专题2.1认识一元二次方程（11大题型 小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以“小模块-微专题-大压轴”为框架，系统构建一元二次方程从概念识别到综合应用的方法体系，突出定义核心条件与转化思想，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础模块（1-7）|7典例+21变式|紧扣定义三条件，强调二次项系数非零，规范一般形式转化|从定义（概念）到识别、参数求解（应用），形成“概念-辨析-计算”链条| |微专题（1-3）|3典例+9变式|整体代换降次、换元法求新解、实际问题等量关系建模|从方程解的性质到代数式求值、方程转化，提升模型意识| |压轴突破|1典例+3变式|新定义转化为熟悉方程问题，严格按规则推导|综合应用定义与根的性质，培养创新意识与理性精神|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.1认识一元二次方程》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 一元二次方程的识别 模块7由一元二次方程的解求参数 模块2 由一元二次方程的定义求参数 微专题1由一元二次方程的解求代数式的值 模块3 化成一元二次方程的一般形式 微专题2已知一元二次方程的解求另一个方程的解 模块4 求一元二次方程的各项系数 微专题3根据实际问题列一元二次方程 模块5 判断是否是一元二次方程的解 压轴1 一元二次方程背景下新定义问题 模块6由一元二次方程各项系数的值求参数 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1一元二次方程的定义 1.定义：如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式:()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0； （2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式； （3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根. 若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 模块通关·举一反 三 【模块一】一元二次方程的识别 .需同时满足三个核心条件：①方程必须是整式方程，即方程左右两边的代数式均为整式，若分母或被开方数中含有未知数，则不属于一元二次方程；②方程整理后只含有一个未知数；③整理后未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。 【典例1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，满足所有条件，是关于的一元二次方程； 选项B：是分式方程，不是整式方程，不符合定义，排除； 选项C：中，未说明，当时不是二次方程，排除； 选项D： 化简，得， 整理得，是一元一次方程，不符合定义，排除． 【变式1-1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．据此解答即可． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，故选项错误； B、方程整理后不是一元二次方程，故选项错误； C、不是整式方程，故选项错误； D、符合一元二次方程的定义，故选项正确． 故选：D． 【变式1-2】下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】、是一元一次方程，不符合题意； 、，要说明，不符合题意； 、是一元二次方程，不符合题意； 、，左边不是整式，不符合题意； 故选：． 【变式1-3】下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义“只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程”．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、方程不是整式方程，则此项不符合题意； B、方程整理为，是一元一次方程，则此项不符合题意； C、方程整理为，是一元二次方程，则此项符合题意； D、方程中当时，方程为，是一元一次方程，则此项不符合题意； 故选：C． 【模块二】由一元二次方程的定义求参数 .这类问题的核心解题逻辑是紧扣一元二次方程定义的核心条件列出等式或不等式，进而完成参数的求解或取值范围的确定。 命题中通常会给出含有未知参数的方程，要求结合定义限定参数的取值，解题过程中需要尤其注意：“未知数的最高次数为2”与“二次项系数不为0”两个条件必须同时满足，不可遗漏“二次项系数不为0”这一隐含限制。若方程给出时并非整理后的一般形式，需要先将方程整理为一般形式，再根据对应条件分析参数；若参数出现在分母或被开方数中，还需要同时结合分式、二次根式有意义的条件，进一步缩小参数的取值范围。 【典例2】（25-26九年级上·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-1】若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义；根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，最高次数为2，即可求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得； 故选：B． 【变式2-2】方程是关于的一元二次方程，则的值是　　 A．3 B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据关于的方程是一元二次方程，可得，，进一步求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，特别要注意的条件． 【变式2-3】若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2：二次项系数不为0，可得答案． 【详解】解：由题意得：，解得， 故选：B． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且），特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【模块三】化成一元二次方程的一般形式 只需按照整式运算的规则，将所有项移到方程的左侧，合并同类项后就能整理出标准形式。以缺常数项型的ax2+bx=0(a≠0)为例，移项合并后本身就已经符合一般形式的结构，其中常数项为0；对于缺一次项型的ax2+c=0(a≠0)，其一般形式中一次项系数为0；缺一次项和常数项型的ax2=0(a≠0)，则一次项系数和常数项都为0。整理成一般形式后，我们就能清晰、明确地得到方程的二次项系数、一次项系数和常数项，为后续解方程、研究方程根的性质做好准备。 【典例3】（25-26九年级上·山西临汾·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需通过去括号、合并同类项、移项将方程化为（）的标准形式． 【详解】解： ， ， ， ∴该方程的一般形式为， 故选A 【变式3-1】把方程化为一元二次方程的一般形式后为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）． 【详解】解：将等号左边根据多项式乘以多项式法则展开，再移项合并同类项,方程整理得：3x2+x-12=0， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=（a≠0），解决本题的关键是要熟练掌握整式乘法和一元二次方程的一般形式. 【变式3-2】．将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用多项式乘法把括号去掉，再移项合并同类项即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【变式3-3】将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过移项把方程4x2+5x=81化成一元二次方程的一般形式． 【详解】方程4x2+5x=81化成一元二次方程的一般形式是4x2+5x-81=0． 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 【模块四】求一元二次方程的各项系数 ，求一元二次方程的各项系数，核心前提是先将原方程整理为标准的一元二次方程一般形式 ()，再按照顺序确定二次项系数、一次项系数与常数项。在一元二次方程的特殊形式中，尤其需要注意不要遗漏取值为0的项：对于缺常数项的特殊形式 ax2+bx=0(a≠0) ，其常数项为0，不能因为方程中没有显式出现常数项就忽略该项的存在；对于缺一次项的特殊形式 ax2+c=0(a≠0)，其一次项系数为0，统计系数时需要明确标注该值；对于仅含二次项的特殊形式 ax2=0(a≠0)，一次项系数和常数项均为0，需要完整写出所有项的系数。准确识别特殊形式下的各项系数，有助于我们进一步理解一元二次方程的结构特点，为后续学习一元二次方程的解法、根的性质等内容做好铺垫。 【典例4】（25-26九年级上·新疆塔城·月考）将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________． 【答案】 1 【分析】本题主要考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 先通过去括号、移项、合并同类项、然后同时除以二次项的系数得到二次项系数是1的一元二次方程，再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解： ， 所以该方程的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是． 故答案为：1；；． 【变式4-1】已知一元二次方程的常数项为，则二次项系数和一次项系数分别为（    ） A．3， B．，2 C．3，2 D．， 【答案】A 【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式可得：， ∴二次项系数、一次项系数分别为：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；c叫做常数项． 【变式4-2】方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．2，，0 D．2，， 【答案】D 【分析】首先把方程化成一般形式，然后再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解：将方程化成一般形式， 可得， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二方程的一般形式，熟练掌握一元二方程的一般形式是解题关键． 【变式4-3】方程化成一般式后，其二次项系数和一次项系数分别为（    ） A．5和4 B．5和 C．5和 D．5和1 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式：，其中为二次项系数，为一次项系数，常数项，即可得到答案． 【详解】解：∵将变换为， ∴二次项系数为：，一次项系数为：， 故选：B． 【模块五】判断是否是一元二次方程的解 其核心判断方法非常直观：只需将待判断的数代入一元二次方程的左右两边，分别计算出两边的结果，若代入后左右两边相等，那么这个数就是该一元二次方程的解；若代入后左右两边计算结果不相等，则该数不是原方程的解。这种判断方法也可以反过来辅助我们验证求解一元二次方程的结果是否正确，帮我们及时发现计算过程中的错误。 【典例5】（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：D． 【变式5-1】下列式子中，是它的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的解和不等式的解集的定义解答即可． 【详解】解：A、将代入原方程，左边右边， 选项符合题意； B、∵将代入原方程，左边右边， B选项不符合题意； C、不是不等式的解， 选项不符合题意； D、不是不等式组的解， 选项不符合题意． 综上所述，A选项符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方程的解和不等式的解集，正确掌握方程的解和不等式的解集的定义是解题的关键． 【变式5-2】下列式子中，是它的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的解和不等式的解集的定义解答即可． 【详解】解：A、将代入原方程，左边右边， 选项符合题意； B、∵将代入原方程，左边右边， B选项不符合题意； C、不是不等式的解， 选项不符合题意； D、不是不等式组的解， 选项不符合题意． 综上所述，A选项符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方程的解和不等式的解集，正确掌握方程的解和不等式的解集的定义是解题的关键． 【变式5-3】已知方程的解是，，那么方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程看作关于的一元二次方程，则利用方程的解是，，得到或，然后解一次方程即可． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， ∵方程的解是，， ∴或， 解得或， ∴方程的解为，． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【模块六】由一元二次方程各项系数的值求参数 这类问题的核心解题逻辑，是紧扣一元二次方程一般形式的定义要求：一方面要根据题目给出的各项系数对应关系，列出关于待求参数的等式；另一方面必须牢记一元二次方程的二次项系数不能为0这一隐含限制条件，需要据此列出关于参数的不等式，最终结合等式与不等式得到参数的正确结果。 需要注意的是，忽略二次项系数不为0的限制，是这类问题最常见的错误，解题时一定要养成先确认二次项系数取值范围的习惯，避免出现多解、错解的问题。 【典例6】（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 【变式6-1】若关于x的一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋a－8＝0没有常数项，则a的值为 ． 【答案】8 【分析】根据一元二次方程的一般形式可知常数项为a-8，由方程没有常数项得常数项为0，即可得答案. 【详解】∵一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋a－8＝0没有常数项， ∴a-8=0 解得：a=8. 故答案为8 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【变式6-2】若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣m＝0的常数项为0，则m的值为多少． 【答案】0 【分析】常数项为零即m2﹣m＝0，再根据二次项系数不等于0，即可求得m的值． 【详解】解：根据题意得：m2﹣m＝0，且m﹣1≠0， 解得：m＝0， 即m的值为0． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 【变式6-3】若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝ ，n＝ ． 【答案】 0 7 【分析】首先把方程变为一元二次方程的一般形式，再根据题意可得，进而可得答案． 【详解】解：m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0， 整理得，， ∵为一元二次方程且不含x的一次项， ∴， 解得， 故答案为：0，7． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）． 【模块七】由一元二次方程的解求参数 这类问题的核心切入点是一元二次方程的解满足方程左右两边相等的性质，解题时只需将题目给出的解代入原一元二次方程，即可得到一个只含待求参数的新方程，解出新方程就能得到参数的值。 若题目明确要求原方程为一元二次方程，求解得到参数结果后，仍需要验证二次项系数不为0的隐含条件，若存在使二次项系数为0的参数取值，需要将该结果舍去，避免得到错误答案。 【典例7】（25-26九年级上·重庆綦江·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出即可，解题的关键是理解方程解的定义． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-1】如果0是关于的一元二次方程的一个根，那么的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程得，解方程得，然后根据一元二次方程的定义得到的值． 【详解】解：把代入一元二次方程 得， 解得， 而， 所以的值为3． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 【变式7-2】若关于x的一元二次方程必有一根为0，则k的值是（    ） A．3或 B．或2 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据关于x的一元二次方程必有一根为0，故且，解答即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程必有一根为0， ∴且， ∴且， 故， 故选C． 【点睛】本题考查了方程的根，熟练求解且是解题的关键． 【变式7-3】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】首先把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得的值． 【详解】解：把代入得： ， 解得：，， 是一元二次方程， ， ， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】由一元二次方程的解求代数式的值 这类问题通常不需要求解出方程根的具体值再代入计算，核心思路是利用原一元二次方程整理得到的等量关系，对所求代数式进行逐步降次，通过整体代换简化计算过程，大幅降低计算量、避免出错。解题时要先观察所求代数式的结构，结合原方程对高次项进行拆分替换，逐步将代数式降次化简，最终即可得到所求的值。直接求解根再代入不仅计算繁琐，还很容易在计算过程中出现错误，是这类问题最常见的解题误区。 【典例8】（25-26九年级上·四川泸州·期末）若m是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 根据一元二次方程的解的意义可得，则，将原式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即． ∴ ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式8-1】若关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（　　） A． B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】根据一元二次方程解得定义即可得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了代数式求值和一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． 【变式8-2】已知是方程的一个根，则式子的值等于（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入方程求出，把化成代入求出即可． 【详解】解：根据题意，将代入方程， 得：， 则， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把当作一个整体来代入． 【变式8-3】若，则等于（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 【答案】A 【分析】将变形为，，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了根据已知代数式的值求新代数式的值，将已知条件适当变形，代入所求代数式求解是解题关键． 【微专题二】已知一元二次方程的解求另一个方程的解 这类问题常用整体换元法求解，不需要求出原一元二次方程的具体根再推导计算，能大幅简化运算过程。解题核心是找到所求新方程的根与原方程根之间的数量关系，设所求方程的根为y，根据题中给出的根的变换关系，得到原方程根x关于y的表达式，再将其代入原一元二次方程，整理后即可得到所求的新方程，进而得到新方程的解。 直接计算原方程根再推导的方法不仅步骤繁琐，当原方程的根为无理数时，还很容易在运算过程中出现计算错误，是这类问题最常见的解题误区。掌握整体换元的思路，就能快速准确得到结果。 【典例9】（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 通过换元法，将第二个方程转化为第一个方程的形式，然后利用已知根求解． 【详解】解：方程可变形为：， 又， 方程化为． 设，则方程化为， 方程有一个根为， 方程有一个根为， 即， ． 故选A． 【变式9-1】．已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题可用换元法，也可直接转化．把看作关于的一元二次方程，利用题中的解得到或，然后解两个一元一次方程即可． 【详解】解：方程的解是，， 由于方程与已知方程的形式完全相同， ，， ，， ，， 故选：C． 【变式9-2】若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2019 【答案】D 【分析】先合并带b的式子，再左右两边乘以2后利用整体思想解题即可． 【详解】解：原式化简为：，则有， ∵一元二次方程的一个根是， ∴，解得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，能够利用整体思想是解题关键． 【变式9-3】已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的解，可得出，在等式的两边同时除以，可得出，进而可得出方程有一个根是． 【详解】关于的一元二次方程有一个根是， ， 在等式的两边同时除以得：， 方程有一个根是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键． 【微专题三】根据实际问题列一元二次方程 这类问题是一元二次方程知识在实际生活中的典型应用，解题的核心是准确梳理实际场景中各个量之间的逻辑关系，找准核心等量关系。解题时首先要通读题目明确已知条件和所求量，设出恰当的未知数，再结合常见实际问题的数量规律（如面积计算公式、平均增长率公式、销售利润公式等），将其他相关量用含未知数的代数式表示，最后代入找到的核心等量关系，就能整理得到符合题意的一元二次方程。 【典例10】25-26九年级上·云南西双版纳·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解单循环赛制的比赛场数计算方法，避免重复计数． 设有支球队参加比赛，根据单循环赛制可知实际总场次为场，据此得出方程． 【详解】解：∵有支球队参赛，每支球队需与其余支球队各赛一场， ∴若不考虑重复，总场次为场， 又∵单循环赛制中，A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计数， ∴实际总场次为场， ∴可列方程为， 故选：D． 【变式10-1】电脑病毒传播，如果一台电脑被传染，经过两轮传播后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台会感染x台电脑，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可直接列出方程． 【详解】解：由题意可得方程为； 故选C． 【变式10-2】一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用发信息的总数微信群里好友的人数微信群里好友的人数，即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 【变式10-3】要组织一次篮球赛，参赛的形式是单循环赛．根据时间和场地条件，整个赛程计划安排36场比赛，设比赛组织者应邀请支球队参赛，则由题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单循环赛制中每两个队伍进行一场比赛列出方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的单循环问题． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 一元二次方程背景下新定义问题 这类问题是结合一元二次方程核心知识的创新题型，题目会给出一个全新定义或运算规则，解题的关键是准确理解新定义的内涵，将陌生的新规则转化为我们熟悉的一元二次方程相关问题，再结合一元二次方程的概念、根的性质等知识点逐步推导求解。解题时切忌脱离题目给出的新定义自行猜测规则，要严格按照题目定义的要求进行运算推导，避免因规则理解错误出现解题偏差。 【典例11】【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义． （1）根据“对称方程”的定义解答即可； （2）根据“对称方程”的定义可得，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：，， 方程的“对称方程”是， 故答案为：； （2）解：由，移项可得：， 方程与为对称方程， ， 解得：， ． 【变式11-1】．定义：一元二次方程（）若满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程，若满足，那么我们称这个方程为“友善”方程.已知关于的方程（）既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则下列结论中正确的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．方程的两个根互为相反数 C．两根之积为0 D．无实数根 【答案】B 【分析】根据已知得出方程（）有两个根或，再判断即可． 【详解】解：∵把代入方程得出：， 把代入方程得出， ∴方程（）有两个根或， ∴， 即只有选项B正确；选项A、C、D都错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，主要考查学生的理解能力和计算能力． 【变式11-2】请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”； 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； (2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求方程的根为，则，将代入已知方程，化简即可得到答案； （2）设所求方程的根为，则，将其代入已知方程，然后化为一般形式即可得到答案． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程， 得， 化简得，， 这个一元二次方程为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程， 得， 去分母得，， 若，则，于是方程有一根为0，不符合题意， ， 所求方程为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． 【变式11-3】定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（    ） ①若，，则的值为； ②若为常数，关于的方程与的解相同，则； ③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据新定义，得出的值代入计算即可判断①，根据方程的解的定义以及新定义得出，即可判断②，根据题意得出，即可判断③ 【详解】解：①∵，， 依题意 解得：，， ∴，故①正确； ②的方程与的解相同，即与的解相同， ∴ ∴，故②正确； ③ ∵的最小值为， 当 ∴的最小值为， ∴有最小值，且最小值为． 当，有最大值，且最大值为1 ． 故③不正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，不等式的性质，方程的解的定义，理解新新定义是解题的关键． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.下列关于的方程中，是一元二次方程的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照一元二方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B．是二元二次方程，故选项不符合题意； C．是一元二次方程，故选项符合题意； D．当时，化为一元一次方程，故选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，x的最高次数是2，且二次项系数不等于0，从而得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件． 3.一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数和常数项分别是（    ） A．，1 B．6， C．，1 D．6x， 【答案】B 【分析】把方程化为一元二次方程的一般形式即可确定一次项系数和常数项． 【详解】解：方程化为一般式为：， 则一次项系数为6，常数项为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，要确定一元二次方程知项系数，化为一般式是关键． 4.若关于的一元二次方程的常数项等于0，则的值为（    ） A．0 B．3 C．－3 D．－3或3 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的定义及常数项为0，确定出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项等于0， ∴m-3≠0，， 解得：m=-3． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为（a，b，c为常数且a≠0）． 5.若是方程的一个根，则的值为(    ) A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】C 【分析】根据是方程的一个根可得，得出，代入即可得到答案. 【详解】解：∵是方程的一个根 ∴，即， 将代入中， =1+2020=2021， 故答案选：C. 【点睛】本题考查一元二次方程的解和整体代入思想的应用. 二 填空题 6.把一元二次方程化为一般形式是 ． 【答案】 【分析】根据整式乘法运算法则计算后，通过移项、合并同类项化为一元二次方程的一般形式即可得到答案． 【详解】解：， ， 移项得， 合并同类项得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，正确转化为一般形式是解决问题的关键． 7.一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于 ． 【答案】 【分析】先化为一般形式，继而即可求解．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：的一般形式为， ∴二次项系数、一次项系数与常数项分别为 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 8.方程化为一般形式是 ；其中二次项系数是 ． 【答案】 6 【分析】先将化成一般式，再确定二次项系数即可． 【详解】解：， ， ， ． 故一般形式为：，二次项系数为：6． 故答案为：，6． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般式：（，a，b，c为常数）．叫二次项，a叫二次项系数；叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．将原方程化成一元一次方程的一般形式成为解答本题的关键． 9.若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2 017－a－b的值是 ． 【答案】2 022 【分析】将x＝1代入原方程得5=-a-b,整体代入代数式即可求值. 【详解】解：将x＝1代入ax2＋bx＋5＝0得,a+b+5=0,即5=-a-b, ∴2017－a－b=2017+5=2022. 【点睛】本题考查了代数式的求值,一元二次方程的根,属于简单题,熟悉整体代入思想是解题关键.. 10.设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝ ． 【答案】4 【分析】将两根代入可得α2+2020α＝2，β2+2020β＝2，然后利用整体代入法即可求出结论． 【详解】∵α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根， ∴α2+2020α﹣2＝0，β2+2020β﹣2＝0 ∴α2+2020α＝2，β2+2020β＝2 ∴（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2） =（2﹣1）（2+2）＝4． 故答案为4． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键． 三解答题 11.当k取何值时，关于x的方程（k﹣5）x2＋（k＋2）x＋5＝0 (1)是一元一次方程？ (2)是一元二次方程？ 【答案】(1)k＝5 (2)k≠5 【分析】（1）方程是一元一次方程，根据二次项系数为0，以及一次项系数不为0两个条件进行解答即可． （2）方程是一元二次方程，根据二次项系数不为0解答即可． 【详解】（1）解：（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0， 当k﹣5＝0且k+2≠0时，方程为一元一次方程， 即k＝5， 所以当k＝5时，方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0为一元一次方程． （2）解：（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0， 当k﹣5≠0时，方程为一元二次方程， 即k≠5， 所以当k≠5时，方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0为一元二次方程． 【点睛】本题考查一元一次方程和一元二次方程的概念．区分二次项或一次项的系数是否为0是解题的关键． 12已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】化简代数式，再整体代入即可． 【详解】解：， =， =， ∵， ∴， 故代数式的值为． 【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键是熟练化简整式，再整体代入求值． 13.化简求值：，其中m是方程的根 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值和一元二次方程的解的概念根据分式的混合运算法则把原式化简，根据一元二次方程的解的定义，得出代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． ∵m是方程的根， ∴ 即 ∴原式 14.观察下列方程： 方程 方程的解 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … … … (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 【答案】(1)；， (2)，， 【分析】本题是规律探索题，考查了一元二次方程及其解； （1）根据规律直接写出方程及其解即可； （2）根据规律可写出第n个方程及其解，把两个解代入方程中检验即可． 【详解】（1）解：由规律得，第5个方程为：；其两个解，； 故答案为：；，； （2）解：根据规律，第n个方程为：，其两个解为：，； 当时，方程左边右边， 当时，方程左边右边， ∴，是方程的两个根． 15如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如是“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)试判断方程_______“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）； (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）根据“勾系一元二次方程”的定义，即可求解； （2）根据是“勾系一元二次方程”的一个根，可得，再由四边形的周长是，可得，从而得到，继而得到，再根据，可得ab=4，即可求解． 【详解】（1）解：∵ 这里，， ∴， ∴是“勾系一元二次方程”． （2）解：当时，有， 即， ∵四边形的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，勾股定理，理解“勾系一元二次方程”的定义是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.1认识一元二次方程》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 一元二次方程的识别 模块7由一元二次方程的解求参数 模块2 由一元二次方程的定义求参数 微专题1由一元二次方程的解求代数式的值 模块3 化成一元二次方程的一般形式 微专题2已知一元二次方程的解求另一个方程的解 模块4 求一元二次方程的各项系数 微专题3根据实际问题列一元二次方程 模块5 判断是否是一元二次方程的解 压轴1 一元二次方程背景下新定义问题 模块6由一元二次方程各项系数的值求参数 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1一元二次方程的定义 1.定义：如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式:()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0； （2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式； （3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根. 若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 模块通关·举一反 三 【模块一】一元二次方程的识别 .需同时满足三个核心条件：①方程必须是整式方程，即方程左右两边的代数式均为整式，若分母或被开方数中含有未知数，则不属于一元二次方程；②方程整理后只含有一个未知数；③整理后未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。 【典例1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【模块二】由一元二次方程的定义求参数 .这类问题的核心解题逻辑是紧扣一元二次方程定义的核心条件列出等式或不等式，进而完成参数的求解或取值范围的确定。 命题中通常会给出含有未知参数的方程，要求结合定义限定参数的取值，解题过程中需要尤其注意：“未知数的最高次数为2”与“二次项系数不为0”两个条件必须同时满足，不可遗漏“二次项系数不为0”这一隐含限制。若方程给出时并非整理后的一般形式，需要先将方程整理为一般形式，再根据对应条件分析参数；若参数出现在分母或被开方数中，还需要同时结合分式、二次根式有意义的条件，进一步缩小参数的取值范围。 【典例2】（25-26九年级上·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．2 B． C． D．0 【变式2-2】方程是关于的一元二次方程，则的值是　　 A．3 B． C． D．以上答案都不对 【变式2-3】若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．0 【模块三】化成一元二次方程的一般形式 只需按照整式运算的规则，将所有项移到方程的左侧，合并同类项后就能整理出标准形式。以缺常数项型的ax2+bx=0(a≠0)为例，移项合并后本身就已经符合一般形式的结构，其中常数项为0；对于缺一次项型的ax2+c=0(a≠0)，其一般形式中一次项系数为0；缺一次项和常数项型的ax2=0(a≠0)，则一次项系数和常数项都为0。整理成一般形式后，我们就能清晰、明确地得到方程的二次项系数、一次项系数和常数项，为后续解方程、研究方程根的性质做好准备。 【典例3】（25-26九年级上·山西临汾·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】把方程化为一元二次方程的一般形式后为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】．将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【模块四】求一元二次方程的各项系数 ，求一元二次方程的各项系数，核心前提是先将原方程整理为标准的一元二次方程一般形式 ()，再按照顺序确定二次项系数、一次项系数与常数项。在一元二次方程的特殊形式中，尤其需要注意不要遗漏取值为0的项：对于缺常数项的特殊形式 ax2+bx=0(a≠0) ，其常数项为0，不能因为方程中没有显式出现常数项就忽略该项的存在；对于缺一次项的特殊形式 ax2+c=0(a≠0)，其一次项系数为0，统计系数时需要明确标注该值；对于仅含二次项的特殊形式 ax2=0(a≠0)，一次项系数和常数项均为0，需要完整写出所有项的系数。准确识别特殊形式下的各项系数，有助于我们进一步理解一元二次方程的结构特点，为后续学习一元二次方程的解法、根的性质等内容做好铺垫。 【典例4】（25-26九年级上·新疆塔城·月考）将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________． 【变式4-1】已知一元二次方程的常数项为，则二次项系数和一次项系数分别为（    ） A．3， B．，2 C．3，2 D．， 【变式4-2】方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．2，，0 D．2，， 【变式4-3】方程化成一般式后，其二次项系数和一次项系数分别为（    ） A．5和4 B．5和 C．5和 D．5和1 【模块五】判断是否是一元二次方程的解 其核心判断方法非常直观：只需将待判断的数代入一元二次方程的左右两边，分别计算出两边的结果，若代入后左右两边相等，那么这个数就是该一元二次方程的解；若代入后左右两边计算结果不相等，则该数不是原方程的解。这种判断方法也可以反过来辅助我们验证求解一元二次方程的结果是否正确，帮我们及时发现计算过程中的错误。 【典例5】（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【变式5-1】下列式子中，是它的解的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】下列式子中，是它的解的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】已知方程的解是，，那么方程的解是（    ） A． B． C． D． 【模块六】由一元二次方程各项系数的值求参数 这类问题的核心解题逻辑，是紧扣一元二次方程一般形式的定义要求：一方面要根据题目给出的各项系数对应关系，列出关于待求参数的等式；另一方面必须牢记一元二次方程的二次项系数不能为0这一隐含限制条件，需要据此列出关于参数的不等式，最终结合等式与不等式得到参数的正确结果。 需要注意的是，忽略二次项系数不为0的限制，是这类问题最常见的错误，解题时一定要养成先确认二次项系数取值范围的习惯，避免出现多解、错解的问题。 【典例6】（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【变式6-1】若关于x的一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋a－8＝0没有常数项，则a的值为 ． 【变式6-2】若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣m＝0的常数项为0，则m的值为多少． 【变式6-3】若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝ ，n＝ ． 【模块七】由一元二次方程的解求参数 这类问题的核心切入点是一元二次方程的解满足方程左右两边相等的性质，解题时只需将题目给出的解代入原一元二次方程，即可得到一个只含待求参数的新方程，解出新方程就能得到参数的值。 若题目明确要求原方程为一元二次方程，求解得到参数结果后，仍需要验证二次项系数不为0的隐含条件，若存在使二次项系数为0的参数取值，需要将该结果舍去，避免得到错误答案。 【典例7】（25-26九年级上·重庆綦江·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式7-1】如果0是关于的一元二次方程的一个根，那么的值是（   ） A．3 B． C． D． 【变式7-2】若关于x的一元二次方程必有一根为0，则k的值是（    ） A．3或 B．或2 C．3 D．2 【变式7-3】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．或2 B． C．2 D．0 专题攻坚·多题归一 【微专题一】由一元二次方程的解求代数式的值 这类问题通常不需要求解出方程根的具体值再代入计算，核心思路是利用原一元二次方程整理得到的等量关系，对所求代数式进行逐步降次，通过整体代换简化计算过程，大幅降低计算量、避免出错。解题时要先观察所求代数式的结构，结合原方程对高次项进行拆分替换，逐步将代数式降次化简，最终即可得到所求的值。直接求解根再代入不仅计算繁琐，还很容易在计算过程中出现错误，是这类问题最常见的解题误区。 【典例8】（25-26九年级上·四川泸州·期末）若m是方程的一个根，则的值为______． 【变式8-1】若关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（　　） A． B．2021 C．2022 D．2023 【变式8-2】已知是方程的一个根，则式子的值等于（      ） A． B． C． D． 【变式8-3】若，则等于（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 【微专题二】已知一元二次方程的解求另一个方程的解 这类问题常用整体换元法求解，不需要求出原一元二次方程的具体根再推导计算，能大幅简化运算过程。解题核心是找到所求新方程的根与原方程根之间的数量关系，设所求方程的根为y，根据题中给出的根的变换关系，得到原方程根x关于y的表达式，再将其代入原一元二次方程，整理后即可得到所求的新方程，进而得到新方程的解。 直接计算原方程根再推导的方法不仅步骤繁琐，当原方程的根为无理数时，还很容易在运算过程中出现计算错误，是这类问题最常见的解题误区。掌握整体换元的思路，就能快速准确得到结果。 【典例9】（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】．已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式9-2】若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2019 【变式9-3】已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（ ） A． B． C． D． 【微专题三】根据实际问题列一元二次方程 这类问题是一元二次方程知识在实际生活中的典型应用，解题的核心是准确梳理实际场景中各个量之间的逻辑关系，找准核心等量关系。解题时首先要通读题目明确已知条件和所求量，设出恰当的未知数，再结合常见实际问题的数量规律（如面积计算公式、平均增长率公式、销售利润公式等），将其他相关量用含未知数的代数式表示，最后代入找到的核心等量关系，就能整理得到符合题意的一元二次方程。 【典例10】25-26九年级上·云南西双版纳·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】电脑病毒传播，如果一台电脑被传染，经过两轮传播后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台会感染x台电脑，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程(    ) A． B． C． D． 【变式10-3】要组织一次篮球赛，参赛的形式是单循环赛．根据时间和场地条件，整个赛程计划安排36场比赛，设比赛组织者应邀请支球队参赛，则由题意可列方程（　　） A． B． C． D． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 一元二次方程背景下新定义问题 这类问题是结合一元二次方程核心知识的创新题型，题目会给出一个全新定义或运算规则，解题的关键是准确理解新定义的内涵，将陌生的新规则转化为我们熟悉的一元二次方程相关问题，再结合一元二次方程的概念、根的性质等知识点逐步推导求解。解题时切忌脱离题目给出的新定义自行猜测规则，要严格按照题目定义的要求进行运算推导，避免因规则理解错误出现解题偏差。 【典例11】【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【变式11-1】．定义：一元二次方程（）若满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程，若满足，那么我们称这个方程为“友善”方程.已知关于的方程（）既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则下列结论中正确的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．方程的两个根互为相反数 C．两根之积为0 D．无实数根 【变式11-2】请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”； 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； (2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【变式11-3】定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（    ） ①若，，则的值为； ②若为常数，关于的方程与的解相同，则； ③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 通关检测·实战演练 一 选择题 1.下列关于的方程中，是一元二次方程的为（　　） A． B． C． D． 2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 3.一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数和常数项分别是（    ） A．，1 B．6， C．，1 D．6x， 4.若关于的一元二次方程的常数项等于0，则的值为（    ） A．0 B．3 C．－3 D．－3或3 5.若是方程的一个根，则的值为(    ) A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 二 填空题 6.把一元二次方程化为一般形式是 ． 7.一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于 ． 8.方程化为一般形式是 ；其中二次项系数是 ． 9.若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2 017－a－b的值是 ． 10.设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝ ． 三解答题 11.当k取何值时，关于x的方程（k﹣5）x2＋（k＋2）x＋5＝0 (1)是一元一次方程？ (2)是一元二次方程？ 12已知，求代数式的值． 13.化简求值：，其中m是方程的根 14.观察下列方程： 方程 方程的解 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … … … (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 15如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如是“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)试判断方程_______“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）； (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $