专题1.4正方形的性质与判定(20大题型+过关检测） （小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以“小模块-微专题-大压轴”三级体系构建正方形性质与判定的完整训练链，融合几何直观与推理能力，实现从基础到压轴的素养递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模块通关|14模块/14典例|性质应用：勾股定理+全等转化；判定证明：矩形/菱形特殊化路径|从定义要素（边/角/对角线）到性质应用（角度/线段/面积），再到判定条件的递进生成| |微专题|4专题/4典例|折叠问题：轴对称性质+方程思想；旋转问题：90°全等模型；最值问题：几何变换+二次函数|聚焦正方形核心变换（折叠/旋转）与动态问题，提炼“变换不变量”分析方法| |压轴突破|2压轴/2典例|动点问题：分类讨论+函数建模；存在性问题：几何判定+代数验证|整合性质与判定，构建“静态证明-动态探究-综合应用”的思维链|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.4正方形的性质与判定》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 正方形的性质理解 模块12根据正方形性质与判定进行证明 模块2 利用正方形的性质求角度 模块13正方形中的多结论问题 模块3 利用正方形的性质求线段长 模块14 中点四边形 模块4 利用正方形的性质求面积 微专题1正方形中的折叠问题 模块5 利用正方形的性质进行证明 微专题2正方形中的旋转 模块6求正方形重叠部分面积 微专题3正方形中的最值 模块7添加条件使四边形为正方形 微专题4正方形背景下的规律探索 模块8 证明四边形为正方形 压轴1 正方形背景下的动点问题 模块9根据正方形性质与判定求角度 压轴2正方形的存在性问题 模块10 根据正方形性质与判定求线段长度 通关检测·实战演练 模块11 根据正方形方性质与判定求面积 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 正方形的有关概念 1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 如果在矩形的基础上证明它是正方形，则需附加一组邻边相等；如果在菱形的基础上证明它是正方形， 则需附加一个角是直角.两者不要混淆. 2.正方形的定义有三个要素：一是平行四边形；二是有一组邻边相等；三是有一个角是直角.三者缺一不可. 3.正方形与其他特殊四边形之间的关系 4.方法总结： (1)正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形和菱形. (2)可以用下图表示平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的从属关系 知识点2正方形的性质 1.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.总结如下： 元素 性质 符号表示 图示 边 对边平行 AB//CD,AD// BC 四条边相等 AB=BC=CD=DA 角 四个角都是直角 ∠ABC=∠BCD= ∠CDA=∠DAB=90° 对角线 对角线相等且互相 垂直平分 AC=BD,AC⊥BD, OA=OB=OC=OD 每一条对角线平分 一组对角 ∠BAC=∠DAC=∠DCA= ∠BCA= ∠ABD=∠CBD=∠CDB=∠ADB=45° 对称性 是轴对称图形,有四条对称轴,是中心对称图 形,对称中心是对角线的交点 2.(1)正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形：每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，解决问题时，通常归结到这些等腰直角三角形中求解， (2)正方形的对角线互相垂直，因此正方形的面积也可以用对角线长乘积的一半来计算， 知识点3 正方形的判定 1.正方形的判定 元素 文字语言 符号语言 基本图形 边 有一组；两边相等 的矩形是正方形 ∵四边形ABCD是矩形,且AD=AB, ∴.矩形ABCD是正方形 角 有一个角是直角 的菱形是正方形 ∵四边形ABCD是菱形,且∠ABC=90°, ∴ 菱形ABCD是正方形 对角 线 对角线互相垂直 平分且相等的四 边形是正方形 ∵在四边形ABCD中, OA=OC, OB=OD,AC⊥ BD,AC=BD, ∴四边形ABCD是正方形 对角线互相垂直 且相等的平行四 边形是正方形 四边形ABCD是平行四边形, 且 AC ⊥BD,AC=BD,∴平行 四边形ABCD是正方形 对角线相等的菱 形是正方形 四边形ABCD是菱形,且 AC=BD, ∴菱形ABCD是正方形 对角线互相垂直 的矩形是正方形 四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD, ∴矩形ABCD是正方形 2.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 模块通关·举一反 三 【模块一】正方形的性质理解 【典例1】矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 【答案】B 【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选B． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键． 【变式1-1】（2025-2026杭州市文澜中学九上月考）正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】矩形性质理解、正方形性质理解 【分析】本题考查矩形和正方形的性质．根据矩形和正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：正方形的对角线互相垂直平分且相等， 矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直， 故选：B． 【变式1-2】（2024-2025山西省吕梁市八下期末）下列有关菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（    ） A．邻边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明、正方形性质理解 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的性质，根据菱形、矩形、正方形的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解： A． 邻边相等：菱形和正方形满足，但矩形邻边不一定相等（仅正方形相等），本选项不符合题意． B． 对角相等：菱形、矩形、正方形均为平行四边形，对角均相等，本选项符合题意． C． 对角线互相垂直：菱形和正方形满足，但矩形对角线不一定垂直（仅正方形垂直），本选项不符合题意； D． 对角线相等：矩形和正方形满足，但菱形对角线不一定相等（仅正方形相等），本选项不符合题意． 综上，三者共同性质为对角相等， 故选B． 【变式1-3】（2025-2026枣庄市滕州市九上月考  ）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】B 【难度】0.85 【来源】山东省枣庄市滕州市至善学校2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学试题 【知识点】利用菱形的性质证明、正方形性质理解 【分析】本题考查的是正方形及菱形的性质，熟练掌握正方形及菱形的性质是解题关键，选项A、C和D是菱形的必然性质，故排除；选项B是菱形不一定具有的，对角线相等是正方形特有而菱形不一定具有的性质据此得出结论． 【详解】解：∵正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等（只有正方形时相等）， ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 故选：B． 【模块二】利用正方形的性质求角度 【典例2】（24-25九年级上·山西太原·月考）如图，在正方形的内部做等边三角形，连接，，对角线交于于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理等．根据正方形的四个角都是，四条边都相等，对角线平分对角得出，，，根据等边三角形的三个角都是，三条边都相等得出，，求出，，根据等边对等角和三角形内角和是求出，即可求解． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， 故， ∴． 故答案为：． 【变式2-1】（2025-2026甘肃省张掖市九 上月考   ）如图，已知P是正方形对角线上一点，连接平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根据正方形的性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义，由正方形的性质可得的度数，再由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 【变式2-2】如图，P为线段上任意一点，分别以、为边在同侧作正方形、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质先表示出的度数，然后利用“”证明，可得，从而求得答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形、是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质．将四边形的问题转化为三角形的问题是解题的关键． 【变式2-3】（2025-2026陕西省榆林市九上期中   ）如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，掌握以上知识，角度的计算是关键． 根据正方形，等边三角形的性质得到，结合角度的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【模块三】利用正方形的性质求线段长 【典例3】（2025·湖南·模拟预测）东汉数学家赵爽在注解《周髀算经》时，创制了一幅“勾股圆方图”（后称“赵爽弦图”），以形证数，巧妙证明了勾股定理．如图，四个全等的直角三角形拼成了“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，，则的长为（      ）     A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解答本题的关键．证明得出，再结合正方形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：B． 【变式3-1】（2024-2025宁夏银川外国语实验学校八下期末）如图，在正方形中，，P是边上的动点，于点E，于点F，则的值为（　　） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】先由勾股定理求出，证明四边形是矩形，根据是等腰直角三角形得，，由此即可得出的值． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 【变式3-2】如图，在正方形中，点在对角线上，，，，分别为垂足，连结，，若，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的对称轴得出，根据已知得出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在正方形中，点在对角线上， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴, 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【变式3-3】（2025-2026陕西省西安九上月考）如图，在正方形中，对角线与相交于点，E为上一点，为的中点．若2，，则正方形边长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【来源】陕西省西安国际港务区铁一中陆港初级中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试题 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理，利用数形结合的思想是解题的关键． 先依据三角形的中位线定理求出的长，然后依据直角三角形斜边上的中线的性质求得的长，设，则，在中，依据勾股定理列方程，计算即可． 【详解】解：在正方形中， ，O是的中点，， 为的中点， 为的中位线， ， 设，则， 在中， ， 即， 解得：或（舍去）， 故选：C． 【模块四】利用正方形的性质求面积 【方法点拨】求几何图形面积的两种方法 方法1：根据几何图形的面积计算公式，找到相应线段的长度，直接套用公式求出. 方法2：对于一些不规则图形或面积计算公式中所需线段长度计算过于烦项的几何图形，其面积可通过相关几何图形面积的和或差间接求出， 【典例4】（2026·广东中山·模拟预测）如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】42 【分析】本题主要考查正方形的性质，根据经过正方形中心的直线把这个正方形分成面积相等的两部分解答即可． 【详解】解：∵边长分别为8，4，2的正方形的面积为：64，16和4， ∴三个正方形的面积和为, ∵三点分别是正方形的中心， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：42． 【变式4-1】七巧板是由宋代的宴几演变而来的，小明用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（图①），然后拼成飞机（图②），则“飞机尾翼”（阴影部分）的面积为 平方厘米． 【答案】 【难度】0.85 【来源】河北省唐山市路南区第九中学2024-2025学年下学期八年级5月月考数学试卷 【知识点】用七巧板拼图形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据图形可得“飞机尾翼”（阴影部分）为等腰三角形，腰长为正方形对角线的，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：依题意，“飞机尾翼”（阴影部分）为等腰三角形，腰长为正方形对角线的 ∵边长为的正方形纸板 ∴对角线长为 ∴“飞机尾翼”（阴影部分）的面积为 故答案为：． 【变式4-2】如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是，，那么与的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出正方形的边长为a，先判断出，得出，设正方形的边长为b，同样的方法得出，得出a，b的关系，即可得出结论． 【详解】解：图形中相关的顶点记作如图所示， 设正方形的边长为a， ∵是正方形的对角线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， 设正方形的边长为b， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得，， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 【变式4-3】（ 2025-2026福建省漳州市八上期中  ）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为（   ） A．100 B．63 C．58 D．56 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】根据正方形的性质求面积、以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，证明，由题意得，证明，再证明，得出，根据，通过计算可得． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由得， ， ， 故答案为：58． 【点睛】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【模块五】利用正方形的性质进行证明 【典例5】（2025·湖南益阳·二模）如图，在正方形中，点是边上一点，连接，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据证明得，从而可证明； （2）设由得，求出，得出，由旋转得，可列式，得出即． 【详解】（1）证明：是的中点， ． 四边形是正方形， , ∴， 又， ， ， 是斜边上的中线， ． ， ． （2）解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴ ． 【变式5-1】（2024-2025江苏南通八下作业  ）如图，在边长为4的正方形中，点是边上一点，点是边延长线上一点，，连接，，平分，交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.85 【来源】江苏省南通市第一初级中学2024-2025学年八年级下学期第一次集中作业数学 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质和角平分线的定义、勾股定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明，进而证明结论； （2）设，将和分别表示出来，在中根据勾股定理列关于x的方程并求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． ． 【变式5-2】（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件． （1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ； （2）∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． 【变式5-3】如图，在四边形中，，E，F分别是上的点，连接． (1)如图①，，，．求证：； (2)如图②，，周长何时最小，作出图形，并直接写出______° (3)如图③，若四边形为正方形，点E、F分别上，且，若，，请求出线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)120 (3)5 【分析】（1）延长到点G，使，连接，首先证明，则有，然后利用角度之间的关系得出，进而可证明，则，则结论可证； （2）分别作点A关于和的对称点，，连接，交于点E，交于点F，由对称的性质可得，当点在同一条直线上时，即为周长的最小值，然后利用求解即可； （3）旋转至的位置，首先证明，则有，最后利用求解即可． 【详解】（1）证明：如解图①，延长到点G，使，连接， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴； （2）如解图，分别作点A关于和的对称点，，连接，交于点E，交于点F，由对称的性质可得， ∴此时的周长为， ∴当点在同一条直线上时，即为周长的最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：120； （3）如解图，旋转至的位置， ∴， ， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【模块六】求正方形重叠部分面积 【典例6】（21-22八年级下·吉林长春·月考）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的顶点，若两个正方形的边长都是2，则两者重合部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质的应用，全等三角形的证明和图形的分割．要求阴影部分四边形面积，可分割成两个三角形面积之和，设与交于点E，与交于点F，证明，即可将阴影部分面积转化为求的面积，而占正方形面积的，正方形面积根据已知边长可求，由此问题得到解决． 【详解】解：设与交于点E，与交于点F，如图所示，    四边形是正方形， 所以，，． ． 又， ． ． ． 正方形边长为2， 正方形面积， ． 所以阴影部分面积为1． 故答案为1． 【变式6-1】如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是(　　 ) A． B． C．1- D．-1 【答案】D 【分析】根据旋转的性质及正方形的性质分别求得与的面积，从而不难求得重叠部分的面积. 【详解】绕顶点顺时针旋转， ， ， ， ， ， ， 正方形重叠部分的面积是. 故选：. 【点睛】本题综合考查了三角形的面积求法、正方形的性质、旋转的性质等知识点的应用，主要培养学生综合运用性质进行推理的能力. 【变式6-2】（2025-2026江西九江九上期中  ）如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】江西省九江市湖口县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】根据正方形的性质求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式6-3】如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边运动．过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．以为边向其右侧作正方形，设点的运动时间为，正方形与的重叠部分图形的面积为． (1)当点与点重合时，的值为______； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，当平分正方形的边时，直接写出的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意可得为等腰直角三角形，可得，即可求解； （2）由（1）得：点Q到达点A所用时间为1秒，点P到达点C所用时间为2秒，分两段：当时；当时，结合平行四边形的性质解答即可； （3）分两种情况：当平分时，当平分时，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 当点Q在上时， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当点与点重合时，， ∴， 故答案为：1； （2）解：由（1）得：点Q到达点A所用时间为1秒，点P到达点C所用时间为2秒， 当时，正方形与的重叠部分图形为正方形， 由（1）得：为等腰直角三角形， ∴， ∴正方形的面积为， 即此时； 当时，如图，设交于点E，过点A作于点F，则为等腰直角三角形，此时正方形与的重叠部分图形为为多边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与之间的函数关系式为； （3）解：如图，当平分时，设，交于点H， 由（1）得：，， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：； 如图，当平分时，设交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， 解得：； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【模块七】添加条件使四边形为正方形 【典例7】（2025·上海·模拟预测）在平行四边形中，，对角线、相交于点O．若要添加一个条件使四边形为正方形，这个条件可以是 ． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，由平行四边形中，，得到平行四边形是矩形，再添加菱形有的但矩形没有的性质，例如对角线互相垂直或者一组邻边相等即可得到四边形为正方形． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形， ∴当或时，四边形为正方形， 故答案为：或（答案不唯一）． 【变式7-1】四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD＝BC，使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC＝BD；②AB＝AD； ③AB＝CD；④AC⊥BD．需要满足（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①②或①④ 【答案】D 【分析】因为AD∥BC，AD＝BC，所以四边形ABCD为平行四边形，添加①则可根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明四边形是矩形，故可根据一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件． 【详解】解：∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， 若AB＝AD， 则四边形ABCD为正方形； 若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形． 故选：D． 【点睛】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 【变式7-2】如图，以的三边为边在上方分别作等边，且点在内部．给出以下结论： 四边形是平行四边形； 当时，四边形是矩形； 当时，四边形是菱形； 当，且时，四边形是正方形． 其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明和即可判断；当时，求出即可判断；由得到即可判断；由得到，得到是矩形，再结合即可判断；熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理由，得， 由，即可得出四边形 是平行四边形，故结论正确； 当时， ， 由知四边形是平行四边形， ∴平行四边形不是矩形，故结论错误； 由知，四边形 是平行四边形， ∴当时，， ∴平行四边形是菱形，故结论正确； 当时， ， ∵是平行四边形， ∴四边形是矩形， 又由知四边形是菱形， ∴四边形是正方形，故结论正确； 故答案为：． 【变式7-3】（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 【模块八】证明四边形为正方形 【典例8】（2025·河南郑州·二模）如图，在四边形中，是线段上的任意一点（点与点、不重合），、、分别是、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连接，若，且，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和正方形的性质．正方形对角线的特点是：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角． （1）通过中位线定理得出且，所以四边形是平行四边形； （2）当添加了条件，且后，通过对角线相等且互相垂直平分（，且）就可证明是正方形． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， 且． 又是的中点， ， 且． 四边形是平行四边形； （2），分别是，的中点， 且． 又且， ，． 平行四边形是正方形． 【变式8-1】如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上一点，且是等边三角形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由四边形是平行四边形，可得．又由是等边三角形，可得．根据三线合一，对角线垂直，即可得四边形既为菱形； （2）根据有一个角是的菱形是正方形．由题意易得，所以四边形是菱形，，即四边形是正方形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形； （2）证明：由（1）得：是直角三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查菱形和正方形的判定，涉及知识点较多，综合性强，能力要求全面，灵活运用正方形和菱形的判定方法是解决问题的关键． 【变式8-2】如图，的对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，的长为半径画弧，两弧在下方交于点P，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，且，则四边形是什么图形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，见解析 【难度】0.85 【来源】河南省安阳市北关区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定．解题的关键是掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；有一个角是直角的菱形是正方形． （1）根据作图得出，即可求证； （2）根据平行四边形的性质得出，结合，则．推出是菱形，最后根据，即可推出菱形是正方形． 【详解】（1）证明：∵分别以点B，C为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点P， ． ∴四边形是平行四边形． （2）解：四边形是正方形． 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ． ， ． 是菱形． ， ． ∴菱形是正方形． 【变式8-3】（2025·山东青岛·一模）如图，在平行四边形中，，、分别是和的中点． (1)判定四边形的形状并证明； (2)给补充一个条件，使得四边形是正方形，并证明． 【答案】(1)菱形，证明见解析 (2)当时四边形是正方形，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，先证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）根据等腰三角形的性质得到，求得，由（1）知，四边形是菱形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵、分别是和的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：当时四边形是正方形． 证明：∵，是的中点， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判断，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键． 【模块九】 根据正方形方性质与判定求角度 【典例9】如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【分析】（1）由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可得出结论； （2）设∠FDE=∠FED=x，表示出∠AEF=∠BEC=∠DEC=135°-2x，利用平角的定义列出方程，求出x值即可得到∠AFE． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°， 在△BEC和△DEC中， ， ∴△BEC≌△DEC（SAS）； （2）∵FD=FE， ∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x， ∵△BEC≌△DEC， ∴∠BEC=∠DEC=135°-2x， ∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°， 解得：x=30， ∴∠AFE=60°． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式9-1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 【答案】(1)见解析 (2)135° 【难度】0.85 【知识点】证明四边形是菱形、根据正方形的性质与判定求角度 【分析】（1）先由两组对边平行证明四边形OCED是平行四边形，再由OD=OC证明四边形OCED是菱形； （2）先证矩形ABCD是正方形，再由正方形的性质得∠BDC=∠ACD=，再由平行线的性质得∠EDC=∠ACD=45°，由此可解． 【详解】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O， ∴OD=OC． ∴四边形OCED是菱形． （2）解：∵矩形ABCD中，AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°， ∴∠BDC=∠ACD=． ∵DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD=45°， ∴∠ADE=90°+45°=135°． 【点睛】本题考查菱形的判定、正方形的判定与性质以及平行线的性质，由正方形的性质得出∠BDC=∠ACD=是解题的关键． 【变式9-2】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3，则∠APB=_____________ . 【答案】° 【分析】通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形，再根据两边的平方和等于第三边求证直角三角形，可以求解∠APB． 【详解】把△PAB绕B点顺时针旋转90°，得△P′BC， 则△PAB≌△P′BC， 设PA=x，PB=2x，PC=3x，连PP′， 得等腰直角△PBP′，PP′2=（2x）2+（2x）2=8x2， ∠PP′B=45°． 又PC2=PP′2+P′C2， 得∠PP′C=90°． 故∠APB=∠CP′B=45°+90°=135°． 故答案为135°． 【点睛】本题考查的是正方形四边相等的性质，考查直角三角形中勾股定理的运用，把△PAB顺时针旋转90°使得A′与C点重合是解题的关键． 【变式9-3】如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【难度】0.65 【来源】江苏省徐州市多校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【知识点】证明四边形是矩形、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质与判定求角度、根据正方形的性质证明 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 【模块十】根据正方形性质与判定求线段长度 【典例10】如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，那么EF＋EG＝______． 【答案】 【分析】设对角线AC，BD的交点为O，首先根据正方形的性质，利用勾股定理得出AC的长，结合已知条件得出四边形GEOF为矩形，得出EG=OF，再由正方形的性质证明△FEC为等腰直角三角形，即FE=FC，则GE+EF=OF+FC=OC=AC，即可求出答案． 【详解】设对角线AC，BD的交点为O，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=CD=4，AC⊥BD，∠ACB=45°， ∴， ∵EF⊥AC，GE⊥BD， ∴∠OGE=∠OFE=90°， 又∵AC⊥BD， ∴四边形OGEF为矩形， ∴EG=OF， 又∵∠FCE=45°， ∴∠FEC=∠FCE=45°， ∴EF=CF， ∴GE+EF=OF+CF=OC=AC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是掌握相关知识点，灵活应用题目条件． 【变式10-1】如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】根据正方形的性质即可得到四边形是矩形，四边形是正方形，再利用矩形和正方形的性质得到和 ，进而得到，从而得到的长度． 【详解】解：延长于交于点， ∵在正方形中， ∴，，， ∴， ∴， ∵为垂足， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式10-2】（ 2025-2026安徽省宿州市九上 月考 ）如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（   ） A． B．9或6 C．9或 D．3或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，分两种情况讨论：当或，再结合图形进一步求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 当落在对角线上时， ，，， 设，则，， ∴， 解得：，即， 如图，当时， ∴， 同理可得：，， ∴四边形为正方形， ∴． 综上：当为直角三角形，则的长为或． 故选：C 【变式10-3】如图，G、H分别是四边形ABCD的边AD、AB上的点，∠GCH=45°，CD=CB=2，∠D=∠DCB=∠B=90°，则△AGH的周长为_______． 【答案】4 【分析】把绕点C逆时针旋转90°得到，可证，进而即可求解． 【详解】解：∵CD=CB=2，∠D=∠DCB=∠B=90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°， 把绕点C逆时针旋转90°得到，则CG=CE，∠DCG=∠BCE， ∵∠GCH=45°， ∴∠BCE+∠BCH=∠DCG+∠BCH=90°-45°=45°，即：∠HCE=∠GCH， 又∵CH=CH， ∴， ∴GH=EH=BH+BE=BH+DG， ∴△AGH的周长= GH+AH+AG= BH+DG+AH+AG=AD+AB=2+2=4． 【点睛】本题主要考查正方形的判定和性质，全等三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 【模块十一】 根据正方形方性质与判定求面积 【典例11】如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】全等三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】先利用勾股定理求出的长，再证明四边形是正方形，即可作答． 【详解】在中，，，则：， ∵，，，全等， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 则四边形面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的性质是解答本题的关键． 【变式11-1】（2024-2025杭州萧山区八下月考   ）如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质求面积、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到． 判定四边形是正方形，四边形是矩形，设，，得到，可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， 四边形是正方形，四边形是矩形， 设，，则， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【变式11-2】如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】江苏省无锡市宜兴市2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试题 【知识点】全等三角形的性质、以弦图为背景的计算题、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题主要考查正方形的性质和判定，勾股定理，掌握正方形的判定和性质以及勾股定理是解题的关键． 根据四个全等的直角三角形拼成的图形，可知，，，设，，可用含a，b的式子表示，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，，，， ， 四边形是菱形， ， ，即， 四边形是正方形， ，， ∴设，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形的面积是． 故选：B． 【变式11-3】如图，语文中的汉语拼音书写是由等距离、等长度的四线三格平行横线组成，已知相邻两条平行线间的距离都是1，正方形的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，过点D作，垂足为，延长交于点E，易证，根据正方形的性质可证，得到，由，利用勾股定理得出，再根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为，延长交于点E， ，， ， 已知相邻两条平行线间的距离都是1，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 正方形面积是， 故选：D． 【模块十二】 根据正方形性质与判定进行证明 【典例12】（2025·河北邯郸·三模）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在，上，点G在的延长线上，且 (1)直接写出和的数量关系及位置关系； (2)尺规作图：以线段为边作出正方形（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）； (3)连接（2）中的，猜想并写出四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想： 【答案】(1)， (2)作图见解析 (3)四边形为平行四边形，证明见解析 【分析】（1）通过已知条件证明据此判断即可； （2）①用弧线表示边相等，直接画图即可； ②找到一组对边平行且相等来证明平行四边形即可． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图所示： （3）解：四边形是平行四边形， 证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是通过证三角形全等得出结论． 【变式12-1】如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【来源】陕西省榆林市2025-2026学年上学期期中调研试题九年级数学 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一”得到，从而是矩形，由直角三角形斜边上中线的性质得到，从而得到矩形是正方形； （2）先由勾股定理求得，进而得到，根据正方形的性质得到，，因此，，证明得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴是矩形， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质及正方形的性质是解题的关键． 【变式12-2】如图①，在正方形中，点分别在上且．      (1)试探索线段的大小关系，写出你的结论并说明理由； (2)连接，分别取的中点，顺次连接，得到四边形： ①请在图②中补全图形； ②四边形是什么特殊平行四边形？请说明理由． 【答案】(1)，说明理由见解析 (2)①请在图②中补全图形见解析； ②四边形是正方形，说明理由见解析 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）根据已知利用判定，由全等三角形的判定方法可得到； （2）①根据题意补全图形即可； ②根据已知可得都是中位线，由全等三角形的判定可得到四边形四边都相等且有一个角是直角，从而来可得到该四边形是正方形． 【详解】（1）解：． ∵是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①补全图形如图，    ②四边形是正方形． ∵H、I、J、K分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【点睛】此题主要考查正方形的判定的方法与性质和菱形的判定，及全等三角形的判定等知识点的综合运用． 【变式12-3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作，对角线，相交于点G (1)连接，若，则___（用含m的代数式表示）； (2)证明：； (3)若点为的中点，求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）先利用正方形的性质，矩形的性质，说明O为中点，G为中点，从而可得是中位线，根据中位线的性质可得，从而可得， 故答案为： （2）先证明四边形是正方形，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，进面可得； （3）先根据正方形的性质得出，，再设，从而可用表示出，借助勾股定理可用表示出，再用表示出，即可求得． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，即O为中点， ∵四边形是矩形， ∴，即G为中点， ∴是中位线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点P作于点M，于点， ， ∵四边形是正方形， ∴，平分，垂直平分， ，， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点P作于点M，于点N， 由（2）得，四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，中位线定理，全等三角形的判定与性质综合（），解题关键是掌握上述知识点求解． 【模块十三】正方形中的多结论问题 【典例13】如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质与判定证明 【分析】根据正方形的性质，可证，，，，由此即可求解． 【详解】解：正方形中，点是边的中点， ∴，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，，为公共边， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论②正确； ∵与是等底等高的两个三角形， ∴与的面积相等，，即， ∵，， ∴，故结论③正确； 由结论①，②可知，， ∵， ∴， ∴．故结论④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判断和性质，等底等高的两个三角形面积相等知识的综合，掌握正方形的性质，三角形全等的判断和性质是解题的关键． 【变式13-1】如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为；③当P在运动过程中，的最小值为；④当时，，其中结论正确的有（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】①由矩形的性质得到，根据折叠的性质得到， ，，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形 为正方形；故①正确；②过作于，得到， ，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到的面积为 ，故②错误；③连接，于是得到，即当 时，取最小值，根据勾股定理得到的最小值；故③错误； ④根据已知条件推出，，三点共线，根据平行线的性质得到，等量代换得到 ，求得，根据勾股定理得到，故④正确． 【详解】解：①四边形是矩形， ， 将沿折叠得到， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形为正方形；故①正确； ②过作于， 点，点， ，， ，， ， ， 的面积为，故②错误； ③连接， 则， 即当时，取最小值， ，， ， ， 即的最小值为；故③错误； ④， ， ， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 【变式13-2】如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积为3．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD； ②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长； ③作FG⊥CO交CO的延长线于G，过D作DH⊥AE于H，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据正方形的性质可得DH=OH=1，根据勾股定理可求CF，AD，即可求解； ④根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：①∵四边形OABC和四边形ODEF是正方形，A，O，E共线， ∴∠AOC=90°，∠DOE=45°， ∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，故正确； ②∵EF=， ∴OE==2， ∵AO=AB=3， ∴AE=AO+OE=2+3=5，故正确； ③作FG⊥CO交CO的延长线于G，过D作DH⊥AE于H， 四边形DOFE为正方形 ， OH=DH=OE=1， ∠GOF=45°， 则FG=1， ∴CF===， AD===， 即CD=AD=，故错误； ④△COF的面积S△COF=×CO×GF=×3×1=，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度． 【变式13-3】如图，在正方形中，对角线，交于点，点，分别在，上，且，交于点，连接．得到下列四个结论：①；②；③;④四边形是菱形，其中正确的结论是_____(填写所有正确结论的序号)． 【答案】①③④ 【分析】由正方形的性质及，可判断①；证明，可判断②；通过全等三角形的性质及等腰三角形的判定可证得，从而判定四边形是菱形，故④可判断；由，为等腰直角三角形，可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故④正确； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴③正确． 综上，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查正方形的性质，菱形的判定，勾股定理，等腰三角形,全等三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 【模块十四】中点四边形 【典例14】（2025·河南南阳·二模）（1）如图①点E、F、G、H分别是菱形各边中点，可判定四边形的形状为_________； （2）如图②点E，F，G，H分别是四边形各边中点，且对角线，判定四边形的形状，并证明； （3）在（2）的条件下，请对四边形增添一个条件，使四边形为正方形．（直接写出所添条件） 【答案】【小问1】矩形 【小问2】四边形为矩形；理由见解析 【小问3】当时，四边形是正方形． 【分析】（1）先根据菱形证得，再根据中位线定理证得，，同理，，，从而可得，，于是可证得四边形是平行四边形，再证明，从而可得四边形是矩形； （2）根据三角形中位线定理证得四边形为平行四边形，再根据证明平行四边形EFGH为矩形； （3）根据正方形的判定定理解答即可． 【详解】（1）解：连接、， 四边形是菱形， ， 、F分别是、上的中点， ，， 同理，，， 则，， 四边形是平行四边形， 、G分别是、的中点， ， 又，， ， 四边形是矩形． 故答案为：矩形； （2）四边形为矩形． 证明：点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 平行四边形EFGH为矩形； （3）当时，四边形是正方形， 理由如下：由（2）得四边形是矩形， 由（2）得，， 添加， ， 矩形为正方形． 【点睛】本题考查了中点四边形，正方形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定定理，三角形中位线定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式14-1】中点四边形的形状． （1）以四边形各边的中点为顶点可以组成一个________． （2）以菱形各边的中点为顶点可以组成一个________． （3）以矩形各边的中点为顶点可以组成一个________． （4）以平行四边形各边的中点为顶点可以组成一个________． （5）以正方形各边的中点为顶点可以组成一个________． 【答案】     平行四边形     矩形     菱形     平行四边形     正方形 【分析】结合平行四边形，矩形，菱形，正方形定义，新四边形的形状与原四边形的两条对角线的关系，即可判断出新四边形的形状 【详解】（１）如图， 四边形是一般四边形时，连接各边中点，得到四边形 ,根据中位线性质得到 , ，所以，同理可得 ， ，得 ，所以 为平行四边形， （２）如图， 四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形 , 根据中位线性质得到 , ，所以，同理可得 ， ，得 ，所以 为平行四边形，又因为是菱形，所以 ，则 ，所以为矩形． （3）如图， 四边形是矩形时，连接各边中点，得到四边形 ,根据中位线性质得到 , ，所以，同理可得 ， ，得 ，所以 为平行四边形，又因为是矩形，所以 ，则 ，所以为菱形． （4）如图， 四边形是平行四边形时，连接各边中点，得到四边形 ,根据中位线性质得到 , ，所以，同理可得 ， ，得 ，所以 为平行四边形． （５）如图， 四边形是正方形时，连接各边中点，得到四边形 ,根据中位线性质得到 , ，所以，同理可得 ， ，得 ，所以 为平行四边形，又因为是正方形，所以 ， 则 ， ，所以为正方形． 故答案为：平行四边形，矩形，菱形，平行四边形，正方形 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握每一个图形的判定． 【变式14-2】（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了中点四边形、勾股定理的逆定理、三角形中位线定理、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识成为解题的关键． 如图：连接，设交于点O，证明四边形是矩形，然后逐个判断即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，故①正确； ∴，故③正确； ∴，若，则，故④正确； ∵，， ∴， ∴四边形不是正方形，故②错误， 综上可知，正确的有①③④． 故答案为①③④． 【变式14-3】如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形 【答案】D 【难度】0.85 【来源】湖北省武汉市二中广雅学校2024~2025学年下学期八年级四月数学试卷 【知识点】中点四边形、证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形和矩形的判定．连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到四边形为平行四边形，再根据菱形和矩形的判定定理，解答即可． 【详解】解：如图，连接， 若E，F，G，H分别是上的点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故D选项错误，符合题意； 当时， ∴四边形为菱形，故A选项正确，不符合题意； 当时，， ∴四边形为矩形，故B选项正确，不符合题意； 若E，F，G，H不是各边中点， 当时，四边形为平行四边形，故C选项正确，不符合题意； 故选：D 专题攻坚·多题归一 【微专题一】正方形中的折叠问题 《方法技巧》 正方形中的翻折问题（几何折叠问题）是初中数学和中考的热点，它综合了轴对称性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形、三角函数等多个知识点.翻折的本质是轴对称变换，要抓住以下不变性： 1.全等：翻折前后的图形全等，即对应边、对应角相等。 2.对称轴垂直平分对应点连线：折痕是两对称点连线的垂直平分线。 3.翻折后点的位置：一般在正方形的边或延长线上，需分类讨论。 4.引入变量：常设未知线段，利用勾股定理列方程。 【典例15】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）在正方形中： (1)如图1，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么______（填“＝”、“＞”、“＜”）； (2)如图2，如果点、、、分别在、、、上，且，垂足为，那么_____（填“＝”、“＞”、“＜”）； (3)如图3，在（2）的条件下，当点在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．那么四边形是正方形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形是正方形，证明过程见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，翻折，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）作辅助线，证明三角形全等，可得对应边相等，即可得出结论； （2）作辅助线，证明三角形全等，可得对应边相等，即可得出结论； （3）作辅助线，证明三角形全等，可得对应边相等，根据翻折的性质可知四边形的边长相等，结合内角是直角，即可证得四边形是正方形． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， 作于点，则，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，，， 作于点，交于点，作于点，则 ，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：四边形是正方形． 证明：∵四边形是正方形， ∴，平分， 作于点，作于点，则 ，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴ 将沿着翻折，点落在点处， ∴，， ， 四边形是菱形， ∵， 四边形是正方形． 【变式15-1】如图，在正方形纸片中，，点E在边上，且，将沿所在直线折叠，点D的对应点为点F，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据折叠的性质，正方形的性质，推出，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可； （3）由（2）可得，进而得到，得到，三角形的外角得到，全等三角形的性质，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式15-2】如图，在一张矩形纸片中，，，点E，F分别在，上，将沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处．设线段的长度为m，则m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】 江苏省镇江市句容市2024-2025学年八年级下学期期末测试数学试题 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，正方形的性质，当点H与点A重合时，有最小值，由勾股定理可求的最小值，若点与点重合时，有最大值，由正方形的性质可求的最大值． 【详解】解：当点H与点A重合时，有最小值， ，则， 在中，， 即， 解得， ∴， 若点与点重合时，有最大值， ∴四边形是正方形， ∴， ∴最大值为4， ∴， 故答案为：． 【变式15-3】（2025·安徽·模拟预测）如图，在矩形中，，，点分别在边上，沿着折叠矩形，使点分别落在处，且点在线段上（可与点重合），过点作于点，连接． （）当与重合时， ； （）若四边形为正方形，则 ． 【答案】 【分析】（）利用矩形和折叠的性质可得，，设，则，在中，根据勾股定理可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，即得，再根据勾股定理计算即可求解； （）连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解； 此题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质等，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：（）当与重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，连接， 当四边形为正方形时，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【微专题二】 正方形中的旋转 【典例16】（2025·四川甘孜·三模）如图1，点E为正方形内一点，，，，将绕点A逆时针方向旋转，点B、E的对应点分别为点、． (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】(1) (2)四边形是正方形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理，全等三角形的性质与判定等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）根据求出，进而求出，结合即可求解； （2）由旋转的性质得，，，即可求解； （3）当时，与E重合，最短；当落在的延长线上时，最长．据此即可求解； 【详解】（1）∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （3）解：当没有旋转时，过点C作于点G，连接，如图3所示，则， 在中，由勾股定理得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； ∵， ∴， 在和△中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点A逆时针方向旋转，点B、E的对应点分别为点、， ∴当时，与E重合，最短，此时， 当落在的延长线上时，最长， 由旋转的性质可得， ∴， ∴线段长度的取值范围为． 【变式16-1】如图，是正方形内一点，以为一条边作正方形，连接和．根据旋转知识，给出下列四个说法：①；②； ③若点恰好落在边上时，则； ④若，则．其中正确说法的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由“SAS”可证△ABK≌△ADM，可得把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合，且BK与DM是对应边，可得BK＝DM，BK⊥DM，故①②正确；由正方形的性质可得∠MAD＝∠MAL＝45°，可求∠MAB＝135°，故③正确；先求出∠KAB＝30°，由AK不一定等于BK，可得∠KBA不一定等于∠KAB＝30°，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD和四边形AKLM都是正方形， ∴AB＝AD，AK＝AM，∠BAK＝90°−∠DAK，∠DAM＝90°−∠DAK， ∴∠BAK＝∠DAM， 在△ABK和△ADM中， ， ∴△ABK≌△ADM（SAS）． ∴把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合， ∴BK＝DM，BK⊥DM，故①②正确； ∵点L恰好落在AD边上， ∴∠MAD＝∠MAL＝45°， ∴∠MAB＝∠MAD＋∠DAB＝135°，故③正确； ∵∠MAB＝120°，∠MAK＝90°， ∴∠KAB＝30°， ∵K是正方形ABCD内一点， ∴AK不一定等于BK， ∴∠KBA不一定等于∠KAB＝30°，故④错误， 综上所述：正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，证明△ABK≌△ADM是解题的关键． 【变式16-2】【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 【答案】(1)补全图形见解析，，证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据题意补全图形，利用证明即可证明； （2）连接，，利用正方形的性质求得，，由，推出，，证明，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）当点运动到线段上时，有最小值，当点运动到延长线上时，有最大值，据此画出图形，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： .证明如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，， ∵正方形和正方形，，，， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴； （3）解：如图， 当点运动到线段上时，有最小值， 最小值， ∴的最小值， 如图， 当点运动到延长线上时，有最大值， 最大值， ∴的最在值， ∴的面积的取值范围为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解一元二次方程．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【变式16-3】问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图，边长为的正方形的对角线相交于点，分别延长到点，到点，使，再以为邻边做正方形，连接；    (1)解决问题：与之间的数量关系是______，位置关系是______； (2)深入研究：如图正方形固定不动，将正方形绕点顺时针方向旋转，判断与的关系，并证明： (3)拓展延伸：如图，在正方形旋转过程中，分别交于点，连接．当时，求的值． 【答案】(1)，； (2)，，证明见解析； (3)． 【分析】（）延长交于，根据证，得，，推出 ，即可得出； （）连接，设与相交于点，根据证，得，再根据角的代换得出即可； （）连接，根据证，得出，当时，得出，，的值即可得出面积和； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，延长交于，    ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，， 又∵ ∴， ∴，， 即， 又∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：，； （2）解：，． 证明：连接，设与相交于点，    ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接，    ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【微专题三】正方形中的最值 《方法点拨》 正方形与最值问题在初中数学（尤其是中考）和高中数学中都很常见。它往往结合了几何性质、代数建模、函数思想和重要不等式。处理正方形中的最值问题，通常有两条主线： 1. 几何法：利用正方形的对称性、旋转全等、定点到定直线距离、圆的相关性质（如直径所对圆周角为直角）、三角形三边关系等，将动态线段最值转化为基本几何模型。 2.代数（坐标）法：建立合适的平面直角坐标系，将几何量表示为函数，然后利用配方法、二次函数性质、基本不等式等求最值。 【典例17】（2026·陕西·一模）如图，矩形中，，，若点为线段上动点，以为斜边向矩形内部作等腰直角，，连接，当有最小值时，点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据轴对称图形的特征转化为最短线段.题为求的最小值，即可转化为求的最小值，当共线时，利用等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长使，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当共线且时，有最小值，最小值为， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点到直线的距离为,即中边上的高， ， 解得:． 故点到直线的距离为． 【变式17-1】（2025-2026湖北省武汉市八上月考 ）如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质与判定求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长. 【详解】： 连接，      ∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边， ∴， ， ∴四边形为正方形， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴与关于对称， ∴， ∴， ∴有最小值为， 故选： B． 【变式17-2】如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MC＝BC＝3，即可得出结果． 【详解】连接MC，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°，∠DBC＝45°， ∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F， ∴四边形MECF为矩形， ∴EF＝MC， 当MC⊥BD时，MC取得最小值， 此时△BCM是等腰直角三角形， ∴MC＝BC＝＝3， ∴EF的最小值为3. 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键． 【变式17-3】如图，正方形的边长为12，点、分别为、上动点（、均不与端点重合），且，是对角线上的一个动点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】作点E关于的对称点，则，，连接交AC于点P，过F作的垂线交于点G，则即为所求，由即可求出的长，再由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：作点E关于的对称点，连接、，过F作于点G，当、、在同一直线上时，，此时最小，即即为所求． ∵四边形是正方形， ∴， ∴点在边上． ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是最短路线问题，矩形的判定与性质，勾股定理及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 【微专题四】正方形背景下的规律探索 【典例18】（ 2026年江西中考原创仿真冲刺卷 ）如图，正方形ABCD的面积为4，分别取AB，BC，CD，DA的中点得到正方形；再分别取，的中点得到正方形；…．以此类推，正方形．的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索、根据正方形的性质求面积 【分析】首先由勾股定理求得，即可求得正方形与正方形的面积，然后得规律：正方形的面积为． 【详解】解：正方形的面积为4， ． 又分别是AB，BC，CD，DA的中点， ． 同理可得，， ， 四边形是边长为的正方形，其面积为． 同理可得，的面积为， 四边形的面积为． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质以及勾股定理，属于规律性题目，得到规律求正方形的面积是解题的关键． 【变式18-1】如图，正方形中，，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形…，依此规律，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形得，，，根据平行线的性质得，则，，同理得，，，即，由此即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，，，…，即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，含角的直角三角形得性质，勾股定理的应用，平行线的性质的综合应用，解题的关键是求出后一个正方形得边长是前一个正方形的边长的倍． 【变式18-2】如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1，以AB为对角线作第二个正方形AEBF，以EB为对角线作第三个正方形EGBH，以此类推，则第n个正方形的面积是_______ ． 【答案】 【分析】由正方形ABCD的边长为1，求出，，分别算出第二个、第三个正方形的面积，即可推导得出答案； 【详解】∵正方形ABCD的边长为1， ∴，， ∴， ， ∴，， , ， ∴． 故答案是： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，准确分析计算是解题的关键． 【变式18-3】如图，四边形 是边长为 的正方形，以对角线 为边作第二个正方形 ，连接 ，得到 ；再以对角线 为边作第三个正方形 ，连接 ，得到 ，再以对角线 为边作第四个正方形 ，连接 ，得到 ，设 ，的面积分别为 ，如此下去，则 的值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意求出，根据面积的变化规律总结的关系式即可得出答案． 【详解】解：四边形是边长为的正方形， ， ， ， ， ， ， ， 同理可求： ， ， …… ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和三角形面积的计算是解题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】正方形背景下的动点问题 【典例19】（2025·江西抚州·一模）如图，在平行四边形中，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点的运动时间为，在此运动过程中，当时，整数的值为 ． 【答案】3或6或9 【分析】本题考查平行四边形中的动点问题，涉及平行四边形的判定与性质、两个直角三角形全等的判定与性质、一元一次方程的应用，根据题意，分三种情况：①当时；②当时；③当时，画出图形，数形结合，列方程求解即可得到答案．解题的关键是分类讨论思想的应用． 【详解】解：由已知可得，从需，从（或从）需， 设点的运动时间为， ①当时， 过作于，过作于，如图所示： ， ， 由点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动， 则， 在平行四边形中，， 四边形是平行四边形， 在和中， ， ∴， 在平行四边形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得（不是整数，舍去）； 当四边形是平行四边形时，如图所示： 此时， ∴， 解得， ∴为3时，； ②当时，若四边形是平行四边形，如图所示： 此时， ∵， ∴， ∴， 解得； 由①知，若四边形中，，，时，则， 这种情况在时不存在； ∴为6时，； ③当时，若四边形是平行四边形，如图所示： 此时， ∴， 解得， ∴为9时，； 综上所述，为3或6或9时，， 故答案为：3或6或9． 【变式19-1】如图，是矩形边的中点，是边上一动点，，，垂足分别为，． (1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形是矩形？请予以证明； (2)在（1）中，动点运动到什么位置时，矩形变为正方形？为什么？ 【答案】(1)当时，四边形是矩形，证明见解析； (2)在（1）中，动点运动到中点时，矩形变为正方形，证明见解析， 【分析】（1）根据矩形的性质可知当时，满足题意，证明，可得，根据可得，则，即可求解； （2）要使四边形是正方形，则,则在的角平分线上，根据等腰三角形的性质即可求解． （1）当时，四边形是矩形 证明：四边形是矩形， ， 是矩形边的中点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； 当时，四边形是矩形， （2）动点运动到中点时，矩形变为正方形， 证明：由（1）可知， 是等腰直角三角形， 要使四边形是正方形，则, ，， 在的角平分线上， ， ， 动点运动到中点时，矩形变为正方形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 【变式19-2】如图，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F． （1）探究OE与OF的数量关系并加以证明； （2）四边形BCFE会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理由； （3）当点O运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由； （4）在（3）问的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？ 【答案】（1）OE=OF，证明见解析；（2）不是，理由见解析；（3）点O运动到AC的中点，理由见解析；（4）∠ACB为直角，理由见解析 【分析】（1）由已知MN∥BC，CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO． （2）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直． （3）由（1）得出的EO=CO=FO，点O运动到AC的中点时，则由EO=CO=FO=AO，所以这时四边形AECF是矩形． （4）由已知和（3）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形． 【详解】解：（1）OE=OF， 理由：∵MN∥BC， ∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF， 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO， ∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF， ∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC， ∴EO=CO，FO=CO， ∴OE=OF； （2）不可能． 如图所示，连接BF， ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°， 若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC， 但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形． （3）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形． 理由如下： ∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO， 又∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵FO=CO， ∴AO=CO=EO=FO， ∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF， ∴四边形AECF是矩形； （4）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形． ∵由（3）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形， 已知MN∥BC，当∠ACB=90°， 则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°， ∴AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形． 【点睛】此题考查的是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是由已知得出EO=FO，然后根据（1）的结论确定（3）（4）的条件． 【变式19-3】如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)四边形的面积不会发生变化，始终等于4 【难度】0.85 【来源】河北省石家庄市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明 【分析】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点O作于点M，于点N，证明四边形是正方形，得，，再根据得，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得，则正方形的面积为4，由（1）可知和全等，则，由此得． 【详解】（1）解：过点O作于点M，于点N，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当点E在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： ∵四边形是正方形，点为对角线的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴ 则 由（1）得 ∴ 由（1）得，矩形是正方形， 则． 【压轴二】正方形的存在性问题 【典例20】如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，使为菱形 (2) (3)不存在，使为正方形 【分析】本题考查四边形中的动点问题，解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置 （）利用菱形的判定和性质进行求解即可； （）利用矩形的判定和性质进行求解即可； （）利用正方形的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：不存在，理由： ∵，，过作于，则四边形是矩形， ∴，.， 又∵， ∴， 根据勾股定理，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 此时，， 而， ∴四边形不可能是菱形； （2）如图，∵，； ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）由当时，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形不能是正方形， 即不存在时间，使四边形是正方形 【变式20-1】如图，在中，点D，E分别是边BC，AC的中点，AD与BE相交于点点F，G分别是线段AO，BO的中点． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）如图2，连接CO，若，求证：四边形DEFG是菱形； （3）在（2）的前提下，当满足什么条件时，四边形DEFG能成为正方形．直接回答即可，不必证明 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析. 【分析】(1)由三角形中位线性质得到，，故四边形DEFG是平行四边形；（2）同（1），由，证，得到菱形；（3）当时，四边形DEFG为正方形：点D，E分别是边BC，AC的中点，得点O是的重心，证，，结合平行线性质证，结合（2）可得结论. 【详解】解：（1）点D，E分别是边BC，AC的中点， ，， 点F，G分别是线段AO，BO的中点， ，， ，， 四边形DEFG是平行四边形； （2）点F，E分别是边OA，AC的中点， ， ，， ， 平行四边形DEFG是菱形； （3）当时，四边形DEFG为正方形， 理由如下：点D，E分别是边BC，AC的中点， 点O是的重心， ， ， ， ， ， ， 菱形DEFG为正方形． 【点睛】本题考核知识点：三角形中位线，菱形，正方形. 解题关键点：由所求分析必要条件，熟记相关判定定理． 【变式20-2】如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，使为菱形 (2) (3)不存在，使为正方形 【难度】0.4 【来源】广东省梅州市兴宁市宋声学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题考查四边形中的动点问题，解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置 （）利用菱形的判定和性质进行求解即可； （）利用矩形的判定和性质进行求解即可； （）利用正方形的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：不存在，理由： ∵，，过作于，则四边形是矩形， ∴，.， 又∵， ∴， 根据勾股定理，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 此时，， 而， ∴四边形不可能是菱形； （2）如图，∵，； ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）由当时，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形不能是正方形， 即不存在时间，使四边形是正方形 【变式20-3】如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论． (3)当点O运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点O运动到的中点时，四边形是矩形，见解析 (3)当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形，见解析 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出，，得出，同理得出，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论； （3）当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形．由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形，由平行线的性质得出，得出，即可证明． 【详解】（1）解： ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴． （2）解：当点O运动到的中点时，四边形是矩形． ∵当点O运动到的中点时，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 由（1）可知，， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形． （3）解：当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形． ∵由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定定理；熟练掌握平行线的性质和矩形、菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 通关检测·实战演练 1． 选择题 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，正方形的性质即可求解． 【详解】解：矩形的性质，两组对边平行且相等，对角线相等且相互平分，四个角都相等且都是直角；正方形的性质，四边都相等且两组对边相互平行，对角线相等且相互平分，四个角都相等且都是直角， ∴正方形的四条都相等，是矩形没有的， 故选：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，正方形的性质，掌握几何图形的性质是解题的关键． 2．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接、，，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据SAS证出△AED≌△CED，可得∠EAD=∠ECD，根据正方形的对角线性质以及∠BCE=70°可求∠BEC的度数，再根据三角形外角与内角的关系可求∠ECD的度数，最终可求出∠EAD的度数． 【详解】解：∵正方形ABCD， ∴∠ADE=∠CDE=∠EBC=45°，AD=CD， ∵DE=DE， ∴△AED≌△CED（SAS）， ∴∠EAD=∠ECD， 又∵∠BCE=70°， ∴∠BEC=65°， ∵∠BEC=∠CDE+∠ECD， 即65°=45°+∠ECD， ∴∠ECD=20°， ∴∠EAD=20°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查正方形对角线平分对角的性质，解题的关键还需要借助三角形外角与内角的关系，再灵活运用三角形全等进行转化． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点均在坐标轴上，则点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作轴，垂足为E，证明，得到，计算的长即可． 【详解】如图，过点C作轴，垂足为E． ∵四边形是正方形，点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，线段与坐标的关系，熟练掌握正方形的性质，准确理解线段与坐标的关系是解题的关键． 4（2025·陕西渭南·一模）如图，是正方形的一条对角线，延长至点E，使得，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，根据正方形的性质，得到，等边对等角，得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵是正方形的一条对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 5．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4+．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③ 【分析】①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB； ②由①可得∠BEP＝90°，故BE不垂直于AE过点B作BF⊥AE延长线于F，由①得∠AEB＝135°所以∠EFB＝45°，所以△EFB是等腰Rt△，故B到直线AE距离为BF＝，故②是错误的； ③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确； ④连接BD，根据三角形的面积公式得到S△BPD＝PD×BE＝，所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2+，由此即可判定． 【解答】解：∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°， ∴∠EAB＝∠PAD， 又∵AE＝AP，AB＝AD， ∵在△APD和△AEB中，， ∴△APD≌△AEB（SAS）；故①正确； 由△APD≌△AEB得，∠AEP＝∠APE＝45°，从而∠APD＝∠AEB＝135°， 所以∠BEP＝90°， 过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离， 在△AEP中，由勾股定理得PE＝， 在△BEP中，PB＝，PE＝，由勾股定理得：BE＝， ∵∠PAE＝∠PEB＝∠EFB＝90°，AE＝AP， ∴∠AEP＝45°， ∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°， ∴∠EBF＝45°， ∴EF＝BF， 在△EFB中，由勾股定理得：EF＝BF＝， 故②是错误的； 因为△APD≌△AEB，所以∠ADP＝∠ABE，而对顶角相等，所以③是正确的； 连接BD，则S△BPD＝PD×BE＝， 所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2+， 所以S正方形ABCD＝2S△ABD＝4+所以④是正确的； 综上可知，正确的有①③④， 故选：C． 二．填空题 6.如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，，，垂足分别为F、G，已知，，则的长度为 ．    【答案】 【分析】连接，，根据正方形的性质证明，进而证明四边形是矩形，勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，    四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等． 7.如图，正方形的边长为2，点E在边上，交的延长线于点F，则四边形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，由正方形中，，易证得，即可得四边形的面积正方形的面积，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：4． 8.正方形中，点是边上一点，连接，，点是直线上的一点，，连接，则 度． 【答案】25或45 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等待，分点N在线段上和点N在线段延长线上，两种情况画出对应的示意图讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当点N在线段上时， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图所示，当点N在线段延长线上时， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的度数为25度或45度， 故答案为：25或45． 9如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．在的右侧构造等腰直角三角形，连接，证明，求出，再根据可得结论． 【详解】解：如图，在的右侧构造等腰直角三角形，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为； 故答案为：． 10．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论： ①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+． 其中正确结论的序号是 　　． 【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等； ②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF； ③利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP＝90°，即可证； ④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可； ⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积． 【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°， ∴∠EAB＝∠PAD， 又∵AE＝AP，AB＝AD， ∵在△APD和△AEB中， ， ∴△APD≌△AEB（SAS）； 故此选项成立； ③∵△APD≌△AEB， ∴∠APD＝∠AEB， ∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE， ∴∠BEP＝∠PAE＝90°， ∴EB⊥ED； 故此选项成立； ②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F， ∵AE＝AP，∠EAP＝90°， ∴∠AEP＝∠APE＝45°， 又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF， ∴∠FEB＝∠FBE＝45°， 又∵BE＝＝＝， ∴BF＝EF＝， 故此选项不正确； ④如图，连接BD，在Rt△AEP中， ∵AE＝AP＝1， ∴EP＝， 又∵PB＝， ∴BE＝， ∵△APD≌△AEB， ∴PD＝BE＝， ∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+）﹣××＝+． 故此选项不正确． ⑤∵EF＝BF＝，AE＝1， ∴在Rt△ABF中，AB2＝（AE+EF）2+BF2＝4+， ∴S正方形ABCD＝AB2＝4+， 故此选项正确． 故答案为：①③⑤． 三．解答题 11．如图，在矩形中，点E、F分别在、上，且，垂足为M． (1)若矩形为正方形，求证：； (2)若，求证：矩形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，，推出，进而证明，从而得出结论； （2）同（1）推出，进而证明，从而得出，进一步得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又四边形是矩形， 四边形是正方形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是根据角的数量关系推出角相等． 12．如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H． （1）求证：∠DAG＝∠EGH； （2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由． 【分析】（1）直接由平行公理的推理即可解答． （2）先连接CG，然后根据正方形的性质得出△ADG≌△CDG，从而得到∠DAG＝∠DCG．再证明∠EGH＝∠DCG＝∠OEC即可． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD， ∴∠ADE＝∠GEC＝90°， ∴AD∥GE， ∴∠DAG＝∠EGH． （2）解：AH⊥EF，理由如下． 连结GC交EF于点O，如图： ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ADG＝∠CDG＝45°， 又∵DG＝DG，AD＝CD， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG＝∠DCG． 在正方形ABCD中，∠ECF＝90°， 又∵GE⊥CD，GF⊥BC， ∴四边形FCEG为矩形， ∴OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∴∠DAG＝∠OEC， 由（1）得∠DAG＝∠EGH， ∴∠EGH＝∠OEC， ∴∠EGH+∠GEH＝∠OEC+∠GEH＝∠GEC＝90°， ∴∠GHE＝90°， ∴AH⊥EF． 13正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． (2)当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 【答案】(1) (2)面积不发生变化，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质； （1）先根据正方形的性质得到，，，再证明得到，所以重叠部分四边形的面积； （2）先根据正方形的性质得到，，，，再证明得到，所以重叠部分四边形的面积，于是判断四边形的面积不发生变化． 【详解】（1）解：如图1，四边形和四边形都为正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 故答案为：； （2）解：四边形的面积不发生变化． 理由如下： 四边形和四边形都为正方形， ，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 即四边形的面积不发生变化． 14四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F． （1）如图1，若点F在边BC上，求证DE＝EF； （2）以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①如图2，若AB＝4，CE＝3，求CG的长度； ②当线段DE与正方形ABCD一边的夹角是35°时，直接写出∠EFC的度数． 【分析】（1）连接BE，由正方形的对称性得∠EBF＝∠EDC，再根据四边形的内角和定理可证明∠CDE+∠CFE＝180°，进而证得∠EBF＝∠EFB，得BE＝EF，便可得DE＝EF； （2）①证明△ADE≌△CDG得CG＝AE，求出AE的长度便可； ②分两种情况：∠ADE＝35°或∠CDE＝35°，分别根据四边形的内角和，三角形的内角和求得结果便可． 【解答】（1）证明：连接BE，如图， ∵直线AC是正方形ABCD是正方形， ∴∠EBF＝∠EDC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCF＝90°， ∵DE⊥EF， ∴∠DEF＝90°， ∴∠CDE+∠CFE＝360°﹣（∠DCF+∠DEF）＝180°， ∵∠CFE+∠EFB＝180°， ∴∠EBF＝∠EFB， ∴BE＝EF， ∴DE＝EF； （2）解：①∵四边形DEFG为矩形，DE＝EF， ∴四边形DEFG为正方形， ∴DE＝DG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°＝∠EDC， ∴∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∵AB＝4， ∴AC＝AB＝4， ∵CE＝3， ∴CG＝AE＝AC﹣CE＝； ②当∠AED＝35°时，如图， ∠CDE＝90°﹣∠AED＝55°， ∵∠CDE+∠EFC＝180°， ∴∠EFC＝125°， 当∠CDE＝35°时，如图， ∵∠DEH＝∠HCF＝90°，∠DHE＝∠CHF， ∴∠EFC＝∠CDE＝35°， 综上，∠EFC＝125°或35°． 15.综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． (1)操作判断如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为，即可得到正方形，沿剪开，将正方形折叠使边，都落在正方形的对角线上，折痕为，，连接，如图2．根据以上操作，则＝ °． (2)迁移探究 将图2中的绕点按顺时针旋转，使它的两边分别交边，于点，，连接， 如图3．探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 连接正方形对角线，若图3中的的边，分别交对角线于点，，将正方形纸片沿对角线剪开，如图4，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)45 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质及折叠的性质可得出答案； （2）将顺时针旋转得到，证明，得出，则可得出结论； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，证出，由勾股定理可得出答案 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， 由折叠得，， ∴， 故答案为：45． （2）． 理由：如图，将顺时针旋转90°得到， 由旋转的性质可得，，． ∵四边形为正方形， ∴， 由（1）中结论可得， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）． 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， 根据旋转的性质可得，． 由（2）中的结论可证， ∴． ∵，， ∴． 在中，， ∴， ∴． 【点睛】此题是几何变换综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 16．将边长为4的正方形与边长为5的正方形按图1位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．将正方形绕点逆时针旋转一周，直线与直线交于点， （1）与的数量关系：______；与的位置关系：______． （2）如图2，当点在线段上时，求的面积． （3）连结，当时，求的值．    【答案】（1）相等；垂直；（2）；（3）． 【分析】（1）由题意可得△DAG≌△BAE，从而可得DG=BE，再利用全等三角形的性质和直角三角形的知识可以得知DG⊥BE； （2）连结AC交DG于点 O，则由勾股定理可得OG的长度，从而得到△ADG 的面积； （3）连结GE并旋转△PGF至△HEF，由勾股定理即可得到正确解答． 【详解】（1）在△DAG与△BAE中，DA=BA，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE， ∴△DAG≌△BAE， ∴DG=BE，∠DGA=∠BEA， ∴∠BEA+∠GDE=∠DGA+∠GDE=90°， ∴∠DPE=90°，∴DG⊥BE； （2）如图，当在线段上时，连结交DG于点，则， ， （3）如图，连结，以F为中心旋转△FGP至△FEH， 则与（1）类似有△DAG≌△BAE，∴∠DGA=∠BEA， ∴∠DGE+∠GEP=∠DGA+45°+∠GEP=45°+∠BEA+∠GEP=45°+45°=90°， ∴∠GPE=90°， ∴， 由旋转性质可知∠FEH=∠FGP， ∴∠FEH+∠FEP=∠FGP+∠FEP=360°-（∠GFE+∠GPE）=360°-180°=180°， ∴P、E、H三点共线，且是等腰直角三角形， ∵PH=PE+EH=PE+GP=， ∴，PF=7． 【点睛】本题考查正方形的综合应用，灵活运用三角形全等的判定与性质、旋转的性质和勾股定理求解是解题关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.4正方形的性质与判定》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 正方形的性质理解 模块12根据正方形性质与判定进行证明 模块2 利用正方形的性质求角度 模块13正方形中的多结论问题 模块3 利用正方形的性质求线段长 模块14 中点四边形 模块4 利用正方形的性质求面积 微专题1正方形中的折叠问题 模块5 利用正方形的性质进行证明 微专题2正方形中的旋转 模块6求正方形重叠部分面积 微专题3正方形中的最值 模块7添加条件使四边形为正方形 微专题4正方形背景下的规律探索 模块8 证明四边形为正方形 压轴1 正方形背景下的动点问题 模块9根据正方形方性质与判定求角度 压轴2正方形的存在性问题 模块10 根据正方形性质与判定求线段长度 通关检测·实战演练 模块11 根据正方形方性质与判定求面积 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 正方形的有关概念 1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 如果在矩形的基础上证明它是正方形，则需附加一组邻边相等；如果在菱形的基础上证明它是正方形， 则需附加一个角是直角.两者不要混淆. 2.正方形的定义有三个要素：一是平行四边形；二是有一组邻边相等；三是有一个角是直角.三者缺一不可. 3.正方形与其他特殊四边形之间的关系 4.方法总结： (1)正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形和菱形. (2)可以用下图表示平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的从属关系 知识点2正方形的性质 1.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.总结如下： 元素 性质 符号表示 图示 边 对边平行 AB//CD,AD// BC 四条边相等 AB=BC=CD=DA 角 四个角都是直角 ∠ABC=∠BCD= ∠CDA=∠DAB=90° 对角线 对角线相等且互相 垂直平分 AC=BD,AC⊥BD, OA=OB=OC=OD 每一条对角线平分 一组对角 ∠BAC=∠DAC=∠DCA= ∠BCA= ∠ABD=∠CBD=∠CDB=∠ADB=45° 对称性 是轴对称图形,有四条对称轴,是中心对称图 形,对称中心是对角线的交点 2.(1)正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形：每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，解决问题时，通常归结到这些等腰直角三角形中求解， (2)正方形的对角线互相垂直，因此正方形的面积也可以用对角线长乘积的一半来计算， 知识点3 正方形的判定 1.正方形的判定 元素 文字语言 符号语言 基本图形 边 有一组郁边相等 的矩形是正方形 ∵四边形ABCD是矩形,且AD=AB, ∴.矩形ABCD是正方形 角 有一个角是直角 的菱形是正方形 ∵四边形ABCD是菱形,且∠ABC=90°, ∴ 菱形ABCD是正方形 对角 线 对角线互相垂直 平分且相等的四 边形是正方形 ∵在四边形ABCD中, OA=OC, OB=OD,AC⊥ BD,AC=BD, ∴四边形ABCD是正方形 对角线互相垂直 且相等的平行四 边形是正方形 四边形ABCD是平行四边形, 且 AC ⊥BD,AC=BD,∴平行 四边形ABCD是正方形 对角线相等的菱 形是正方形 四边形ABCD是菱形,且 AC=BD, ∴菱形ABCD是正方形 对角线互相垂直 的矩形是正方形 四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD, ∴矩形ABCD是正方形 2.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 模块通关·举一反 三 【模块一】正方形的性质理解 【典例1】矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 【变式1-1】（2025-2026杭州市文澜中学九上月考）正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【变式1-2】（2024-2025山西省吕梁市八下期末）下列有关菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（    ） A．邻边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【变式1-3】（2025-2026枣庄市滕州市九上月考  ）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【模块二】利用正方形的性质求角度 【典例2】（24-25九年级上·山西太原·月考）如图，在正方形的内部作等边三角形，连接，，对角线交于于点，则的度数是 ． 【变式2-1】（2025-2026甘肃省张掖市九 上月考   ）如图，已知P是正方形对角线上一点，连接平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，P为线段上任意一点，分别以、为边在同侧作正方形、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025-2026陕西省榆林市九上期中   ）如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【模块三】利用正方形的性质求线段长 【典例3】（2025·湖南·模拟预测）东汉数学家赵爽在注解《周髀算经》时，创制了一幅“勾股圆方图”（后称“赵爽弦图”），以形证数，巧妙证明了勾股定理．如图，四个全等的直角三角形拼成了“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，，则的长为（      ）     A．2 B． C．3 D． 【变式3-1】（2024-2025宁夏银川外国语实验学校八下期末）如图，在正方形中，，P是边上的动点，于点E，于点F，则的值为（　　） A．4 B． C． D．2 【变式3-2】如图，在正方形中，点在对角线上，，，，分别为垂足，连结，，若，则（    ） A．5 B． C． D． 【变式3-3】（2025-2026陕西省西安九上月考）如图，在正方形中，对角线与相交于点，E为上一点，为的中点．若2，，则正方形边长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．2 【模块四】利用正方形的性质求面积 【方法点拨】求几何图形面积的两种方法 方法1：根据几何图形的面积计算公式，找到相应线段的长度，直接套用公式求出. 方法2：对于一些不规则图形或面积计算公式中所需线段长度计算过于烦项的几何图形，其面积可通过相关几何图形面积的和或差间接求出， 【典例4】（2026·广东中山·模拟预测）如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式4-1】七巧板是由宋代的宴几演变而来的，小明用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（图①），然后拼成飞机（图②），则“飞机尾翼”（阴影部分）的面积为 平方厘米． 【变式4-2】如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是，，那么与的比值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（ 2025-2026福建省漳州市八上期中  ）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为（   ） A．100 B．63 C．58 D．56 【模块五】利用正方形的性质进行证明 【典例5】（2025·湖南益阳·二模）如图，在正方形中，点是边上一点，连接，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式5-1】（2024-2025江苏南通八下作业  ）如图，在边长为4的正方形中，点是边上一点，点是边延长线上一点，，连接，，平分，交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【变式5-2】（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式5-3】如图，在四边形中，，E，F分别是上的点，连接． (1)如图①，，，．求证：； (2)如图②，，周长何时最小，作出图形，并直接写出______° (3)如图③，若四边形为正方形，点E、F分别上，且，若，，请求出线段的长度． 【模块六】求正方形重叠部分面积 【典例6】（21-22八年级下·吉林长春·月考）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的顶点，若两个正方形的边长都是2，则两者重合部分的面积是 ． 【变式6-1】如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是(　　 ) A． B． C．1- D．-1 【变式6-2】（2025-2026江西九江九上期中  ）如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边运动．过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．以为边向其右侧作正方形，设点的运动时间为，正方形与的重叠部分图形的面积为． (1)当点与点重合时，的值为______； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，当平分正方形的边时，直接写出的值． 【模块七】添加条件使四边形为正方形 【典例7】（2025·上海·模拟预测）在平行四边形中，，对角线、相交于点O．若要添加一个条件使四边形为正方形，这个条件可以是 ． 【变式7-1】四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD＝BC，使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC＝BD；②AB＝AD； ③AB＝CD；④AC⊥BD．需要满足（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①②或①④ 【变式7-2】如图，以的三边为边在上方分别作等边，且点在内部．给出以下结论： 四边形是平行四边形； 当时，四边形是矩形； 当时，四边形是菱形； 当，且时，四边形是正方形． 其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．    【变式7-3】（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． 【模块八】证明四边形为正方形 【典例8】（2025·河南郑州·二模）如图，在四边形中，是线段上的任意一点（点与点、不重合），、、分别是、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连接，若，且，求证：四边形是正方形． 【变式8-1】如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上一点，且是等边三角形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求证：四边形是正方形． 【变式8-2】如图，的对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，的长为半径画弧，两弧在下方交于点P，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，且，则四边形是什么图形？并说明理由． 【变式8-3】（2025·山东青岛·一模）如图，在平行四边形中，，、分别是和的中点． (1)判定四边形的形状并证明； (2)给补充一个条件，使得四边形是正方形，并证明． 【模块九】 根据正方形方性质与判定求角度 【典例9】如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 【变式9-1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 【变式9-2】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3，则∠APB=_____________ . 【变式9-3】如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【模块十】根据正方形性质与判定求线段长度 【典例10】如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，那么EF＋EG＝______． 【变式10-1】如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】（ 2025-2026安徽省宿州市九上 月考 ）如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（   ） A． B．9或6 C．9或 D．3或 【变式10-3】如图，G、H分别是四边形ABCD的边AD、AB上的点，∠GCH=45°，CD=CB=2，∠D=∠DCB=∠B=90°，则△AGH的周长为_______． 【模块十一】 根据正方形方性质与判定求面积 【典例11】如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2024-2025杭州萧山区八下月考   ）如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【变式11-2】如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式11-3】如图，语文中的汉语拼音书写是由等距离、等长度的四线三格平行横线组成，已知相邻两条平行线间的距离都是1，正方形的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 【模块十二】 根据正方形性质与判定进行证明 【典例12】（2025·河北邯郸·三模）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在，上，点G在的延长线上，且 (1)直接写出和的数量关系及位置关系； (2)尺规作图：以线段为边作出正方形（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）； (3)连接（2）中的，猜想并写出四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想： 【变式12-1】如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 【变式12-2】如图①，在正方形中，点分别在上且．      (1)试探索线段的大小关系，写出你的结论并说明理由； (2)连接，分别取的中点，顺次连接，得到四边形： ①请在图②中补全图形； ②四边形是什么特殊平行四边形？请说明理由． 【变式12-3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作，对角线，相交于点G (1)连接，若，则___（用含m的代数式表示）； (2)证明：； (3)若点为的中点，求的值． 【模块十三】正方形中的多结论问题 【典例13】如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 【变式13-1】如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为；③当P在运动过程中，的最小值为；④当时，，其中结论正确的有（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式13-2】如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积为3．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式13-3】如图，在正方形中，对角线，交于点，点，分别在，上，且，交于点，连接．得到下列四个结论：①；②；③;④四边形是菱形，其中正确的结论是_____(填写所有正确结论的序号)． 【模块十四】中点四边形 【典例14】（2025·河南南阳·二模）（1）如图①点E、F、G、H分别是菱形各边中点，可判定四边形的形状为_________； （2）如图②点E，F，G，H分别是四边形各边中点，且对角线，判定四边形的形状，并证明； （3）在（2）的条件下，请对四边形增添一个条件，使四边形为正方形．（直接写出所添条件） 【变式14-1】中点四边形的形状． （1）以四边形各边的中点为顶点可以组成一个________． （2）以菱形各边的中点为顶点可以组成一个________． （3）以矩形各边的中点为顶点可以组成一个________． （4）以平行四边形各边的中点为顶点可以组成一个________． （5）以正方形各边的中点为顶点可以组成一个________． 【变式14-2】（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【变式14-3】如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形 专题攻坚·多题归一 【微专题一】正方形中的折叠问题 《方法技巧》 正方形中的翻折问题（几何折叠问题）是初中数学和中考的热点，它综合了轴对称性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形、三角函数等多个知识点.翻折的本质是轴对称变换，要抓住以下不变性： 1.全等：翻折前后的图形全等，即对应边、对应角相等。 2.对称轴垂直平分对应点连线：折痕是两对称点连线的垂直平分线。 3.翻折后点的位置：一般在正方形的边或延长线上，需分类讨论。 4.引入变量：常设未知线段，利用勾股定理列方程。 【典例15】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）在正方形中： (1)如图1，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么______（填“＝”、“＞”、“＜”）； (2)如图2，如果点、、、分别在、、、上，且，垂足为，那么_____（填“＝”、“＞”、“＜”）； (3)如图3，在（2）的条件下，当点在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．那么四边形是正方形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【变式15-1】如图，在正方形纸片中，，点E在边上，且，将沿所在直线折叠，点D的对应点为点F，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求证：． 【变式15-2】如图，在一张矩形纸片中，，，点E，F分别在，上，将沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处．设线段的长度为m，则m的取值范围是 ． 【变式15-3】（2025·安徽·模拟预测）如图，在矩形中，，，点分别在边上，沿着折叠矩形，使点分别落在处，且点在线段上（可与点重合），过点作于点，连接． （）当与重合时， ； （）若四边形为正方形，则 ． 【微专题二】 正方形中的旋转 【典例16】（2025·四川甘孜·三模）如图1，点E为正方形内一点，，，，将绕点A逆时针方向旋转，点B、E的对应点分别为点、． (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【变式16-1】如图，是正方形内一点，以为一条边作正方形，连接和．根据旋转知识，给出下列四个说法：①；②； ③若点恰好落在边上时，则； ④若，则．其中正确说法的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式16-2】【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 【变式16-3】问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图，边长为的正方形的对角线相交于点，分别延长到点，到点，使，再以为邻边做正方形，连接；    (1)解决问题：与之间的数量关系是______，位置关系是______； (2)深入研究：如图正方形固定不动，将正方形绕点顺时针方向旋转，判断与的关系，并证明： (3)拓展延伸：如图，在正方形旋转过程中，分别交于点，连接．当时，求的值． 【微专题三】正方形中的最值 《方法点拨》 正方形与最值问题在初中数学（尤其是中考）和高中数学中都很常见。它往往结合了几何性质、代数建模、函数思想和重要不等式。处理正方形中的最值问题，通常有两条主线： 1. 几何法：利用正方形的对称性、旋转全等、定点到定直线距离、圆的相关性质（如直径所对圆周角为直角）、三角形三边关系等，将动态线段最值转化为基本几何模型。 2.代数（坐标）法：建立合适的平面直角坐标系，将几何量表示为函数，然后利用配方法、二次函数性质、基本不等式等求最值。 【典例17】（2026·陕西·一模）如图，矩形中，，，若点为线段上动点，以为斜边向矩形内部作等腰直角，，连接，当有最小值时，点到直线的距离为 ． 【变式17-1】（2025-2026湖北省武汉市八上月考 ）如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【变式17-2】如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 【变式17-3】如图，正方形的边长为12，点、分别为、上动点（、均不与端点重合），且，是对角线上的一个动点，则的最小值是________． 【微专题四】正方形背景下的规律探索 【典例18】（ 2026年江西中考原创仿真冲刺卷 ）如图，正方形ABCD的面积为4，分别取AB，BC，CD，DA的中点得到正方形；再分别取，的中点得到正方形；…．以此类推，正方形．的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式18-1】如图，正方形中，，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形…，依此规律，则（  ） A． B． C． D． 【变式18-2】如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1，以AB为对角线作第二个正方形AEBF，以EB为对角线作第三个正方形EGBH，以此类推，则第n个正方形的面积是_______ ． 【变式18-3】如图，四边形 是边长为 的正方形，以对角线 为边作第二个正方形 ，连接 ，得到 ；再以对角线 为边作第三个正方形 ，连接 ，得到 ，再以对角线 为边作第四个正方形 ，连接 ，得到 ，设 ，的面积分别为 ，如此下去，则 的值为（　　） A． B． C． D．1 压轴拓展·素养提升 【压轴一】正方形背景下的动点问题 【典例19】（2025·江西抚州·一模）如图，在平行四边形中，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点的运动时间为，在此运动过程中，当时，整数的值为 ． 【变式19-1】如图，是矩形边的中点，是边上一动点，，，垂足分别为，． (1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形是矩形？请予以证明； (2)在（1）中，动点运动到什么位置时，矩形变为正方形？为什么？ 【变式19-2】如图，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F． （1）探究OE与OF的数量关系并加以证明； （2）四边形BCFE会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理由； （3）当点O运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由； （4）在（3）问的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？ 【变式19-3】如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 【压轴二】正方形的存在性问题 【典例20】如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【变式20-1】如图，在中，点D，E分别是边BC，AC的中点，AD与BE相交于点点F，G分别是线段AO，BO的中点． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）如图2，连接CO，若，求证：四边形DEFG是菱形； （3）在（2）的前提下，当满足什么条件时，四边形DEFG能成为正方形．直接回答即可，不必证明 【变式20-2】如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【变式20-3】如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论． (3)当点O运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 通关检测·实战演练 1． 选择题 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 2．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接、，，则为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点均在坐标轴上，则点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 4（2025·陕西渭南·一模）如图，是正方形的一条对角线，延长至点E，使得，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4+．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③ 二．填空题 6.如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，，，垂足分别为F、G，已知，，则的长度为 ．    7.如图，正方形的边长为2，点E在边上，交的延长线于点F，则四边形的面积为 ． 8.正方形中，点是边上一点，连接，，点是直线上的一点，，连接，则 度． 9如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为 ． 10．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论： ①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+． 其中正确结论的序号是 　　． 三．解答题 11．如图，在矩形中，点E、F分别在、上，且，垂足为M． (1)若矩形为正方形，求证：； (2)若，求证：矩形为正方形． 12．如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H． （1）求证：∠DAG＝∠EGH； （2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由． 13正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． (2)当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 14四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F． （1）如图1，若点F在边BC上，求证DE＝EF； （2）以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①如图2，若AB＝4，CE＝3，求CG的长度； ②当线段DE与正方形ABCD一边的夹角是35°时，直接写出∠EFC的度数． 15.综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． (1)操作判断如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为，即可得到正方形，沿剪开，将正方形折叠使边，都落在正方形的对角线上，折痕为，，连接，如图2．根据以上操作，则＝ °． (2)迁移探究 将图2中的绕点按顺时针旋转，使它的两边分别交边，于点，，连接， 如图3．探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 连接正方形对角线，若图3中的的边，分别交对角线于点，，将正方形纸片沿对角线剪开，如图4，若，，请直接写出的长． 16．将边长为4的正方形与边长为5的正方形按图1位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．将正方形绕点逆时针旋转一周，直线与直线交于点， （1）与的数量关系：______；与的位置关系：______． （2）如图2，当点在线段上时，求的面积． （3）连结，当时，求的值．    2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $