16．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 17．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）线段，P是线段上任意一点，C，D两点分别从点P，点A同时向B点运动，且C点的运动速度为，D点的运动速度为．若运动时间为时，则________． 18．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 19．（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，则点D表示的数是_________；到点D距离2个单位长度的数是_________． (2)用数轴上的点M、N分别表示有理数和． (3)将，0，，，4这5个数用“<”连接的结果是__________________． 20．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $