4.4.3不同函数增长的差异课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一次函数、指数函数和对数函数增长的差异，通过“思考”环节讨论“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”含义导入，衔接函数单调性等前序知识，以对比表格、辨析题及典例解析为学习支架，帮助学生系统理解三种函数增长特点。 其亮点在于结合数学抽象与直观想象，通过表格对比函数增减性、图像变化及增长结果，借助典例（如注入液体方案选择）培养数学建模能力。“解题有招”总结图像分析、范围求解等方法，学生能提升问题分析能力，教师可利用资料高效开展讲练结合教学。

4.4.3　不同函数增长的差异 【学习目标】 1.比较一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.(直观想象) 2.理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.(数学抽象) 3.能根据具体问题选择合适的函数模型.(数学建模) 三种常见函数模型的增长差异 项目 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0) 在(0,+∞)上的增减性 _________ _________ _________ 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长结果 存在一个x0,当x>x0时,有___________ 单调递增 单调递增 单调递增 ax>kx>logax [思考] 讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义. 提示:直线上升:匀速上升;对数增长:缓慢增长;指数爆炸:增长越来越快. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.( ) (2)对任意的x>0,kx>logax.( ) 提示:对任意的x>0,当k<0,a>1时,kx>logax不恒成立,故错误. √ × (3)存在一个实数m,使得x>m时,1.01x>x10.( ) 提示:指数函数的增长速度比幂函数的增长速度快,所以当实数x足够大 时,1.01x>x10. (4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函 数模型是对数函数模型.( ) √ √ 类型1 不同函数增长的差异(数学抽象) 【典例1】(1)下列函数增长速度最快的是(　　) A.y=1.1x　 B.y=2 025x2 C.y=log2 025x　 D.y=2 025x 【解析】选A.函数y=1.1x为单调递增的指数函数,函数y=2 025x2为二次函数,y=log2 025x为递增的对数函数,y=2 025x为递增的一次函数,根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质,可得指数函数增长速度最快. √ (2)有一组实验数据如表: 体现这些数据的最佳函数模型是(　　) A.y=　 B.y=log2x C.y=　 D.y=x2 x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 √ 【解析】选C.观察题表中数据,知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而选项A,B中的函数增长速度越来越慢,A,B不符合题意; 对于C,当x=6时,y≈21.33,C符合题意; 对于D,当x=6时,y=18,误差偏大,D不符合题意. 【解题有招】 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变. (2)指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓. (4)幂函数模型:幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间. 【即学即练】 1.(2025·南京高一检测)某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体,有三种方案可以选择,这三种方案的注入量随时间变化如图所示:  横轴为时间(单位:小时),纵轴为注入量,根据以上信息,若使注入量最多,下列说法中错误的是(　　) A.注入时间在3小时以内(含3小时)时,采用方案一 B.注入时间恰为4小时时,不采用方案三 C.注入时间恰为6小时时,采用方案二 D.注入时间恰为10小时时,采用方案二 √ 【解析】选D.对A,由题图可知,注入时间在3小时以内(含3小时)时,方案一的注入量大于其他两种方案,故A正确,不符合题意; 对B,当注入时间恰为4小时时,由题图可知,方案三的注入量小于其他两种方案,故B正确,不符合题意; 对C,当注入时间恰为6小时时,方案二的注入量大于其他两种方案,故C正确,不符合题意; 对D,当注入时间恰为10小时时,由题图可知方案三的注入量最大,故应选择方案三,故D错误,符合题意. 2.一组实验数据如表: 用下列函数近似地表示数据满足的规律,其中最接近的一个是(　　) A.s=2t-3+1 B.s=log2t C.2s=t2-1 D.s=-2t-2 t 1.993 3.002 4.001 5.032 6.121 s 1.501 4.413 7.498 12.04 17.93 √ 【解析】选C.根据已知的数据可知,随着t的逐渐增大,函数值也是增大的,因此排除选项D.对于A,是指数型函数,底数大于1,因此是递增的,但是爆炸性的增长,不满足题意.对于B,对数函数的增长速度平缓,并且当t=4时,函数值为2,与数据差距大,不满足题意,故排除法选C. 类型2 不同函数增长差异的应用(逻辑推理) 角度1　求范围 【典例2】若x∈(0,+∞),则使log2x<2x<x2成立的x的取值范围是　　　　,使log2x<x2<2x成立的x的取值范围是　　　　　　　.  【解析】在同一平面直角坐标系中作出y=2x,y=x2, y=log2x在(0,+∞)上的图象如图所示, 由图得,若log2x<2x<x2,则2<x<4,若log2x<x2<2x, 则0<x<2或x>4. 答案:(2,4)　(0,2)∪(4,+∞) 【解题有招】 利用不同函数增长的差异求范围 (1)根据题意,作出不同函数增长的图象,确定交点的坐标; (2)结合图象,根据不同函数的相对位置,求出变量的取值范围. 【即学即练】 对于任意x∈(m,+∞),不等式log2x<x2<2x都成立,则m的最小值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选C.x>0时,令2x=x2得x=2或x=4,由于指数函数增长速度比二次函数快,所以当x>4时,2x>x2恒成立,且当x>4时,x2>log2x也成立,对数函数增长速度小于二次函数,所以m的最小值为4. √ 角度2　比较大小 【典例3】(多选)已知a=3x,b=4x+1,c=log3(x+3),则下列结论一定成立的是(　　) A.若a<b,则x∈(0,2) B.若x=-,则a<c C.若b>c,则x∈(-,+∞) D.若x=,则b>2c √ √ √ 【解析】选ABD.对于A,函数y=3x,y=4x+1均为R上的增函数,当x=0时,两函数值相等,均为1;当x=2时,两函数值相等,均为9,作出函数y=3x,y=4x+1的图象如图所示: 由图可知当0<x<2时,3x<4x+1,即a<b,A正确; 对于B,当x=-时,a=<3-1=,由于3<, 所以<,故c=log3>log3,故a<c,B正确; 对于C,作出函数y=4x+1,y=log3(x+3)的图象如图, 由图象可知当-<x<0时,4x+1<log3(x+3), 即b<c,C错误; 对于D,当x=时,b=3=log327,c=log3,2c=log3, 由于27>,故log327>log3,即b>2c,D正确. 【解题有招】 利用不同函数增长的差异比较大小 (1)根据题意,作出不同函数增长的图象,函数值的大小对应图象的高低; (2)通过对部分自变量对应函数值的计算,结合不同函数增长的差异性,确定所求函数值之间的大小关系. 【即学即练】 满足x+5>2x的正实数x的取值范围是　　　　.  【解析】如图,  结合函数y=x+5与y=2x的图象增长差异得, 当0<x<3时,x+5>2x. 答案:(0,3) $