-2025-2026学年沪科版数学八年级下学期期末培优卷.

**基本信息** 八年级下学期数学期末培优卷，聚焦几何综合、方程应用与统计分析，通过旗杆折断、商场销售等生活情境题及矩形折叠探究题，考查空间观念、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题30分|直角三角形判定、四边形性质、二次根式|第8题结合勾股定理解决旗杆折断安全问题，体现数学眼光| |填空题|6题18分|同类二次根式、统计估计、几何中点|第12题用频数直方图估计获奖人数，考查数据意识| |解答题|8题72分|方程求解、几何证明、实际应用|第24题矩形折叠证菱形，第20题商场盈利建模，注重推理能力与模型应用，契合培优需求|

2025-2026学年八年级下学期数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．已知，在中，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一判断各选项，即可得出结论． 【详解】解：对选项A，∵ ， ∴ ，符合勾股定理的逆定理，能判定是直角三角形，不符合要求； 对选项B，∵ ，三角形内角和为， ∴ 最大角，能判定是直角三角形，不符合要求； 对选项C，∵ ，且， ∴ ，即，能判定是直角三角形，不符合要求； 对选项D，∵ ，计算得，， ∴ ，不符合勾股定理的逆定理，不能判定是直角三角形，符合要求． 2．下列说法错误的是（   ） A． B．由3，4，6三条线段组成的三角形是直角三角形 C．正十二边形的外角和为360° D．在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形 【答案】B 【分析】需结合二次根式性质，勾股定理逆定理，多边形外角和性质，四边形定义逐一判断选项，找出错误说法． 【详解】解：A 根据二次根式性质， ， ，A正确； B 根据勾股定理逆定理，计算得，， ，不满足直角三角形的条件，因此这三条线段组成的三角形不是直角三角形，B错误； C 任意多边形的外角和都为，因此正十二边形的外角和为，C正确； D 根据四边形的定义，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形，D正确． 3．如图，在中，的平分线依次与，，的延长线交于点，，，则下列四个结论中正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义得到，再由平行四边形的性质得出，即可得到，根据等角对等边得到，故可判断B选项，由已知条件无法证明A，C，D选项结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，故B选项结论正确． 由已知条件无法证明，，，即A，C，D选项结论不一定正确． 4．如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质，，，然后根据等边对等角求得，进而可求得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数的值不可能是（　　） A．4 B． C．0 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了平均数与中位数的定义，通过分类讨论x在不同取值范围时中位数的值，令平均数等于中位数，解方程得到x的可能值，从而找出不可能的值． 【详解】平均数为， 当时，排序后中位数为3， 根据题意得，， 解得，符合条件； 当时，中位数为x， 根据题意得，， 解得，符合条件； 当时，中位数为5， 根据题意得，， 解得，符合条件． ∴x的可能值为、4、9． 选项中0不在其中，故x的值不可能是0． 故选：C． 6．若方程有实数根，则m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】分（一元一次方程）和（一元二次方程）两种情况讨论，根据方程有实数根的条件求解的取值范围． 【详解】解：∵方程未指明次数， 需分两种情况讨论， ①当时，原方程化为，解得，有实数根，符合要求； ②当时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则根的判别式， 即， 解不等式得， 综上，的取值范围为． 7．下列说法不正确的是（    ） A．（）是二次根式 B．当时， C．（）是最简二次根式 D．成立的条件是 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义、性质、最简二次根式的定义，逐一判断即可. 【详解】解：∵根据二次根式的定义：形如的式子是二次根式， ∴A选项说法正确，不符合题意； ∵当时， ∴B选项说法正确，不符合题意； ∵当时，不是最简二次根式， ∴C选项说法不正确，符合题意； ∵等式，当即时，， ∴D选项说法正确，不符合题意； 故选：C. 8．一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（   ） A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，关键是构建直角三角形模型，再利用勾股定理进行解题． 构建模型进行解题，如图，折断旗杆高为，离旗杆，小明高，此时只要计算的长，即可判断小明是否有危险． 【详解】解：如图所示， ，， 由勾股定理得：， ∴此时在离旗杆处玩耍的身高为的小明有危险， 故选：B． 9．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得，则边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用填充法算出的面积，即正方形的面积减去，和的面积和，再利用勾股定理算出的长度，利用面积法列方程，即可解决． 【详解】解：如图，作于点， 小正方形边长为， ，， ∴， 同理，，， 正方形的面积为：， ∴， 在中，， ∵， ∴ 10．如图所示，在矩形中，E为上一点，交于点F，若，矩形的周长为16，且，则的长（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过同角的余角相等找到全等三角形的对应角，进而证明三角形全等． 利用矩形性质得到及由推出结合证明得到、通过周长关系列方程求出的长，进而计算的长． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 矩形的周长为， ∴即． ∵ ∴， ∴ ， 又∵在中，， ∴(同角的余角相等)． 在和中， ∴． ∴． ∵ ∴． 设则 ∵且 ∴． 又∵ ∴ 解得 ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．下列各组二次根式：①和；②和；③和；④和，化简后其中是同类二次根式的是________． 【答案】③④ 【分析】先将各组二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式指化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式． 【详解】解：① 化简得：，二者被开方数不相同，不是同类二次根式； ② 化简得：为最简二次根式，二者被开方数不相同，不是同类二次根式； ③ 化简得：为最简二次根式，二者化简后被开方数都是，是同类二次根式； ④ 由二次根式有意义可知，得， 化简得：， 二者化简后被开方数都是，是同类二次根式； 故化简后其中是同类二次根式的是③④． 12．为了解某校七年级学生参加消防知识竞赛的成绩（均为整数），从中抽取了的学生的竞赛成绩，整理后绘制了如图所示的频数直方图（各组只含最小值，不含最大值）．若竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖励，则估计该校获得奖励的七年级学生有__________人． 【答案】2000 【分析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，根据频数分布直方图求出调查人数，进而求出七年级学生总人数，最后再求出成绩在90分以上的学生人数即可． 【详解】解：参加竞赛的总人数为：（人） 则七年级学生总人数为：， ∴该校获得奖励的七年级学生有：（人） 故答案为：2000 13．如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，，过点E作交的延长线于点F，若，，则______． 【答案】2 【分析】由题意易得是的中位线，，则有，然后可得四边形是平行四边形，则，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点，， ∴是的中位线，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为，证明得出四边形是正方形，进而根据，，得出,即可求解． 【详解】解：如图，过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为， ∴，则四边形是矩形 ∵四边形是正方形，对角线，交于点． ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴四边形是正方形 ∴ 设 ∴， 解得： ∴ ∴ 15．如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______．    【答案】 【分析】如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H，先证明，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，证明直线是线段的垂直平分线，利用勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线性质，三角形面积性质，解答即可． 【详解】：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D，    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，，， 且， ∴， 直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 16．如图，在平面直角坐标系中，点，则的大小为．请在轴上再找出一点，使得为直角三角形，则点的坐标为_______．（写出两个即可） 【答案】或或或 【分析】设点E的坐标为，可得到，再分三种情况，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：设点E的坐标为， ∵， ∴， 当时， ， ∴， 解得：或3， 此时点E的坐标为或； 当时， ， ∴， 解得：， 此时点E的坐标为； 当时， ， ∴， 解得：， 此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或或． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)无解 (3) (4) 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得， ∴ 解得： 当时， ∴是原方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以得， ∴ 解得：， 当时， ∴是原方程的增根，原方程无解； （3）解： ∴ ∴ ∴ 解得： （4）解： ∴ ∴ ∴或 解得： 18．（1）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数． （2）直角三角形的三边长分别是6，8，x，求这个三角形的第三边长． 【答案】（1）边数为7；（2）或 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，勾股定理的应用，注意：任意多边形的外角和都是，与边数无关．掌握这几个定理或公式是解题的关键． （1）设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，求解即可． （2）分两种情况：斜边为8或斜边为x，再利用勾股定理求解边长即可． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得． 所以这个多边形的边数是7． （2）分两种情况： ①当斜边为8时，， ②当斜边为x时，． 综上所述：这个三角形的第三边长是或． 19．如图，某农家乐有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产10千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)销售收入为3120元． 【分析】（1）根据题意利用长方形周长公式列式计算即可； （2）先计算出种植蔬菜部分的面积，再求出销售收入即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形空地的周长为 ， ∴长方形空地的周长为． （2）解：由题意得，蔬菜地的面积为， ∴销售收入（元）， ∴销售收入为3120元． 20．某商场销售一批服装，已知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天可销售100件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出20件． (1)若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ (2)如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ (3)如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由． 【答案】(1)平均每天可销售180件 (2)单价应降低5元 (3)不能做到，理由如下： 由（2）可得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， 即不能每天盈利2000元 【分析】（1）根据题意可直接列式进行求解； （2）设单价应降低元，由题意得，然后进行求解即可； （3）由（2）可得：，然后根据根的判别式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：（件）； 答：以158元/件销售，平均每天可销售180件． （2）解：设单价应降低元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让消费者得到优惠， ∴； 答：单价应降低5元． （3）略 21．射击训练班中的甲、乙两名选手在次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：，，，，   乙：，，，， 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)________，________，________； (2)若选手乙再射击第次，命中的成绩是环，则选手乙这次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会________；（选填“变大”“变小”或“不变”） (3)教练根据这次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ 【答案】(1)，，； (2)变小； (3)理由是两人的平均成绩相同，而甲的方差小，即甲的成绩较稳定． 【分析】（）根据中位数、平均数、众数的定义求解即可； （）根据方差计算公式求出选手乙再射击第6次后，6次成绩的方差即可得到答案； （）二人平均成绩相同，但是甲的方差更小，即成绩更稳定； 【详解】（1）解： ， ∵甲中出现次数为，最多， ∴， 把乙中数据从小到大排序为：，，，，， ∴中位数， 故答案为：，，； （2）解：由题意，乙的次成绩为：，，，，，， 其平均数为 ， ∴方差为 ， ∵ ， ∴选手乙这次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会变小， 故答案为：变小； （3）解：甲乙两人平均数相等，而方差 ， 故选手甲的成绩较乙稳定， 所以，选择甲参加射击比赛． 22．如图，A，B两块试验田相距200，C为水源地，，为了方便灌溉，现有下面两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C分别沿线段修筑两条水渠到A，B两块试验田． 乙方案：过点C作的垂线，垂足为H，先从水源地C沿线段修筑一条水渠到所在直线上，再从H分别沿线段向A，B两块试验田进行修筑． 以上两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短?请通过计算说明． 【答案】甲方案所修的水渠较短，说明见解析 【分析】设对，，运用勾股定理得到，然后建立方程求解，然后比较和即可． 【详解】解：∵过点C作的垂线，垂足为H， ∵在中，， 在中，， 由题意得，设，则． ， ， 解得， ， ． ， ， ∴甲方案所修的水渠较短． 23．如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接．点F为延长线上一点，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理是解题的关键； （1）根据三角形中位线定理利用一组对边平行且相等的四边形即可证明四边形是平行四边形； （2）利用平行四边形的性质，证明，即可解决问题； （3）结合（2）证明是等腰直角三角形，即可解决问题． 【详解】（1）证明：点D，E分别是边，的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ； （3）解：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 24．如图，在矩形中，将沿着折叠，使点与点重合，过点作交线段于点，连接和． (1)求证：； (2)求证：四边形为菱形； (3)连接交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，进而得到，可知，由翻折的性质可得，，根据等角对等边得到，可知； （2）证明四边形是平行四边形，根据可知平行四边形是菱形； （3）连接交于，根据菱形的性质得到，，根据等面积法求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 由翻折的性质可得，， ， ， ， ； （2）证明：，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （3）解：如图，连接交于． 四边形是菱形， ，， ，，， ， ， ， ， 根据勾股定理得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．已知，在中，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（   ） A． B．由3，4，6三条线段组成的三角形是直角三角形 C．正十二边形的外角和为360° D．在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形 3．如图，在中，的平分线依次与，，的延长线交于点，，，则下列四个结论中正确的是(     ) A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数的值不可能是（　　） A．4 B． C．0 D．9 6．若方程有实数根，则m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 7．下列说法不正确的是（    ） A．（）是二次根式 B．当时， C．（）是最简二次根式 D．成立的条件是 8．一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（   ） A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 9．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得，则边上的高是（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，在矩形中，E为上一点，交于点F，若，矩形的周长为16，且，则的长（　　） A．1 B． C．2 D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．下列各组二次根式：①和；②和；③和；④和，化简后其中是同类二次根式的是________． 12．为了解某校七年级学生参加消防知识竞赛的成绩（均为整数），从中抽取了的学生的竞赛成绩，整理后绘制了如图所示的频数直方图（各组只含最小值，不含最大值）．若竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖励，则估计该校获得奖励的七年级学生有__________人． 13．如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，，过点E作交的延长线于点F，若，，则______． 14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 15．如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______．    16．如图，在平面直角坐标系中，点，则的大小为．请在轴上再找出一点，使得为直角三角形，则点的坐标为_______．（写出两个即可） 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（1）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数． （2）直角三角形的三边长分别是6，8，x，求这个三角形的第三边长． 19．如图，某农家乐有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产10千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 20．某商场销售一批服装，已知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天可销售100件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出20件． (1)若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ (2)如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ (3)如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由． 21．射击训练班中的甲、乙两名选手在次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：，，，，   乙：，，，， 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)________，________，________； (2)若选手乙再射击第次，命中的成绩是环，则选手乙这次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会________；（选填“变大”“变小”或“不变”） (3)教练根据这次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ 22．如图，A，B两块试验田相距200，C为水源地，，为了方便灌溉，现有下面两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C分别沿线段修筑两条水渠到A，B两块试验田． 乙方案：过点C作的垂线，垂足为H，先从水源地C沿线段修筑一条水渠到所在直线上，再从H分别沿线段向A，B两块试验田进行修筑． 以上两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短?请通过计算说明． 23．如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接．点F为延长线上一点，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 24．如图，在矩形中，将沿着折叠，使点与点重合，过点作交线段于点，连接和． (1)求证：； (2)求证：四边形为菱形； (3)连接交于点，若，，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $