专题1.3矩形的性质与判定(15大题型+过关检测） （小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以“模块-专题-压轴”三级递进架构系统整合矩形性质与判定，通过方法点拨与典例变式实现从基础理解到综合应用的能力提升，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形性质理解|1典例+3变式|性质三维归纳（边/角/对角线）|从定义出发构建性质体系，区分与菱形的异同| |求线段长|1典例+3变式|直角三角形勾股定理+方程思想|性质应用于计算，结合全等与和差关系| |折叠问题|1典例+3变式|折叠全等+勾股定理+方程思想|性质与轴对称结合，培养空间观念| |动点问题|1典例+3变式|化动为静+分类讨论+方程思想|综合性质与动态几何，提升推理能力|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.3矩形的性质与判定》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 矩形性质的理解 模块9矩形与尺规作图 模块2 利用矩形的性质求角 模块10 直角三角形斜边上的中线是斜边的一半 模块3 利用矩形的性质求线段的长 微专题1矩形中的分类讨论 模块4 利用矩形的性质进行证明 微专题2矩形中的折叠问题 模块5 利用矩形的性质求点的坐标 微专题3矩形与最值问题 模块6矩形的判定条件 压轴1 矩形与动点问题 模块7证明四边形是矩形 压轴2 矩形与旋转问题 模块8 矩形与多结论问题的判断 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点 1：矩形的性质 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2.矩形的性质 ①边：对边平行且相等； ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC ②角：矩形的四个角都是直角； ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° ③对角线：矩形的对角线相等且互相平分；∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 3.矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 【解题技巧】 (1)矩形是特珠的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，矩形的性质可归纳为三个方面：从边看，矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直：从角看，矩形的四个角都是直角：从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. (2)矩形（正方形除外）是轴对称图形，有两条对称轴，是过对边中点的直线，对称轴的交点就是对角线的交点。 (3)矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，并且所分成的四个等腰三角形面积相等 知识点2：直角三角形斜边上的中线 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 知识点3：矩形的判定 ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形 ②有三个角是直角的四边形是矩形； 在四边形ABCD中， ∵∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°， ∴四边形ABCD是矩形 ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） ∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形 模块通关·举一反 三 【模块一】矩形性质的理解 【方法点拨】(1)矩形是特珠的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，矩形的性质可归纳为三个方面：从边看，矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直：从角看，矩形的四个角都是直角：从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. (2)矩形（正方形除外）是轴对称图形，有两条对称轴，是过对边中点的直线，对称轴的交点就是对角线的交点。 (3)矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，并且所分成的四个等腰三角形面积相等 【典例1】（2025·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．四条边相等 B．四个内角都相等 C．对角线互相平分 D．中心对称图形 【变式1-3】矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【模块二】利用矩形的性质求角 【典例2】（2025·浙江衢州·二模）如图，矩形内有一点，且满足，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ABD=60°，那么∠BAE的度数是（　　） A．40° B．55° C．75° D．80° 【变式2-2】由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（          ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，矩形的对角线相较于点O，的平分线交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【模块三】利用矩形的性质求线段的长 【方法点拨】 (1)把要求解的线段放在直角三角形中，使其成为某条边，利用勾股定理或含特殊角(30°，45)的直角三角形的三边关系求解： (2)利用矩形的性质（四个角都是直角，对角线相等且互相平分）寻找所需条件.另外，还可借助全等三角形、线段的和差倍分关系等求矩形中线段的长度. 【典例3】（2024·贵州遵义·一模）在矩形中，过对角线的中点O作，分别与和的延长线交于点E，F. (1)求证：； (2)若，，求与的长. 【变式3-1】如图，在矩形，对角线与相交于点O，于点O，交于点E，若的周长为8，，则的长为（　　） A．2 B．5.5 C．5 D．4 【变式3-2】如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（　　） A． B．8 C． D． 【变式3-3】在矩形中，过的中点作，交于E，交于F，连接、．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【模块四】利用矩形的性质进行证明 【典例4】（2025·山东聊城·三模）如图，在矩形中，以点B为圆心，以的长为半径画弧，交边于点E，连接，作于点F． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【变式4-1】如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN． (1)求证：四边形BMDN是菱形； (2)若AB=12，AD=18，求MD的长． 【变式4-2】如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，连接BD、EF． (1)求证：四边形BFDE是平行四边形； (2)若EF⊥BD，求AE的长度． 【变式4-3】．如图，在矩形ABCD中过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F． (1)求证：四边形BFDE为菱形； (2)若，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长． 【模块五】利用矩形的性质求点的坐标 【典例5】（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为______． 【变式5-3】如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（　　） A．（，3） B．（，3） C．（，3） D．（） 【模块六】矩形的判定条件 【典例6】（2025·河北邢台·三模）如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形一定是矩形 C．四边形一定不是平行四边形 D．当时，四边形是平行四边形 【变式6-1】如图，要使平行四边形为矩形，则可添加下列哪个条件（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】以下条件中能判定平行四边形为矩形的是（  ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【模块七】证明四边形是矩形 【典例7】（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，、分别为边、的中点，连接，过点作交边于点，点在的延长线上，且．连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 【变式7-1】下列命题中，真命题是（    ） A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是平行四边形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形 【变式7-2】如图，中，，，是三边中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【变式7-3】如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．给出下列信息：①MN∥BC；②OE=OC；③OF=OC． (1)请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE=OF； (2)在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由． 【模块八】 矩形与多结论问题的判断 【典例8】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式8-1】如图，在长方形中，=4， =8，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，，则下列结论：① ；②当时，平分 ； ③△周长的最小值为15 ；④当时，平分.其中正确的个数有（        ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式8-2】如图，在中，，，是的中点，点在上，点在上，且．下面四个结论中：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）有最小值，为．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-3】如图，在长方形中，，，点E是边上一点，且，点P是边上一动点，连接，，则下列结论： ① ； ②当时，平分； ③连接，周长的最小值为； ④当或6或时，为等腰三角形． 其中正确的个数有                                      （        ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【模块九】 矩形与尺规作图 【典例9】（2025·广东深圳·二模）数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在边上的点处，则的度数为（   ） A． B． C．条件不足，无法计算 D． 【变式9-1】如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α的度数为（     ） A．68° B．56° C．45° D．54° 【变式9-2】如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线AH交DC于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，在长方形中，，依据尺规作图的痕迹，可求出等于（    ）． A． B． C． D． 【模块十】直角三角形斜边上的中线是斜边的一半 【典例10】（2025·江苏扬州·二模）如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接，．若，则 度． 【变式10-1】如图，，动点A和C分别在射线OP、OQ上运动，且，作，且．在运动过程中，OB的最大距离是（    ） A．5cm B． C． D．3cm 【变式10-2】如图，在中，于点，于点，为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长度． 【变式10-3】如图，∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动，若CD＝5，BC＝24，运动过程中，点D到点O的最大距离为_____. 专题攻坚·多题归一 【微专题一】矩形中的分类讨论 【典例11】如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，当时，的大小为______． 【变式11-1】如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为__________． 【变式11-2】将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形．当时，下列针对值的说法正确的是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式11-3】（2025·江西赣州·一模）在矩形中，，，点是折线上的动点（不与两点重合），当的长为整数时，则的长是 ． 【微专题二】矩形中的折叠问题 【方法点拨】(1)折叠前后的图形全等，即对应边相等，对应角相等： (2)在矩形折叠问题中求线段长时，常常综合应用勾股定理和方程思想， (3)矩形中存在一些特殊的角和数量关系，如四个直角、对角线相等. 【典例12】（2025·湖南·模拟预测）已知点，分别在矩形纸片的边，上，连接，将矩形纸片沿折叠． (1)如图①，若点恰好落在点处，与相交于点，连接，． ①判断四边形的形状，并证明你的结论； ②若，，求折痕的长； (2)如图②，若点恰好落在边上的点处，点落在点处，交于点，且． ①求证：； ②若，，求的长． 【变式12-1】如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB=3，BC=5，则DE的长为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】．如图，已知矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连接EF，若AB=6，BC=4，则下列说法中正确的个数有（   ） ①△DEF≌△GEF；②GF：GB＝3：2；③；④S△BCF：S△DFE＝1：1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式12-3】（2025·四川德阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，是的中点，是动点，将沿翻折，得到，则的最小值是 ． 【微专题三】 矩形与最值问题 【典例13】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在矩形中，点P在边上运动（可与端点重合），连接，E、F分别为、的中点，连接，若，则线段的最小值为 ． 【变式13-1】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　） A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2 【变式13-2】如图，矩形中，，，是的中点，线段在上左右滑动，若，则的最小值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【变式13-3】如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】矩形与动点问题 【方法点拨】解决动点问题的基本方法是利用转化的方法，达到“化动为静”的目的，如本题，利用“矩形对角线相等”的性质。方程思想、分类讨论等来解决。 【典例14】（2025·江西赣州·一模）在矩形中，，，点是折线上的动点（不与两点重合），当的长为整数时，则的长是 ． 【变式14-1】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD＝6，CD＝8，P是AB上的动点，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM＋PN的值为（    ） A．4.8 B．6.4 C．9.6 D．2.4 【变式14-2】如图1，四边形ABCD中，，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（    ） A．5 B． C．8 D．2 【变式14-3】如图，在矩形中，，，P点在边上以每秒的速度从A向D运动，点Q在边上，以每秒的速度从C点出发，在C、B间往返运动，两点同时出发，P点到达D点时同时停止，在这段时间内，有如下说法： ①该过程中，会出现4次的时刻； ②该过程中，会出现3次四边形和四边形同时为矩形的时刻； ③该过程中，当：时，四边形和四边形的面积比为6∶5； ④该过程中，矩形和面积比的最大值为4∶3． 上述说法正确的是______（填序号）． 【压轴二】矩形与旋转问题 【典例15】（2025·山东青岛·一模）在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． (1)如图①，当时，______；如图②，当时，______； (2)如图③，当边经过点B时，______； (3)如图④，当点F落在的延长线上时，______． 【变式15-1】如图，矩形的顶点，，，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】如图，在矩形中，，，是边上一点，，是直线上一动点，将线绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是________． 【变式15-3】已知，直角三角形中，，点D、E分别是边、的中点，． (1)如图1，动点P从点E出发，沿直线方向向右运动，则当______时，四边形是矩形； (2)将点B绕点E逆时针旋转． ①如图2，旋转到点F处，联结、、．设，求证：是直角三角形； ②如图3，旋转到点G处，联结、．已知，求的面积． 通关检测·实战演练 一、单选题 1．（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，是对角线的中点，连接，若，则边的长为（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 2．（2025·广西·一模）如图所示，在矩形中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·二模）在矩形中，，，对角线交于点O，点A关于的对称点为，连接交于点E，连接，则的长为（   ） A．1.2 B．1.4 C．1.6 D．1.8 4．已知：如图，矩形中，，对角线相交于点O，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则等于（　　） A．6 B．5 C． D． 5如图1，四边形中，，，．动点从点出发，沿折线方向以单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，则四边形的面积是（    ） A．144 B．134 C．124 D．114 二、填空题 6．已知矩形的对角线相交于点，平分交矩形的边于点，若，则的度数为__________． 7．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点M在边CD上，若MA平分∠DMB，则DM的长是 _____． 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大． 9．如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为____________． 10．如图，将矩形沿直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕交于点，交于点，若的面积与的面积比为，则的值是_________． 三、解答题 11．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在矩形中，为对角线，延长至点E，使得，过点E作于点F．求证：． 12.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分交BC于点E． (1)作的平分线交AD于点F；（尺规作图：不写作法，保留作图痕迹） (2)根据（1）中作图，若，求证：四边形AECF为矩形． 13.如图，在中，D是AB上一点，，DE平分∠ADC交AC于点E，DF平分∠BDC交BC于点F，． (1)求证：四边形CEDF是矩形； (2)若，，连接BE，求BE的长． 14已知：中，，直线上取一点D，连接，线段绕点B逆时针旋转，得到线段，连接交直线于G． (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是他画了图1所示当D在边上的时候的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小捷的猜想是_________(填＞，＝，＜中选一个)． (2)当D在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2， ①并在你补全的图2中找出与相等的角___________________________ ②在图2中探索(1)中小捷的猜想是否成立，若成立证明你的结论，若不成立，请你说明理由； (3)如图3，当D在边的反向延长线上时，直接写出的数量关系(用等式表示)． 15.综合与实践：折纸中的数学 知识背景 我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理.七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线. 知识初探 如图1，长方形纸条中，，，.将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点.若，求的度数. 类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点落在直线上的处.点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由. 拓展延伸 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，请你猜想和的数量关系，并说明理由. 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.3矩形的性质与判定》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 矩形性质的理解 模块9矩形与尺规作图 模块2 利用矩形的性质求角 模块10 直角三角形斜边上的中线是斜边的一半 模块3 利用矩形的性质求线段的长 微专题1矩形中的分类讨论 模块4 利用矩形的性质进行证明 微专题2矩形中的折叠问题 模块5 利用矩形的性质求点的坐标 微专题3矩形与最值问题 模块6矩形的判定条件 压轴1 矩形与动点问题 模块7证明四边形是矩形 压轴2 矩形与旋转问题 模块8 矩形与多结论问题的判断 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点 1：矩形的性质 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2.矩形的性质 ①边：对边平行且相等； ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC ②角：矩形的四个角都是直角； ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° ③对角线：矩形的对角线相等且互相平分；∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 3.矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 【解题技巧】 (1)矩形是特珠的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，矩形的性质可归纳为三个方面：从边看，矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直：从角看，矩形的四个角都是直角：从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. (2)矩形（正方形除外）是轴对称图形，有两条对称轴，是过对边中点的直线，对称轴的交点就是对角线的交点。 (3)矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，并且所分成的四个等腰三角形面积相等 知识点2：直角三角形斜边上的中线 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 知识点3：矩形的判定 ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形 ②有三个角是直角的四边形是矩形； 在四边形ABCD中， ∵∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°， ∴四边形ABCD是矩形 ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） ∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形 模块通关·举一反 三 【模块一】矩形性质的理解 【方法点拨】(1)矩形是特珠的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，矩形的性质可归纳为三个方面：从边看，矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直：从角看，矩形的四个角都是直角：从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. (2)矩形（正方形除外）是轴对称图形，有两条对称轴，是过对边中点的直线，对称轴的交点就是对角线的交点。 (3)矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，并且所分成的四个等腰三角形面积相等 【典例1】（2025·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查矩形的性质，根据矩形的性质依次判断即可，熟练掌握其性质是解题关键． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∵O为中点， ∴，故选项A、B、C正确，不符合题意； 无法得出，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴不一定正确，故A不符合题意； ，不一定正确，故B不符合题意； 不一定正确，故C不符合题意； 一定正确，故D符合题意， 故选：D． 【变式1-2】矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．四条边相等 B．四个内角都相等 C．对角线互相平分 D．中心对称图形 【答案】B 【分析】根据矩形、菱形的性质和中心对称图形的概念进行判断． 【详解】A选项：四条边相等，菱形具有； B选项：四个内角都相等，矩形具有； C选项：对角线互相平分，菱形和矩形都具有； D选项：矩形、菱形都是中心对称图形． 故选：B． 【点睛】考查了矩形、菱形的性质和和中心对称图形的概念，掌握矩形和菱形的区别是解题的关键，注意从边、角、对角线这三个方面来区别；理解中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【变式1-3】矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示： 四边形是矩形， ， ， ， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【模块二】利用矩形的性质求角 【典例2】（2025·浙江衢州·二模）如图，矩形内有一点，且满足，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据矩形得到，由等边对等角以及三角形内角和定理表示，然后得到，，再表示，最后由可求解． 【详解】解：有四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-1】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ABD=60°，那么∠BAE的度数是（　　） A．40° B．55° C．75° D．80° 【答案】C 【分析】连接AC，由矩形性质可得AD∥BE，AC=BD，∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°，又可得∠E=∠DAE，可得∠E度数，进而得出∠BAE的度数． 【详解】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC=BD，∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°， ∴∠E=∠DAE，∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-60°=30°， 又∵BD=CE， ∴CE=CA， ∴∠E=∠CAE， ∵∠CAD=∠CAE+∠DAE， ∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°． ∴∠BAE=90°-15°=75°， 故选C． 【点睛】本题考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键． 【变式2-2】由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（          ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意画出图形，由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为两部分，即可求得与的度数，继而求得答案. 【详解】四边形是矩形， ， 分直角为两部分， ， ， ， ， ， 即该垂线与另一条对角线的夹角为. 故选：. 【点睛】此题考查了矩形的性质以及直角三角形的性质，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用. 【变式2-3】如图，矩形的对角线相较于点O，的平分线交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质及角平分线得出∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，利用等边三角形的判定和性质结合图中各角之间的关系即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°， ∴OA=OB，∠DAE=∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB， ∵∠CAE=15°， ∴∠DAC=45°-15°=30°， ∠BAC=60°， ∴△BAO是等边三角形， ∴AB=OB，∠ABO=60°， ∴∠CBD=90°-60°=30°， 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的计算，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是综合运用这些知识点． 【模块三】利用矩形的性质求线段的长 【方法点拨】 (1)把要求解的线段放在直角三角形中，使其成为某条边，利用勾股定理或含特殊角(30°，45)的直角三角形的三边关系求解： (2)利用矩形的性质（四个角都是直角，对角线相等且互相平分）寻找所需条件.另外，还可借助全等三角形、线段的和差倍分关系等求矩形中线段的长度. 【典例3】（2024·贵州遵义·一模）在矩形中，过对角线的中点O作，分别与和的延长线交于点E，F. (1)求证：； (2)若，，求与的长. 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴， ， 点是的中点， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：如图，连接， ∵ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ， ， ∵ ∴， 即 解得， ， ， ， ． ， ， ． 【变式3-1】如图，在矩形，对角线与相交于点O，于点O，交于点E，若的周长为8，，则的长为（　　） A．2 B．5.5 C．5 D．4 【答案】C 【分析】由矩形的性质可得，再结合可得，然后根据三角形的周长公式可得即，最后结合即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为8， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用矩形的性质是解答本题的关键． 【变式3-2】如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（　　） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，过点D作于A，由点，得，，再由勾股定理求得，然后根据矩形的性质得． 【详解】解：连接，，过点D作于A，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式3-3】在矩形中，过的中点作，交于E，交于F，连接、．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形是菱形，再求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，根据矩形的对边相等可得，然后求出，从而得解． 【详解】解：四边形是矩形 ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于判断出是等边三角形． 【模块四】利用矩形的性质进行证明 【典例4】（2025·山东聊城·三模）如图，在矩形中，以点B为圆心，以的长为半径画弧，交边于点E，连接，作于点F． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据矩形的性质得到，，，通过证明得到，则有，进而证出，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）利用勾股定理求出的长，利用线段的和差求出的长，利用三角形的面积公式求出，再根据，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， 矩形， ，，， ， ， ， ， 由题意得，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：矩形， ，， 由题意得，， ， ， ， 由（1）得，， ， 四边形的面积． 【变式4-1】如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN． (1)求证：四边形BMDN是菱形； (2)若AB=12，AD=18，求MD的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）证△DMO≌△BNO，得出OM＝ON，根据对角线互相平分证四边形BMDN是平行四边形，再根据对角线互相垂直，证菱形即可； （2）设BM=x，根据勾股定理列出方程，解方程，即可求出菱形边长． （1） 证明：∵四边形ABCD是矩形，MN垂直平分BD， ∴ADBC，∠A＝90°，OB＝OD， ∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO， ∵在△DMO和△BNO中， ∴△DMO≌△BNO（AAS） ∴OM＝ON 又∵OB＝OD ∴四边形BMDN是平行四边形 ∵MN垂直平分BD，即MN⊥BD ∴平行四边形BMDN是菱形． （2） 解：∵四边形BMDN是菱形 ∴MB＝MD 在Rt△AMB中，设BM=x，BM2＝AM2+AB2 即x2＝（18﹣x）2+122 解得：x＝13， 即MD=13 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键． 【变式4-2】如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，连接BD、EF． (1)求证：四边形BFDE是平行四边形； (2)若EF⊥BD，求AE的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可完成证明； （2）结合（1）证明四边形BFDE是菱形，可得DE=BE，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，ADBC， ∵AE=CF， ∴DE=BF，DEBF， ∴四边形BFDE是平行四边形； （2）解：∵四边形BFDE是平行四边形，EF⊥BD， ∴四边形BFDE是菱形， ∴DE=BE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， 在Rt△ABE中，BE=DE=AD-AE=4-AE，AB=2， 根据勾股定理得：BE2=AE2+AB2， ∴（4-AE）2=AE2+22， 解得AE=． 【点睛】此题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的判定和性质定理解答． 【变式4-3】．如图，在矩形ABCD中过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F． (1)求证：四边形BFDE为菱形； (2)若，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）根据矩形的性质可得ADBC，根据平行线的性质求出∠EDO=∠FBO，即可证△DOE≌△BOF（ASA），可得ED=BF，进而可以解决问题； （2）设AE=x，根据已知条件可得BE=ED=8-x，根据四边形EBFD是菱形，和勾股定理可得BE的长，即可求得周长． （1） 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBC， ∴∠EDO=∠FBO， ∵O为BD的中点， ∴OB=OD， 又∵EF⊥BD， ∴∠EOD=∠FOB=90°， 在△DOE和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF（ASA）， ∴ED=BF， ∵EDBF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BFDE是菱形； （2） ∵四边形BFDE是菱形， ∵，设AE=x， ∴BE=ED=8-x， 在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2=AB2+AE2， 即（8-x）2=x2+42， 解得：x=3， ∴BE=8-3=5， ∴四边形BFDE的周长=5×4=20． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质应用，结合菱形的判定与性质、勾股定理，全等三角形的判定进行求解是解题的关键． 【模块五】利用矩形的性质求点的坐标 【典例5】（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 【变式5-1】如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果． 【详解】解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示， ∵AD平分∠CAO， ∴DO=DE， ∵点B的坐标为， ∴OA=4，OC=3， ∴， ∴， ∴， ∴OD=， ∴D点坐标为（0，）， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】设，则，由题意可以求证，从而得到，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知：，， 设，则， 又∵ ∴ ∴ 在中，，即 解得： ∴点的坐标为 故答案为 【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理以及平面直角坐标系的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 【变式5-3】如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（　　） A．（，3） B．（，3） C．（，3） D．（） 【答案】A 【分析】由折叠的性质和矩形的性质证出OP=BP，设OP=BP=x，则PC=6﹣x，再用勾股定理建立方程9+（6﹣x）2=x2，求出x即可． 【详解】∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P， ∴∠A'OB=∠AOB， ∵四边形OABC是矩形， ∴BC∥OA， ∴∠OBC=∠AOB， ∴∠OBC=∠A'OB， ∴OP=BP， ∵点B的坐标为（6，3）， ∴AB=OC=3，OA=BC=6， 设OP=BP=x，则PC=6﹣x， 在Rt△OCP中，根据勾股定理得，OC2+PC2=OP2， ∴32+（6﹣x）2=x2， 解得：x=， ∴PC=6﹣=， ∴P（，3）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查折叠和矩形的性质以及利用勾股定理构建方程，熟练掌握，即可解题. 【模块六】矩形的判定条件 【典例6】（2025·河北邢台·三模）如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形一定是矩形 C．四边形一定不是平行四边形 D．当时，四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、尺规作图、角平分线的性质、等腰三角形的性质．核心素养表现为推理能力和空间观念．先证明，，进而得出，按作图要求得出四边形可能是平行四边形，得出结论． 【详解】解：平分． ， ， ， ， ．以点为圆心，长为半径作弧交射线于点，点会有两个位置，右侧的点可以使四边形为平行四边形，左侧的点使四边形为梯形， 四边形可能是平行四边形． 当时，点仅会有一个位置，故四边形一定是矩形， 故选B． 【变式6-1】如图，要使平行四边形为矩形，则可添加下列哪个条件（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形是平行四边形， ∴， 再添加也无法判断平行四边形为矩形，故A错误； B．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴添加，无法判断四边形是矩形，故B错误； C．∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴添加无法判断四边形是矩形，故C错误； D．∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， ∴添加能够使平行四边形为矩形，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形． 【变式6-2】以下条件中能判定平行四边形为矩形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】当时，平行四边形为菱形，故A选项不符合题意； 为平行四边形的性质，故B选项不符合题意； 当时，平行四边形为菱形，故C选项不符合题意； 当时，平行四边形为矩形，故D选项不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式6-3】（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可． 【详解】解：添加条件为：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 【模块七】证明四边形是矩形 【典例7】（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，、分别为边、的中点，连接，过点作交边于点，点在的延长线上，且．连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）利用三角形中位线定理求出，利用矩形的性质得到，根据等角对等边证明，则，根据矩形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴；， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 【变式7-1】下列命题中，真命题是（    ） A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是平行四边形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】由菱形的判定可判断A，由平行四边形的判定可判断B，由矩形的判定可判断C，D，从而可得答案． 【详解】解：两条对角线垂直平分的四边形是菱形，故原说法是假命题，故A不符合题意； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法是假命题，故B不符合题意； 两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法是假命题，故C不符合题意； 所以D是真命题，D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形的判定，掌握“平行四边形，矩形，菱形的判定方法”是解本题的关键． 【变式7-2】如图，中，，，是三边中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，理由见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理可证； （2）根据，，可得，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得结论． （1） 证明：已知、、为、、的中点， 为的中位线，根据三角形中位线定理， ，． 即，， 四边形为平行四边形； （2）四边形是矩形，理由如下： ，， ， 四边形为平行四边形， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理． 【变式7-3】如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．给出下列信息：①MN∥BC；②OE=OC；③OF=OC． (1)请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE=OF； (2)在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由． 【答案】(1)选择①，证明见解析 (2)当点O在边AC上运动到的中点时，四边形AECF是矩形，理由见解析 【分析】（1）选择①MN∥BC；根据CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，可得∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF，再由MN∥BC，可得∠CEF=∠BCE，∠CFE=∠DCF，从而得到∠CEF=∠ACE，∠CFE=∠ACF，进而得到OC=OE，OC=OF，即可求证； （2）可先证明四边形AECF是平行四边形，由（1）得OE=OF=OC，从而得到AC=EF，即可求证． （1） 选择①MN∥BC； 证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF， ∵MN∥BC， ∴∠CEF=∠BCE，∠CFE=∠DCF， ∴∠CEF=∠ACE，∠CFE=∠ACF， ∴OC=OE，OC=OF， ∴OE=OF； （2） 当点O在边AC上运动到的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下： ∵点O为AC的中点， ∴OA=OC， ∵OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 由（1）得：OE=OF=OC， ∴OE=OF=OC=OA，即AC=EF， ∴四边形AECF是矩形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，矩形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定，矩形的判定是解题的关键． 【模块八】 矩形与多结论问题的判断 【典例8】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解． 【详解】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∵∠CAE＝15°， ∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°， ∴∠BAO＝90°−30°＝60°， ∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD， ∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确； ∴OB＝AB， 又∵ AB＝BE， ∴OB＝BE， ∴△BOE是等腰三角形，故②正确； 在Rt△ABC中 ∵∠ACB=30° ∴BC＝AB，故③错误； ∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB， ∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°， ∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误； ∵AO＝CO， ∴，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 【变式8-1】如图，在长方形中，=4， =8，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，，则下列结论：① ；②当时，平分 ； ③△周长的最小值为15 ；④当时，平分.其中正确的个数有（        ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据，可设BE=x，则AE=8-x，利用Rt△ABE中勾股定理即可求出BE；当时，四边形APCE为菱形，故可得到平分 ；作C点关于直线AD的对称点C’，根据对称性即可求出△周长的最小值；过点A作AH⊥PE，PG⊥BC，根据求得DP、GC的长，再得到EG,故可求出BP的长，根据等面积法得到AH的长，由AH=AB即可证明平分. 【详解】∵，设BE=x，则AE=8-x， 在Rt△ABE中AE2=AB2+BE2, 即（8-x）2=42+x2, 解得x=3，故① 正确； 当时，∵EC=5 ∴AP∥EC,AP=CE， ∴四边形APCE为平行四边形。 又AE=EC， ∴四边形APCE为菱形， 故可得到平分 ，②正确； 作C点关于直线AD的对称点C’，则PC=PC’ ∴△周长的最小值为EC+EC’=5+，故③错误； 过点A作AH⊥PE，PG⊥BC， ∴AB=PG=4 ∵ ∴PD==GC ∴EG=5-= 故EP== 又S△AEP=AP×PG=EP×AH 即××4=××AH ∴AH=4=AB， ∴平分，④正确； 故选B. 【点睛】此题主要考查矩形的性质及证明，解题的关键是熟知勾股定理、对称性、菱形的判定与性质. 【变式8-2】如图，在中，，，是的中点，点在上，点在上，且．下面四个结论中：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）有最小值，为．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由等腰直角三角形的性质知，结合是的中点知且，继而得，结合即可证得，根据全等三角形的性质得出，，即可判断（1）（2）（3），根据垂线段最短得出当，时，值最小，根据矩形的性质和判定得出，求出即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴，， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故结论（1）正确； ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故结论（2）正确； ∵， ∴， ∵是的中点，，， ∴， ∴，故结论（3）正确； 当，时，、分别取小值， ∵， ∴，此时的值最小， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，故结论（4）正确； 综上所述，正确的个数是4个． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定，垂线段最短等知识点．综合运用定理进行推理是解题的关键 【变式8-3】如图，在长方形中，，，点E是边上一点，且，点P是边上一动点，连接，，则下列结论： ① ； ②当时，平分； ③连接，周长的最小值为； ④当或6或时，为等腰三角形． 其中正确的个数有                                      （        ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段最短的原理，依次计算判断即可． 【详解】解：长方形中，，， ， 设，则， 则， 解得x=3， 故①正确； 长方形， ， ， 由①知， ， ， ， ， 平分； 故② 正确， 连接，延长到点E，使得，连接，交AD于点P，此时最小，且最小值为的长，根据勾股定理，得， 周长的最小值为； 故③正确； ， 时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形， 过点E作，垂足为F， 长方形中，，， ，， 四边形是矩形， ， ， ； 当时，为等腰三角形， 过点P作，垂足为H， 长方形中，，， ， 四边形是矩形， ，， , ， 解得； 故当或6或时，为等腰三角形． 所以④正确， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段最短原理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理和线段最短原理是解题的关键． 【模块九】 矩形与尺规作图 【典例9】（2025·广东深圳·二模）数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在边上的点处，则的度数为（   ） A． B． C．条件不足，无法计算 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，尺规作图之角平分线，尺规作图之垂直平分线，三角形内角和，三角形的外角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，可知平分，被垂直平分，那么，，接着利用三角形内角和求得，由，求得． 【详解】解：根据题意，可知平分，被垂直平分，在的垂直平分线上， 四边形为矩形， ， 平分， ， ， 被垂直平分，在的垂直平分线上， ， ， ， ， 故选：D． 【变式9-1】如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α的度数为（     ） A．68° B．56° C．45° D．54° 【答案】B 【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB=68°． ∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线， ∴∠EAF=∠DAC=34°． ∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线， ∴∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°-34°=56°， ∴∠α=56°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 【变式9-2】如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线AH交DC于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的尺规作图可得，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 由题意可知，平分， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、角平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线的尺规作图是解题关键． 【变式9-3】如图，在长方形中，，依据尺规作图的痕迹，可求出等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】如下图所示： ∵四边形是矩形， ∴,∴， 由作图痕迹可知，EF垂直平分线段AC，AE平分∠DAC， ∴，, ∴在中，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟悉尺规作图并且熟练运用以上性质定理是解题的关键． 【模块十】直角三角形斜边上的中线是斜边的一半 【典例10】（2025·江苏扬州·二模）如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接，．若，则 度． 【答案】18 【分析】连接，如图，设，根据矩形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质求出，根据轴对称的性质，等边对等角，三角形外角的性质和等量代换思想求出和，最后根据三角形内角和定理列出方程求解即可． 【详解】解：连接，如图所示，设， 四边形是矩形， ， 是中点， ， ，， ， 沿直线折叠，点C落在对角线上的点F处， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：18． 【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，综合应用这些知识点是解题关键． 【变式10-1】如图，，动点A和C分别在射线OP、OQ上运动，且，作，且．在运动过程中，OB的最大距离是（    ） A．5cm B． C． D．3cm 【答案】B 【分析】取AC中点D，连接BD，OD，根据数形结合分析可知，根据B，O，D的位置关系求OB的最大距离． 【详解】解：取AC中点D，连接BD，OD， ∵，D为AC中点， ∴，， 在中，， ∴， 由图像可知， 当B，O，D三点共线时，等号成立， ∴OB的最大距离是． 故选：B． 【点睛】本题考查了动点和定点距离的最大值和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解决本题的关键是分析B，O，D的位置关系． 【变式10-2】如图，在中，于点，于点，为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论； （2）根据所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，，为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及含的直角三角形的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键． 【变式10-3】如图，∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动，若CD＝5，BC＝24，运动过程中，点D到点O的最大距离为_____. 【答案】 【分析】取BC的中点E，连接OD、OE、DE，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解. 【详解】取BC的中点E，连接OD、OE、DE，如图所示： ∵ ∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大 ∵CD＝5，BC＝24，∠MON＝90° ∴ ∴OD的最大值为： ∴点D到点O的最大距离为 故填：. 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键. 专题攻坚·多题归一 【微专题一】矩形中的分类讨论 【典例11】如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，当时，的大小为______． 【答案】60°或300° 【分析】当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，可得GA=GD=AD，依据∠DAG=60°，分两种情况讨论，即可得到旋转角的度数． 【详解】如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上， 分两种情况讨论： ①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M， ∵GC=GB， ∴GH⊥BC， ∴四边形ABHM是矩形， ∴AM=BH= AD= AG， ∴GM垂直平分AD， ∴GD=GA=DA， ∴△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴旋转角α=60°； ②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴旋转角α=360°-60°=300°． 故答案为60°或300°． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，解题的关键是掌握旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 【变式11-1】如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为__________． 【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4） 【分析】分两种情况：①若OP=OD时，由勾股定理求出求出CP=3，②若PD=OD时，作DM⊥BC于点M，由勾股定理求出PM=3；分别得出P点的坐标即可． 【详解】解：∵四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4）， ∴BC=OA=10，OC=AB=4， ∵点D是OA的中点， ∴OD=AD=5， ①若OP=OD=5时， 在Rt△OPC中，CP= ， ∴P的坐标是（3，4）． ②若PD=OD=5时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点， 过D作DM⊥BC于点M，有DM =OC=4， 在Rt△PDM中，PM=， 当P在M的左边时，CP=5-3=2，则P的坐标是（2，4）； 当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是（8，4）． 综上所述，P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）． 故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）． 【点睛】此题考查了矩形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，进行分类讨论是解决问题的关键． 【变式11-2】将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形．当时，下列针对值的说法正确的是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数． 【详解】如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上， 分两种情况讨论： ①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M， ∵GC=GB， ∴GH⊥BC， ∴四边形ABHM是矩形， ∴AM=BH=， ∴GM垂直平分AD， ∴GD=GA=DA， ∴△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴旋转角α=60°； ②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴旋转角α=360°-60°=300°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 【变式11-3】（2025·江西赣州·一模）在矩形中，，，点是折线上的动点（不与两点重合），当的长为整数时，则的长是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，坐标与图形，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 点在折线上运动，不与重合．当为整数时，的可能取值为1、2、3．通过计算各段折线上为整数的点的位置，并求的长度． 【详解】解：如图所示，以为原点建立坐标系，则，，，． 折线包括线段、和． ①当时，在上，坐标为，此时由勾股定理得； ②当时，在上，坐标为，此时由勾股定理得；   ③当时，可在上或上， 若可在上，由勾股定理得； 若可在上，此时的坐标为，由勾股定理得．   综上所述，当为整数时，的长为． 故答案为：或或． 【微专题二】矩形中的折叠问题 【方法点拨】(1)折叠前后的图形全等，即对应边相等，对应角相等： (2)在矩形折叠问题中求线段长时，常常综合应用勾股定理和方程思想， (3)矩形中存在一些特殊的角和数量关系，如四个直角、对角线相等. 【典例12】（2025·湖南·模拟预测）已知点，分别在矩形纸片的边，上，连接，将矩形纸片沿折叠． (1)如图①，若点恰好落在点处，与相交于点，连接，． ①判断四边形的形状，并证明你的结论； ②若，，求折痕的长； (2)如图②，若点恰好落在边上的点处，点落在点处，交于点，且． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)①四边形是菱形，证明见解析；② (2)①见解析；②6 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，图形折叠的性质，解题的关键是掌握这些知识点． （1）①根据折叠变换的性质和菱形的判定即可得； ②设，则，在直角三角形中，由勾股定理求，在直角三角形中，由勾股定理求x，利用菱形面积的计算公式建立等式，进行计算即可得； （2）①由矩形和折叠的性质，用证明，从而得，则，由，得； ②由，，得，，，设，则，根据勾股定理得，进行计算即可得的长度． 【详解】（1）①四边形是菱形． 证明如下： 由折叠的性质，得，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． ②四边形是矩形， ， ，， ， 设，则， ， ，解得， ， ， ． （2）①四边形是矩形， ，， 由折叠的性质，得，， ，， 在和中， ， ， ， ， ． ②设， ， ， ， ， 由折叠的性质，得，， ， ， ， ， ，解得， ． 【变式12-1】如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB=3，BC=5，则DE的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC-BF=1，设CE=x，则DE=EF=3-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=（3-x）2，解方程即可得到DE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=5，AB=CD=3， ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF=AD=5，EF=DE， 在Rt△ABF中，BF==4， ∴CF=BC-BF=5-4=1， 设CE=x，则DE=EF=3-x， 在Rt△ECF中，CE2+FC2=EF2， ∴x2+12=（3-x）2， 解得x=， ∴DE=3-x=， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用．灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键． 【变式12-2】．如图，已知矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连接EF，若AB=6，BC=4，则下列说法中正确的个数有（   ） ①△DEF≌△GEF；②GF：GB＝3：2；③；④S△BCF：S△DFE＝1：1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用翻折不变性，根据HL可以证明，推出，设，则，， 在中，根据勾股定理可得，求出x的值即可． 【详解】解：∵E是AD的中点， ∴， ∵沿BE折叠后得到， ∴，， ∴， ∵在矩形ABCD中， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴，故①正确， ∴， 设，则，， 在中，， 解得x＝4， ∴，故②错误， ∴． 故③正确， ∵ ∴． 故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件ED＝EG是解题的关键，本题的突破点是设DF＝x，则BF＝6＋x，CF＝6−x，在中根据勾股定理构建方程解决问题． 【变式12-3】（2025·四川德阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，是的中点，是动点，将沿翻折，得到，则的最小值是 ． 【答案】/-1+ 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，由矩形的性质可得，，结合题意得出，连接，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，结合得出当、、在同一直线上时，最小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 如图，连接， ， 由勾股定理可得：， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴当、、在同一直线上时，最小，为， 故答案为：． 【微专题三】 矩形与最值问题 【典例13】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在矩形中，点P在边上运动（可与端点重合），连接，E、F分别为、的中点，连接，若，则线段的最小值为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、垂线段最短等知识，得到当P、D重合时，最小，有最小值，是解题的关键．连接，由是的中位线得到，当最小时，有最小值，当P、D重合时，最小，有最小值，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵E、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，有最小值， ∵当P、D重合时，最小，有最小值， ∴， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 【变式13-1】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　） A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2 【答案】B 【分析】连接CD，由题意可知CEDF为矩形，即得出EF=CD，从而由垂线段最短可判断CD为边AB上的高时最短．再由勾股定理求出AB的长，最后根据等面积法即可求出此时CD的值，即EF的最小值． 【详解】如图，连接CD． 由题意可知四边形CEDF为矩形， ∴EF=CD， ∴线段CD的最小值=线段EF的最小值． 由垂线段最短可知当时CD最短，即此时CD为边AB上的高． ∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴． ∵，即 ∴， ∴EF的最小值是2.4． 故选B． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识．正确地作出辅助线并理解CD为边AB上的高时CD最短，即EF的最小值是解题关键． 【变式13-2】如图，矩形中，，，是的中点，线段在上左右滑动，若，则的最小值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小，结合平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用解答即可． 【详解】如图，作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，为边的中点， ，， 由勾股定理得： 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是正确的做出辅助线． 【变式13-3】如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【来源】湖北省武汉市江夏区武汉华一寄宿学校2021-2022学年八年级下学期6月考数学试卷 【答案】B 【分析】证明四边形BMPN是矩形，得BP=MN，由勾股定理求出AC=15，当BP⊥AC时，BP最小，然后由面积法求出BP最小值，即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： ，于点，于点， 四边形是矩形，， ，与互相平分， 点是的中点， ， 当时，最小 ∵ ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理及面积法等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】矩形与动点问题 【方法点拨】解决动点问题的基本方法是利用转化的方法，达到“化动为静”的目的，如本题，利用“矩形对角线相等”的性质。方程思想、分类讨论等来解决。 【典例14】（2025·江西赣州·一模）在矩形中，，，点是折线上的动点（不与两点重合），当的长为整数时，则的长是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，坐标与图形，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 点在折线上运动，不与重合．当为整数时，的可能取值为1、2、3．通过计算各段折线上为整数的点的位置，并求的长度． 【详解】解：如图所示，以为原点建立坐标系，则，，，． 折线包括线段、和． ①当时，在上，坐标为，此时由勾股定理得； ②当时，在上，坐标为，此时由勾股定理得；   ③当时，可在上或上， 若可在上，由勾股定理得； 若可在上，此时的坐标为，由勾股定理得．   综上所述，当为整数时，的长为． 故答案为：或或． 【变式14-1】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD＝6，CD＝8，P是AB上的动点，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM＋PN的值为（    ） A．4.8 B．6.4 C．9.6 D．2.4 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出BD，求出OD、OB，求出三角形DAB面积，求出三角形AOB面积，根据三角形面积公式得出×AO×PM+×BO×PN＝12，求出即可． 【详解】解：连接PO， ∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6， ∴AD＝BC＝6，∠DAB＝90°，BO＝OD， 由勾股定理得：BD＝＝10， ∴BO＝DO＝5， ∴S△DAB＝×AD×AB＝×8×6＝24， ∴S△AOB＝S△DAB＝12， ∴×AO×PM+×BO×PN＝12， ∴PM+PN＝4.8． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的面积，三角形的面积，勾股定理的应用，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键． 【变式14-2】如图1，四边形ABCD中，，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（    ） A．5 B． C．8 D．2 【答案】B 【分析】根据图1和图2得当t＝3时，点P到达A处，即AB＝3，当S＝15时，点P到达点D处，即可求解． 【详解】解：当t＝3时，点P到达A处，即AB＝3； 过点A作AE⊥CD交CD于点E，如图所示： ∵，∠B＝90°， ∴， ∴， ∴则四边形ABCE为矩形， ∴， ∵AC＝AD， ∴DE＝CECD， ∴， ∴， 当S＝15时，点P到达点D处，则SCD•BCBC＝3×BC＝15， 则BC＝5， 由勾股定理得，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了动点问题，勾股定理的应用、等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，根据题意得出，是解题的关键． 【变式14-3】如图，在矩形中，，，P点在边上以每秒的速度从A向D运动，点Q在边上，以每秒的速度从C点出发，在C、B间往返运动，两点同时出发，P点到达D点时同时停止，在这段时间内，有如下说法： ①该过程中，会出现4次的时刻； ②该过程中，会出现3次四边形和四边形同时为矩形的时刻； ③该过程中，当：时，四边形和四边形的面积比为6∶5； ④该过程中，矩形和面积比的最大值为4∶3． 上述说法正确的是______（填序号）． 【答案】①②##②① 【分析】①易得两点运动的时间为，，那么四边形是平行四边形，则，计算出Q在B、C上往返运动的次数可得平行的次数； ②根据时，四边形和四边形同时为矩形，列出t的方程，t的值存在的个数便可判断选项正误； ③根据梯形的面积公式进行计算便可判断正误； ④由②知，当时，矩形和面积比取最大值，求出此时的值便可． 【详解】解：①∵矩形中，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴Q从C到B往返一次就可以得到一次平行， ∵P的速度是/秒， ∴两点运动的时间为， ∴Q运动的路程为， ∴Q从C到B往返一次得到一次平行的次数为次， ∴会出现4次的时刻，故①正确； ②∵在矩形中，， ∴． 当四边形为矩形时，． 当时，， 解得，， ∴当时，四边形和四边形同时为矩形； 当时，， 解得 t=4， ∴当时，四边形和四边形同时为矩形； 当时，， 解得 ， ∴当时，四边形和四边形同时为矩形； 当时，， 解得，， 此时，四边形不为矩形； 综上所述，当t为或4或时，四边形和四边形同时为矩形， 即该过程中，会出现3次四边形和四边形同时为矩形的时刻， 故②正确； ③当时，， ∴， ， ∴四边形和四边形的面积比为，故③错误； ④当时，矩形和面积比取最大值为：， 故④错误； 故答案为：①②． 【点睛】本题矩形的性质与判定，一元一次方程的应用，梯形的面积公式，关键是分类思想解决问题． 【压轴二】矩形与旋转问题 【典例15】（2025·山东青岛·一模）在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． (1)如图①，当时，______；如图②，当时，______； (2)如图③，当边经过点B时，______； (3)如图④，当点F落在的延长线上时，______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，当时，可证得是等边三角形，可得，即可得；当时，由旋转的性质可得，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （2）由旋转的性质可得，由矩形的性质可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，于是可得，在 中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （3）连接，由旋转的性质可得，由矩形的性质可得，利用邻补角互补可得，进而可得，然后可证得，于是可得，垂直平分，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点， ， 当时，， 是等边三角形， ∴； 如图2，当时， 由旋转的性质可得：， 在 中，根据勾股定理可得：， 故答案为：； （2）解：如图3，由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形， ， ， 在中，根据勾股定理可得：， ， 在中，根据勾股定理可得：， ∴的长为； （3）解：如图4，连接， 由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形， ， ∵点落在的延长线上， 在和中 ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，线段的和与差，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键． 【变式15-1】如图，矩形的顶点，，，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，根据矩形的性质得到点C的坐标，求出∠COE=45°，OC=4，过点C作CE⊥x轴于E，过点C1作C1F⊥x轴于F，由旋转得∠COC1=75°，求出∠C1OF=30°，利用勾股定理求出OF，即可得到答案． 【详解】解：过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD，ADBC，∠CDA=∠DAB=90°， ∴∠HCD=∠ADO=∠BAG， ∵∠CHD=∠BGA=90°， ∴△CHD≌△AGB（AAS）， ∵，，， ∴CH=AG=5-1=4，DH=BG=2， ∴OH=2+2=4， ∴C（4，4）， ∴OE=CE=4， ∴∠COE=45°，OC=4， 如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点C1作C1F⊥x轴于F， 由旋转得∠COC1=75°， ∴∠C1OF=30°， ∴C1F=OC1=OC=2， ∴OF=， ∴点C1的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键． 【变式15-2】如图，在矩形中，，，是边上一点，，是直线上一动点，将线绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，延长至点，使，连接，由矩形的条件和旋转的性质可得，，可说明四边形是矩形，然后由正方形的性质可得到，，从而说明是的垂直平分线，进一步推导出，当点，，三点共线时，取最小值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，延长至点，使，连接， ∵在矩形中，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是直线上一动点， ∴， ∴当点，，三点共线时，取最小值， 在中，，， ， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，垂直平分线，三角形三边的关系，勾股定理等知识，采用了转化的思想方法．确定点关于的对称点是解题的关键 【变式15-3】已知，直角三角形中，，点D、E分别是边、的中点，． (1)如图1，动点P从点E出发，沿直线方向向右运动，则当______时，四边形是矩形； (2)将点B绕点E逆时针旋转． ①如图2，旋转到点F处，联结、、．设，求证：是直角三角形； ②如图3，旋转到点G处，联结、．已知，求的面积． 【答案】(1)3 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据中位线的性质可得，即可求解； （2）①根据旋转的性质得出，进而可得，，求出，即可证明是直角三角形；②过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点M，利用证明，推出，求出，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：中，点D、E分别是边、的中点，， ，， ， 当时，四边形是矩形， ， 故答案为：3； （2）解：①证明：点E是的中点， ， 根据旋转的性质可知， ， 在中，，可得， 在中，可得， ， 是直角三角形； ②如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点M， 点D、E分别是边、的中点， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，即， ， ， ， 根据旋转的性质可知， 在和中， ，   ， ， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，综合性较强，有一定难度，解题的关键是综合运用上述知识，通过作辅助线构造全等三角形． 通关检测·实战演练 一、单选题 1．（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，是对角线的中点，连接，若，则边的长为（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根据题意得出，进而在中，勾股定理，即可求解． 【详解】四边形为矩形，是对角线的中点 ， ∵， ∴ 在中， ∴ 故选：B． 2．（2025·广西·一模）如图所示，在矩形中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质证明，根据作图痕迹可得是的平分线，进而利用角平分线的性质即可解决问题． 本题考查了作图-基本作图、矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由作图痕迹可知：是的平分线， ∴． 故选：A． 3．（2025·广东广州·二模）在矩形中，，，对角线交于点O，点A关于的对称点为，连接交于点E，连接，则的长为（   ） A．1.2 B．1.4 C．1.6 D．1.8 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，三角形面积．由四边形是矩形，得，，，由勾股定理得，又点关于的对称点为，则，通过等面积法求出，通过勾股定理求得的长，最后通过三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点关于的对称点为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 4．已知：如图，矩形中，，对角线相交于点O，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则等于（　　） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据矩形的性质以及勾股定理可得，，再由，即可求解． 【详解】解：连接，如图， 在矩形中，， ∴， ， ∴，， , ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 5如图1，四边形中，，，．动点从点出发，沿折线方向以单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，则四边形的面积是（    ） A．144 B．134 C．124 D．114 【答案】A 【分析】先结合函数图象求出AB=6m，AD=10m，从而可得AC=10m，根据等腰三角形的三线合一、矩形的判定与性质可得CD=2AB=12m，再利用勾股定理可得BC=8m，然后根据点E运动到点D时，利用三角形的面积公式可得m2的值，最后根据直角梯形的面积公式即可得． 【详解】解：由函数图象可知，当t=6时，点E运动到点A；当t=16时，点E运动到点D， ∴AB=6m，AD=(16−6)m=10m， ∵AC=AD， ∴AC=10m， ∵∠B=90°， ∴ ， ∵AB//CD，∠B=90°， ∴∠BCD=90°，即CD⊥BC， 如图，过点A作AF⊥CD于点F， 则四边形ABCF是矩形， ∴CF=AB=6m， ∵AC=AD，AF⊥CD， ∴CD=2CF=12m（等腰三角形的三线合一）， 由函数图象可知，当点E运动到点D时，△BCE的面积为96， 则 ，即 ， 解得 ， 则四边形ABCD的面积是 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、矩形的判定与性质、从函数图象获取信息等知识点，读懂函数图象是解题关键． 二、填空题 6．已知矩形的对角线相交于点，平分交矩形的边于点，若，则的度数为__________． 【答案】70°或110° 【分析】根据可分情况作图，利用矩形的性质与等腰三角形的性质即可求解. 【详解】如图,AE平分∠BAD，∴∠DAE=45°， ∵∠CAE=10°， ∴∠DAO=35°， ∵AO=DO， ∴∠ADO=∠DAO=35° ∴∠AOB=∠ADO+∠DAO=70°； 如图，∠DAE=45°，∴∠DAO=∠DAE+∠CAE=55°， 同理∠ADO=∠DAO=55° ∴∠AOB=∠ADO+∠DAO=110°； 故的度数为70°或110°. 【点睛】此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知矩形的性质进行求解. 7．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点M在边CD上，若MA平分∠DMB，则DM的长是 _____． 【答案】1 【分析】由矩形的性质得出CD=AB=5，，BC=AD=3，∠C=90°，由平行线的性质得出∠BAM=∠AMD，再由角平分线证出∠BAM=∠AMB，得出MB=AB=5，由勾股定理求出CM，即可得出DM的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=5，，BC=AD=3，∠C=90°， ∴∠BAM=∠AMD， ∵AM平分∠DMB， ∴∠AMD=∠AMB， ∴∠BAM=∠AMB， ∴BM=AB=5， ∴CM= ∴DM=CD﹣CM=1； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明MB=AB是解决问题的关键． 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 9．如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为____________． 【答案】(5，) 【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=3，然后设EC=x，则EF=DE=4-x，CF=5-3=2，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标． 【详解】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(5，4)， ∴AD=OC=5，DC=AO=4， ∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处， ∴AD=AF=5，DE=EF， 在Rt△AOF中，OF= =3， ∴FC=5−3=2， 设EC=x，则DE=EF=4−x， 在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2， 即(4−x)2=x2+22， 解得x=，即EC的长为， ∴点E的坐标为(5，)． 故答案为：(5，)． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，根据题意求出EC的长为，是解题的关键． 10．如图，将矩形沿直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕交于点，交于点，若的面积与的面积比为，则的值是_________． 【答案】 【分析】连接AF，由翻折知，△AEF≌△CEF，由面积比得出AE：ED=4：1，设DE=x，则AE=CE=4x，作EH⊥CF于H，利用勾股定理求出EF即可得出比值． 【详解】解：连接AF，作EH⊥CF于H， 由翻折知，△AEF≌△CEF， ∴∠AEF=∠CEF， ∵AECF， ∴∠AEF=∠EFC， ∴∠AFE=∠AEF=∠CFE=∠CEF， ∴AF=AE=CE=CF， ∵△CEF的面积与△CDE的面积比为4：1， ∴△AEF的面积与△CDE的面积比为4：1， ∴AE：ED=4：1， 设DE=x，则AE=CE=CF=4x， ∴FH=3x， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识是解题的关键． 三、解答题 11．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在矩形中，为对角线，延长至点E，使得，过点E作于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合矩形的性质得，，整理得，，再证明，即可作答． 【详解】证明：四边形为矩形， ，， ． ， ． 在和中， ， ， ． 12.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分交BC于点E． (1)作的平分线交AD于点F；（尺规作图：不写作法，保留作图痕迹） (2)根据（1）中作图，若，求证：四边形AECF为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)以点C为圆心，任意长为半径画弧，交AC、CD于M、N两点，再分别以M、N为圆心，大于的距离为半径画弧，两弧交于点H，连接CH，并延长CH并交AD于点F，即可作得； (2)根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质，即可证得． (1) 解：作图如下：CF即为所求 (2) 证明：四边形ABCD是平行四边形， ，AB=CD， ，AE平分， ，AB=AC=CD ， ， 又，AF平分， ， ， 四边形AECF是矩形． 【点睛】本题考查了角平分线的作法，平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握和运用特殊四边形的性质及判定是解决本题的关键． 13.如图，在中，D是AB上一点，，DE平分∠ADC交AC于点E，DF平分∠BDC交BC于点F，． (1)求证：四边形CEDF是矩形； (2)若，，连接BE，求BE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证∠EDF=90°，∠CED=90°，再由∠DFC=90°，即可得出结论； （2）证△ACD是等边三角形，得∠ACD=60°，AC=AD=2，则AE=CE=1，再由勾股定理得DE，然后由三角形中位线定理得BC=2DE=，由勾股定理即可得出结论． (1) 解：证明：∵DE平分∠ADC，DF平分∠BDC， ∴∠ADE=∠CDE=∠ADC，∠CDF=∠BDC， ∴∠CDE+∠CDF=（∠ADC+∠BDC）=×180°=90°， 即∠EDF=90°， ∵AD=DC， ∴∠DCA=∠DAC， ∴∠CED=∠AED=×180°=90°， 又∵∠DFC=90°， ∴四边形CEDF是矩形； (2) 解：由（1）可知，四边形CEDF是矩形， ∴∠CED=∠ECF=90°， ∴∠A=90°-∠B=90°-30°=60°，DE⊥AC， ∵AD=DC， ∴CE=AE，△ACD是等边三角形， ∴∠ACD=60°，AC=AD=2， ∴AE=CE=1， ∴DE=， ∠DCB=∠ECF-∠ACD=90°-60°=30°， ∴∠DCB=∠B， ∴DB=DC=AD， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC=2DE=， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=， 即BE的长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 14已知：中，，直线上取一点D，连接，线段绕点B逆时针旋转，得到线段，连接交直线于G． (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是他画了图1所示当D在边上的时候的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小捷的猜想是_________(填＞，＝，＜中选一个)． (2)当D在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2， ①并在你补全的图2中找出与相等的角___________________________ ②在图2中探索(1)中小捷的猜想是否成立，若成立证明你的结论，若不成立，请你说明理由； (3)如图3，当D在边的反向延长线上时，直接写出的数量关系(用等式表示)． 【答案】(1)= (2) (3) 【分析】（1）过作于点E，证明，推出，得到，再证明，得到； （2）①根据已知补图即可，根据余角性质得到，，即可推出；②过作，交延长线于点H，证明，得到，再证明，得到； （3）过作，交延长线于点M，证明，得到，，推出，过点C作，交的延长线于N，得到四边形是矩形，推出，，根据勾股定理得到，进而推出． 【详解】（1）解：， 如图1，过作于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：=； （2）①补图如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②成立，即， 证明：过作，交延长线于点H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ （3）如图，过作，交延长线于点M， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴， 过点C作，交的延长线于N， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握各性质及判定定理是解题的关键． 15.综合与实践：折纸中的数学 知识背景 我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理.七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线. 知识初探 如图1，长方形纸条中，，，.将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点.若，求的度数. 类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点落在直线上的处.点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由. 拓展延伸 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，请你猜想和的数量关系，并说明理由. 【答案】知识初探：的度数为；类比再探：，理由见解析；拓展延伸：，理由见解析 【分析】知识初探：由平角及折叠的性质求出∠BCD=∠=∠BCE=65°，根据平行的性质即可求出∠CDE的度数； 类比再探：根据平行的性质可得∠HEC=∠BCE，由折叠的性质可得∠CEF=∠，根据内错角相等，两直线平行，可得EF∥CD； 拓展延伸：过点作，根据平行的性质可得，，由折叠的性质可得，即可得出答案. 【详解】 知识初探：解：由折叠可得， ∵ ∴ ∴. ∵长方形中， ∴ 答：的度数为. 类比再探：解： 理由如下：∵ ∴ 由折叠可得，， ∴， ∴ 拓展延伸：解： 理由如下：过点作， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵长方形中，即， ∴ ∴. 故答案为知识初探：的度数为；类比再探：，理由见解析；拓展延伸：，理由见解析 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，注意折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $