4.4.2　第2课时　对数函数的图象和性质(二)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数函数的单调性、值域及综合应用，承接上一课时基础图象与性质，通过典例解析和即学即练，构建从单一性质到综合问题的学习支架，帮助学生逐步深化理解。 其亮点在于融入逻辑推理与数学运算核心素养，如复合函数单调性问题先求定义域再用“同增异减”法则，值域问题通过分解函数、求取值范围解决。采用“解题有招”总结方法结合即时练习的教学模式，助力学生掌握解题思路，教师使用可提升教学效率。

第2课时　对数函数的图象和性质(二) 【学习目标】 1.进一步研究对数函数的图象与性质.(直观想象、逻辑推理) 2.会用对数函数的图象与性质解决有关综合问题.(逻辑推理、数学运算) 3.运用对数函数模型解决实际问题.(数学建模) 类型1 对数型函数的单调性问题(数学运算) 【典例1】(1)(2026·漳州高一检测)函数y=ln (-x2+2x+3)的单调递减区间为(　　) A.(-1,1)　 B.(-∞,1) C.(1,+∞)　 D.(1,3) √ 【解析】选D.对于函数y=ln (-x2+2x+3)有意义,可得-x2+2x+3>0,即x2-2x-3<0,解得-1<x<3. 设t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,则函数t=-x2+2x+3在区间(-1,1)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减, 又函数y=ln t在定义域上单调递增,故函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间为(1,3). (2)已知a>0,若函数f(x)=log3(ax2-x)在[3,4]上单调递增,则a的取值范围是　　　　.  【解析】因为f(x)=log3(ax2-x)在[3,4]上单调递增, 而函数y=log3x是定义在(0,+∞)上的增函数, 所以g(x)=ax2-x在[3,4]上单调递增,且g(x)>0在[3,4]上恒成立, 所以⇒a>,所以a的取值范围是(,+∞). 答案:(,+∞) 【解题有招】 对数型函数的单调性问题 1.求单调区间:首先求函数的定义域,然后再利用复合函数的单调性求单调区间; 2.由单调性求参数的取值范围:利用复合函数“同增异减”及函数的定义域建立关于参数的不等式(组)求解. 【即学即练】 1.函数f(x)=ln x+ln (2-x)的单调递增区间是(　　) A.(0,1] B.(1,2) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 【解析】选A.函数f(x)=ln x+ln(2-x),因为,解得0<x<2. 所以函数f(x)=ln x+ln(2-x)的定义域为(0,2),且f(x)=ln (-x2+2x)(x∈(0,2)). 因为函数t=-x2+2x(x∈(0,2))在区间(0,1]上单调递增,在区间[1,2)上单调递减, 函数y=ln t单调递增,所以由复合函数的单调性知函数f(x)=ln x+ln(2-x)在区间(0,1]上单调递增,在区间[1,2)上单调递减. √ 2.(2026·眉山高一检测)已知关于x的函数y=(ax+a-2)在区间[-4,-2]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　.  【解析】由题意可知,f(x)=ax+a-2在[-4,-2]上单调递减, 且f(x)在区间[-4,-2]上恒为正, 则a<0,且f(-2)=-a-2>0,解得a<-2,则实数a的取值范围是(-∞,-2). 答案:(-∞,-2) 类型2 对数型函数的值域(最值)问题(逻辑推理) 【典例2】(2026·石嘴山高一检测)设函数f(x)=lg ,a为常数,且f()=0. (1)求不等式f(x)>0的解集. (2)求f(x)在区间[1,2]上的最值. 【解析】(1)函数f(x)=lg ,由f()=0,得=1,解得a=0,f(x)=lg , 不等式f(x)>0⇔lg (-1)>0⇔-1>1,即>2,则0<<,解得0<x<, 所以原不等式的解集为(0,). (2)由(1)知f(x)=lg (-1),由-1>0,可得0<x<3, 函数t=-1在区间(0,3)上单调递减, 而函数y=lg t在区间(0,+∞)上单调递增, 因此函数f(x)在区间(0,3)上单调递减,当x∈[1,2]时,f(x)max=f(1)=lg 2, f(x)min=f(2)=-lg 2,所以f(x)在区间[1,2]上的最大值为lg 2,最小值为-lg 2. 【解题有招】 形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数,其最值(值域)的求解步骤如下: (1)分解成y=logau,u=f(x)两个函数; (2)求f(x)的定义域; (3)求u的取值范围; (4)利用y=logau的单调性求解. 【即学即练】 1.函数y=log3(x2-2x+4)的值域是　　　　.  【解析】易知x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,又y=log3x在定义域上单调递增, 所以y=log3(x2-2x+4)≥log33=1. 答案:[1,+∞) 2.已知函数f(x)=log3(-x2+4x+a-1)的最大值为2,则a=　　　　.  【解析】因为函数f(x)=log3(-x2+4x+a-1)由y=log3t,t>0与t=-x2+4x+a-1复合而成,而y=log3t在定义域上单调递增,所以当t=-x2+4x+a-1取最大值时,函数y=log3t取得最大值,由二次函数的性质易知当x=2时,tmax=a+3,此时f(x)max= log3(a+3),所以log3(a+3)=2,解得a=6. 答案:6 类型3 与对数函数性质有关的综合问题(数学运算) 【典例3】已知函数f(x)=ln(x+6)-ln(2-x). (1)证明:g(x)=f(x-2)是奇函数; (2)判断f(x)的单调性,并用定义证明; (3)若对任意的t∈(0,1),都有f(4t-2)+f(k·2t)>0,求实数k的取值范围. 【解析】(1)由题意得,g(x)=f(x-2)=ln(x-2+6)-ln(2-(x-2))=ln(x+4)-ln(4-x), 所以,即-4<x<4,又g(-x)=ln(-x+4)-ln(4+x)=-g(x), 所以g(x)为奇函数. (2)f(x)在(-6,2)上单调递增,证明如下:由题意,,所以-6<x<2, 因为f(x)=ln ,令t(x)==-1-,取x1,x2∈(-6,2)且x1<x2, 则t(x1)-t(x2)=-<0, 所以t(x1)<t(x2),则ln t(x1)<ln t(x2),即f(x1)<f(x2),故f(x)在(-6,2)上单调递增. (3)由(1)得,f(-x-2)=-f(x-2), 若对任意的t∈(0,1),都有f(4t-2)+f(k·2t)>0,则f(4t-2)>-f(k·2t+2-2)=f(-k·2t-4), 由(2)得f(x)在(-6,2)上单调递增, 所以-6<-k·2t-4<4t-2<2,则,即-(2t+)<k<, 因为-(2t+)≤-2,当且仅当t=时取等号,所以k>-2, 又当t∈(0,1)时,>1,所以k≤1, 故k的取值范围为(-2,1]. 【解题有招】 对数函数性质的综合应用 (1)判断函数的单调性:①要注意函数的定义域,②看底数是否需要分类讨论,③利用换元法解决复合函数的单调性与最值问题. (2)判断函数的奇偶性:①先求函数的定义域,②看定义域是否关于原点对称,③利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)判断是奇函数还是偶函数. (3)解不等式:利用函数的单调性与奇偶性,将对数不等式转化为整式或分式不等式. 【即学即练】 已知函数f(x)=(log2x-2)log4(2x). (1)求不等式f(x)>5的解集; (2)若f(x)≤mlog4x对于x∈[4,16]恒成立,求m的最小值. 【解析】(1)由题得(2log4x-2)(log4x+)-5>0,令t=log4x,则(2t-2)(t+)-5>0, 即2t2-t-6>0,解得t>2或t<-,当t>2时,即log4x>2,解得x>16; 当t<-时,即log4x<-,解得0<x<, 故不等式f(x)>5的解集为{x|0<x<或x>16}. (2)由于(2log4x-2)(log4x+)≤mlog4x对于x∈[4,16]恒成立, 令t=log4x,x∈[4,16],则t∈[1,2],即(2t-2)(t+)≤mt在t∈[1,2]上恒成立, 所以m≥2t--1在t∈[1,2]上恒成立, 因为函数y=-在[1,2]上单调递增,y=2t也在[1,2]上单调递增,所以函数y=2t--1在[1,2]上单调递增,所以当t=2时,函数取得最大值,为,故当m≥时,f(x)≤mlog4x对于x∈[4,16]恒成立.所以m的最小值为. $