第26章抛物线与存在性（5）菱形2 题集 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何图形综合应用，以菱形、矩形存在性及面积最值为核心，构建代数与几何融合的问题链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抛物线与几何综合|多题覆盖|存在性判断、最值计算|二次函数解析式求解为基础，结合菱形/矩形性质，通过坐标运算与方程思想实现数形转化，体现模型意识|

抛物线与存在性(5)菱形【题集D】 1.如图，抛物线划=ax2+bm+c经过点A(-4,0)、B(1,0).C(0,3),点P在抛物线 y=ax2+bc+c上，且在轴的上方. 0 (1）求抛物线和直线AC的解析式. (2)点D在直线AC上，点E在轴上，且位于点C的上方，那么在抛物线上是否存在点P,使得以 点C、D、B、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理 由 (3)点M为直线AC上一点，点N在平面内，那么是否存在一点M,使得CMBN为柜形？若存 在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)抛物线的解折式为测=-32- 4 40+3 3 AC直线解析式为y= x+3 4 9 (2)存在.D 75\ 或D(2)》 理由见解析 （3)存在.M(-1,2).理由见解析 【解折】(1)设抛物线的解新折武为y=ae+4e-1),把0,3)代入得到a=-3 4 瑞物解折试y=-e+e-山，购=-- 42+3. 由4(，-40以、C0,3得：AC直线解折试为测=子+3 (2)设P(6-#-+3） ①当CE为对角线时，四边形CPED为菱形，如图1， y E D 图1 则点P和D关于抽对称， 3e- 9 t+3 把D-t, 3e 9 t+3 代入y x+3得3 3 9 +3=- 3- t+3 4 4 =0 解得 舍去) 9 t=-2D2, ②当CB为菱形的边时 四边形 为菱形如图 CEPD D A 图 B 2 则 D// 轴， CD=PD D+ PD=- 0一 t+3- 3t+3 3 2-3t 4 4 而 3 2 D2=2+ t+3.-3 CD=- t t,解得 3-3t= 6 10舍去)， 7 t妇=0 t2=- 3 75 绿通：4 或 (3)如图所际， 3 2 M 图3 当四边形CMBN为矩形时，∠CMB=90° ·kMC·kBM=-1, ·kAC=1 .kBM =-1 则BM解析式为y=-x+1. 联立3二-x+1 y=x+3 得： 了x=-1 y=2 .M(-1,2). 【标注】 【知识点】一次函数与动点问题 2.如图，抛物线划=ax2+x十c与轴交于A,B两点，A点坐标为(-3,0），与轴交于点C,点C坐 标为(0，-6)，连接BC,点C关于轴的对称点为D,点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为 (m,0),过点P作轴的垂线交抛物线于点Q,交直线BD于点M: (1)求二次函数解析式 (2)点P在轴上运动，若-6≤m≤2时求线段MQ长度的最大值 (3)点P在轴上运动时，N为平面内一点，使得点B、C、M、N为顶点的四边形为菱形？如果 存在，请直接写出点N坐标，不存在，说明理由. 3 备用图 【答案】（1)y=x2+x-6. (2)16 (3)(-20Mg-四(-8)(0) 【解折】（1)将A(-3,0yC0,-6)代入y=ax2+x+c 9a-3+c=0,解得： 0+0+c=6 a=1'c=-6 二次函数解析 y=x2+c-6 (2)将 代入 %=0y=x2+x-6 解 点坐标%=2 设通线 为2,0) 代入 BDg释得+b B(2,0)D(0,6) 「2k+b=0 线6=的解折武：=二36=6 点唑标： y=-3x+6 点然坐标： M=-3m+6, 联直线 抛物方程得：6 解得： BD y=-3a+6 y=x2+x-6 当 1=2盟真骋 位于抛物线上方， -6≤x≤2 BD MQ=yM-VQ =UM-yQ 三-3m+6-(m2+m-6) =-m2+4m+12(-6≤m≤2) 当6时，-4取得最大值， 2a=- 2×(-1) =-2 m=2 MQ MQmnx 4ac- 2_4×(-10×12-←4=16 4a 4×(-1) 4 (3)①当D与M重合时，BD=BC,且C与D关于x轴对称， y D(MT ∴B与N1关于轴对称 N1(-2,0) ②当N过点B平行行，轴的直线上时， 1M2 使得CM⊥BN2' 解得： CF2=M2F ®92，-12)1 为对角线，与交于 BC MaN3 MC MsNs Fs 则B乃=乃C,F乃用中点坐标公式计算， 设M的坐标为(m,-3m+6), 则BM2=CM2,求出M坐标， 再利用肿点公试计拉。(--） ④以BM4. CN4为对角线 证明方法如③ 3618 【标注】【知识点】二次函数与动点问题 3.如图所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P 、N. B (1)若以C,P,N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为 (2)若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D,使 以点D,F,P,顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请 说明理由. 【答案】(1)4 (2)存在 当PM=PF时，D唑标为为 () 6 当PM=PF时，D型标为 -1 3W23v2 3W23W2 2,2 2- 2 当MP=M时，D坐标为(-4,3)· 【解析】(1)当△CNP∽△AMP时， ∠CNP=90°，则NC关于抛物线对称轴对称 .NC=NP=3 的面积为9 △CPN 当 2时 NP△ 为等腰直角三角形， 过点NCP 于点，设点坐9=90 CCE⊥MN M (a,0) ∴.EP=EC=-a 则N为(a,-a2-3a+4, MP=-a2-3a+4-（-2a)=-a2-a+4 ∴.P(a,-a2-a+4代入y=x+4,解得a=-2 △CPN的面积为4 (2)存在 设M坐标为a,0则N为(e,-a2-3a+4到 则点坐标为 -a2-3a+4 a, 把点坐标代入 2 解得 香去”+4 当1=一4时，点在欧垂直平分线上，则坐标为 PF=FM D MN D 13) 当 时，由菱形性质确定，点坐标为 22 或 PM=PF -1 3W23√/2 22 关于直线 对称，点坐标为 YE次函做与品点问题y=-+4 D (-4,3) 【标注】 > 4.已知抛物线C1:y=一x2+2mx+1(m为常数，且m卡0)的顶点为A,与轴交于点C,抛物线 C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B,若点P是抛物线C1上的点，使得四边形ABCP为菱形， 则m为（). A士V3 B.v3 C.±V2 D.√2 【答案】A 【解析】依题可知，A(m,1+m2),C(0,1),B(-m,1+m2),AB=12m, BC2=m2+m4, 四边形ABCP为菱形，AB=BC,4m2=m2+m4,m2(m2-3)=0,m=士V3. 【标注】【知识点】二次函数与平行四边形 43 5.如图，已知二次函数 M是OA的中点. 图象过点O(0,0),A(4,0), 3 B M (1)求此二次函数的解析式. (2)设P是抛物线上的一点，过P作轴的平行线与抛物线交于另一点Q,要使四边形PQAM是菱 形，求P点的坐标。 (3)将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得曲线OBA(B为B关于轴的对称点)，在原 抛物线x轴的上方部分取一点C,连接CM,CM与翻折后的曲线OBA交于点D.若△CDA 的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出C点的坐标，若不存在，请 说明理軸 【答案】(1)g=522- 4√3 3 32 (2)P(1,-√③. 8 (3) 存在满足条件的点C,点C的坐标为 【解析】(1)·抛物线过原点， ∴设其解析式为：y=ax2+bc. ,抛物线经过点A(4,0),B 、3 3 ∫16a+46=0 ,解得a=兰 4a+2b=-4y 3 (b=-4y3 二次函数解折式为：y=2-4y3 3 2)g=3-4=3 321 抛物线称轴为线：3二2)？、4√3 -x= 3 x=2 .四边形 是菱形 PQAM 轴 君9=9/刘称 点横垦标为. x=2 当P时 .r=1 3 =3 4w3=-V3 3 1,-V3),符合要求. (3) 依题4翻之后的抛物线解析式为： 假设存在这样的点， 2+ 43 3 32 的面积℃ 面积的倍， △CDA △MDA 2 CD=2MD 如季M分别过点、 作轴的垂线，垂足分别为点、点，则有 D'C T E F DE//CF .DE ME MD OP-SDE MP YA 3L4 则c,3 -C B 3 D MF=x-2ME=。MF= 3 3(-2) M 4 E OE=ME+OM= 3+3 B 答图 9 +g-(+)+（+ 3 .CF=3DE 3 x=3 整理得：c2-4x-8=0, 解得：1=2+2√3，x2=2-2V5 8v3 8v3 ,=3， ·存在满足条件的点℃点的坐标为 【标注】 【知识点】二次函数与面积 6.如图，在平面直角坐标系xOy中， 抛物线划=a(x+1)2-3与轴交于A、B两点（点A在点B的左 8 侧)，与轴交于点C(0,- 顶点为D,对称轴与轴交于点H,过点H的直线交抛物线于P 、Q俩点，点Q在轴的右侧. 备用图 (1)求a的值及点A、B的坐标. (2)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M,点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形 DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由 【答案)(1)a=3A(-40),B2,0) (2)能，N(-2W5-1,1) 【解折1(1)由题=ae+1-3过(0，-) a-3=-8 -3得a=3 =3+12-3令y=0,得 1 e+2-3==-4=2 ∴A(-4,0),B(2,0) (2)方法一：能，如右图， 0 设PQ为y=k(x+1)=ka+k, (y=kc十k 则由题意得 1 y=3e+12-3' +P-3=@+B x2+(2-3)z-8-3k=0, 设P(c1,h）Q(x2,2) 则由韦达定理，得1十2=3k-212=-8-3k h+2=kc1+k+k2+k=k(1+x2)+2k=3k2 () PM//DN'.DN:y=k(+1)-3=ka+k-3 y=kc+k-3得1 g=e+P-3专e+1=+k 得 2+(2-3)x+1:-3k=0x1=-1x2=3k-1 此的3k-1,3k2-3) 把 9k-1,21 伏入抛物线 g- 9 、2 得 92 4 在第刻很 金存侧 6=±2 1 P Qy 转9 W(-2W3-1,1) 则由题意得PQy=k(x+1)=,kc+k y=kx+k 1 =3e+1-3 曼2-80 则虫韦达定理， PB1,Q花2,2) 1十2=3k-212=-8-3k +=k1+k+2+k=k(1+x2)+2k=3k2 M /3k-2,32 2,2)得 PM//DNDN:y=k(+1)-3=kx+k-3 fy=ka+k-3 得 y=e+12-33e+1)2=c+k x2+(2-3k)x+1-3k=01=-12=3k-1 11 N(3k-1,3k2-3): 此时，DM=DN (-1+)+(+ =V(3)2+(3)2, + 9 9k4+9+9=92+94, 3k4-2-4=0,(2+1)(3k-4)=0, 股=子=-1舍) 在轴侧3，又P在第二象限， 3 【标注】【知识点】二次函数与平行四边形 12 1. 在平面直角坐标系中，为原点，直线与轴交于点，与直线交于点，点关于原点的对称点为点． （ 1 ）求过，，三点的抛物线的解析式． 6 学科网（北京）股份有限公司 （ 2 ） 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为． 当四边形为菱形时，求点的坐标．1 若点的横坐标为 ，当为何值时，四边形面积最大，并说明理由．2 （ 1 ） （ 2 ）1 2 ． 或 ． 当 时， 四边形 有最大值 ． （ 1 ）方法一：由 ， 解得 ∴ ∵点 ∴ ∵当 ∴ ， ， 关于原点的对称点为点 ， ， 时， ， ， 设抛物线的解析式为为 ， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的解析式为 ． 方法二：联立两直线解析式可得 ，解得 ， ∴ 点坐标为 ， 又 点为 点关于原点的对称点， ∴ 点坐标为 ， ∵直线 与 轴交于点 ， ∴ 点坐标为 ， 设抛物线解析式为 ， 把 、 、 三点坐标代入可得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为 ． （ 2 ）1 2 当四边形 为菱形时，则 ， ∵直线 解析式为 ， ∴直线 解析式为 ， 联立抛物线解析式可得 ，解得 或 ， ∴ 点坐标为 或 ．方法一：设点 的坐标为 ， 过 作 轴交直线 于点 ，则 ， 分别过点 、 作 ， ，垂足分别为点 、 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ 四边形 ， ∴当 时， 四边形 有最大值 ． 方法二：如图，过 作 ，垂足为 ，作 轴的垂线，交直线 于点 ， 则 四边形 ， ∵线段 长固定不变， ∴当 最大时，四边形 面积最大，又 （固定不变）， y x O ∴当 最大时， ∵ 点在抛物线上， ∴ 点坐标为 ∴ 也最大， 点在直线 上， ， 点坐标为 ， ， ∴当 时， 有最大值 ，此时 有最大值，即四边形 的面积最大． 【知识点】二次函数与面积 2. 已知，，点为抛物线 上一点，为其对称轴上一点，以、、 、的四边形为菱形，则点的纵坐标为（ ）． A. B. 2 C. D. 1 B ①当 ②当 ③当 抛物线的对称轴方程为 时，时， 时， ，则可设 ，解得： ，解得： ， （舍去）， ，此时点 ，此时点 ； ； ； 经检验，只有 在抛物线 ，解得： 上 . ，此时点 【知识点】二次函数与动点问题 3. 如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，其顶点为．在抛物线的对称轴上是否存在一点，连接、，并将沿翻折，得到菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 存在； ． 如图所示： y x O 把 ∴把 ∴ 将 代入直线 ， 代入直线 ， 得： ，解得 ， 得： ， 、 代入抛物线的解析式得： ，解得： ， ， ∴抛物线的对称轴为 由翻折的性质可知 ， ， ， ∴当 设点 ， ∴点 时，四边形 为菱形， 的坐标为 ，由两点间的距离公式可知： ，解得 的坐标为 ． 【知识点】定直线（线段）与动抛物线交点问题 4. 如图，抛物线，与轴交于点与点，点为抛物线顶点，为轴上一点，在平面内是否存在一点，使： （ 1 ）以、、、为顶点的四边形为矩形，求出、点坐标． （ 2 ）以、、、为顶点的四边形为菱形，求出、点坐标． （ 1 ） ， 或 ， 或或 ， ， ， ． （ 2 ） 或 ， ， ， ， 或 或 ， ， ， ． （ 1 ） 为边： 1 构造三垂直相似可得 ，此时， ， 为对角线， ∴ ． 2 构造三垂直相似可得 ， 此时 ， 为对角线， ∴ ， 为对角线． 3 ，构造三垂直相似可得， 或 ， ， 若 ， ， 为对角线， 则 ． 若 ， 、 为对角线， 则 ． 综上 ， 或 ， 或 ， ， 或 ， ． （ 2 ）①以 为腰， 为顶点作等腰三角形，得 或 ， 此时 ， 为对角线， ∴ 或 ． 综上 ， ， 或 ， ， 或 ， ， 或 ， ． 5. 抛物线 上有三点，，，且点为抛物线上、之间部分上的点，点为平面内一点，若四边形为菱形，则点的纵坐标为（ ）．②以 则 此时 ∴ ③以 为腰， 为顶点作等腰三角形， ， 或 为对角线，或 ， ． 为底， 为质点作等腰三角形， 不存在（舍）． 【知识点】二次函数与平行四边形 A. B. 0 C. D. A 菱形 邻边相等， ，设 则 解得故 ，即 . 【知识点】二次函数与特殊平行四边形 6. 已知如图，在平面直角坐标系中，点、、分别为坐标轴上的三个点，且， ，． （ 1 ）求经过、、三点的抛物线的解析式． （ 2 ）在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （ 3 ）若点 为该抛物线上一动点，在（）的条件下，请求出当的最大值时点 的坐标，并直接写出 的最大值． （ 1 ） ． （ 2 ）当点 的坐标为 时，以点 、 、 、 为顶点的四边形为菱形． （ 3 ）点 的坐标为 或 时， 的值最大，此时的最大值为 ． （ 1 ）设抛物线的解析式为 ， ∵ 、 、 ， ∴ ， 解得： ∴经过 （ 2 ）∵ ∴ ， ， ， 、 、 ， 三点的抛物线的解析式为 ， ， ． 当 ∴ ∴点当点形， 平行且等于 时，四边形 为菱形， 的坐标为 ，且点 到 轴的距离等于 ， ， 在第二、三象限时，以点 、 、 、 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱 ∴当点 （ 3 ）设直线 ∵ 的坐标为 的解析式为 时，以点 、 、 、 为顶点的四边形为菱形． ， ， ∴ ，解得 ， ， ∴直线 当点当点 ∴当点 的解析式为 ， 与点 、 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系 ， 与点 、 同一直线上时， 与点 、 在同一直线上时， ， 的值最大，即点 为直线 与抛物线 的交点， 解方程组 ，得 或 ， ∴点 的坐标为 或 时， 的值最大，此时 的最大 值为 ． 【知识点】二次函数与平行四边形 $ 1. 如图，已知直线分别交轴、轴于点、，抛物线过，两点，点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点．若抛物线的解析式为，设其顶点为 ，其对称轴交于点．是否存在点，使四边形 为菱形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 2. 如图所示：二次函数 图像与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，与抛物线交于 且 ． （ 1 ）试用表示点的坐标． （ 2 ）求该二次函数解析式． （ 3 ）过点的直线交抛物线于 、两点，且点 在第四象限．设 的中点为，点在抛物线上，则以为对角线的四边形能否成为菱形？若能，求出点坐标；若不能，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 3. 在平面直角坐标系中，为原点，直线与轴交于点，与直线交于点，点关于原点的对称点为点． （ 1 ）求过，，三点的抛物线的解析式． （ 2 ） 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为．当四边形为菱形时，求点的坐标． 4. 如图所示，顶点为 的抛物线． 过点 备用图 （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）点是抛物线与轴的交点（不与点 重合），点是抛物线与轴的交点，点是直线 上一点（处于轴下方），点是反比例函数 图象上一点，若以点 ，，，为顶点的四边形是菱形，求的值． 5. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，直线，与轴交于点，与直线交于点 ，点关于原点的对称点为点． B O C A （ 1 ）求过，，三点的抛物线的解析式． （ 2 ） 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为，当四边形为菱形时，求点的坐标． 6. 如图，抛物线 与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点，过点作轴于点 ．y x O （ 1 ）求直线的解析式． （ 2 ）点是抛物线上一动点，过点作直线轴交直线于点，若以点、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． $ 1. 如图，抛物线经过点、、，点在抛物线上，且在轴的上方． y x O （ 1 ）求抛物线和直线的解析式． （ 2 ）点在直线上，点在轴上，且位于点的上方，那么在抛物线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理 由． （ 3 ）点 为直线上一点，点在平面内，那么是否存在一点 ，使得为矩形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 如图，抛物线与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，点坐标为，连接，点关于轴的对称点为，点是轴上的一个动点，设点的坐标为 ，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点 ．y x O （ 1 ）求二次函数解析式． （ 2 ）点在轴上运动，若 时求线段 长度的最大值． （ 3 ）点在轴上运动时， 为平面内一点，使得点 、、 、为顶点的四边形为菱形？如果 存在，请直接写出点坐标，不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 y x O 备用图 3. 如图所示， 是线段的上一个动点，过点 垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点 、．y x O （ 1 ）若以，，为顶点的三角形与 相似，则 的面积为 ． （ 2 ）若点恰好是线段 的中点，点是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，， 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4. 已知抛物线 （为常数，且）的顶点为，与轴交于点，抛物线 与抛物线关于轴对称，其顶点为，若点是抛物线上的点，使得四边形为菱形，则为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，已知二次函数的图象过点 ， ， ， 是的中点． （ 1 ）求此二次函数的解析式． （ 2 ）设是抛物线上的一点，过作轴的平行线与抛物线交于另一点，要使四边形是菱形，求点的坐标． （ 3 ）将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得曲线（为关于轴的对称点），在原抛物线轴的上方部分取一点，连接，与翻折后的曲线交于点．若的面积是面积的倍，这样的点是否存在？若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 6. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点 ，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于 、两点，点在轴的右侧． 备用图 （ 1 ）求的值及点、的坐标． （ 2 ）当点位于第二象限时，设的中点为 ，点在抛物线上，则以为对角线的四边形 能否成为菱形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． $ 1. 如图，已知直线分别交轴、轴于点、，抛物线过，两点，点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点．若抛物线的解析式为，设其顶点为 ，其对称轴交于点．是否存在点，使四边形 为菱形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 不存在，证明见解析． 不存在； ， 设 则 因为是菱形，故 ， ， ， ，解得 ， （舍去）或 ， 当 此时 故四边形 时， 的坐标为 ， 不可能为菱形． （或先作过点 ，且平行于 的直线，交抛物线于另一点 ，再检验邻边是否相等） 【知识点】二次函数与动点问题 2. 如图所示：二次函数 图像与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，与抛物线交于 且 ． 8 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ）试用表示点的坐标． （ 2 ）求该二次函数解析式． （ 3 ）过点的直线交抛物线于 、两点，且点 在第四象限．设 的中点为，点在抛物线上，则以为对角线的四边形能否成为菱形？若能，求出点坐标；若不能，请说明理由． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ． ． ． （ 1 ）当 ∴点 的坐标 （ 2 ）设 点坐标为则有： 时， ， ， ， ． 点坐标为 ， ， ， ， ∵ ∴ ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴二次函数的解析式为： ． （ 3 ）设直线解析式为 ， ， ， 抛物线的对称轴为 ， ∴点 的坐标为 ， 把点 代入 ，得： ， ∴直线解析式为 ， 联立 ， 整理得： ， ∴ ， ， 由中点公式可得，中点 的坐标为： ， 即 ， ∵ ，顶点坐标 ， ∴直线 可由直线 向下平移 个单位得到． ∴设直线 的解析式为： ，联立 ， 整理得： ， 即 ， 解得 （舍去）， ， 代入直线 解析式，得 ，故点 的坐标为 ， 若四边形 为菱形，则 ，即 ， ∴ ， 由两点间距离公式得： ， ∴四边形 是菱形． 由上述可得以 为对角线的四边形 可以是菱形，此时点 的坐标为 ． ， ， ， ， ， 或 解得： 故又∵ ， 联立 ， 的解析式为： 直线 点 的坐标为 ， ， ， ∵ ∴ ∴中点 ， ， ， 整理得： 即：即： 解得： 【知识点】二次函数与平行四边形 3. 在平面直角坐标系中，为原点，直线与轴交于点，与直线交于点，点关于原点的对称点为点． （ 1 ）求过，，三点的抛物线的解析式． （ 2 ） 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为．当四边形为菱形时，求点的坐标． （ 1 ） （ 2 ） ． ， ． （ 1 ） 联立两直线解析式可得 ，解得 ， ∴ 又 ∴ 点坐标为 ， 点为 点关于原点的对称点， 点坐标为 ∵直线 ∴ 点坐标为 设抛物线解析式为 ， 与 轴交于点 ， ， ， 把 、 、 三点坐标代入可得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为 故答案为： ． ． （ 2 ）当四边形 ∵直线 ∴直线 为菱形时，则PQ⊥BC， 解析式为 解析式为 ， ， 联立抛物线解析式可得 ， 解得 或 ， ∴ 点坐标为 故答案为： ， ， ． ． 【知识点】二次函数与平行四边形 4. 如图所示，顶点为 的抛物线． 过点 备用图 （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）点是抛物线与轴的交点（不与点 重合），点是抛物线与轴的交点，点是直线 上一点（处于轴下方），点是反比例函数 图象上一点，若以点 ，，，为顶点的四边形是菱形，求的值． （ 1 ） ． （ 2 ） 或 ． （ 1 ）依题意可设抛物线方程为顶点式 ，将点 代入可得： ， 解得 ． 故抛物线的解析式为： ． （ 2 ）由（ ）知，抛物线的解析式为： ．则对称轴为 ， ∴点 与点 关于直线 对称， ∴ ． 令 ，则 ， ∴ ． 在直角 中， ， ，则 ．设直线 与 轴交于点 ，易求 ． ∴直角 是等腰直角三角形， ∴ ． ∵点 是直线 上一点（处于 轴下方），而 ，所以反比例函数图象位于点一、三象限． 故点 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下 种情况： ①此菱形以 为边且 也为边，如图 所示， 图 过点 作 轴于点 ， 在直角 中，∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵点 在反比例函数 图象上， ∴ ． ②此菱形以 为对角线，如图 ， 图 作 的垂直平分线 交直线 于点 ，交反比例函数 的图象于点 ． 再分别过点 、 作 轴于点 ， 轴， 与 相交于点 ．在直角 中，同①可证 ， ∴ ． 可设点 的坐标为 ． ∵ ， ∴ ． ∵四边形 是菱形， ∴ ． ∴在直角 解得 中， ，即 ， ， ∴点 的坐标是 ． ∵点 ∴ 在反比例函数 图象上， ， 综上所述， 的值是 或 ． 【知识点】二次函数与平行四边形 【思想】分类讨论思想 【能力】分析和解决问题能力 5. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，直线，与轴交于点，与直线交于点 ，点关于原点的对称点为点． B O C A （ 1 ）求过，，三点的抛物线的解析式． （ 2 ） 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为，当四边形为菱形时，求点的坐标． （ 1 ） （ 2 ） ． 或 ． （ 1 ）联立两直线解析式可得： ，解得： ， ∴ 点的坐标为 ． 又∵ 点为 点关于原点的对称点， ∴ 点的坐标为 ． ∵直线 为 轴交于点 ， ∴ 点的坐标为 ． 将点 、 、 的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为 （ 2 ）当四边形 ∵直线 ∴直线 联立得： 为菱形时， 的解析式为 ． ． ， 的解析式为 ， ，解得： 或 ． ∴ 点坐标为 或 ． 【知识点】二次函数与平行四边形 6. 如图，抛物线 与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点，过点作轴于点 ．y x O （ 1 ）求直线的解析式． （ 2 ）点是抛物线上一动点，过点作直线轴交直线于点，若以点、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 1 ）易得 ， ，∴ ． （ 2 ）∵ ∴ 设 且 ， ， ，则 ， ∴ ， ∴① ， ， ， 当 ② 或 时，平行四边形均不为菱形． ，解得： ， ， 当 ∴ 当 时， ， ，∴平行四边形 时， ． 为菱形， ． 综上所述， 【知识点】二次函数与动点问题 $ 1. 在平面直角坐标系中，为原点，直线与轴交于点，与直线交于点，点关于原点的对称点为点． （ 1 ）求过，，三点的抛物线的解析式． 2 学科网（北京）股份有限公司 （ 2 ） 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为． 当四边形为菱形时，求点的坐标．1 若点的横坐标为 ，当为何值时，四边形面积最大，并说明理由．2 2. 已知，，点为抛物线 上一点，为其对称轴上一点，以、、 、 的四边形为菱形，则点的纵坐标为（ ）． A. B. 2 C. D. 1 3. 如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，其顶点为．在抛物线的对称轴上是否存在一点，连接、，并将沿翻折，得到菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．y x O 4. 如图，抛物线，与轴交于点与点，点为抛物线顶点，为轴上一点，在平面内是否存在一点，使： （ 1 ）以 、 、 、 为顶点的四边形为矩形，求出 、 点坐标． （ 2 ）以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形，求出 、 点坐标． 5. 抛物线 上有三点，，，且点为抛物线上、之间部分 上的点， 点为平面内一点，若四边形 为菱形，则点的纵坐标为（ ）． A. B. 0 C. D. 6. 已知如图，在平面直角坐标系中，点、、分别为坐标轴上的三个点，且， ，． （ 1 ）求经过、、三点的抛物线的解析式． （ 2 ）在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （ 3 ）若点 为该抛物线上一动点，在（）的条件下，请求出当的最大值时点 的坐标，并直接写出 的最大值． $